1.4: 单位换算

Last updated
Save as PDF

Page ID: 204600

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $

$ \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} $

$ \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} $

$ \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} $

$ \newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$ \newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

$ \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$

$ \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$

$ \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} $

$ \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} $

$ \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} $

$ \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} $

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}$

$ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $

$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$ $\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$ $\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$ $\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$ $\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$ $\newcommand{\evec}{\mathbf e}$ $\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$ $\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$ $\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$ $\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$ $\newcommand{\svec}{\mathbf s}$ $\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$ $\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$ $\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$ $\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$ $\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$ $\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$ $\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$ $\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$ $\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$ $\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$ $\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$ $\newcommand{\real}{\mathbb R}$ $\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$ $\newcommand{\bcal}{\cal B}$ $\newcommand{\ccal}{\cal C}$ $\newcommand{\scal}{\cal S}$ $\newcommand{\wcal}{\cal W}$ $\newcommand{\ecal}{\cal E}$ $\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$ $\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$ $\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$ $\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$ $\newcommand{\row}{\text{Row}}$ $\newcommand{\col}{\text{Col}}$ $\renewcommand{\row}{\text{Row}}$ $\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$ $\newcommand{\var}{\text{Var}}$ $\newcommand{\corr}{\text{corr}}$ $\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$ $\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$ $\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$ $\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$ $\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$ $\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$ $\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$ $\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$ $\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$ $\newcommand{\lt}{<}$ $\newcommand{\gt}{>}$ $\newcommand{\amp}{&}$ $\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$

学习目标

使用换算系数以不同单位表示给定数量的值。

通常需要从一个单位转换为另一个单位。例如，如果您正在阅读欧洲食谱，则某些数量可能以升为单位表示，您需要将其转换为杯子。或者，也许你正在阅读从一个地点到另一个地点的步行路线，你对自己将要走多少英里感兴趣。在这种情况下，您可能需要将英尺或米的单位转换为英里。

让我们看一个如何转换单位的简单示例。假设我们要将 80 m 转换为千米。要做的第一件事是列出你拥有的单位和要转换的单位。在这种情况下，我们有以米为单位的单位，我们要转换为千米。接下来，我们需要确定将米与千米相关的转换系数。 转换系数是一种比率，表示一个单位中有多少等于另一个单位。例如，1 英尺内有 12 英寸，1 英里有 1609 米，1 米内有 100 厘米，1 分钟内有 60 秒，依此类推。有关更完整的换算系数列表，请参阅附录 B。在这种情况下，我们知道在 1 千米内有 1000 米。现在我们可以设置单位换算了。我们写出我们拥有的单位，然后将它们乘以换算系数，这样单位就会抵消，如下所示：

\[80\; \cancel{ m} \times \frac{1\; km}{1000\; \cancel{ m}} = 0.080\; km \ldotp\]

请注意，不需要的计量单位会取消，只留下所需的千米单位。您可以使用此方法在任何类型的单位之间进行转换。现在，将 80 m 转换为千米只是使用度量前缀，正如我们在上一节中所看到的那样，因此，注意以下几点，我们可以很容易地得到相同的答案

\[80\; m = 8.0 \times 10^{1}\;m = 8.0 \times 10^{−2}\; km = 0.080\; km,\]

因为 “kilo-” 表示 10 ³ 和 1 = −2 + 3。但是，在非公制单位之间进行转换或在派生单位之间进行转换时，使用转换因子很方便，如以下示例所示。

示例$\PageIndex{1}$: Converting Nonmetric Units to Metric

从大学到家的距离是10英里，开车这个距离通常需要20分钟。以米每秒 (m/s) 为单位计算平均速度。（注意：平均速度等于行驶距离除以行驶时间。）

策略

首先，我们使用给定的单位计算平均速度，然后我们可以通过选择正确的换算因子并将其乘以来将平均速度转换为所需的单位。正确的换算系数是那些取消不需要的单位并将所需单位留在原位的转换系数。在这种情况下，我们要将英里转换为米，因此我们需要知道 1 mi 内有 1609 m 这一事实。我们还想将分钟转换为秒，因此我们在 1 分钟内使用 60 秒的转换。

解决方案

计算平均速度。平均速度等于行驶距离除以行驶时间。（现在就把这个定义当作既定定义。平均速度和其他运动概念将在后面的章节中介绍。）在方程形式中，$$Average\; speed =\ frac {Distance} {Time}\ ldotp\ nonumber $$
用给定的值代替距离和时间：$$Average\; speed =\ frac {10\; mi} {20\; min} = 0.50\;\ frac {mi} {min}\ ldotp\ nonumber $$
将每分钟英里转换为米/秒，方法是乘以取消英里然后离开米的转换系数，再乘以取消分钟和剩余秒数的转换系数：$0.50\;\ frac {\ cancel {min}} {\ cancel {1\; m} {1\;\ cancel {1\; min}} {60\; s} =\ frac {(0.50) (1609)} {60}\; m/s = 13\; m/s\ ldotp\ nonumber$$

意义

通过以下方式检查答案：

确保单位转换中的单位正确取消。如果单位换算系数是上下写的，则单位在方程中无法正确抵消。我们看到 0.50 mi/min 中的分子中的 “英里” 抵消了第一个转换因子中分母中的 “英里”。此外，分母中的 “最小值” 以 0.50 mi/min 为单位抵消了第二个转换系数中分子中的 “最小值”。
检查最终答案的单位是否为所需的单位。这个问题要求我们求解以米/秒为单位的平均速度，在取消之后，剩下的唯一单位是分子中的一米（m）和分母中的一秒（s），所以我们确实得到了这些单位。

练习$\PageIndex{1}$

光在一年中晚上 9 点左右传播。鉴于一年大约是 3 x 10 ⁷ 秒，以米/秒为单位的光速是多少？

回答: 在此处添加文本。请勿先删除此文本。

示例$\PageIndex{2}$: Converting between Metric Units

在标准条件下，铁的密度为 7.86 g/cm ³。将其转换为 kg/m ³。

策略

我们需要将克转换为千克，将立方厘米转换为立方米。我们需要的换算系数为 1 kg = 10 ³ g 和 1 cm = 10 ⁻² m。但是，我们处理的是立方厘米（cm ³ = cm x cm x cm），因此我们必须使用第二个换算系数三次（也就是说，我们需要将其立方体）。我们的想法仍然是乘以换算系数，这样它们就会取消我们想要去除的单位并引入我们想要保留的单位。

解决方案

\[7.86\; \frac{\cancel{g}}{\cancel{cm^{3}}} \times \frac{kg}{10^{3}\; \cancel{g}} \times \left(\dfrac{\cancel{cm}}{10^{-2}\; m}\right)^{3} = \frac{7.86}{(10^{3})(10^{-6})}\; kg/m^{3} = 7.86 \times 10^{3}\; kg/m^{3} \nonumber\]

意义

请记住，检查答案总是很重要的。

务必正确取消单位换算中的单位。我们可以看到，7.86 g/cm ³ 中分子中的克（“g”）抵消了第一个转换因子中分母中的 “g”。此外，7.86 g/cm ³ 中分母中 “cm” 的三个因子与分子中的三个因子 “cm” 相抵消，这是我们通过将第二个转换因子立方得到的。
检查最终答案的单位是否为所需的单位。问题要求我们转换为每立方米千克。在刚才描述的取消之后，我们看到剩下的唯一单位是分子中的 “kg” 和分母中 “m” 的三个因子（即 “m” 立方体或 “m ³” 的一个因子）。因此，最终答案中的单位是正确的。

练习$\PageIndex{2}$

从图1.4中我们知道地球的直径约为10 ⁷ m，因此其表面积的数量级为10 ¹⁴ m ²。以平方千米（即 km ²）为单位是多少？（尝试通过将 10 ⁷ m 转换为 km 然后将其平方，然后将 10 ¹⁴ m ² 直接转换为平方千米来做到这一点。双向你应该得到相同的答案。）

回答: 在此处添加文本。请勿先删除此文本。

单位转换可能看起来不太有趣，但不进行单位转换可能会很昂贵。这种情况的一个著名例子是火星气候轨道飞行器。该探测器由美国宇航局于 1998 年 12 月 11 日发射。 1999年9月23日，在试图引导探测器进入计划中的环绕火星的轨道时，美国宇航局与之失去了联系。随后的调查显示，一款名为 SM_FORCES（或 “小部队”）的软件正在以英制磅秒（lb•s）为单位记录推进器性能数据。但是，根据软件接口协议的规定，其他使用这些值进行路线校正的软件预计将以牛顿秒 (N • s) 的 SI 单位记录这些值。这个错误导致探测器走的轨迹与美国宇航局想象的轨迹截然不同，这很可能导致探测器要么在火星大气层中燃烧，要么射入太空。这种不注意单位转换造成了数亿美元的损失，更不用说参与该项目的科学家和工程师投入的所有时间了。

练习$\PageIndex{3}$

鉴于 1 磅（磅）是 4.45 N，那么 SM_FORCES 输出的数字是太大还是太小？

学习目标

示例\(\PageIndex{1}\): Converting Nonmetric Units to Metric

解决方案

练习\(\PageIndex{1}\)

示例\(\PageIndex{2}\): Converting between Metric Units

解决方案

练习\(\PageIndex{2}\)

练习\(\PageIndex{3}\)