9.8: 有理指数
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- 204370
在本节结束时，您将能够：
- 使用以下命令简化表达式\(a^{\frac{1}{n}}\)
- 使用以下命令简化表达式\(a^{\frac{m}{n}}\)
- 使用指数定律来简化带有有理指数的表达式
使用以下命令简化表达式\(a^{\frac{1}{n}}\)
有理指数是用自由基写表达式的另一种方式。 当我们使用有理指数时，我们可以应用指数的属性来简化表达式。
指数的幂属性表示\((a^m)^n=a^{m·n}\)当 m 和 n 是整数时。 假设我们现在不局限于整数。
假设我们想找到一个这样的数字 p\((8^p)^3=8\)。 我们将使用指数的幂属性来求出 p 的值。
\[\begin{array}{cc} {}&{(8^p)^3=8}\\ {\text{Multiply the exponents on the left.}}&{8^{3p}=8}\\ {\text{Write the exponent 1 on the right.}}&{8^{3p}=8^1}\\ {\text{The exponents must be equal.}}&{3p=1}\\ {\text{Solve for p.}}&{p=\frac{1}{3}}\\ \nonumber \end{array}\]
但是我们也知道\((\sqrt[3]{8})^3=8\)。 那一定是这样\(8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}\)
同样的逻辑可以用于任何正整数指数 n 来表示这一点\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)。
如果\(\sqrt[n]{a}\)是实数\(n \ge 2\)，\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\).
有时候，如果你使用有理指数，处理表达式会更容易，而有时候使用基数会更容易。 在前几个示例中，您将练习在这两种符号之间转换表达式。
写成激进表达式：
- \(x^{\frac{1}{2}}\)
- \(y^{\frac{1}{3}}\)
- \(z^{\frac{1}{4}}\)。
- 回答
-
我们想用表单写每个表达式\(\sqrt[n]{a}\)。
1。 \(x^{\frac{1}{2}}\) 指数的分母为 2，因此激进的索引为 2。 当索引为 2 时，我们不显示索引。 \(\sqrt{x}\) 2。 \(y^{\frac{1}{3}}\) 指数的分母为 3，因此索引为 3。 \(\sqrt[3]{y}\) 3。 \(z^\frac{1}{4}}\) 指数的分母为 4，因此索引为 4。 \(\sqrt[4]{z}\)
写成激进表达式：
- \(t^{\frac{1}{2}}\)
- \(m^{\frac{1}{3}}\)
- \(r^{\frac{1}{4}}\)。
- 回答
-
- \(\sqrt{t}\)
- \(\sqrt[3]{m}\)
- \(\sqrt[4]{r}\)
写成激进表达式：
- \(b^{\frac{1}{2}}\)
- \(z^{\frac{1}{3}}\)
- \(p^{\frac{1}{4}}\)。
- 回答
-
- \(\sqrt{b}\)
- \(\sqrt[3]{z}\)
- \(\sqrt[4]{p}\)
用有理指数书写：
- \(\sqrt{x}\)
- \(\sqrt[3]{y}\)
- \(\sqrt[4]{z}\)。
- 回答
-
我们想用表格写下每个激进分子\(a^{\frac{1}{n}}\)。
1。 \(\sqrt{x}\) 未显示索引，因此为 2。 指数的分母将为 2。 \(x^{\frac{1}{2}}\) 2。 \(\sqrt[3]{y}\) 索引为 3，因此指数的分母为 3。 \(y^{\frac{1}{3}}\) 3。 \(\sqrt[4]{z}\) 索引为 4，因此指数的分母为 4。 \(z^{\frac{1}{4}}\)
用有理指数书写：
- \(\sqrt{s}\)
- \(\sqrt[3]{x}\)
- \(\sqrt[4]{b}\)。
- 回答
-
- \(s^{\frac{1}{2}}\)
- \(x^{\frac{1}{3}}\)
- \ (b^ {\ frac {1} {4}}\
用有理指数书写：
- \(\sqrt{v}\)
- \(\sqrt[3]{p}\)
- \(\sqrt[4]{p}\)。
- 回答
-
- \(v^{\frac{1}{2}}\)
- \(p^{\frac{1}{3}}\)
- \(p^{\frac{1}{4}}\)
用有理指数书写：
- \(\sqrt{5y}\)
- \(\sqrt[3]{4x}\)
- \(3\sqrt[4]{5z}\)。
- 回答
-
1。 \(\sqrt{5y}\) 未显示索引，因此为 2。 指数的分母将为 2。 \((5y)^{\frac{1}{2}}\) 2。 \(\sqrt[3]{4x}\) 索引为 3，因此指数的分母为 3。 \((4x)^{\frac{1}{3}}\) 3。 \(3\sqrt[4]{5z}\) 索引为 4，因此指数的分母为 4。 \(3(5z)^{\frac{1}{4}}\)
用有理指数书写：
- \(\sqrt{10m}\)
- \(\sqrt[5]{3n}\)
- \(3\sqrt[4]{6y}\)。
- 回答
-
- \((10^m)^{\frac{1}{2}}\)
- \((3n)^{\frac{1}{5}}\)
- \((486y)^{\frac{1}{4}}\)
用有理指数书写：
- \(\sqrt[7]{3k}\)
- \(\sqrt[4]{5j}\)
- \(\sqrt[3]{82a}\)。
- 回答
-
- \((3k)^{\frac{1}{7}}\)
- \((5j)^{\frac{1}{4}}\)
- \((1024a)^{\frac{1}{3}}\)
在下一个示例中，如果先将表达式重写为激进表达式，可能会更容易简化它们。
简化：
- \(25^{\frac{1}{2}}\)
- \(64^{\frac{1}{3}}\)
- \(256^{\frac{1}{4}}\)。
- 回答
-
1。 \(25^{\frac{1}{2}}\) 重写为平方根。 \(\sqrt{25}\) 简化。 5 2。 \(64^{\frac{1}{3}}\) 重写为立方根目录。 \(\sqrt[3]{64}\) 认识到 64 是一个完美的立方体。 \(\sqrt[3]{4^3}\) 简化。 4 3。 \(256^{\frac{1}{4}}\) 重写为第四个根。 \(\sqrt[4]{256}\) 认识到 256 是完美的第四次力量。 \(\sqrt[4]{4^4}\) 简化。 4
简化：
- \(36^{\frac{1}{2}}\)
- \(8^{\frac{1}{3}}\)
- \(16^{\frac{1}{4}}\)。
- 回答
-
- 6
- 2
- 2
简化：
- \(100^{\frac{1}{2}}\)
- \(27^{\frac{1}{3}}\)
- \(81^{\frac{1}{4}}\)。
- 回答
-
- 10
- 3
- 3
注意下一个示例中负号的位置。 \(a^{−n}=\frac{1}{a^n}\)在一种情况下，我们需要使用该属性。
简化：
- \((−64)^{\frac{1}{3}}\)
- \(−64^{\frac{1}{3}}\)
- \((64)^{−\frac{1}{3}}\)。
- 回答
-
1。 \((−64)^{\frac{1}{3}}\) 重写为立方根目录。 \(\sqrt[3]{−64}\) 将 64 重写为完美的立方体。 \(\sqrt[3]{(−4)^3}\) 简化。 −4 2。 \(−64^{\frac{1}{3}}\) 指数仅适用于 64。 \(−(64^{\frac{1}{3}})\) 重写为立方根目录。 \(−\sqrt[3]{64}\) 将 64 重写为\(4^3\)。 \(−\sqrt[3]{4^3}\) 简化。 −4 3。 \((64)^{−\frac{1}{3}}\) 使用属性重写为带有正指数的分数\(a^{−n}=\frac{1}{a^n}\).
以立方根形式写入。
\(\frac{1}{\sqrt[3]{64}}\) 将 64 重写为\(4^3\)。 \(\frac{1}{\sqrt[3]{4^3}}\) 简化。 \(\frac{1}{4}\)
简化：
- \((−125)^{\frac{1}{3}}\)
- \(−125^{\frac{1}{3}}\)
- \((125)^{−\frac{1}{3}}\)。
- 回答
-
- −5
- −5
- \(\frac{1}{5}\)
简化：
- \((−32)^{\frac{1}{5}}\)
- \(−32^{\frac{1}{5}}\)
- \((32)^{−\frac{1}{5}}\)。
- 回答
-
- −2
- −2
- \(\frac{1}{2}\)
简化：
- \((−16)^{\frac{1}{4}}\)
- \(−16^{\frac{1}{4}}\)
- \((16)^{−\frac{1}{4}}\)。
- 回答
-
1。 \((−16)^{\frac{1}{4}}\) 重写为第四个根。 \(\sqrt[4]{−16}\) 没有第四次幂为 −16 的实数。 2。 \(−16^{\frac{1}{4}}\) 指数仅适用于 16。 \(−(16^{\frac{1}{4}})\) 重写为第四个根。 \(−\sqrt[4]{16}\) 将 16 重写为\(2^4\) \(−\sqrt[4]{2^4}\) 简化。 −2 3。 \((16)^{−\frac{1}{4}}\) 使用属性重写为带有正指数的分数\(a^{−n}=\frac{1}{a^n}\).
\(\frac{1}{(16)^{\frac{1}{4}}}\) 重写为第四个根。 \(\frac{1}{\sqrt[4]{16}}\) 将 16 重写为\(2^4\)。 \(\frac{1}{\sqrt[4]{2^4}}\) 简化。 \(\frac{1}{2}\)
简化：
- \((−64)^{\frac{1}{2}}\)
- \(−64^{\frac{1}{2}}\)
- \((64)^{−\frac{1}{2}}\)。
- 回答
-
- −8
- −8
- \(\frac{1}{8}\)
简化：
- \((−256)^{\frac{1}{4}}\)
- \(−256^{\frac{1}{4}}\)
- \((256)^{−\frac{1}{4}}\)。
- 回答
-
- −4
- −4
- \(\frac{1}{4}\)
使用以下命令简化表达式\(a^{\frac{m}{n}}\)
让我们再来研究一下指数的功率属性。
假设我们提高\(a^{\frac{1}{n}}\)到 m 的次方。
\[\begin{array}{ll} {}&{(a^{\frac{1}{n}})^m}\\ {\text{Multiply the exponents.}}&{a^{\frac{1}{n}·m}}\\ {\text{Simplify.}}&{a^{\frac{m}{n}}}\\ {\text{So} a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m \text{also.}}&{}\\ \nonumber \end{array}\]
现在假设我们掌握了\(a^m\)权\(\frac{1}{n}\)力。
\[\begin{array}{ll} {}&{(a^m)^{\frac{1}{n}}}\\ {\text{Multiply the exponents.}}&{a^{m·\frac{1}{n}}}\\ {\text{Simplify.}}&{a^{\frac{m}{n}}}\\ {\text{So} a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} \text{also.}}&{}\\ \nonumber \end{array}\]
我们使用哪种形式来简化表达式？ 我们通常先扎根，这样我们就可以将数字保持在激进数中，然后更小。
对于任何正整数 m 和 n，
\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m\)
\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)
用有理指数书写：
- \(\sqrt{y^3}\)
- \(\sqrt[3]{x^2}\)
- \(\sqrt[4]{z^3}\)
- 回答
-
我们\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)想用这个形式写每个部首\(a^{\frac{m}{n}}\)。
用有理指数书写：
- \(\sqrt{x^5}\)
- \(\sqrt[4]{z^3}\)
- \(\sqrt[5]{y^2}\)。
- 回答
-
- \(x^{\frac{5}{2}}\)
- \(z^{\frac{3}{4}}\)
- \(y^{\frac{2}{5}}\)
用有理指数书写：
- \(\sqrt[5]{a^2}\)
- \(\sqrt[3]{b^7}\)
- \(\sqrt[4]{m^5}\)。
- 回答
-
- \(a^{\frac{2}{5}}\)
- \(b^{\frac{7}{3}}\)
- \(m^{\frac{5}{4}}\)
简化：
- \(9^{\frac{3}{2}}\)
- \(125^{\frac{2}{3}}\)
- \(81^{\frac{3}{4}}\)。
- 回答
-
我们将首先使用属性将每个表达式重写为激进表达式\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m\)。 这种形式允许我们先取根，因此我们将 radicand 中的数字保持在比使用另一种形式时要小。
1。 \(9^{\frac{3}{2}}\) 激进的幂是指数 3 的分子。 由于指数的分母为 2，因此这是一个平方根。 \((\sqrt{9})^3\) 简化。 \(3^3\) 27 2。 \(125^{\frac{2}{3}}\) 激进的幂是指数 2 的分子。 由于指数的分母为 3，因此这是一个平方根。 \((\sqrt[3]{125})^2\) 简化。 \(5^2\) 25 3。 \(81^{\frac{3}{4}}\) 激进的幂是指数 2 的分子。 由于指数的分母为 3，因此这是一个平方根。 \((\sqrt[4]{81})^3\) 简化。 \(3^3\) 27
简化：
- \(4^{\frac{3}{2}}\)
- \(27^{\frac{2}{3}}\)
- \(625^{\frac{3}{4}}\)。
- 回答
-
- 8
- 9
- 125
简化：
- \(8^{\frac{5}{3}}\)
- \(81^{\frac{3}{2}}\)
- \(16^{\frac{3}{4}}\)。
- 回答
-
- 32
- 729
- 8
记住这一点\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\)。 指数中的负号不会改变表达式的符号。
简化：
- \(16^{−\frac{3}{2}}\)
- \(32^{−\frac{2}{5}}\)
- \(4^{−\frac{5}{2}}\)
- 回答
-
我们将首先使用重写每个表达式，\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\) 然后更改为激进形式。
1。 \(16^{−\frac{3}{2}}\) 使用重写\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). \(\frac{1}{16^{\frac{3}{2}}}\) 改为激进形式。 激进的幂是指数 3 的分子。 索引是指数 2 的分母。 \(\frac{1}{(\sqrt{16})^3}\) 简化。 \(\frac{1}{4^3}\) \(\frac{1}{64}\) 2。 \(32^{−\frac{2}{5}}\) 使用重写\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). \(\frac{1}{32^{\frac{2}{5}}}\) 改为激进形式。 \(\frac{1}{(\sqrt[5]{32})^2}\) 将激进分子改写为力量。 \(\frac{1}{(\sqrt[5]{2^5})^2}\) 简化。 \(\frac{1}{2^2}\) \(\frac{1}{4}\) 3。 \(4^{−\frac{5}{2}}\) 使用重写\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). \(\frac{1}{4^{\frac{5}{2}}}\) 改为激进形式。 \(\frac{1}{(\sqrt{4})^5}\) 简化。 \(\frac{1}{2^5}\) \(\frac{1}{32}\)
简化：
- \(8^{−\frac{5}{3}}\)8
- \(81^{−\frac{3}{2}}\)
- \(16^{−\frac{3}{4}}\)。
- 回答
-
- \(\frac{1}{32}\)
- \(\frac{1}{729}\)
- \(\frac{1}{8}\)
简化：
- \(4^{−\frac{3}{2}}\)
- \(27^{−\frac{2}{3}}\)
- \(625^{−\frac{3}{4}}\)。
- 回答
-
- \(\frac{1}{8}\)
- \(\frac{1}{9}\)
- \(\frac{1}{125}\)
简化：
- \(−25^{\frac{3}{2}}\)
- \(−25^{−\frac{3}{2}}\)
- \((−25)^{\frac{3}{2}}\)。
- 回答
-
1。 \(−25^{\frac{3}{2}}\) 以激进的形式重写。 \(−(\sqrt{25})^3\) 简化激进 \(−5^3\) 简化。 −125 2。 \(−25^{−\frac{3}{2}}\) 使用重写\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). \(−(\frac{1}{25^{\frac{3}{2}}})\) 以激进的形式重写。 \(−(\frac{1}{(\sqrt{25})^3})\) 简化激进。 \(−(\frac{1}{5^3})\) 简化。 \(−\frac{1}{125}\) 3。 \((−25)^{\frac{3}{2}}\)。 以激进的形式重写。 \((\sqrt{−25})^3\) 没有平方根为 −25 的实数。 不是实数。
简化：
- \(−16^{\frac{3}{2}}\)
- \(−16^{−\frac{3}{2}}\)
- \((−16)^{−\frac{3}{2}}\)。
- 回答
-
- −64
- \(−\frac{1}{64}\)
- 不是实数
简化：
- \(−81^{\frac{3}{2}}\)
- \(−81^{−\frac{3}{2}}\)
- \((−81)^{−\frac{3}{2}}\)。
- 回答
-
- −729
- \(−\frac{1}{729}\)
- 不是实数
使用指数定律简化带有有理指数的表达式
我们已经使用的指数定律也适用于有理指数。 我们将在此处列出指数属性，以供我们在简化表达式时参考。
如果 a, b 是实数，m, n 是有理数，那么
\[\begin{array}{ll} {\textbf{Product Property}}&{a^m·a^n=a^{m+n}}\\ {\textbf{Power Property}}&{(a^m)^n=a^{m·n}}\\ {\textbf{Product to a Power}}&{(ab)^m=a^{m}b^{m}}\\ {\textbf{Quotient Property}}&{\frac{a^m}{a^n}=a^{m−n} , a \ne 0, m>n}\\ {}&{\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{a^{n−m}}, a \ne 0, n>m}\\ {\textbf{Zero Exponent Definition}}&{a^0=1, a \ne 0}\\ {\textbf{Quotient to a Power Property}}&{(\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m}, b \ne 0}\\ \nonumber \end{array}\]
当我们乘以相同的基数时，我们将指数相加。
简化：
- \(2^{\frac{1}{2}}·2^{\frac{5}{2}}\)
- \(x^{\frac{2}{3}}·x^{\frac{4}{3}}\)
- \(z^{\frac{3}{4}}·z^{\frac{5}{4}}\)。
- 回答
-
1。 \(2^{\frac{1}{2}}·2^{\frac{5}{2}}\) 基数是相同的，所以我们添加指数。 \(2^{\frac{1}{2}+\frac{5}{2}}\) 添加分数。 \(2^{\frac{6}{2}}\) 简化指数。 \(2^3\) 简化。 8 2。 \(x^{\frac{2}{3}}·x^{\frac{4}{3}}\) 基数是相同的，所以我们添加指数。 \(x^{\frac{2}{3}+\frac{4}{3}}\) 添加分数。 \(x^{\frac{6}{3}}\) 简化。 \(x^2\) 3。 \(z^{\frac{3}{4}}·z^{\frac{5}{4}}\) 基数是相同的，所以我们添加指数。 \(z^{\frac{3}{4}+\frac{5}{4}}\) 添加分数。 \(z^{\frac{8}{4}}\) 简化。 \(z^2\)
简化：
- \(3^{\frac{2}{3}}·3^{\frac{4}{3}}\)
- \(y^{\frac{1}{3}}·y^{\frac{8}{3}}\)
- \(m^{\frac{1}{4}}·m^{\frac{3}{4}}\)。
- 回答
-
- 9
- \(y^3\)
- m
简化：
- \(5^{\frac{3}{5}}·5^{\frac{7}{5}}\)
- \(z^{\frac{1}{8}}·z^{\frac{7}{8}}\)
- \(n^{\frac{2}{7}}·n^{\frac{5}{7}}\)。
- 回答
-
- 25
- z
- n
我们将在下一个示例中使用 Power 属性。
简化：
- \((x^4)^{\frac{1}{2}}\)
- \((y^6)^{\frac{1}{3}}\)
- \((z^9)^{\frac{2}{3}}\)。
- 回答
-
1。 \((x^4)^{\frac{1}{2}}\) 要将一个幂提高到一个乘方，我们将指数相乘。 \(x^{4·\frac{1}{2}}\) 简化。 \(x^2\) 2。 \((y^6)^{\frac{1}{3}}\) 要将一个幂提高到一个乘方，我们将指数相乘。 \(y^{6·\frac{1}{3}}\) 简化。 \(y^2\) 3。 \((z^9)^{\frac{2}{3}}\) 要将一个幂提高到一个乘方，我们将指数相乘。 \(z^{9·\frac{2}{3}}\) 简化。 \(z^6\)
简化：
- \((p^{10})^{\frac{1}{5}}\)
- \((q^8)^{\frac{3}{4}}\)
- \((x^6)^{\frac{4}{3}}\)
- 回答
-
- \(p^\)
- \(q^6\)
- \(x^8\)
简化：
- \((r^6)^{\frac{5}{3}}\)
- \((s^{12})^{\frac{3}{4}}\)
- \((m^9)^{\frac{2}{9}}\)
- 回答
-
- \(r^{10}\)
- \(s^9\)
- \(m^2\)
Quotient Property 告诉我们，当我们用相同的基数除法时，我们减去指数。
简化：
- \(\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}\)
- \(\frac{y^{\frac{3}{4}}}{y^{\frac{1}{4}}}\)
- \(\frac{z^{\frac{2}{3}}}{z^{\frac{5}{3}}}\)。
- 回答
-
1。 \(\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}\) 要用相同的基数除法，我们减去指数。 \(x^{\frac{4}{3}−\frac{1}{3}}\) 简化。 x 2。 \(\frac{y^{\frac{3}{4}}}{y^{\frac{1}{4}}}\) 要用相同的基数除法，我们减去指数。 \(y^{\frac{3}{4}−\frac{1}{4}}\) 简化。 \(y^{\frac{1}{2}}\) 3。 \(\frac{z^{\frac{2}{3}}}{z^{\frac{5}{3}}}\) 要用相同的基数除法，我们减去指数。 \(z^{\frac{2}{3}−\frac{5}{3}}\) 重写时不使用负指数。 \(\frac{1}{z}\)
简化：
- \(\frac{u^{\frac{5}{4}}}{u^{\frac{1}{4}}}\)
- \(\frac{v^{\frac{3}{5}}}{v^{\frac{2}{5}}}\)
- \(\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}\)。
- 回答
-
- 你好
- \(v^{\frac{1}{5}}\)
- \(\frac{1}{x}\)
简化：
- \(\frac{c^{\frac{12}{5}}}{c^{\frac{2}{5}}}\)
- \(\frac{m^{\frac{5}{4}}}{m^{\frac{9}{4}}}\)
- \(\frac{d^{\frac{1}{5}}}{d^{\frac{6}{5}}}\)。
- 回答
-
- \(c^2\)
- \(\frac{1}{m}\)
- \(\frac{1}{d}\)
有时我们需要使用多个属性。 在接下来的两个示例中，我们将使用乘积到功率属性，然后使用功率属性。
简化：
- \((27u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\)
- \((8v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\)。
- 回答
-
1。 \((27u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\) 首先，我们将产品用于功率属性。 \((27)^{\frac{2}{3}}(u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\) 将 27 重写为 3 的幂次方。 \((3^3)^{\frac{2}{3}}(u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\) 要将一个幂提高到一个乘方，我们将指数相乘。 \((3^2)(u^{\frac{1}{3}})\) 简化。 \(9u^{\frac{1}{3}}\) 2。 \((8v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\)。 首先，我们将产品用于功率属性。 \((8)^{\frac{2}{3}}(v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\) 将 8 重写为 2 的幂次方。 \((2^3)^{\frac{2}{3}}(v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\) 要将一个幂提高到一个乘方，我们将指数相乘。 \((2^2)(v^{\frac{1}{6}})\) 简化。 \(4v^{\frac{1}{6}}\)
简化：
- \(32x^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{5}}\)
- \((64y^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{3}}\)。
- 回答
-
- \(8x^{\frac{1}{5}}\)
- \(4y^{\frac{2}{9}}\)
简化：
- \((16m^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{2}}\)
- \((81n^{\frac{2}{5}})^{\frac{3}{2}}\)。
- 回答
-
- \(64m^{\frac{1}{2}}\)
- \(729n^{\frac{3}{5}}\)
简化：
- \((m^{3}n^{9})^{\frac{1}{3}}\)
- \((p^{4}q^{8})^{\frac{1}{4}}\)。
- 回答
-
1。 \((m^{3}n^{9})^{\frac{1}{3}}\) 首先，我们将产品用于功率属性。 \((m^{3})^{\frac{1}{3}}(n^{9})^{\frac{1}{3}}\) 要将一个幂提高到一个乘方，我们将指数相乘。 \(mn^3\) 2。 \((p^{4}q^{8})^{\frac{1}{4}}\) 首先，我们将产品用于功率属性。 \((p^{4})^{\frac{1}{4}}(q^{8})^{\frac{1}{4}}\) 要将一个幂提高到一个乘方，我们将指数相乘。 \(pq^2\)
在@@ 下一个示例中，我们将同时使用乘积和商数属性。
简化：
- \(\frac{x^{\frac{3}{4}}·x^{−\frac{1}{4}}}{x^{−\frac{6}{4}}}\)
- \(\frac{y^{\frac{4}{3}}·y}{y^{−\frac{2}{3}}}\)。
- 回答
-
1。 \(\frac{x^{\frac{3}{4}}·x^{−\frac{1}{4}}}{x^{−\frac{6}{4}}}\) 在分子中使用乘积属性，将指数相加。 \(\frac{x^{\frac{2}{4}}}{x^{−\frac{6}{4}}}\) 使用商属性，减去指数。 \(x^{\frac{8}{4}}\) 简化。 \(x^2\) 2。 \(\frac{y^{\frac{4}{3}}·y}{y^{−\frac{2}{3}}}\) 在分子中使用乘积属性，将指数相加。 \(\frac{y^{\frac{7}{3}}}{y^{−\frac{2}{3}}}\) 使用商属性，减去指数。 \(y^{\frac{9}{3}}\) 简化。 \(y^3\)
简化：
- \(\frac{m^{\frac{2}{3}}·m^{−\frac{1}{3}}}{m^{−\frac{5}{3}}}\)
- \(\frac{n^{\frac{1}{6}}·n}{n^{−\frac{11}{6}}}\)。
- 回答
-
- \(m^2\)
- \(n^3\)
简化：
- \(\frac{u^{\frac{4}{5}}·u^{−\frac{2}{5}}}{u^{−\frac{13}{5}}}\)
- \(\frac{v^{\frac{1}{2}}·v}{v^{−\frac{7}{2}}}\)。
- 回答
-
- \(u^3\)
- \(v^5\)
关键概念
- 指数属性摘要
- 如果 a, b 是实数，m, n 是有理数，那么
- 产品属性\(a^m·a^n=a^{m+n}\)
- 功率财产\((a^m)^n=a^{m·n}\)
- 从产品到力量\((ab)^m=a^{m}b^{m}\)
- 商数属性：
\(\frac{a^m}{a^n}=a^{m−n} , a \ne 0, m>n\)
\(\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{a^{n−m}}, a \ne 0, n>m\)
- 零指数定义\(a^0=1, a \ne 0\)
- 商到幂属性\((\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m}, b \ne 0\)
词汇表
- 有理指数
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- 如果\(\sqrt[n]{a}\)是实数\(n \ge 2\)，\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)
- 对于任何正整数 m 和 n，\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m\)以及\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)