8.7：求解比例和相似图应用程序

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 求解比例
• 求解相似图形的应用程序

注意

在开始之前，请参加这个准备测验。

如果您遗漏了问题，请返回列出的部分并查看材料。

1. 解决$\dfrac{n}{3}=30$。
   如果您错过了此问题，请查看练习 2.2.25。
2. 三角窗的周长为 23 英尺。 两边的长度分别为十英尺和六英尺。 第三面有多长？
   如果你错过了这个问题，请查看示例 3.4.2

求解比例

当两个有理表达式相等时，将它们关联的方程称为比例。

定义：比例

比例是形式的方程式$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$，其中$b \ne 0$，$d \ne 0$。

比例读作 “a 对 b，如同 c 对 d”

方程式$\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8}$ is a proportion because the two fractions are equal.

比例读$\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8}$作 “1 等于 2 就像 4 等于 8”。

在许多应用程序中，比例用来 “放大” 数量。 我们将从一个非常简单的例子开始，这样你就可以看到比例是如何工作的。 即使你能马上找出这个例子的答案，也要确保你也学会用比例求解。

假设一位学校校长想让 1 位老师为 20 名学生服务。 她可以使用比例来计算60名学生的教师人数。 我们假设 x 是 60 名学生的教师人数，然后设置比例：

$$\dfrac{1\,\text{teacher}}{20\,\text{students}}=\dfrac{x\,\text{teachers}}{60\,\text{students}}\nonumber$$

我们谨慎地匹配分子的单位和分母的单位——分子中的老师，分母中的学生。

由于比例是带有有理表达式的方程，因此我们将以与求解有理方程式中的方程相同的方式求解比例。 我们将方程的两边乘以 LCD 以清除分数，然后求解由此产生的方程。

将两边乘以液晶屏，60。
简化。
	60名学生需要3名老师。

现在我们将举几个例子来求解没有任何单位的数值比例。 然后，我们将使用比例求解应用程序。

示例$\PageIndex{1}$

$\dfrac{x}{63}=\dfrac{4}{7}$。

要分离 x，请将两边乘以 LCD，即 63。
简化。
除以常见因素。
查看。 为了检查我们的答案，我们用原来的比例代替。
显示常见因素。
简化。

试试看$\PageIndex{1}$

$\dfrac{n}{84}=\dfrac{11}{12}$。

回答

77

试试看$\PageIndex{2}$

$\dfrac{y}{96}=\dfrac{13}{12}$。

回答

104

示例$\PageIndex{2}$

$\dfrac{144}{a}=\dfrac{9}{4}$。

将两边乘以液晶屏。
删除双方的共同因素。
简化。
将两边除以 9。
简化。
查看。
显示常见因素。
简化。

试试看$\PageIndex{3}$

$\dfrac{91}{b}=\dfrac{7}{5}$。

回答

65

试试看$\PageIndex{4}$

$\dfrac{39}{c}=\dfrac{13}{8}$。

回答

24

示例$\PageIndex{3}$

$\dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7}.$

将两边乘以液晶屏。
删除双方的共同因素。
简化。
求解 n。
查看。
简化。
显示常见因素。
简化。

试试看$\PageIndex{5}$

$\dfrac{y}{y+55}=\dfrac{3}{8}$。

回答

33

试试看$\PageIndex{6}$

$\dfrac{z}{z−84}=−\dfrac{1}{5}$。

回答

14

示例$\PageIndex{4}$

$\dfrac{p+12}{9}=\dfrac{p−12}{6}$。

将两边乘以液晶屏，18。
简化。
分发。
求解 p。
查看。
简化。
除以。

试试吧$\PageIndex{7}$

$\dfrac{v+30}{8}=\dfrac{v+66}{12}$。

回答

42

试试吧$\PageIndex{8}$

$\dfrac{2x+15}{9}=\dfrac{7x+3}{15}$。

回答

6

为了按比例求解应用程序，我们将遵循通常的求解应用程序策略。 但是当我们设置比例时，我们必须确保单位正确——分子中的单位必须匹配，分母中的单位必须匹配。

示例$\PageIndex{5}$

当儿科医生给孩子开对乙酰氨基酚处方时，他们会为孩子每体重25磅开5毫升（ml）的对乙酰氨基酚处方。 如果佐伊体重 80 磅，她的医生会开多少毫升的对乙酰氨基酚处方？

确定我们要查找的内容，然后选择一个变量来表示它。	医生会开多少毫升的对乙酰氨基酚？
	让 a=ml 对乙酰氨基酚。
写一句话，给出找到它的信息。	如果每 25 磅开出 5 毫升处方，那么 80 磅的处方是多少？
换算成比例——小心单位。
将两边乘以液晶屏 400。
删除双方的共同因素。
简化，但不要在左边乘以。 注意下一步将是什么。
求解 a.
查看。
答案合理吗？
是的，因为80大约是25的3倍，所以药物应该是大约3乘以5。 所以 16 毫升是有道理的。
写一个完整的句子。	儿科医生会给佐伊开16毫升的对乙酰氨基酚处方。

试试看$\PageIndex{9}$

儿科医生为孩子每体重 25 磅开出 5 毫升（ml）的对乙酰氨基酚处方。 医生会为体重60磅的艾米莉亚开多少毫升的对乙酰氨基酚处方？

回答

12 毫升

试试看$\PageIndex{10}$

每增加一个孩子的体重 1 千克（kg），儿科医生就会开出 15 毫克（mg）的减烧剂。 如果伊莎贝拉体重12千克，儿科医生会开多少毫克的减烧药？

回答

180 毫升

示例$\PageIndex{6}$

一个 16 盎司的冰焦糖玛奇朵含有 230 卡路里的热量。 一个 24 盎司的冰焦糖玛奇朵里有多少卡路里？

确定我们要查找的内容，然后选择一个变量来表示它。	一个 24 盎司的冰焦糖玛奇朵里有多少卡路里？
	让 c=24 盎司的卡路里。
写一句话，给出找到它的信息。	如果 16 盎司中有 230 卡路里，那么 24 盎司中有多少卡路里？
换算成比例——小心单位。
将两边乘以液晶屏，48。
删除双方的共同因素。
简化。
求解 c。
查看。
答案合理吗？
是的，24 盎司的 345 卡路里等于 16 盎司超过 290 卡路里，但不会超过 290 卡路里。
写一个完整的句子。	一个 24 盎司的冰焦糖玛奇朵含有 345 卡路里的热量。

试试看$\PageIndex{11}$

在快餐店，一杯22盎司的巧克力奶昔含有850卡路里的热量。 他们的 12 盎司巧克力奶昔中有多少卡路里？ 将答案四舍五入到最接近的整数。

回答

464 卡路里

试试看$\PageIndex{12}$

Yaneli 喜欢 Starburst 糖果，但想让她的零食保持在 100 卡路里的热量。 如果 8 块糖果有 160 卡路里的热量，那么她的零食里能含多少卡路里？

回答

5 件

示例$\PageIndex{7}$

约西亚去墨西哥度过春假，将325美元兑换成墨西哥比索。 当时，汇率为1美元等于12.54墨西哥比索。 他这次旅行得到了多少墨西哥比索？

你要找什么？	约西亚得到多少墨西哥比索？
分配一个变量。	假设 p = 墨西哥比索的数量。
写一句话，给出找到它的信息。	如果1美元等于12.54墨西哥比索，那么325美元是多少比索？
换算成比例——小心单位。
将两边乘以液晶屏，12.54p。
删除双方的共同因素。
简化。
查看。
答案合理吗？
是的，100美元等于1,254比索。325美元略高于这个数额的3倍，所以我们的4075.5比索的答案是有道理的。
写一个完整的句子。	约西亚的春假旅行得到了 4075.5 比索。

试试看$\PageIndex{13}$

尤里安娜要去欧洲，想把800美元兑换成欧元。 按照当前汇率，1 美元等于 0.738 欧元。 她的旅行会有多少欧元？

回答

590.4 欧元

试试看$\PageIndex{14}$

科里和妮可正在日本旅行，需要将600美元兑换成日元。 如果每美元是94.1日元，他们会得到多少日元？

回答

56,460 日元

在上面的示例中，我们使用比例将比索的数量与美元数联系起来。 我们可以说比索的数量与美元数成正比。 如果两个量按比例相关，我们说它们是成比例的。

求解相似图形应用程序

当你在手机或平板电脑上缩小或放大照片，在地图上计算出一段距离，或者使用图案制作书柜或缝制衣服时，你正在处理相似的人物。 如果两个数字的形状完全相同，但大小不同，则说它们是相似的。 一个是另一个的比例模型。 它们的所有对应角度都具有相同的测量值，并且它们对应的边的比例相同。

定义：相似数字

如果两个图对应角度的测量值相等，并且它们对应的边的比例相同，则这两个数字是相似的。

例如，图中的两个三角形是相似的。 ΔABC 的每一边长度是 ΔXYZ 相应边长度的 4 倍。

相似三角形的属性对此进行了总结。

定义：相似三角形的属性

如果 ΑABC 与 ΔXYZ 相似

为了求解具有相似图形的应用程序，我们将遵循我们之前使用的几何应用程序问题解决策略。

定义：求解几何应用程序。

1. 阅读问题并使所有的单词和想法都被理解。 画出图形并用给定的信息标记它。
2. 确定我们在寻找什么。
3. 通过选择一个变量来表示我们要找的东西来@@ 命名它。
4. 通过编写适合情况的公式或模型将其@@ 转换为方程。 在给定的信息中替换。
5. 使用良好的代数技巧求@@ 解方程。
6. 检查问题中的答案并确保答案合理。
7. 用完整的句子@@ 回答问题。

示例$\PageIndex{8}$

△ABC 与 ΔXYZ 类似

第 1 步。 阅读问题。 画出图形并用给定的信息标记它。	给出了数字。
第 2 步。 确定我们在寻找什么。	相似三角形边的长度。
第 3 步。 为变量命名。	假设 a= △ABC 第三边的长度。 y= △XYZ 第三边的长度。
第 4 步。 翻译。	由于三角形相似，因此相应的边是成比例的。
我们需要写一个方程式，将我们要找的边和已知的比率进行比较。 由于侧面 AB = 4 对应于我们所知道的 XY = 3 边$\dfrac{AB}{XY}=\dfrac{4}{3}$。 所以我们用方程$\dfrac{AB}{XY}$来找出我们要找的边。 注意正确匹配相应的双面。	$\dfrac{AB}{XY}=\dfrac{BC}{YZ}=\dfrac{AC}{XZ}$。
替代。
第 5 步。 求解方程。	Figure_08_07_030f_img_new.jpg “/>
第 6 步。 查看。
第 7 步。 回答问题。	ΑABC 的第三面是 6，ΔXYZ 的第三面是 2.4。

试试看$\PageIndex{15}$

△ABC 与 ΔXYZ 类似。 图中给出了每个三角形两边的长度。

找出 a 边的长度

回答

8

试试看$\PageIndex{16}$

△ABC 与 ΔXYZ 类似。 图中给出了每个三角形两边的长度。

回答

22.5

下一个示例显示了如何在地图中使用相似的三角形。

示例$\PageIndex{9}$

在地图上，旧金山、拉斯维加斯和洛杉矶形成一个三角形，其边如下图所示。 如果洛杉矶到拉斯维加斯的实际距离为 270 英里，请找出从洛杉矶到旧金山的距离。

阅读问题。 用给定的信息绘制图形和标签。	数字如上所示。
确定我们在寻找什么。	从洛杉矶到旧金山的实际距离。
为变量@@ 命名。	让 x= 从洛杉矶到旧金山的距离。
翻译成方程式。 由于三角形 相似，因此相应的边是 成比例的。 我们将分子 “英里”，将分母设为 “英寸”。
求解方程。
查看。
在地图上，从洛杉矶到 旧金山的距离大于 洛杉矶到拉斯维加斯的距离。 由于 351 大 于 270，所以答案是有道理的。
回答问题。	从洛杉矶到旧金山的距离为 351 英里。

试试看$\PageIndex{17}$

在地图上，西雅图、波特兰和博伊西形成一个三角形，其边如下图所示。 如果从西雅图到博伊西的实际距离为 400 英里，请计算从西雅图到波特兰的距离。

回答

150 英里

试试吧$\PageIndex{18}$

使用上面的地图，找到从波特兰到博伊西的距离。

回答

350 英里

我们可以使用相似的数字来找到我们无法直接测量的高度。

示例$\PageIndex{10}$

泰勒身高 6 英尺。 一天下午晚些时候，他的影子长达 8 英尺。 同时，一棵树的阴影长达 24 英尺。 找出树的高度。

阅读问题并画一个数字。
我们正在寻找 h，树的高度。
我们将使用相似的三角形来写一个方程。
小三角形类似于大三角形。
求解比例。
简化。
查看。
泰勒的高度小于他阴影的长度，所以树的高度小于其阴影的长度是有道理的。

试试吧$\PageIndex{19}$

电线杆投射出 50 英尺长的阴影。 在附近，一个 8 英尺高的交通标志投射出 10 英尺长的阴影。 电线杆有多高？

回答

40 英尺

试试吧$\PageIndex{20}$

一棵松树在一座30英尺高的建筑物旁边投射出80英尺的阴影，该建筑投射了40英尺的阴影。 那棵松树有多高？

回答

60 英尺

关键概念

• 相似三角形的属性
  • 如果 ΑABC 与 ΔXYZ 相似
• 几何应用的问题解决策略
  1. 阅读问题并确保所有文字和想法都被理解。 画出图形并用给定的信息标记它。
  2. 确定我们在寻找什么。
  3. 通过选择一个变量来表示我们要找的东西来@@ 命名它。
  4. 通过编写适合情况的公式或模型将其@@ 转换为方程。 在给定的信息中替换。
  5. 使用良好的代数技巧求@@ 解方程。
  6. 检查问题中的答案并确保答案合理。
  7. 用完整的句子@@ 回答问题。

词汇表

比例

比例是形式为 “” 的方程$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}, where \(b \ne 0$式$d \ne 0$。 该比例读作 “a 对 b c 等于 d”。

相似的数字

如果两个图对应角度的测量值相等，并且它们对应的边的比例相同，则这两个数字是相似的。