1.7: 重要数字

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学习目标

确定计算结果的正确有效数字数。
描述准确性、精度、不确定性和差异等概念之间的关系。
根据测量值和不确定度，计算测量值的不确定度百分比。
确定涉及具有给定不确定性的量的计算结果的不确定性。

该图$\PageIndex{1}$显示了用于测量物体质量的两种仪器。数字秤在很大程度上取代了物理实验室中的双平移天平，因为它可以提供更准确、更精确的测量。但是，我们所说的准确和精确到底是什么意思呢？它们不是一回事吗？在本节中，我们将详细研究进行和报告测量的过程。

图 a 显示了一个生锈的旧双盘天平，一个平底锅上有标准质量。图 b 显示了现代数字分析天平。 — 图$\PageIndex{1}$：(a) 双盘机械天平用于比较不同的质量。通常，质量未知的物体放在一个平底锅中，而质量已知的物体放在另一个平底锅中。当连接两个平底锅的杆是水平的，则两个平底锅中的质量相等。 “已知质量” 通常是标准质量的金属圆柱体，例如 1 g、10 g 和 100 g。(b) 许多机械天平，例如双盘天平，已被数字秤所取代，数字秤通常可以更精确地测量物体的质量。机械天平只能将物体的质量读取到最接近的十分之一克，但是许多数字天平可以测量物体的质量，直至最接近的千分之一克。（来源 a：Serge Melki 对作品的修改；来源 b：Karel Jakubec 对作品的修改）

测量的精度和精度

科学以观察和实验为基础，也就是说，基于测量。精度是指测量值与该测量的可接受参考值的接近程度。例如，假设我们要测量标准打印机纸张的长度。我们购买纸张的包装上显示纸张长度为 11.0 英寸。然后，我们三次测量纸张的长度，得出以下测量值：11.1 英寸、11.2 英寸和 10.9 英寸。这些测量值非常准确，因为它们非常接近 11.0 英寸的参考值。相比之下，如果我们获得了 12 英寸的测量值，我们的测量结果就不会很精确。请注意，精度的概念要求给出可接受的参考值。

测量的精度是指重复的独立测量（在相同条件下重复测量）之间的一致性有多接近。以纸张测量的例子为例。测量的精度是指测量值的分布。分析测量精度的一种方法是确定最低和最高测量值之间的范围或差异。在本例中，最低值为 10.9 英寸，最高值为 11.2 英寸。因此，测量值彼此之间的偏差最多为 0.3 英寸。这些测量值相对精确，因为它们的值差异不大。但是，如果测量值为 10.9 英寸、11.1 英寸和 11.9 英寸，则测量值就不会非常精确，因为一次测量与另一次测量之间会有显著差异。请注意，精度的概念仅取决于获得的实际测量值，而不依赖于公认的参考值。

纸质示例中的测量既准确又精确，但在某些情况下，测量值准确但不精确，或者精确但不准确。让我们举一个GPS试图定位城市中餐厅位置的示例。将餐厅的位置想象成存在于靶心目标的中心，并将每次 GPS 尝试定位餐厅的尝试视为一个黑点。在图中$\PageIndex{1a}$，我们可以看到 GPS 测量值彼此相距很远，但它们都相对接近目标中心餐厅的实际位置。这表明测量系统精度低、精度高。但是，在图中$\PageIndex{1b}$，GPS 测量结果彼此非常集中，但距离目标位置很远。这表明这是一个高精度、低精度的测量系统。

两个目标图案，每个图案由红色背景上的三个白色同心环组成。标有 “高精度，低精度” 的图 a 显示了四个黑点，分布在最里面的圆周上。标有 “低精度，高精度” 的图 b 显示了四个黑点，它们都聚集在中间圆圈和外圆之间，彼此非常接近。 — 图$\PageIndex{2}$：GPS 试图在靶心中心定位一家餐厅。黑点代表每次试图精确定位餐厅位置的尝试。 (a) 这些点彼此相距很远，表示精度很低，但每个点都与餐厅的实际位置相当接近，这表明精度很高。 (b) 这些点彼此集中得很近，表明精度很高，但它们与餐厅的实际位置相距很远，这表明精度很低。（来源 a 和积分 b：对 Dark Evil 作品的修改）

准确度、精度、不确定性和差异

测量系统的精度与测量的不确定性有关，而精度则与与可接受的参考值的差异有关。不确定性是衡量您的测量值彼此之间偏离程度的定量指标。有许多不同的计算不确定性的方法，每种方法都适用于不同的情况。一些示例包括取范围（即最大值减小最小值）或求出测量值的标准差。差异（或 “测量误差”）是测量值与给定标准或预期值之间的差异。如果测量值不是很精确，则值的不确定性很高。如果测量值不是很准确，则数值的差异很大。

回想一下我们测量纸张长度的示例；我们得到的测量值分别为 11.1 英寸、11.2 英寸和 10.9 英寸，可接受的值为 11.0 英寸。我们可以将三个测量值求平均值，得出我们的最佳猜测值为 11.1 英寸；在这种情况下，我们的差异为 11.1 — 11.0 = 0.1 英寸，这提供了精度的定量衡量标准。我们可以使用测量值的范围：0.3 英寸来计算最佳猜测中的不确定性。那么我们可以说纸张的长度为 11.1 英寸正负 0.3 英寸。测量值中的不确定度 A 通常表示为$\delta$ A（读作 “delta A”），因此测量结果将记录为$\delta$ A± A。回到我们的论文示例，纸张的测量长度可以表示为 11.1±0.3 英寸。由于0.1英寸的差异小于0.3英寸的不确定度，我们可以说在实验不确定性范围内，测量值与公认的参考值一致。

导致测量不确定性的一些因素包括：

测量设备的局限性
进行测量的人的技能
被测物体中的不规则性
影响结果的任何其他因素（高度取决于情况）

在我们的示例中，导致不确定性的因素可能是标尺上的最小分割值为 1/16 英寸，使用标尺的人视力不好，标尺一端磨损，或者纸张的一面比另一面稍长。无论如何，必须计算测量中的不确定度以量化其精度。如果已知参考值，则计算差异并量化其准确性是有意义的。

不确定性百分比

另一种表示不确定度的方法是以测量值的百分比表示。如果测量值 A 用不确定度$\delta$ A 表示，则不确定度百分比定义为

\[Percent\; uncertainty = \frac{\delta A}{A} \times 100 \%\]

示例$\PageIndex{1}$: Calculating Percent Uncertainty: A Bag of Apples

一家杂货店出售 5 磅袋装苹果。假设我们在一个月内购买了四件行李，每次都称重。我们获得以下测量结果：

第 1 周体重：4.8 磅
第 2 周体重：5.3 磅
第 3 周体重：4.9 磅
第 4 周体重：5.4 磅

然后，我们确定一袋 5 磅的苹果的平均重量为 5.1±0.3 磅。袋装重量的不确定性百分比是多少？

策略

首先，观察到袋子的重量平均值 A 为 5.1 磅。该值$\delta$ A 的不确定度为 0.3 磅。我们可以使用以下方程来确定重量的不确定性百分比：

\[Percent\; uncertainty = \frac{\delta A}{A} \times 100 \% \label{1.1}\]

解决方案

将这些值替换到方程中：

\[Percent\; uncertainty = \frac{\delta A}{A} \times 100 \% = \frac{0.3\; lb}{5.1\; lb} \times 100 \% = 5.9 \% \approx 6 \%\]

意义

我们可以得出结论，这家商店里一袋苹果的平均重量为5.1磅±6％。请注意，百分比的不确定性是无量纲的，因为当我们采用比率时，$\delta$A = 0.3 磅中的重量单位取消了 A = 5.1 磅中的重量单位。

练习$\PageIndex{1}$

一位高中田径教练刚刚购买了新的秒表。秒表手册指出，秒表的不确定性为 ±0.05 秒。田径教练队伍中的跑步者定期进行 11.49 秒到 15.01 秒的 100 米冲刺。在学校的最后一次田径比赛中，第一名的短跑选手在 12.04 秒进场，第二名的短跑选手在 12.07 秒进来。秒表有助于安排短跑队伍的时间吗？为什么或者为什么不呢？

计算中的不确定性

根据测量量计算出的任何东西中都存在不确定性。例如，通过测量其长度和宽度计算出的地板面积具有不确定性，因为长度和宽度具有不确定性。你用乘法或除法计算出的东西的不确定性有多大？如果计算中测量的不确定性很小（百分之几或更少），则百分比相加的方法可用于乘法或除法。该方法指出，通过乘法或除法计算的量中的不确定性百分比是用于计算的项目中不确定性百分比的总和。例如，如果地板的长度为 4.00 m，宽度为 3.00 m，不确定性分别为 2% 和 1%，则地板面积为 12.0 m ²，不确定性为 3%。（以面积表示，这是 0.36 m ² [12.0 m ² x 0.03]，我们将其四舍五入到 0.4 m ²，因为地板面积为十分之一平方米。）

测量工具和重要数字的精度

测量精度的一个重要因素涉及测量工具的精度。通常，精确的测量工具是能够以非常小的增量测量值的工具。例如，标准尺可以将长度测量到最接近的毫米，而卡尺可以测量到最接近的 0.01 mm 的长度。卡尺是一种更精确的测量工具，因为它可以测量极小的长度差异。测量工具越精确，测量越精确。

当我们表示测量值时，我们只能列出与最初使用测量工具测量的数字一样多的数字。例如，如果我们使用标准尺测量棍子的长度，则可以将其测量为36.7厘米。我们不能将这个值表示为 36.71 cm，因为我们的测量工具不够精确，无法测量百分之一厘米。应该注意的是，测量值中的最后一位数字是由执行测量的人以某种方式估算出来的。例如，用尺子测量棍子长度的人注意到棍子的长度似乎在36.6厘米和36.7厘米之间，他或她必须估计最后一位数字的值。使用有效数字的方法，规则是，测量中写下的最后一位数字是第一位具有一定不确定性的数字。要确定一个值中的有效位数，请从左边的第一个测量值开始，然后计算从右边写入的最后一个数字到最后一个数字的位数。例如，36.7 cm 的测量值有三位数或三个有效数字。重要数字表示用于测量值的测量工具的精度。

零

计算重要数字时要特别考虑零。 0.053 中的零不重要，因为它们是定位小数点的占位符。 0.053 中有两个重要数字。 10.053 中的零不是占位符；它们很重要。这个数字有五个重要数字。 1300 中的零可能很重要，也可能不重要，具体取决于数字的书写风格。它们可能表示该数字已知到最后一位数字，也可能是占位符。因此，1300 可能有两个、三个或四个重要数字。为了避免这种歧义，我们应该用科学记数法将 1300 写成 1. ³ x 10 ^{3、1.30 x 10 3} 或 1.300 x 10 ³，具体取决于它有两个、三个还是四个有效数字。 零很重要，除非它们仅用作占位符。

计算中的重要数字

组合不同精度的测量值时，最终答案中的有效数字数不能大于精度最低的测量值中的有效位数。有两种不同的规则，一种用于乘法和除法，另一种用于加法和减法。

对于乘法和除法，结果的有效数字数应与进入计算的有效数字数量最少的数量相同。 例如，可以使用 A = 根据圆的半径计算出圆的面积$\pi r^{2}$。让我们看看如果半径只有两个，比如说 r = 1.2 m，该区域有多少有效数字。使用八位数输出的计算器，我们将计算 $$A =\ pi r^ {2} = (3.1415927...) \ times (1.2\; m) ^ {2} = 4.5238934\; m^ {2}\ ldotp$但是，由于半径只有两个有效数字，因此它将计算量限制为两个有效数字，或者 $$A = 4.5\; m^ {2}\ ldotp$尽管$\pi$至少有八位数。
对于加法和减法，答案包含的小数位数不能超过精度最低的测量值。假设我们在杂货店购买了 7.56 千克的马铃薯，精度为 0.01 kg，然后我们将 6.052 千克的马铃薯送到您的实验室，用精度为 0.001 kg 的秤测量。然后，我们回家添加13.7千克的马铃薯，用精度为0.1千克的浴室秤测量。我们现在有多少公斤马铃薯，答案中有多少重要数字合适？质量是通过简单的加减得出的：$$\ begin {split} 7.56\; & kg\\ -6.052\; & kg\\ +13.7\; & kg\\ hline 15.208\; & kg = 15.2\; kg\ ldotp\ end {split} $$Next，我们确定最低精度的测量值：13.7 千克。该测量值以小数点后0.1位表示，因此我们的最终答案也必须表示为小数点后0.1位。因此，答案四舍五入到第十位，得出15.2 kg。

本文中的重要人物

在本文中，假设大多数数字有三个有效数字。此外，在所有行之有效的例子中都使用了相同数量的重要数字。例如，给出三位数的答案是基于至少三位数的输入正确。如果输入的有效数字较少，则答案中的重要数字也将减少。还要注意的是，重要数字的数量对于目前的情况来说是合理的。在某些主题中，特别是在光学领域，需要更准确的数字，而且我们使用三个以上的有效数字。最后，如果一个数字是精确的，例如圆周公式中的两个 C =$2 \pi r$，则它不会影响计算中有效数字的数量。同样，100 cm/1 m 等换算系数被认为是精确的，不会影响计算中有效数字的数量。

示例\(\PageIndex{1}\): Calculating Percent Uncertainty: A Bag of Apples

解决方案

练习\(\PageIndex{1}\)