9.3：加上和减去平方根

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 像平方根一样加减法
• 加上和减去需要简化的平方根

做好准备

在开始之前，请参加这个准备测验。

1. 添加：ⓐ$3x+9x$ ⓑ$5m+5n$。
   如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
2. 简化：$\sqrt{50x^3}$。
   如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。

我们知道，我们必须遵循运算顺序来简化具有平方根的表达式。 激进是一个分组符号，所以我们首先在激进部分内部工作。 我们用这种$\sqrt{2+7}$方式简化：

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{2+7}}\\ {\text{Add inside the radical.}}&{\sqrt{9}}\\ {\text{Simplify.}}&{3}\\ \end{array}$$

因此，如果我们必须补充$\sqrt{2}+\sqrt{7}$，我们绝不能将它们合并为一个激进分子。

$\sqrt{2}+\sqrt{7} \ne \sqrt{2+7}$

尝试用不同的基数加平方根就像尝试添加不同的术语一样。

$$\begin{array}{llll} {\text{But, just like we can}}&{x+x}&{\text{we can add}}&{\sqrt{3}+\sqrt{3}}\\ {}&{x+x=2x}&{}&{\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}}\\ \end{array}$$

使用相同的 radicand 添加平方根就像添加相似项一样。 我们用相同的 radicand 来称呼平方根，就像平方根一样，以提醒我们它们的工作原理与相似术语相同。

定义：像平方根一样

具有相同基数的平方根被称为平方根。

我们像平方根一样添加和减去，就像我们相加和减去相似项一样。 我们知道 3x +8x 等于 11 倍。 同样，我们添加了$3\sqrt{x}+8\sqrt{x}$ and the result is $11\sqrt{x}$.

像平方根一样加减法

考虑在接下来的几个示例中添加带有变量的相似术语。 当你有类似的基数时，你只需将系数相加或减去即可。 当激进分子不一样时，你就无法将这些术语组合起来。

示例$\PageIndex{1}$

简化：$2\sqrt{2}−7\sqrt{2}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{2}−7\sqrt{2}}\\ {\text{Since the radicals are like, we subtract the coefficients.}}&{−5\sqrt{2}}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{2}$

简化：$8\sqrt{2}−9\sqrt{2}$。

回答

$−\sqrt{2}$

示例$\PageIndex{3}$

简化：$5\sqrt{3}−9\sqrt{3}$。

回答

$−4\sqrt{3}$

示例$\PageIndex{4}$

简化：$3\sqrt{y}+4\sqrt{y}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{3\sqrt{y}+4\sqrt{y}}\\ {\text{Since the radicals are like, we add the coefficients.}}&{7\sqrt{y}}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{5}$

简化：$2\sqrt{x}+7\sqrt{x}$。

回答

$9\sqrt{x}$

示例$\PageIndex{6}$

简化：$5\sqrt{u}+3\sqrt{u}$。

回答

$8\sqrt{u}$

示例$\PageIndex{7}$

简化：$4\sqrt{x}−2\sqrt{y}$

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{4\sqrt{x}−2\sqrt{y}}\\ {\text{Since the radicals are not like, we cannot subtract them. We leave the expression as is.}}&{4\sqrt{x}−2\sqrt{y}}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{8}$

简化：$7\sqrt{p}−6\sqrt{q}$。

回答

$7\sqrt{p}−6\sqrt{q}$

示例$\PageIndex{9}$

简化：$6\sqrt{a}−3\sqrt{b}$。

回答

$6\sqrt{a}−3\sqrt{b}$

示例$\PageIndex{10}$

简化：$5\sqrt{13}+4\sqrt{13}+2\sqrt{13}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{5\sqrt{13}+4\sqrt{13}+2\sqrt{13}}\\ {\text{Since the radicals are like, we add the coefficients.}}&{11\sqrt{13}}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{11}$

简化：$4\sqrt{11}+2\sqrt{11}+3\sqrt{11}$。

回答

$9\sqrt{11}$

示例$\PageIndex{12}$

简化：$6\sqrt{10}+2\sqrt{10}+3\sqrt{10}$。

回答

$11\sqrt{10}$

示例$\PageIndex{13}$

简化：$2\sqrt{6}−6\sqrt{6}+3\sqrt{3}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{6}−6\sqrt{6}+3\sqrt{3}}\\ {\text{Since the first two radicals are like, we subtract their coefficients.}}&{−4\sqrt{6}+3\sqrt{3}}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{14}$

简化：$5\sqrt{5}−4\sqrt{5}+2\sqrt{6}$。

回答

$\sqrt{5}+2\sqrt{6}$

示例$\PageIndex{15}$

简化：$3\sqrt{7}−8\sqrt{7}+2\sqrt{5}$。

回答

$−5\sqrt{7}+2\sqrt{5}$

示例$\PageIndex{16}$

简化：$2\sqrt{5n}−6\sqrt{5n}+4\sqrt{5n}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{5n}−6\sqrt{5n}+4\sqrt{5n}}\\ {\text{Since the radicals are like, we combine them.}}&{−0\sqrt{5n}}\\ {\text{Simplify.}}&{0}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{17}$

简化：$\sqrt{7x}−7\sqrt{7x}+4\sqrt{7x}$。

回答

$−2\sqrt{7x}$

示例$\PageIndex{18}$

简化：$4\sqrt{3y}−7\sqrt{3y}+2\sqrt{3y}$。

回答

$−3\sqrt{y}$

当自由基包含多个变量时，只要所有变量及其指数相同，自由基就是这样。

示例$\PageIndex{19}$

简化：$\sqrt{3xy}+5\sqrt{3xy}−4\sqrt{3xy}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{3xy}+5\sqrt{3xy}−4\sqrt{3xy}}\\ {\text{Since the radicals are like, we combine them.}}&{2\sqrt{3xy}}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{20}$

简化：$\sqrt{5xy}+4\sqrt{5xy}−7\sqrt{5xy}$。

回答

$−2\sqrt{5xy}$

示例$\PageIndex{21}$

简化：$3\sqrt{7mn}+\sqrt{7mn}−4\sqrt{7mn}$。

回答

0

加上和减去需要简化的平方根

请记住，我们总是通过移除最大的完美平方因子来简化平方根。 有时候，当我们必须加上或减去看起来不像激进的平方根时，在简化平方根之后，我们会发现像激进分子一样。

示例$\PageIndex{22}$

简化：$\sqrt{20}+3\sqrt{5}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{20}+3\sqrt{5}}\\ {\text{Simplify the radicals, when possible.}}&{\sqrt{4}·\sqrt{5}+3\sqrt{5}}\\ {}&{2\sqrt{5}+3\sqrt{5}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{5\sqrt{5}}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{23}$

简化：$\sqrt{18}+6\sqrt{2}$。

回答

$9\sqrt{2}$

示例$\PageIndex{24}$

简化：$\sqrt{27}+4\sqrt{3}$。

回答

$7\sqrt{3}$

示例$\PageIndex{25}$

简化：$\sqrt{48}−\sqrt{75}$

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{48}−\sqrt{75}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{\sqrt{16}·\sqrt{3}−\sqrt{25}·\sqrt{3}}\\ {}&{4\sqrt{3}−5\sqrt{3}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{−\sqrt{3}}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{26}$

简化：$\sqrt{32}−\sqrt{18}$。

回答

$\sqrt{2}$

示例$\PageIndex{27}$

简化：$\sqrt{20}−\sqrt{45}$。

回答

$−\sqrt{5}$

就像我们使用乘法的关联属性来简化 5 (3x) 然后得到 15x 一样，我们可以简化$5(3\sqrt{x})$ and get $15\sqrt{x}$. We will use the Associative Property to do this in the next example.

示例$\PageIndex{28}$

简化：$5\sqrt{18}−2\sqrt{8}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{5\sqrt{18}−2\sqrt{8}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{5·\sqrt{9}·\sqrt{2}−2·\sqrt{4}·\sqrt{2}}\\ {}&{5·3·\sqrt{2}−2·2·\sqrt{2}}\\ {}&{15\sqrt{2}−4\sqrt{2}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{11\sqrt{2}}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{29}$

简化：$4\sqrt{27}−3\sqrt{12}$。

回答

$6\sqrt{3}$

示例$\PageIndex{30}$

简化：$3\sqrt{20}−7\sqrt{45}$。

回答

$−15\sqrt{5}$

示例$\PageIndex{31}$

简化：$\frac{3}{4}\sqrt{192}−\frac{5}{6}\sqrt{108}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{\frac{3}{4}\sqrt{192}−\frac{5}{6}\sqrt{108}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{\frac{3}{4}\sqrt{64}·\sqrt{3}−\frac{5}{6}\sqrt{36}·\sqrt{3}}\\ {}&{\frac{3}{4}·8·\sqrt{3}−\frac{5}{6}·6·\sqrt{3}}\\ {}&{6\sqrt{3}−5\sqrt{3}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{\sqrt{3}}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{32}$

简化：$\frac{2}{3}\sqrt{108}−\frac{5}{7}\sqrt{147}$。

回答

$−\sqrt{3}$

示例$\PageIndex{33}$

简化：$\frac{3}{5}\sqrt{200}−\frac{3}{4}\sqrt{128}$。

回答

0

示例$\PageIndex{34}$

简化：$\frac{2}{3}\sqrt{48}−\frac{3}{4}\sqrt{12}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{\frac{2}{3}\sqrt{48}−\frac{3}{4}\sqrt{12}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{\frac{2}{3}\sqrt{16}·\sqrt{3}−\frac{3}{4}\sqrt{4}·\sqrt{3}}\\ {}&{\frac{2}{3}·4·\sqrt{3}−\frac{3}{4}·2·\sqrt{3}}\\ {}&{\frac{8}{3}\sqrt{3}−\frac{3}{2}\sqrt{3}}\\ {\text{Find a common denominator to subtract the coefficients of the like radicals.}}&{\frac{16}{6}\sqrt{3}−\frac{9}{6}\sqrt{3}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{7}{6}\sqrt{3}} \end{array}$$

示例$\PageIndex{35}$

简化：$\frac{2}{5}\sqrt{32}−\frac{1}{3}\sqrt{8}$

回答

$\frac{14}{15}\sqrt{2}$

示例$\PageIndex{36}$

简化：$\frac{1}{3}\sqrt{80}−\frac{1}{4}\sqrt{125}$

回答

$\frac{1}{12}[\sqrt{5}$

在下一个示例中，我们将从平方根中移除常量因子和可变因子。

示例$\PageIndex{37}$

简化：$\sqrt{18n^5}−\sqrt{32n^5}$

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{18n^5}−\sqrt{32n^5}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{\sqrt{9n^4}·\sqrt{2n}−\sqrt{16n^4}·\sqrt{2n}}\\ {}&{3n^2\sqrt{2n}−4n^2\sqrt{2n}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{−n^2\sqrt{2n}}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{38}$

简化：$\sqrt{32m^7}−\sqrt{50m^7}$。

回答

$−m^3\sqrt{2m}$

示例$\PageIndex{39}$

简化：$\sqrt{27p^3}−\sqrt{48p^3}$

回答

$−p^3\sqrt{p}$

示例$\PageIndex{40}$

简化：$9\sqrt{50m^2}−6\sqrt{48m^2}$.

回答

\[\begin{array}{ll} {}&{9\sqrt{50m^{2}}−6\sqrt{48m^{2}}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{9\sqrt{25m^{2}}·\sqrt{2}−6·\sqrt{16m^{2}}·\sqrt{3}}\\ {}&{9·5m·\sqrt{2}−6·4m·\sqrt{3}}\\ {}&{45m\sqrt{2}−24m\sqrt{3}}\\ \end{array}\]

示例$\PageIndex{41}$

简化：$5\sqrt{32x^2}−3\sqrt{48x^2}$。

回答

$20x\sqrt{2}−12x\sqrt{3}$

示例$\PageIndex{42}$

简化：$7\sqrt{48y^2}−4\sqrt{72y^2}$。

回答

$28y\sqrt{3}−24y\sqrt{2}$

示例$\PageIndex{43}$

简化：$2\sqrt{8x^2}−5x\sqrt{32}+5\sqrt{18x^2}$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{8x^2}−5x\sqrt{32}+5\sqrt{18x^2}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{2\sqrt{4x^2}·\sqrt{2}−5x\sqrt{16}·\sqrt{2}+5\sqrt{9x^2}·\sqrt{2}}\\ {}&{2·2x·\sqrt{2}−5x·4·\sqrt{2}+5·3x·\sqrt{2}}\\ {}&{4x\sqrt{2}−20x\sqrt{2}+15x\sqrt{2}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{−x\sqrt{2}}\\ \end{array}$$

示例$\PageIndex{44}$

简化：$3\sqrt{12x^2}−2x\sqrt{48}+4\sqrt{27x^2}$

回答

$10x\sqrt{3}$

示例$\PageIndex{45}$

简化：$3\sqrt{18x^2}−6x\sqrt{32}+2\sqrt{50x^2}$。

回答

$−5x\sqrt{2}$

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• 加上/减去平方根

词汇表

像平方根

具有相同基数的平方根被称为平方根。