9.8: 有理指数

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 使用以下命令简化表达式$a^{\frac{1}{n}}$
• 使用以下命令简化表达式$a^{\frac{m}{n}}$
• 使用指数定律来简化带有有理指数的表达式

做好准备

在开始之前，请参加这个准备测验。

1. 添加：$\frac{7}{15}+\frac{5}{12}$。
   如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
2. 简化：$(4x^{2}y^{5})^3$。
   如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
3. 简化：$5^{−3}$。
   如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。

使用以下命令简化表达式$a^{\frac{1}{n}}$

有理指数是用自由基写表达式的另一种方式。 当我们使用有理指数时，我们可以应用指数的属性来简化表达式。

指数的幂属性表示$(a^m)^n=a^{m·n}$当 m 和 n 是整数时。 假设我们现在不局限于整数。

假设我们想找到一个这样的数字 p$(8^p)^3=8$。 我们将使用指数的幂属性来求出 p 的值。

$$\begin{array}{cc} {}&{(8^p)^3=8}\\ {\text{Multiply the exponents on the left.}}&{8^{3p}=8}\\ {\text{Write the exponent 1 on the right.}}&{8^{3p}=8^1}\\ {\text{The exponents must be equal.}}&{3p=1}\\ {\text{Solve for p.}}&{p=\frac{1}{3}}\\ \nonumber \end{array}$$

但是我们也知道$(\sqrt[3]{8})^3=8$。 那一定是这样$8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}$

同样的逻辑可以用于任何正整数指数 n 来表示这一点$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$。

定义：有理指数$a^{\frac{1}{n}}$

如果$\sqrt[n]{a}$是实数$n \ge 2$，$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$.

有时候，如果你使用有理指数，处理表达式会更容易，而有时候使用基数会更容易。 在前几个示例中，您将练习在这两种符号之间转换表达式。

示例$\PageIndex{1}$

写成激进表达式：

1. $x^{\frac{1}{2}}$
2. $y^{\frac{1}{3}}$
3. $z^{\frac{1}{4}}$。

回答

我们想用表单写每个表达式$\sqrt[n]{a}$。

1。	$x^{\frac{1}{2}}$
指数的分母为 2，因此激进的索引为 2。 当索引为 2 时，我们不显示索引。	$\sqrt{x}$
2。	$y^{\frac{1}{3}}$
指数的分母为 3，因此索引为 3。	$\sqrt[3]{y}$
3。	$z^\frac{1}{4}}$
指数的分母为 4，因此索引为 4。	$\sqrt[4]{z}$

示例$\PageIndex{2}$

写成激进表达式：

1. $t^{\frac{1}{2}}$
2. $m^{\frac{1}{3}}$
3. $r^{\frac{1}{4}}$。

回答

1. $\sqrt{t}$
2. $\sqrt[3]{m}$
3. $\sqrt[4]{r}$

示例$\PageIndex{3}$

写成激进表达式：

1. $b^{\frac{1}{2}}$
2. $z^{\frac{1}{3}}$
3. $p^{\frac{1}{4}}$。

回答

1. $\sqrt{b}$
2. $\sqrt[3]{z}$
3. $\sqrt[4]{p}$

示例$\PageIndex{4}$

用有理指数书写：

1. $\sqrt{x}$
2. $\sqrt[3]{y}$
3. $\sqrt[4]{z}$。

回答

我们想用表格写下每个激进分子$a^{\frac{1}{n}}$。

1。	$\sqrt{x}$
未显示索引，因此为 2。 指数的分母将为 2。	$x^{\frac{1}{2}}$
2。	$\sqrt[3]{y}$
索引为 3，因此指数的分母为 3。	$y^{\frac{1}{3}}$
3。	$\sqrt[4]{z}$
索引为 4，因此指数的分母为 4。	$z^{\frac{1}{4}}$

示例$\PageIndex{5}$

用有理指数书写：

1. $\sqrt{s}$
2. $\sqrt[3]{x}$
3. $\sqrt[4]{b}$。

回答

1. $s^{\frac{1}{2}}$
2. $x^{\frac{1}{3}}$
3. \ (b^ {\ frac {1} {4}}\

示例$\PageIndex{6}$

用有理指数书写：

1. $\sqrt{v}$
2. $\sqrt[3]{p}$
3. $\sqrt[4]{p}$。

回答

1. $v^{\frac{1}{2}}$
2. $p^{\frac{1}{3}}$
3. $p^{\frac{1}{4}}$

示例$\PageIndex{7}$

用有理指数书写：

1. $\sqrt{5y}$
2. $\sqrt[3]{4x}$
3. $3\sqrt[4]{5z}$。

回答

1。	$\sqrt{5y}$
未显示索引，因此为 2。 指数的分母将为 2。	$(5y)^{\frac{1}{2}}$
2。	$\sqrt[3]{4x}$
索引为 3，因此指数的分母为 3。	$(4x)^{\frac{1}{3}}$
3。	$3\sqrt[4]{5z}$
索引为 4，因此指数的分母为 4。	$3(5z)^{\frac{1}{4}}$

示例$\PageIndex{8}$

用有理指数书写：

1. $\sqrt{10m}$
2. $\sqrt[5]{3n}$
3. $3\sqrt[4]{6y}$。

回答

1. $(10^m)^{\frac{1}{2}}$
2. $(3n)^{\frac{1}{5}}$
3. $(486y)^{\frac{1}{4}}$

示例$\PageIndex{9}$

用有理指数书写：

1. $\sqrt[7]{3k}$
2. $\sqrt[4]{5j}$
3. $\sqrt[3]{82a}$。

回答

1. $(3k)^{\frac{1}{7}}$
2. $(5j)^{\frac{1}{4}}$
3. $(1024a)^{\frac{1}{3}}$

在下一个示例中，如果先将表达式重写为激进表达式，可能会更容易简化它们。

示例$\PageIndex{10}$

简化：

1. $25^{\frac{1}{2}}$
2. $64^{\frac{1}{3}}$
3. $256^{\frac{1}{4}}$。

回答

1。	$25^{\frac{1}{2}}$
重写为平方根。	$\sqrt{25}$
简化。	5
2。	$64^{\frac{1}{3}}$
重写为立方根目录。	$\sqrt[3]{64}$
认识到 64 是一个完美的立方体。	$\sqrt[3]{4^3}$
简化。	4
3。	$256^{\frac{1}{4}}$
重写为第四个根。	$\sqrt[4]{256}$
认识到 256 是完美的第四次力量。	$\sqrt[4]{4^4}$
简化。	4

示例$\PageIndex{11}$

简化：

1. $36^{\frac{1}{2}}$
2. $8^{\frac{1}{3}}$
3. $16^{\frac{1}{4}}$。

回答

1. 6
2. 2
3. 2

示例$\PageIndex{12}$

简化：

1. $100^{\frac{1}{2}}$
2. $27^{\frac{1}{3}}$
3. $81^{\frac{1}{4}}$。

回答

1. 10
2. 3
3. 3

注意下一个示例中负号的位置。 $a^{−n}=\frac{1}{a^n}$在一种情况下，我们需要使用该属性。

示例$\PageIndex{13}$

简化：

1. $(−64)^{\frac{1}{3}}$
2. $−64^{\frac{1}{3}}$
3. $(64)^{−\frac{1}{3}}$。

回答

1。	$(−64)^{\frac{1}{3}}$
重写为立方根目录。	$\sqrt[3]{−64}$
将 64 重写为完美的立方体。	$\sqrt[3]{(−4)^3}$
简化。	−4
2。	$−64^{\frac{1}{3}}$
指数仅适用于 64。	$−(64^{\frac{1}{3}})$
重写为立方根目录。	$−\sqrt[3]{64}$
将 64 重写为$4^3$。	$−\sqrt[3]{4^3}$
简化。	−4
3。	$(64)^{−\frac{1}{3}}$
使用属性重写为带有正指数的分数$a^{−n}=\frac{1}{a^n}$. 以立方根形式写入。	$\frac{1}{\sqrt[3]{64}}$
将 64 重写为$4^3$。	$\frac{1}{\sqrt[3]{4^3}}$
简化。	$\frac{1}{4}$

示例$\PageIndex{14}$

简化：

1. $(−125)^{\frac{1}{3}}$
2. $−125^{\frac{1}{3}}$
3. $(125)^{−\frac{1}{3}}$。

回答

1. −5
2. −5
3. $\frac{1}{5}$

示例$\PageIndex{15}$

简化：

1. $(−32)^{\frac{1}{5}}$
2. $−32^{\frac{1}{5}}$
3. $(32)^{−\frac{1}{5}}$。

回答

1. −2
2. −2
3. $\frac{1}{2}$

示例$\PageIndex{16}$

简化：

1. $(−16)^{\frac{1}{4}}$
2. $−16^{\frac{1}{4}}$
3. $(16)^{−\frac{1}{4}}$。

回答

1。	$(−16)^{\frac{1}{4}}$
重写为第四个根。	$\sqrt[4]{−16}$
没有第四次幂为 −16 的实数。
2。	$−16^{\frac{1}{4}}$
指数仅适用于 16。	$−(16^{\frac{1}{4}})$
重写为第四个根。	$−\sqrt[4]{16}$
将 16 重写为$2^4$	$−\sqrt[4]{2^4}$
简化。	−2
3。	$(16)^{−\frac{1}{4}}$
使用属性重写为带有正指数的分数$a^{−n}=\frac{1}{a^n}$.	$\frac{1}{(16)^{\frac{1}{4}}}$
重写为第四个根。	$\frac{1}{\sqrt[4]{16}}$
将 16 重写为$2^4$。	$\frac{1}{\sqrt[4]{2^4}}$
简化。	$\frac{1}{2}$

示例$\PageIndex{17}$

简化：

1. $(−64)^{\frac{1}{2}}$
2. $−64^{\frac{1}{2}}$
3. $(64)^{−\frac{1}{2}}$。

回答

1. −8
2. −8
3. $\frac{1}{8}$

示例$\PageIndex{18}$

简化：

1. $(−256)^{\frac{1}{4}}$
2. $−256^{\frac{1}{4}}$
3. $(256)^{−\frac{1}{4}}$。

回答

1. −4
2. −4
3. $\frac{1}{4}$

使用以下命令简化表达式$a^{\frac{m}{n}}$

让我们再来研究一下指数的功率属性。

假设我们提高$a^{\frac{1}{n}}$到 m 的次方。

$$\begin{array}{ll} {}&{(a^{\frac{1}{n}})^m}\\ {\text{Multiply the exponents.}}&{a^{\frac{1}{n}·m}}\\ {\text{Simplify.}}&{a^{\frac{m}{n}}}\\ {\text{So} a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m \text{also.}}&{}\\ \nonumber \end{array}$$

现在假设我们掌握了$a^m$权$\frac{1}{n}$力。

$$\begin{array}{ll} {}&{(a^m)^{\frac{1}{n}}}\\ {\text{Multiply the exponents.}}&{a^{m·\frac{1}{n}}}\\ {\text{Simplify.}}&{a^{\frac{m}{n}}}\\ {\text{So} a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} \text{also.}}&{}\\ \nonumber \end{array}$$

我们使用哪种形式来简化表达式？ 我们通常先扎根，这样我们就可以将数字保持在激进数中，然后更小。

定义：有理指数$a^{\frac{m}{n}}$

对于任何正整数 m 和 n，

$a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m$

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

示例$\PageIndex{19}$

用有理指数书写：

1. $\sqrt{y^3}$
2. $\sqrt[3]{x^2}$
3. $\sqrt[4]{z^3}$

回答

我们$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$想用这个形式写每个部首$a^{\frac{m}{n}}$。

1. 
2. 
3. 

示例$\PageIndex{20}$

用有理指数书写：

1. $\sqrt{x^5}$
2. $\sqrt[4]{z^3}$
3. $\sqrt[5]{y^2}$。

回答

1. $x^{\frac{5}{2}}$
2. $z^{\frac{3}{4}}$
3. $y^{\frac{2}{5}}$

示例$\PageIndex{21}$

用有理指数书写：

1. $\sqrt[5]{a^2}$
2. $\sqrt[3]{b^7}$
3. $\sqrt[4]{m^5}$。

回答

1. $a^{\frac{2}{5}}$
2. $b^{\frac{7}{3}}$
3. $m^{\frac{5}{4}}$

示例$\PageIndex{22}$

简化：

1. $9^{\frac{3}{2}}$
2. $125^{\frac{2}{3}}$
3. $81^{\frac{3}{4}}$。

回答

我们将首先使用属性将每个表达式重写为激进表达式$a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m$。 这种形式允许我们先取根，因此我们将 radicand 中的数字保持在比使用另一种形式时要小。

1。	$9^{\frac{3}{2}}$
激进的幂是指数 3 的分子。 由于指数的分母为 2，因此这是一个平方根。	$(\sqrt{9})^3$
简化。	$3^3$
	27
2。	$125^{\frac{2}{3}}$
激进的幂是指数 2 的分子。 由于指数的分母为 3，因此这是一个平方根。	$(\sqrt[3]{125})^2$
简化。	$5^2$
	25
3。	$81^{\frac{3}{4}}$
激进的幂是指数 2 的分子。 由于指数的分母为 3，因此这是一个平方根。	$(\sqrt[4]{81})^3$
简化。	$3^3$
	27

示例$\PageIndex{23}$

简化：

1. $4^{\frac{3}{2}}$
2. $27^{\frac{2}{3}}$
3. $625^{\frac{3}{4}}$。

回答

1. 8
2. 9
3. 125

示例$\PageIndex{24}$

简化：

1. $8^{\frac{5}{3}}$
2. $81^{\frac{3}{2}}$
3. $16^{\frac{3}{4}}$。

回答

1. 32
2. 729
3. 8

记住这一点$b^{−p}=\frac{1}{b^p}$。 指数中的负号不会改变表达式的符号。

示例$\PageIndex{25}$

简化：

1. $16^{−\frac{3}{2}}$
2. $32^{−\frac{2}{5}}$
3. $4^{−\frac{5}{2}}$

回答

我们将首先使用重写每个表达式，$b^{−p}=\frac{1}{b^p}$ 然后更改为激进形式。

1。	$16^{−\frac{3}{2}}$
使用重写$b^{−p}=\frac{1}{b^p}$.	$\frac{1}{16^{\frac{3}{2}}}$
改为激进形式。 激进的幂是指数 3 的分子。 索引是指数 2 的分母。	$\frac{1}{(\sqrt{16})^3}$
简化。	$\frac{1}{4^3}$
	$\frac{1}{64}$
2。	$32^{−\frac{2}{5}}$
使用重写$b^{−p}=\frac{1}{b^p}$.	$\frac{1}{32^{\frac{2}{5}}}$
改为激进形式。	$\frac{1}{(\sqrt[5]{32})^2}$
将激进分子改写为力量。	$\frac{1}{(\sqrt[5]{2^5})^2}$
简化。	$\frac{1}{2^2}$
	$\frac{1}{4}$
3。	$4^{−\frac{5}{2}}$
使用重写$b^{−p}=\frac{1}{b^p}$.	$\frac{1}{4^{\frac{5}{2}}}$
改为激进形式。	$\frac{1}{(\sqrt{4})^5}$
简化。	$\frac{1}{2^5}$
	$\frac{1}{32}$

示例$\PageIndex{26}$

简化：

1. $8^{−\frac{5}{3}}$8
2. $81^{−\frac{3}{2}}$
3. $16^{−\frac{3}{4}}$。

回答

1. $\frac{1}{32}$
2. $\frac{1}{729}$
3. $\frac{1}{8}$

示例$\PageIndex{27}$

简化：

1. $4^{−\frac{3}{2}}$
2. $27^{−\frac{2}{3}}$
3. $625^{−\frac{3}{4}}$。

回答

1. $\frac{1}{8}$
2. $\frac{1}{9}$
3. $\frac{1}{125}$

示例$\PageIndex{28}$

简化：

1. $−25^{\frac{3}{2}}$
2. $−25^{−\frac{3}{2}}$
3. $(−25)^{\frac{3}{2}}$。

回答

1。	$−25^{\frac{3}{2}}$
以激进的形式重写。	$−(\sqrt{25})^3$
简化激进	$−5^3$
简化。	−125
2。	$−25^{−\frac{3}{2}}$
使用重写$b^{−p}=\frac{1}{b^p}$.	$−(\frac{1}{25^{\frac{3}{2}}})$
以激进的形式重写。	$−(\frac{1}{(\sqrt{25})^3})$
简化激进。	$−(\frac{1}{5^3})$
简化。	$−\frac{1}{125}$
3。	$(−25)^{\frac{3}{2}}$。
以激进的形式重写。	$(\sqrt{−25})^3$
没有平方根为 −25 的实数。	不是实数。

示例$\PageIndex{29}$

简化：

1. $−16^{\frac{3}{2}}$
2. $−16^{−\frac{3}{2}}$
3. $(−16)^{−\frac{3}{2}}$。

回答

1. −64
2. $−\frac{1}{64}$
3. 不是实数

示例$\PageIndex{30}$

简化：

1. $−81^{\frac{3}{2}}$
2. $−81^{−\frac{3}{2}}$
3. $(−81)^{−\frac{3}{2}}$。

回答

1. −729
2. $−\frac{1}{729}$
3. 不是实数

使用指数定律简化带有有理指数的表达式

我们已经使用的指数定律也适用于有理指数。 我们将在此处列出指数属性，以供我们在简化表达式时参考。

指数属性的摘要

如果 a, b 是实数，m, n 是有理数，那么

$$\begin{array}{ll} {\textbf{Product Property}}&{a^m·a^n=a^{m+n}}\\ {\textbf{Power Property}}&{(a^m)^n=a^{m·n}}\\ {\textbf{Product to a Power}}&{(ab)^m=a^{m}b^{m}}\\ {\textbf{Quotient Property}}&{\frac{a^m}{a^n}=a^{m−n} , a \ne 0, m>n}\\ {}&{\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{a^{n−m}}, a \ne 0, n>m}\\ {\textbf{Zero Exponent Definition}}&{a^0=1, a \ne 0}\\ {\textbf{Quotient to a Power Property}}&{(\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m}, b \ne 0}\\ \nonumber \end{array}$$

当我们乘以相同的基数时，我们将指数相加。

示例$\PageIndex{31}$

简化：

1. $2^{\frac{1}{2}}·2^{\frac{5}{2}}$
2. $x^{\frac{2}{3}}·x^{\frac{4}{3}}$
3. $z^{\frac{3}{4}}·z^{\frac{5}{4}}$。

回答

1。	$2^{\frac{1}{2}}·2^{\frac{5}{2}}$
基数是相同的，所以我们添加指数。	$2^{\frac{1}{2}+\frac{5}{2}}$
添加分数。	$2^{\frac{6}{2}}$
简化指数。	$2^3$
简化。	8
2。	$x^{\frac{2}{3}}·x^{\frac{4}{3}}$
基数是相同的，所以我们添加指数。	$x^{\frac{2}{3}+\frac{4}{3}}$
添加分数。	$x^{\frac{6}{3}}$
简化。	$x^2$
3。	$z^{\frac{3}{4}}·z^{\frac{5}{4}}$
基数是相同的，所以我们添加指数。	$z^{\frac{3}{4}+\frac{5}{4}}$
添加分数。	$z^{\frac{8}{4}}$
简化。	$z^2$

示例$\PageIndex{32}$

简化：

1. $3^{\frac{2}{3}}·3^{\frac{4}{3}}$
2. $y^{\frac{1}{3}}·y^{\frac{8}{3}}$
3. $m^{\frac{1}{4}}·m^{\frac{3}{4}}$。

回答

1. 9
2. $y^3$
3. m

示例$\PageIndex{33}$

简化：

1. $5^{\frac{3}{5}}·5^{\frac{7}{5}}$
2. $z^{\frac{1}{8}}·z^{\frac{7}{8}}$
3. $n^{\frac{2}{7}}·n^{\frac{5}{7}}$。

回答

1. 25
2. z
3. n

我们将在下一个示例中使用 Power 属性。

示例$\PageIndex{34}$

简化：

1. $(x^4)^{\frac{1}{2}}$
2. $(y^6)^{\frac{1}{3}}$
3. $(z^9)^{\frac{2}{3}}$。

回答

1。	$(x^4)^{\frac{1}{2}}$
要将一个幂提高到一个乘方，我们将指数相乘。	$x^{4·\frac{1}{2}}$
简化。	$x^2$
2。	$(y^6)^{\frac{1}{3}}$
要将一个幂提高到一个乘方，我们将指数相乘。	$y^{6·\frac{1}{3}}$
简化。	$y^2$
3。	$(z^9)^{\frac{2}{3}}$
要将一个幂提高到一个乘方，我们将指数相乘。	$z^{9·\frac{2}{3}}$
简化。	$z^6$

示例$\PageIndex{35}$

简化：

1. $(p^{10})^{\frac{1}{5}}$
2. $(q^8)^{\frac{3}{4}}$
3. $(x^6)^{\frac{4}{3}}$

回答

1. $p^$
2. $q^6$
3. $x^8$

示例$\PageIndex{36}$

简化：

1. $(r^6)^{\frac{5}{3}}$
2. $(s^{12})^{\frac{3}{4}}$
3. $(m^9)^{\frac{2}{9}}$

回答

1. $r^{10}$
2. $s^9$
3. $m^2$

Quotient Property 告诉我们，当我们用相同的基数除法时，我们减去指数。

示例$\PageIndex{37}$

简化：

1. $\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$
2. $\frac{y^{\frac{3}{4}}}{y^{\frac{1}{4}}}$
3. $\frac{z^{\frac{2}{3}}}{z^{\frac{5}{3}}}$。

回答

1。	$\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$
要用相同的基数除法，我们减去指数。	$x^{\frac{4}{3}−\frac{1}{3}}$
简化。	x
2。	$\frac{y^{\frac{3}{4}}}{y^{\frac{1}{4}}}$
要用相同的基数除法，我们减去指数。	$y^{\frac{3}{4}−\frac{1}{4}}$
简化。	$y^{\frac{1}{2}}$
3。	$\frac{z^{\frac{2}{3}}}{z^{\frac{5}{3}}}$
要用相同的基数除法，我们减去指数。	$z^{\frac{2}{3}−\frac{5}{3}}$
重写时不使用负指数。	$\frac{1}{z}$

示例$\PageIndex{38}$

简化：

1. $\frac{u^{\frac{5}{4}}}{u^{\frac{1}{4}}}$
2. $\frac{v^{\frac{3}{5}}}{v^{\frac{2}{5}}}$
3. $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}$。

回答

1. 你好
2. $v^{\frac{1}{5}}$
3. $\frac{1}{x}$

示例$\PageIndex{39}$

简化：

1. $\frac{c^{\frac{12}{5}}}{c^{\frac{2}{5}}}$
2. $\frac{m^{\frac{5}{4}}}{m^{\frac{9}{4}}}$
3. $\frac{d^{\frac{1}{5}}}{d^{\frac{6}{5}}}$。

回答

1. $c^2$
2. $\frac{1}{m}$
3. $\frac{1}{d}$

有时我们需要使用多个属性。 在接下来的两个示例中，我们将使用乘积到功率属性，然后使用功率属性。

示例$\PageIndex{40}$

简化：

1. $(27u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}$
2. $(8v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}$。

回答

1。	$(27u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}$
首先，我们将产品用于功率属性。	$(27)^{\frac{2}{3}}(u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}$
将 27 重写为 3 的幂次方。	$(3^3)^{\frac{2}{3}}(u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}$
要将一个幂提高到一个乘方，我们将指数相乘。	$(3^2)(u^{\frac{1}{3}})$
简化。	$9u^{\frac{1}{3}}$
2。	$(8v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}$。
首先，我们将产品用于功率属性。	$(8)^{\frac{2}{3}}(v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}$
将 8 重写为 2 的幂次方。	$(2^3)^{\frac{2}{3}}(v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}$
要将一个幂提高到一个乘方，我们将指数相乘。	$(2^2)(v^{\frac{1}{6}})$
简化。	$4v^{\frac{1}{6}}$

示例$\PageIndex{41}$

简化：

1. $32x^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{5}}$
2. $(64y^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{3}}$。

回答

1. $8x^{\frac{1}{5}}$
2. $4y^{\frac{2}{9}}$

示例$\PageIndex{42}$

简化：

1. $(16m^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{2}}$
2. $(81n^{\frac{2}{5}})^{\frac{3}{2}}$。

回答

1. $64m^{\frac{1}{2}}$
2. $729n^{\frac{3}{5}}$

示例$\PageIndex{43}$

简化：

1. $(m^{3}n^{9})^{\frac{1}{3}}$
2. $(p^{4}q^{8})^{\frac{1}{4}}$。

回答

1。	$(m^{3}n^{9})^{\frac{1}{3}}$
首先，我们将产品用于功率属性。	$(m^{3})^{\frac{1}{3}}(n^{9})^{\frac{1}{3}}$
要将一个幂提高到一个乘方，我们将指数相乘。	$mn^3$
2。	$(p^{4}q^{8})^{\frac{1}{4}}$
首先，我们将产品用于功率属性。	$(p^{4})^{\frac{1}{4}}(q^{8})^{\frac{1}{4}}$
要将一个幂提高到一个乘方，我们将指数相乘。	$pq^2$

在@@ 下一个示例中，我们将同时使用乘积和商数属性。

练习$\PageIndex{44}$

简化：

1. $\frac{x^{\frac{3}{4}}·x^{−\frac{1}{4}}}{x^{−\frac{6}{4}}}$
2. $\frac{y^{\frac{4}{3}}·y}{y^{−\frac{2}{3}}}$。

回答

1。	$\frac{x^{\frac{3}{4}}·x^{−\frac{1}{4}}}{x^{−\frac{6}{4}}}$
在分子中使用乘积属性，将指数相加。	$\frac{x^{\frac{2}{4}}}{x^{−\frac{6}{4}}}$
使用商属性，减去指数。	$x^{\frac{8}{4}}$
简化。	$x^2$
2。	$\frac{y^{\frac{4}{3}}·y}{y^{−\frac{2}{3}}}$
在分子中使用乘积属性，将指数相加。	$\frac{y^{\frac{7}{3}}}{y^{−\frac{2}{3}}}$
使用商属性，减去指数。	$y^{\frac{9}{3}}$
简化。	$y^3$

示例$\PageIndex{45}$

简化：

1. $\frac{m^{\frac{2}{3}}·m^{−\frac{1}{3}}}{m^{−\frac{5}{3}}}$
2. $\frac{n^{\frac{1}{6}}·n}{n^{−\frac{11}{6}}}$。

回答

1. $m^2$
2. $n^3$

示例$\PageIndex{46}$

简化：

1. $\frac{u^{\frac{4}{5}}·u^{−\frac{2}{5}}}{u^{−\frac{13}{5}}}$
2. $\frac{v^{\frac{1}{2}}·v}{v^{−\frac{7}{2}}}$。

回答

1. $u^3$
2. $v^5$

关键概念

• 指数属性摘要
• 如果 a, b 是实数，m, n 是有理数，那么
  • 产品属性$a^m·a^n=a^{m+n}$
  • 功率财产$(a^m)^n=a^{m·n}$
  • 从产品到力量$(ab)^m=a^{m}b^{m}$
  • 商数属性：

    $\frac{a^m}{a^n}=a^{m−n} , a \ne 0, m>n$

    $\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{a^{n−m}}, a \ne 0, n>m$

  • 零指数定义$a^0=1, a \ne 0$
  • 商到幂属性$(\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m}, b \ne 0$

词汇表

有理指数

• 如果$\sqrt[n]{a}$是实数$n \ge 2$，$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$
• 对于任何正整数 m 和 n，$a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m$以及$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$