1.6: 估计值和费米计算

学习目标

• 估计物理量的值。

在许多情况下，物理学家、其他科学家和工程师需要对特定的量进行估计。 有时使用的其他术语包括猜测、数量级近似值、粗略计算或费米计算。 （前面提到的物理学家恩里科·费米以其惊人的精度估计各种数据的能力而闻名。） 那件设备能装在汽车后座还是我们需要租一辆卡车？ 此次下载需要多长时间？ 这个电路开启后会有多大的电流？ 如果一座拟建的发电厂建成，它实际上可以为多少房屋供电？ 请注意，估计并不意味着随机猜出一个数字或一个公式。 相反，估算意味着利用先前的经验和合理的物理推理来大致了解一个数量的价值。 由于确定可靠近似值的过程通常涉及识别正确的物理原理和对相关变量的正确猜测，因此估算对于培养物理直觉非常有用。 估算值还可以帮助我们排除某些情况或不切实际的数字，从而对计算或政策提案进行 “理智检查”。 它们使我们能够挑战他人（以及我们自己），努力学习世界的真相。

许多估计值基于公式，在这些公式中，只有有限的精度才知道输入量。 当你培养物理问题解决技能（适用于各种领域）时，你还将培养估算技能。 你可以通过更定量地思考和愿意冒险来培养这些技能。 与任何技能一样，经验也有帮助。 熟悉尺寸（见表 1.5.1）和单位（见表 1.3.1 和表 1.3.2）以及基本数量比例（见图 1.2.3）也有帮助。

为了在估算方面取得一些进展，你需要对变量之间的关系有一些明确的认识。 以下策略可以帮助你练习估算技巧：

• 从较小的长度中获得较大的长度。 在估算长度时，请记住，任何东西都可以是标尺。 因此，想象一下，将一件大事物分解成小东西，估计其中一个较小事物的长度，然后乘以得出大事物的长度。 例如，要估算建筑物的高度，首先要计算它有多少层楼。 然后，通过想象有多少人必须站在彼此的肩膀上才能到达天花板来估计单层楼有多大。 最后，估计一个人的身高。 这三个估算值的乘积是您对建筑物高度的估计。 记住几个与你发现自己解决的问题相关的长度量表会有所帮助。 例如，了解图 1.2.3 中的一些长度尺度可能会派上用场。 有时候，反过来做这件事也会有所帮助——也就是说，要估计一件小东西的长度，想象一堆小东西组成了更大的东西。 例如，要估计一张纸的厚度，请估计一叠纸的厚度，然后除以堆叠中的页数。 这些将大事物分解成小事物或将较小的东西聚合成大事物的相同策略有时也可以用来估计其他物理量，例如质量和时间。
• 根据@@ 长度获取面积和体积。 在处理复杂物体的面积或体积时，引入一个简单的物体模型，例如球体或盒子。 然后，首先估计线性尺寸（例如球体的半径或盒体的长度、宽度和高度），然后使用您的估计值从标准几何公式中获得体积或面积。 如果你碰巧有一个物体的面积或体积的估计值，你也可以做相反的事情；也就是说，使用标准的几何公式来估计其线性尺寸。
• 从体积和密度中获取质量。 在估计物体的质量时，它可以帮助先估计其体积，然后通过粗略估计其平均密度来估计其质量（回想一下，密度在长度上的维度质量是立方体，所以质量就是密度乘以体积）。 为此，记住空气的密度约为1 kg/m ³，水的密度为 10 ³ kg/m ³，每天最密集的固体含量约为 10 ⁴ kg/m ³。 问问自己一个物体是漂浮还是沉入空气或水中，你就可以大致估计它的密度。 你也可以反过来做这件事；如果你有一个物体的质量和密度的估计值，你可以用它们来估计它的体积。
• 如果所有其他方法都失败了，则将其绑定。 对于你没有太多直觉的物理量，有时候你能做的最好的办法就是这样想：嗯，它必须大于这个并且小于这个值。 例如，假设你需要估计驼鹿的质量。 也许你对驼鹿有很多经验，也知道它们的副手平均质量。 如果是这样，那就太好了。 但是对于大多数人来说，他们能做的最好的事情就是这样想：它必须比一个人大（订单为10 ² kg），小于一辆汽车（订单为10 ³ kg）。 如果您需要单个数字进行后续计算，则可以取上限和下限的几何平均值，也就是说，将它们相乘，然后取平方根。 以驼鹿质量为例，这将是 $$\ left（10^ {2}\ times 10^ {3}\ 右）^ {0.5} = 10^ {2.5} = 10^ {0.5}\ times 10^ {2}\; kg\ ldotp$越紧越好。 此外，在估算方面，没有任何规则是牢不可破的。 如果你认为量值可能比下限更接近上限，那么你可能想将估计值从几何平均值提高一两个数量级。
• 一个 “sig. fig.” 就可以了。 在进行计算以获得估计值时，无需超过一个重要数字。 在大多数情况下，数量级就足够了。 我们的目标只是为了获得大致的数字，所以要尽可能简单地进行算术。
• 问问自己：这有什么意义吗？ 最后，检查你的答案是否合理。 它与您已经知道或可以轻松查找的尺寸相同的其他数量的值相比如何？ 如果你得到一些古怪的答案（例如，如果你估计大西洋的质量大于地球的质量，或者某个时间跨度比宇宙的年龄长），首先要检查你的单位是否正确。 然后，检查算术错误。 然后，重新考虑你得出答案的逻辑。 如果一切顺利，你可能已经证明了一些漂亮的新想法实际上是虚假的。

示例\(\PageIndex{1}\): Mass of Earth’s Oceans

估计地球上海洋的总质量。

策略

我们知道水的密度约为 10 ³ kg/m ³，所以我们首先建议 “从密度和体积中获取质量”。 因此，我们需要估计地球海洋的体积。 使用 “根据长度获取面积和体积” 的建议，我们可以将海洋的体积估计为表面积乘以平均深度或 V = AD。 我们从图 1.4 中知道了地球的直径，而且我们知道地球的大部分表面都被水覆盖，因此我们可以估计海洋的表面积大致等于地球的表面积。 通过再次遵循 “根据长度获取面积和体积” 的建议，我们可以将地球近似为一个球体，并使用直径为 d 的球体（即 A =\(\pi d^{2}\)）的表面积的公式来估计海洋的表面积。 现在我们只需要估计海洋的平均深度即可。 为此，我们使用以下建议：“如果所有其他方法都失败了，就绑定它。” 我们碰巧知道海洋中最深的点在 10 km 左右，而且海洋深度超过 1 km 的情况并不少见，所以我们假设平均深度约为 (10 ³ x 10 ⁴) ^0.5 β ^{3 x 10 3} m。现在我们只需要把它们放在一起，注意建议 “一个 'sig.fig. '没问题。”

解决方案

我们估计地球的表面积（因此也是地球海洋的表面积）大致为

\[A = \pi d^{2} = \pi \left(10^{7}\; m\right)^{2} \approx 3 \times 10^{14}\; m^{2} \ldotp\]

接下来，使用我们通过边界获得的 D = ^{3 x 10 3} m 的平均深度估计值，我们估计地球海洋的体积为

\[V = AD = \left(3 \times 10^{14}\; m^{2}\right)\left(3 \times 10^{3}\; m\right) = 9 \times 10^{17}m^{3} \ldotp\]

最后，我们估计世界海洋的质量为

\[M = \rho V = \left(10^{3}\; kg/m^{3}\right) \left(9 \times 10^{17}\; m^{3}\right) = 9 \times 10^{20}\; kg \ldotp\]

因此，我们估计地球海洋质量的数量级为10 ²¹ kg。

意义

为了尽我们所能验证我们的答案，我们首先需要回答这个问题：这有意义吗？ 从图 1.4 中，我们可以看到地球大气层的质量约为 10 ¹⁹ 千克，地球的质量约为 10 ²⁵ 千克。 令人欣慰的是，我们估计地球海洋的质量为10 ²¹ kg，介于两者之间。 所以，是的，这似乎是有道理的。 碰巧我们在网上搜索了 “海量海洋”，搜索结果最高的搜索结果都显示1.4 x 10 ²¹ kg，这与我们的估计值相同。 现在，我们可以对它更有信心，而不必盲目信任谁首先在网站上发布了这个数字（毕竟其他大多数网站可能只是从他们那里复制了这个数字）。

练习\(\PageIndex{1}\)

图 1.4 显示大气的质量为 10 ¹⁹ 千克。 假设大气密度为 1 kg/m ³，估计地球大气层的高度。 你认为你的答案是低估还是高估？ 解释原因。

纽约市有多少钢琴调谐器？ 那棵树上有多少片树叶？ 如果你正在研究光合作用，或者正在考虑为钢琴调音师编写一款智能手机应用程序，那么这些问题的答案可能会让你非常感兴趣。 否则，你可能根本不在乎答案是什么。 但是，这些正是各个科技行业的人们一直在要求潜在员工评估其定量推理技能的那种估算问题。 如果建立身体直觉和评估定量主张似乎不足以让你练习估算问题，那么擅长这些问题可能会为你找到一份高薪工作这一事实怎么样？

Phet 模拟：估计

要练习估计相对长度、面积和体积，请查看这个名为 “估计” 的 PhET 模拟。