1.5: 尺寸分析
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- 查找涉及物理量的数学表达式的维度。
- 确定涉及物理量的方程在维度上是否一致。
任何物理量的维度都表示其对基本量的依赖性，即代表基本量的符号（或符号的幂次）的乘积。 该表\(\PageIndex{1}\)列出了基本量及其维度所使用的符号。 例如，长度测量值的维度为 L 或 L 1，质量测量的维度为 M 或 M 1，时间测量的维度为 T 或 T 1。 与单位一样，维度也服从代数规则。 因此，面积是两个长度的乘积，因此维度 L 2 或长度的平方。 同样，体积是三个长度的乘积，尺寸为 L 3 或长度立方体。 速度的尺寸长度随时间变化，L/T 或 LT —1。 体积质量密度的尺寸为 M/L 3 或 ML —3，或者质量超过长度的立方体。 通常，任何物理量的维度都可以写成
\[L^{a}M^{b}T^{c}I^{d}\Theta^{e}N^{f}J^{g}\]
对于某些幂a、b、c、d、e、f 和 g。我们可以用 a = 1 写出长度的维度，其余六个幂全部设置为零：
\[L^{1} = L^{1}M^{0}T^{0}I^{0}\Theta^{0}N^{0}J^{0}.\]
任何维度可以写成所有七次幂均为零（即其维度为\(L^{0}M^{0}T^{0}I^{0}\Theta^{0}N^{0}J^{0}\)）的量都称为无量纲（有时称为 “维度 1”，因为任何提高到零次方都是 1）。 物理学家经常将无量纲量称为纯数字。
| 基本数量 | 尺寸符号 |
|---|---|
| 长度 | L |
| 弥撒 | M |
| 时间 | T |
| 当前 | 我 |
| 热力学温度 | \(\Theta\) |
| 物质量 | N |
| 发光强度 | J |
物理学家经常在物理量的符号周围使用方括号来表示该量的尺寸。 例如，如果 r 是圆柱体的半径，h 是其高度，那么我们写上 [r] = L 和 [h] = L 来表示半径和高度的尺寸都是长度的尺寸，或者 L。同样，如果我们使用符号 A 表示圆柱体的表面积，V 表示其体积，则 [A] = L 2 和 [V] =L 3。 如果我们使用符号 m 表示圆柱体的质量和\(\rho\)制造圆柱体的材料的密度，那么 [m] = M 和 [\(\rho\)] = ML −3。
维度概念的重要性源于这样一个事实，即任何与物理量相关的数学方程都必须在维度上保持一致，这意味着方程必须遵守以下规则：
- 表达式中的每个术语都必须具有相同的维度；加上或减去不同维度的数量是没有意义的（想想那句老话：“你不能加苹果和橘子”）。 特别是，方程中等式两边的表达式必须具有相同的维度。
- 方程中出现的任何标准数学函数，例如三角函数（例如正弦和余弦）、对数或指数函数的自变量必须是无量纲的。 这些函数需要纯数作为输入，并给出纯数作为输出。
如果违反了其中任何一条规则，则方程在维度上是不一致的，不可能是物理定律的正确陈述。 这个简单的事实可以用来检查是否存在错别字或代数错误，帮助记住各种物理定律，甚至可以建议新的物理定律可能采取的形式。 最后一次使用维度超出了本文的范围，但毫无疑问，这是你在学术生涯的后期会学到的东西。
假设我们需要圆面积的公式来进行一些计算。 就像许多很久以前学过几何学而无法确定回忆的人一样，当我们想到圆圈时，我们的脑海中可能会出现两个表情：\(\pi r^{2}\)和\(2 \pi r\)。 一个表达式是半径为 r 的圆的周长，另一个是其面积。 但是哪个是哪个？
策略
一种自然的策略是查一下，但这可能需要一些时间才能从信誉良好的来源找到信息。 此外，即使我们认为消息来源信誉良好，我们也不应该相信我们阅读的所有内容。 只要考虑一下，就有办法仔细检查一下，真是太好了。 此外，我们可能处于无法向上查找的情况（例如在测试期间）。 因此，策略是利用维度遵循代数规则这一事实来找到两个表达式的维度。 如果任一表达式的维度与面积的维度不同，则它不可能是圆面积的正确方程。
解决方案
我们知道面积的维度是 L 2。 现在，表达式的维度\(\pi r^{2}\)是
\[[\pi r^{2}] = [\pi] \cdotp [r]^{2} = 1 \cdotp L^{2} = L^{2},\]
因为常量\(\pi\)是一个纯数，半径 r 是一个长度。 因此，\(\pi r^{2}\)具有面积的尺寸。 同样，表达式的维度\(2 \pi r\)为
\[[2 \pi r] = [2] \cdotp [\pi] \cdotp [r] = 1 \cdotp 1 \cdotp L = L,\]
因为常数 2 和 2\(\pi\) 都是无量纲的，半径 r 是一个长度。 我们看到\(2 \pi r\)它的维度为长度，这意味着它不可能是一个区域。
我们将其排除在外，\(2 \pi r\)因为它与作为一个区域在维度上不一致。 我们发现这\(\pi r^{2}\)与区域在维度上是一致的，因此，如果我们必须在这两个表达式之间做出选择，则\(\pi r^{2}\)是值得选择的表达式。
意义
这可能看起来像是一个愚蠢的例子，但想法非常笼统。 只要我们知道方程中出现的单个物理量的尺寸，我们就可以检查方程在维度上是否一致。 另一方面，知道真实方程在维度上是一致的，我们可以将来自不完美记忆的表达式与它们可能作为表达式的量进行匹配。 这样做无助于我们记住方程中出现的无量纲因子（例如，如果你不小心将示例中的两个表达式混为一谈\(2 \pi r^{2}\)，那么维度分析无济于事），但它确实可以帮助我们记住方程的正确基本形式。
假设我们想要一个球体体积的公式。 在关于领域的基本讨论中经常提到的两种表达方式是\(4 \pi r^{2}\)和\(\frac{4}{3} \pi r^{3}\)。 一个是半径为 r 的球体的体积，另一个是其表面积。 哪一个是音量？
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考虑物理量 s、v、a 和 t，维度 [s] = L，[v] = LT −1，[a] = LT −2，[t] = T。确定以下每个方程在维度上是否一致：
- s = vt + 0.5at 2;
- s = vt 2 + 0.5at；以及
- v = sin (\(\frac{at^{2}}{s}\))。
策略
根据维度一致性的定义，我们需要检查给定方程中的每个项的维度是否与该方程中的其他项具有相同的维度，并且任何标准数学函数的参数是否都是无量纲的。
解决方案
- 在此方程中无需担心三角函数、对数函数或指数函数，因此我们只需要查看方程中出现的每个项的维度即可。 有三个术语，一个在左边的表达式中，两个在右边的表达式中，所以我们依次看每个术语：
\[[s] = L\]
\[[vt] = [v] \cdotp [t] = LT^{−1} \cdotp T = LT^{0} = L\]
\[[0.5at^{2} ] = [a] \cdotp [t]^{2} = LT^{−2} \cdotp T^{2} = LT^{0} = L \ldotp\]
- 同样，没有三角函数、指数函数或对数函数，因此我们只需要查看方程中出现的三个项的维度即可：
\[[s] = L\]
\[[vt^{2}] = [v] \cdotp [t]^{2} = LT^{−1} \cdotp T^{2} = LT\]
\[[at] = [a] \cdotp [t] = LT^{−2} \cdotp T = LT^{−1} \ldotp\]
这三个项没有一个具有与其他任何项相同的维度，因此这与你所能得到的维度一致性差不多。 像这样的方程式的技术术语简直是胡说八道。
- 这个方程里面有一个三角函数，所以首先我们应该检查正弦函数的参数是否是无量纲的：
\[\left[\frac{at^{2}}{s}\right] = \frac{[a] \cdotp [t]^{2}}{[s]} = \frac{LT^{-2} \cdotp T^{2}}{L} = \frac{L}{L} = 1 \ldotp\]
这个论点是无量纲的。 到目前为止，一切都很好。 现在我们需要检查方程中两个项（即左边的表达式和右边的表达式）的维度：
\[[v] = LT^{-1}\]
\[\left[ sin \left(\dfrac{at^{2}}{s}\right) \right] = 1 \ldotp\]
这两个项的维度不同，这意味着方程在维度上不一致。 这个方程是 “废话” 的又一个例子。
意义
如果我们信任人，那么这些类型的尺寸检查似乎没有必要。 但是，请放心，任何关于定量学科的教科书，例如物理学（包括这本教科书）几乎肯定都包含一些带有错别字的方程式。 通过维度分析定期检查方程为我们省去了使用错误方程的尴尬。 此外，检查我们通过代数操作获得的方程的维度是确保我们没有犯错误（或者如果我们犯了错误，也可以发现错误）的好方法。
方程 v = 在维度上是否一致？
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需要提及的另一点是微积分运算对维度的影响。 我们已经看到，维度像单位一样遵守代数规则，但是当我们取一个物理量相对于另一个物理量的导数或者将一个物理量积分到另一个物理量上时会发生什么？ 函数的导数只是直线与其图形相切的斜率，斜率是比率，因此，对于物理量 v 和 t，我们得出 v 相对于 t 的导数的维度只是 v 维度与 t 的维度之比：
\[\left[\frac{dv}{dt} \right] = \frac{[v]}{[t]} \ldotp\]
同样，由于积分只是乘积的总和，因此 v 相对于 t 的积分维度仅仅是 v 乘以 t 的维度：
\[\left[ \int vdt \right] = [v] \cdotp [t] \ldotp\]
出于同样的推理，类似的规则适用于通过积分或微分从其他量得出的物理量单位。