2.2: 标量和向量（第 1 部分）

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学习目标

描述向量和标量之间的差异。
确定向量的大小和方向。
解释将向量量乘以标量的效果。
描述一维向量量是如何相加或减去的。
解释平面中向量的加法或减法的几何结构。
区分向量方程和标量方程。

许多熟悉的物理量可以通过给出单个数字和相应的单位来完全指定。例如，“上课时间持续 50 分钟” 或 “我车里的油箱可容纳 65 L” 或 “两个柱子之间的距离为 100 m”。可以用这种方式完全指定的物理量称为标量。标量是 “数字” 的同义词。时间、质量、距离、长度、体积、温度和能量都是标量的示例。

具有相同物理单位的标量可以根据通常的数字代数规则进行相加或减去。例如，早于 50 分钟结束 10 分钟的课程持续 50 分钟 − 10 分钟 = 40 分钟。同样，一份 60 卡路里的玉米再加上 200 卡路里的甜甜圈可获得 60 卡路里 + 200 卡路里 = 260 卡路里的能量。当我们将标量乘以一个数字时，我们会得到相同的标量，但值更大（或更小）。例如，如果昨天的早餐有 200 卡路里的能量，而今天的早餐的能量是昨天的四倍，那么今天的早餐有 4（200 卡路里）= 800 卡路里的能量。两个标量也可以彼此相乘或除以形成派生标量。例如，如果列车在 1.0 小时内行驶 100 千米的距离，则其速度为 100.0 km/1.0 h = 27.8 m/s，其中速度是通过将距离除以时间获得的派生标量。

但是，许多物理量不能仅用一个数量的物理单位来完全描述。例如，当美国海岸警卫队派遣船只或直升机执行救援任务时，救援队不仅要知道与求救信号的距离，还必须知道信号来自的方向，这样他们才能尽快到达信号的起点。通过给出单位数（量级）和方向完全指定的物理量称为矢量量。矢量示例包括位移、速度、位置、力和扭矩。在数学语言中，物理向量由称为向量的数学对象表示（图\(\PageIndex{1}\)）。我们可以将两个向量相加或减去，我们可以将一个向量乘以一个标量或另一个向量，但我们不能除以一个向量。未定义除以向量的运算。

一张狗的照片。照片下方是一个水平箭头，它从狗的尾巴下方开始，到狗的鼻子下方结束。箭头被标记为向量 D，其长度被标记为大小 D。箭头的起点（尾部）标记为 “从向量原点的轨道开始”，其末端（头）被标记为 “到向量端的头部”。 — 图\(\PageIndex{1}\)：我们绘制一个从初始点或原点（称为向量的 “尾部”）到终点或终点（称为向量的 “头”）的向量，用箭头标记。幅度是矢量的长度，始终是正标量。（来源：凯特·塞维利亚对作品的修改）

让我们使用图形方法来研究向量代数，以了解基本术语并培养定性理解。但是，在实践中，在解决物理问题时，我们使用分析方法，我们将在下一节中看到这些方法。分析方法在计算上比图形方法更简单，也更准确。从现在开始，为了区分向量和标量，我们采用了常见的惯例，即上方带有箭头的粗体字母表示向量，而没有箭头的字母表示标量。例如，2.0 km 的距离（即标量）由 d = 2.0 km 表示，而在某个方向上 2.0 km 的位移（即向量量）用表示\(\vec{d}\)。

假设你在一次露营旅行中告诉朋友你在距离帐篷 6 公里处发现了一个很棒的钓鱼洞。你的朋友不太可能轻易找到这个洞，除非你还要告知相对于你的露营地可以找到洞的方向。例如，你可以说：“从我的帐篷向东北走大约 6 公里。” 这里的关键概念是，你必须提供的不是一条而是两条信息，即距离或幅度（6 km）和方向（东北）。

位移是一个通用术语，用于描述位置的变化，例如在从帐篷到钓鱼洞的旅途中。位移是向量量的一个示例。如果您从帐篷（位置 A）步行到洞（位置 B），如图所示\(\PageIndex{2}\)，则表示位移的向量\(\vec{D}\)绘制为起始于 A 点并在 B 点结束的箭头。箭头标记向量的结尾。位移向量的方向\(\vec{D}\)是箭头的方向。箭头的长度表示矢量的大小 D\(\vec{D}\)。在这里，D = 6 千米。由于向量的大小是其长度，也是一个正数，因此大小也可以通过在表示向量的符号周围放置绝对值表示法来表示；因此，我们可以等效地写出 D ≡ |\(\vec{D}\) |。要以图形方式解决向量问题，我们需要按比例绘制\(\vec{D}\)向量。例如，如果我们假设在图中用长度为 u = 2 cm 的直线段表示 1 个距离单位（1 km），则本示例中的总位移由长度 d = 6u = 6 (2 cm) = 12 cm 的矢量表示，如图所示\(\PageIndex{3}\)。请注意，为了避免混淆，我们在图中使用 D = 6 km 来表示实际位移的大小，d = 12 cm 表示其在图中表示的长度。

湖泊的插图，距离帐篷东北有一段距离。页面上的 North 向上，从东向右。帐篷被标记为位置 A，湖泊标记为位置 B。直箭头从 A 开始，在 B 处结束。三条曲折的路径以虚线显示，也从 A 开始，在 B 结束。 — 图\(\PageIndex{2}\)：从点 A（露营地的初始位置）到点 B（钓鱼洞的最终位置）的位移向量由箭头表示，其原点为 A 点，终点为 B 点。两者之间可能走的任何实际路径（虚线曲线）的位移都是相同的点 A 和 B

图中显示了标尺，距离以厘米为单位测量。向量显示为平行于标尺的箭头，从 0 c m 处的末端延伸到 12 c m，并被标记为矢量 D。 — 图\(\PageIndex{3}\)：当 2 cm\(\vec{D}\) 的长度表示 1 个位移单位（在本例中为 1 km）时，将大小为 6 km 的位移按比例绘制为长度为 12 cm 的矢量。

假设你的朋友从 A 的露营地走到 B 的钓鱼池，然后向后走：从 B 的钓鱼池到 A 处的露营地。从 A 到 B 的位移向量的大小与\(\vec{D}_{AB}\)从 B 到 A 的位移向量\(\vec{D}_{BA}\)的大小相同（两者都等于 6 km）cases），所以我们可以写\(\vec{D}_{AB}\) =\(\vec{D}_{BA}\)。但是，向\(\vec{D}_{AB}\)量不等于向量，\(\vec{D}_{BA}\)因为这两个向量的方向不同：\(\vec{D}_{AB}\)≤\(\vec{D}_{BA}\)。在图 2.3 中，向量\(\vec{D}_{BA}\)将由一个矢量表示，其原点位于点 B，终点为 A\(\vec{D}_{BA}\) 点，表示向量指向西南，与向量方向正好相反 180°\(\vec{D}_{AB}\)。我们说向\(\vec{D}_{BA}\)量与向量反平行\(\vec{D}_{AB}\)，写入\(\vec{D}_{AB}\) =\(-\vec{D}_{BA}\)，其中减号表示反平行方向。

两个方向相同的向量被称为平行向量，也就是说，它们彼此平行。当\(\vec{A}\)\(\vec{B}\)且仅当两个平行向量具有相等的大小\(\vec{B}\)时，两个平行向量相等，用 = 表示\(\vec{A}\) | | |\(\vec{B}\) |。\(\vec{A}\) 两个方向相互垂直的向量被称为正交向量。向量之间的这些关系如图所示\(\PageIndex{4}\)。

图 a：向量 A 平行于向量 B 的两个示例中，A 和 B 相继在同一条线上，但 A 比 B 长。在另一个，A 和 B 彼此平行，尾部对齐，但 A 比 B 短。图 b：向量 A 与向量 B 反平行的示例向左，比向量 B 长，后者指向右边。它们之间的角度为 180 度。图 c：向量 A 反平行于负向量 A 的示例：A 指向右侧，—A 指向左侧。两者的长度相同。图 d：矢量 A 等于向量 B 的两个示例：其中一个，A 和 B 在同一条线上，一个接一个，两者的长度相同。另一方面，A 和 B 彼此平行，尾巴对齐，长度相同。图 e：向量 A 与向量 B 正交的两个示例：其中一个 A 指向下，B 指向右，以直角相交，两者的长度相同。另一方面，指向下和向右，B 指向下和向左，以直角与 A 相遇。两者的长度相同。 — 图\(\PageIndex{4}\)：两个向量之间的各种关系\(\vec{A}\)和\(\vec{B}\). (a)\(\vec{A}\) ≤\(\vec{B}\) 因为 A ≤ B。 (b)\(\vec{A}\)\(\vec{B}\) 因为它们不平行，A ≤ B。 (c)\(\vec{A}\)\(- \vec{A}\) 因为它们有不同的方向（尽管 |\(\vec{A}\) | = |\(- \vec{A}\) | = A）。 (d)\(\vec{A}\) =\(\vec{B}\) 因为它们平行且具有相同的大小 A = B. (e)\(\vec{A}\)\(\vec{B}\) 因为它们有不同的方向（不平行）；在这里，它们的方向相差90°，这意味着它们是正交的。

练习 2.1

两艘名为爱丽丝和鲍勃的摩托艇正在湖上行驶。在以下每种情况下，给定有关其速度向量的信息，请指出它们的速度向量是否相等。

爱丽丝以 6 节向北移动，鲍勃以 6 节向西移动。
爱丽丝以 6 节向西移动，鲍勃以 3 节向西移动。
爱丽丝以 6 节向东北移动，鲍勃以 3 节向南移动。
爱丽丝以 6 节的速度向东北移动，鲍勃以 6 节的速度向西南移动。
爱丽丝以 2 节的速度向东北移动，鲍勃以 2 节的速度向东北靠近海岸。

一维向量代数

向量可以乘以标量，与其他向量相加，也可以从其他向量中减去。我们可以使用图中所示的钓鱼之旅的示例来说明这些矢量概念\(\PageIndex{5}\)。

同一个帐篷和帐篷东北部的湖泊的三幅插图。 North 在页面上了。帐篷位置为 A 点，湖泊位置为 B 点。A 和 B 之间的位置（从 A 到 B 约 2/3 的路程）被标记为点 C。在图 a 中，从 A 到 B 的向量显示为蓝色箭头，从 A 开始，从 B 结束，标记向量 D sub A B。从 A 到 C 的向量显示为红色箭头，从 A 开始，以 C 结束，标记为矢量 D sub A C。三条曲折的路径显示为从 A 开始、在 B 结束的虚线。图 b 在图 a 的插图中添加了以下内容：点 D 大约在点 A 和 B 之间相加。从 A 到 D 的向量显示为紫色箭头，从 A 开始，以 D 结束，标记为向量 D sub A D。从 D 到 B 的向量显示为橙色箭头，从 D 开始，以 B 结束，标有向量 D sub D B。图 c 添加了一个从点 C 到点 D 的绿色箭头，并被标记为向量 D sub C D 向量的方向与此相反在其他向量中，朝向帐篷而不是朝向湖边。 — 图\(\PageIndex{5}\)：钓鱼旅行的位移向量。 (a) 从营地（A 点）步行到池塘（B 点）时，在 C 点停下来休息。 (b) 回去找掉落的铲球箱（D 点）。 (c) 在钓鱼池结束比赛。

假设你的朋友从 A 点（露营地）出发，朝着 B 点（钓鱼池）的方向行走，但一路上，从 A 点开始，在 A 和 B 之间距离的四分之三的 C 点停下来休息（图\(\PageIndex{5a}\)）。 \(\vec{D}_{AC}\)当他到达 C 点时，他的位移向量是多少？我们知道，如果他一直走到 B，则他相对于 A 的位移向量为\(\vec{D}_{AB}\)，其幅度为 D _AB = 6 km，方向为东北。如果他只行走总距离的 0.75 分之一，保持东北方向，则在 C 点他必须距离 A 的露营地 0.75 D _AB = 4.5 千米所以，他在静止点 C 的位移向量为 D _A C = 4.5 km = 0.75 D _AB 并且平行于位移向量\(\vec{D}_{AB}\)。所有这些都可以用以下向量方程的形式简洁地陈述：

\[\vec{D}_{AC} = 0.75\; \vec{D}_{AB} \ldotp \nonumber\]

在向量方程中，方程的两边都是向量。前面的方程是向量乘以正标量（数字）\(\alpha\)= 0.75 的示例。这种乘法的结果是一个新向量，\(\vec{D}_{AC}\)其方向平行于原始向量的方向\(\vec{D}_{AB}\)。通常，当向量乘以\(\vec{D}_{A}\)正标量时\(\alpha\)，结果是一个与以下内容平行的新向量\(\vec{D}_{B}\)\(\vec{D}_{A}\)：

\[\vec{B} = \alpha \vec{A} \label{2.1}\]

这个新向量的幅度\(\vec{B}\) | | 是通过将原始向量的幅度 |\(\vec{A}\) | 相乘得到的，如标量方程所示：

\[ B = | \alpha | A \ldotp \label{2.2}\]

在标量方程中，方程的两边都是数字。方程\ ref {2.2} 是标量方程，因为向量的大小是标量（和正数）。如果向量方程方程\ ref {2.1} 中的标\(\alpha\)量为负，则新向量的大小\(\vec{B}\) | | 仍由方程\ ref {2.2} 给出，但新向\(\vec{B}\)量的方向与的方向反平行\(\vec{A}\)。图\(\PageIndex{6a}\)中用两个示例说明了这些原理，其中矢量的长度\(\vec{A}\)为 1.5 个单位。当\(\alpha\) = 2 时，新向量\(\vec{B}\) = 2\(\vec{A}\) 的长度 B = 2A = 3.0 个单位（是原始矢量的两倍），并且平行于原始向量。当\(\alpha\) = −2 时，新向量\(\vec{C}\) = −2\(\vec{A}\) 的长度为 C = |−2| A = 3.0 个单位（是原始向量的两倍），并且与原始向量反平行。

图 a 显示了指向右侧的向量 A。它的幅度为 A=1.5。向量 B=2 时间向量 A 指向右侧，其幅度 B = 2 A = 3.0。向量 C = -2 乘以向量 A，其幅度 B = 2.0。图 b 显示向量 A 指向右侧，其幅度为 A=1.5。向量 B 如下所示，矢量 A 的尾部对齐。向量 B 指向右侧且幅度为 2.0。在另一个视图中，向量 A 显示的是向量 B，从 A 的头部开始，向右延伸。它们的下方是一个矢量，标记为向量 R = 向量 A 加上向量 B，其尾部与向量 A 的尾部对齐，其头部与向量 B 的头部对齐。向量 R 的大小等于 A 加上量级 B = 3.5。图 c 显示向量 A 指向右侧，其幅度为 A=1.5。向量 B 如下所示，矢量 A 的尾部对齐。向量减去 B 指向右侧，幅度为 3.2。在另一个视图中，向量 A 显示的是向量减 B 指向左边，其头部与向量 A 的头部交汇处。它们下面是一个矢量，标记为向量 D = 向量 A 减去向量 B，比 B 短，指向左，其头部与向量 B 的头部对齐。向量 D 的大小为等于量 A 减去 B = 1.7 的大小。 — 图\(\PageIndex{6}\)：一维向量的代数。 (a) 乘以标量。 (b) 两个向量的相加（\(\vec{R}\)称为向量的合成（\(\vec{A}\)和（\(\vec{B}\)）。 (c) 两个向量的减法（\(\vec{D}\)是向量的差（\(\vec{A}\)和\(\vec{B}\)）。

现在假设你的钓鱼伙伴从 A 点（露营地）出发，朝向 B 点（钓鱼洞）的方向行走，但是他意识到自己在 C 点（位于 A 点和 B 之间距离的四分之三，从 A 点开始）停下来休息时丢失了钓具箱。于是，他回头朝着露营地的方向追回脚步，发现箱子位于路径上 D 点，距离 C 点仅 1.2 公里（见图\(\PageIndex{5b}\)）。当他在点D处找到盒子\(\vec{D}_{AD}\)时，他的位移向量是多少？他\(\vec{D}_{DB}\)从D点到孔的位移向量是多少？我们已经确定，在静止点 C 处，他的位移向量为\(\vec{D}_{AC}\) = 0.75\(\vec{D}_{AB}\)。从 C 点开始，他向西南走（朝露营地），这意味着他\(\vec{D}_{CD}\)从 C 点到 D 点的新位移向量与之反平行\(\vec{D}_{AB}\)。它的幅度 |\(\vec{D}_{CD}\) | 是 D _C D = 1.2 km = 0.2 D _AB，所以他的第二个位移向量是\(\vec{D}_{CD}\) = −0.2\(\vec{D}_{AB}\)。他\(\vec{D}_{AD}\)相对于营地的总位移是两个位移向量的向量和：向量\(\vec{D}_{AC}\)（从营地到休息点）和向量\(\vec{D}_{CD}\)（从静止点到他找到盒子的点）：

\[\vec{D}_{AD} = \vec{D}_{AC} + \vec{D}_{CD} \ldotp \label{2.3}\]

两个（或更多）向量的向量和称为合成向量，简而言之，合成向量。当已知方程\ ref {2.3} 右侧的向量时，我们可以按\(\vec{D}_{AD}\)如下方式找到结果：

\[\vec{D}_{AD} = \vec{D}_{AC} + \vec{D}_{CD} = 0.75\; \vec{D}_{AB} - 0.2\; \vec{D}_{AB} = (0.75 - 0.2) \vec{D}_{AB} = 0.55 \vec{D}_{AB} \ldotp \label{2.4}\]

当你的朋友终于到达 B 处的池塘时，他\(\vec{D}_{AB}\)从 A 点开始的位移向量是他\(\vec{D}_{AD}\)从 A 点到 D 点的位移向量和他\(\vec{D}_{DB}\)从 D 点到钓鱼洞的位移向量的向量和：\(\vec{D}_{AB}\)=\(\vec{D}_{AD}\) +\(\vec{D}_{DB}\)（见图\(\PageIndex{5c}\)）。这意味着他的位移向量\(\vec{D}_{DB}\)是两个向量的差：

\[\vec{D}_{DB} = \vec{D}_{AB} − \vec{D}_{AD} = \vec{D}_{AB} + (− \vec{D}_{AD}) \ldotp \label{2.5}\]

请注意，两个向量的差值只不过是两个向量的向量和，因为方程\ ref {2.5} 中的第二个项是向量\(- \vec{D}_{AD}\)（与之反平行\(\vec{D}_{AD}\)）。当我们将方程\ ref {2.4} 替换为方程\ ref {2.5} 时，我们得到第二个位移向量：

\[\vec{D}_{DB} = \vec{D}_{AB} − \vec{D}_{AD} = \vec{D}_{AB} − 0.55\; \vec{D}_{AB} = (1.0 − 0.55)\; \vec{D}_{AB} = 0.45\; \vec{D}_{AB} \ldotp \label{2.6}\]

这个结果意味着你的朋友从找到钓具箱的地方走了 D _DB _{= 0.45 D A} B = 0.45（6.0 km）= 2.7 km 到钓鱼洞。

当向量\(\vec{A}\)和沿直线（即一维）\(\vec{B}\)位于一条线（即一维）时，例如在露营示例中，它们的结果\(\vec{R}\) =\(\vec{A}\) +\(\vec{B}\) 和它们的差\(\vec{D}\) =\(\vec{A}\) −\(\vec{B}\) 都位于相同的方向上。我们可以通过绘制相应的向量在一维上缩放来说明向量的加法或减法，如图所示\(\PageIndex{6}\)。

为了说明何时\(\vec{A}\)和\(\vec{B}\)是两个平行向量的结果，我们沿着一条线绘制它们，方法是将一个向量的原点从头到尾放置在另一个向量的末尾（参见图 (\ pageIndex {6b}\)）。该结果的大小是其量级之和：R = A + B。合成物的方向平行于两个向量。当向\(\vec{A}\)量与向量反平行时\(\vec{B}\)，我们以头对头的方式（图 (\ pageIndex {6c}\)）或尾对尾的方式沿着一条线绘制它们。因此，矢量差值的大小是其幅度差值的绝对值 D = |A − B|。差值向量的方向平行\(\vec{D}\)于较长向量的方向。

一般来说，在一维中，以及在更高的维度中，例如在平面或空间中，我们可以将任意数量的向量相加，并且我们可以按任何顺序进行添加，因为向量的加法是可交换的，

\[\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A} \ldotp \label{2.7}\]

和联想，

\[ (\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} = \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C}) \ldotp \label{2.8}\]

此外，乘以标量是分布式的：

\[ \alpha_{1} \vec{A} + \alpha_{2} \vec{A} = (\alpha_{1} + \alpha_{2}) \vec{A} \ldotp \label{2.9}\]

我们在方程\ ref {2.4} 和方程\ ref {2.6} 中使用了分布属性。

在一个维度上添加多个向量时，使用单位向量的概念比较方便。单位向量，由带有帽子的字母符号表示，其大小为\(\hat{u}\) 1 且没有任何物理单位，因此 |\(\hat{u}\) | ≡ u = 1。单位向量的唯一作用是指定方向。例如，与其说向量的幅度\(\vec{D}_{AB}\)为 6.0 km，方向是东北，不如引入一个指向东北的单位向量\(\hat{u}\)，简洁地说\(\vec{D}_{AB}\) = (6.0 km)\(\hat{u}\)。然后西南方向简单地由单位向量给出\(- \hat{u}\)。这样，西南方向 6.0 km 的位移由向量表示

\[\vec{D}_{BA} = (−6.0\; km)\; \hat{u} \ldotp \nonumber\]