8.2: 有理表达式的乘法和除法
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在本节结束时，您将能够：
- 乘以有理表达式
- 除以有理表达式
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乘以有理表达式
为了乘以有理表达式，我们就像使用数值分数一样。 我们将分子相乘然后乘以分母。 然后，如果有任何常见因素，我们将其删除以简化结果。
如果 p、q、r、s 是多项式，其中\(q \ne 0\)和\(s \ne 0\)
\(\frac{p}{q}·\frac{r}{s}=\frac{pr}{qs}\)要乘以有理表达式，请将分子相乘并乘以分母。
我们将用数字分数做第一个例子，提醒我们如何将没有变量的分数相乘。
乘以：\(\frac{10}{28}·\frac{8}{15}\)。
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-
将分子和分母相乘。 
寻找常见因素，然后将其删除。 
简化。 
乘以：\(\frac{6}{10}·\frac{15}{12}\)。
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-
\(\frac{3}{4}\)
乘以：\(\frac{20}{15}·\frac{6}{8}\)。
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-
1
请记住，在本章中，我们将假设所有使分母为零的数值都被排除在外。 我们不会为每个有理表达式写出限制，但请记住，分母永远不能为零。 所以在下一个例子中，\(x \ne 0\) and \(y \ne 0\).
乘以：\(\frac{2x}{3y^2}·\frac{6xy^3}{x^{2}y}\)。
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-
乘以。 
将分子和分母完全分解，然后移除常见因子。 
简化。 
乘以：\(\frac{3pq}{q^2}·\frac{5p^{2}q}{6pq}\)。
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-
\(\frac{5p^2}{2q}\)
乘以：\(\frac{6x^{3}y}{7x^2}·\frac{2xy}{3x^{2}y}\)。
- 回答
-
\(\frac{12y^3}{7}\)
如何乘以有理表达式
乘以：\(\frac{2x}{x^2-7x+12}·\frac{x^2−9}{6x^2}\)。
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乘以：\(\frac{5x}{x^2+5x+6}·\frac{x^2−4}{10x}\)。
- 回答
-
\(\frac{x−2}{2(x+3)}\)
乘以：\(\frac{9x^2}{x^2+11x+30}·\frac{x^2−36}{3x^2}\)。
- 回答
-
\(\frac{3(x−6)}{x+5}\)
- 将每个分子和分母完全分解。
- 将分子和分母相乘。
- 通过划分常见因素进行简化。
乘以：\(\frac{n^2−7n}{n^2+2n+1}·\frac{n+1}{2n}\)。
- 回答
-
\(\frac{n^2−7n}{n^2+2n+1}·\frac{n+1}{2n}\) 对每个分子和分母进行分解。 \(\frac{n(n−7)}{(n+1)(n+1)}·\frac{n+1}{2n}\) 将分子和分母相乘。 \(\frac{n(n−7)(n+1)}{(n+1)(n+1)2n}\) 简化。 \(\frac{n−7}{2(n+1)}\)
乘以：\(\frac{x^2−25}{x^2−3x−10}·\frac{x+2}{x}\)。
- 回答
-
\(\frac{x+5}{x}\)
乘以：\(\frac{x^2−4x}{x^2+5x+6}·\frac{x+2}{x}\)。
- 回答
-
\(\frac{x−4}{x+3}\)
乘以：\(\frac{16−4x}{2x−12}·\frac{x^2−5x−6}{x^2−16}\)。
- 回答
-
\(\frac{16−4x}{2x−12}·\frac{x^2−5x−6}{x^2−16}\) 对每个分子和分母进行分解。 \(\frac{4(4−x)}{2(x−6)}·\frac{(x−6)(x+1)}{(x−4)(x+4)}\) 将分子和分母相乘。 \(\frac{4(4−x)(x−6)(x+1)}{2(x−6)(x−4)(x+4)}\) 简化。 \(−\frac{2(x+1)}{(x+4)}\)
乘以：\(\frac{12x−6x^2}{x^2+8x}·\frac{x^2+11x+24}{x^2−4}\)。
- 回答
-
\(−\frac{6(x+3)}{x+2}\)
乘以：\(\frac{9v−3v^2}{9v+36}·\frac{v^2+7v+12}{v^2−9}\)。
- 回答
-
\(−\frac{v}{3}\)
乘以：\(\frac{2x−6}{x^2−8x+15}·\frac{x^2−25}{2x+10}\)。
- 回答
-
对每个分子和分母进行分解。 
将分子和分母相乘。 
移除常见因素。 
简化。 
乘以：\(\frac{3a−21}{a^2−9a+14}·\frac{a^2−4}{3a+6}\)。
- 回答
-
1
乘以：\(\frac{b^2−b}{b^2+9b−10}·\frac{b^2−100}{b^2−10b}\)。
- 回答
-
1
划分有理表达式
要除以有理表达式，我们将第一个分数乘以第二个分数的倒数，就像我们对数值分数所做的那样。
记住，的倒数\(\frac{a}{b}\)是\(\frac{b}{a}\)。 要找到倒数，我们只需将分子放在分母中，将分母放在分子中即可。 我们 “翻转” 分数。
如果 p、q、r、s 是多项式\(q \ne 0\)，其中，\(r \ne 0\)，\( s \ne 0\)
\(\frac{p}{q}÷\frac{r}{s}=\frac{p}{q}·\frac{s}{r}\)
要除以有理表达式，请将第一个分数乘以第二个分数的倒数。
如何划分有理表达式
除以：\(\frac{x+9}{6−x}÷\frac{x^2−81}{x−6}\)。
- 回答
-
除以：\(\frac{c+3}{5−c}÷\frac{c^2−9}{c−5}\)。
- 回答
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\(−\frac{1}{c−3}\)
除以：\(\frac{2−d}{d−4}÷\frac{4−d^2}{4−d}\)。
- 回答
-
\(−\frac{1}{2+d}\)
- 将除法重写为第一个有理表达式的乘积和第二个有理表达式的倒数的乘积。
- 将分子和分母完全分解。
- 将分子和分母相乘。
- 通过划分常见因素进行简化。
除以：\(\frac{3n^2}{n^2−4n}÷\frac{9n^2−45n}{n^2−7n+10}\)。
- 回答
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将除法重写为第一个有理表达式的乘积和第二个有理表达式的倒数的乘积。 
将分子和分母分数分解，然后相乘。 
通过划分常见因素进行简化。 
除以：\(\frac{2m^2}{m^2−8m}÷\frac{8m^2+24m}{m^2+m−6}\)。
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\(\frac{(m−2)}{4(m−8)}\)
除以：\(\frac{15n^2}{3n^2+33n}÷\frac{5n−5}{n^2+9n−22}\)。
- 回答
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\(\frac{n(n−2)}{n−1}\)
请记住，首先将除法重写为第一个表达式乘以第二个表达式的倒数。 然后将所有因素都考虑在内，寻找共同的因素。
除以：\(\frac{2x^2+5x−12}{x^2−16}÷\frac{2x^2−13x+15}{x^2−8x+16}\)。
- 回答
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\(\frac{2x^2+5x−12}{x^2−16}÷\frac{2x^2−13x+15}{x^2−8x+16}\) 将除法重写为第一个有理表达式的乘积和第二个有理表达式的倒数的乘积。 \(\frac{2x^2+5x−12}{x^2−16}·\frac{x^2−8x+16}{2x^2−13x+15}\) 将分子和分母分数分解，然后相乘。 \(\frac{(2x−3)(x+4)(x−4)(x−4)}{(x−4)(x+4)(2x−3)(x−5)}\) 简化。 \(\frac{(x−4)}{(x−5)}\)
除以：\(\frac{3a^2−8a−3}{a^2−25}÷\frac{3a^2−14a−5}{a^2+10a+25}\)。
- 回答
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\(\frac{(a−3)(a+5)}{(a−5)(a−5)}\)
除以：\(\frac{4b^2+7b−2}{1−b^2}÷\frac{4b^2+15b−4}{b^2−2b+1}\)。
- 回答
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\(−\frac{(b+2)(b−1)}{(1+b)(b+4)}\)
除以：\(\frac{p^3+q^3}{2p^2+2pq+2q^2}÷\frac{p^2−q^2}{6}\)。
- 回答
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\(\frac{p^3+q^3}{2p^2+2pq+2q^2}÷\frac{p^2−q^2}{6}\) 将除法重写为第一个有理表达式的乘积和第二个有理表达式的倒数的乘积。 \(\frac{p^3+q^3}{2p^2+2pq+2q^2}·\frac{6}{p^2−q^2}\) 将分子和分母分数分解，然后相乘。 \(\frac{(p+q)(p^2−pq+q^2)6}{2(p^2+pq+q^2)(p−q)(p+q)}\) 简化。 \(\frac{3(p^2−pq+q^2)}{(p−q)(p^2+pq+q^2)}\)
除以：\(\frac{x^3−8}{3x^2−6x+12}÷\frac{x^2−4}{6}\)。
- 回答
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\(\frac{2(x^2+2x+4)}{(x+2)(x^2−2x+4)}\)
除以：\(\frac{2z^2}{z^2−1}÷\frac{z^3−z^2+z}{z^3−1}\)。
- 回答
-
\(\frac{2z(z^2+z+1)}{(z+1)(z^2−z+1)}\)
在做下一个例子之前，让我们看一下如何将分数除以一个整数。 当我们分裂时\(\frac{3}{5}÷4\)
\[\begin{array}{c} {\frac{3}{5}÷4}\\ {\frac{3}{5}÷\frac{4}{1}}\\ {\frac{3}{5}·\frac{1}{4}}\\ \nonumber \end{array}\]
当我们划分有理表达式时，我们也会做同样的事情。
\(\frac{a^2−b^2}{3ab}÷(a^2+2ab+b^2)\)。
- 回答
-
\(\frac{a^2−b^2}{3ab}÷(a^2+2ab+b^2)\) 将第二个表达式写成分数。 \(\frac{a^2−b^2}{3ab}÷\frac{a^2+2ab+b^2}{1}\) 将除法重写为第一个表达式乘以第二个表达式的倒数。 \(\frac{a^2−b^2}{3ab}·\frac{1}{a^2+2ab+b^2}\) 将分子和分母除去，然后相乘。 \(\frac{(a−b)(a+b)1}{3ab·(a+b)(a+b)}\) 简化。 \(\frac{a−b}{3ab(a+b)}\)
\(\frac{2x^2−14x−16}{4}÷(x2+2x+1)\)。
- 回答
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\(\frac{x−8}{2(x+1)}\)
\(\frac{y^2−6y+8}{y^2−4y}÷(3y2−12y)\)。
- 回答
-
\(\frac{y−2}{3y(y−4)}\)
\(\frac{\frac{6x^2−7x+2}{4x−8}}{\frac{2x^2−7x+3}{x^2−5x+6}}\)。
- 回答
-
\(\frac{\frac{6x^2−7x+2}{4x−8}}{\frac{2x^2−7x+3}{x^2−5x+6}}\) 用分号重写。 \(\frac{6x^2−7x+2}{4x−8}÷\frac{2x^2−7x+3}{x^2−5x+6}\) 重写为第一乘以秒倒数的乘积。 \(\frac{6x^2−7x+2}{4x−8}·\frac{x^2−5x+6}{2x^2−7x+3}\) 将分子和分母分数分解，然后相乘 \(\frac{(2x−1)(3x−2)(x−2)(x−3)}{4(x−2)(2x−1)(x−3)}\) 简化。 \(\frac{3x−2}{4}\)
\(\frac{\frac{3x^2+7x+2}{4x+24}}{\frac{3x^2−14x−5}{x^2+x−30}}\)。
- 回答
-
\(\frac{x+2}{4}\)
\(\frac{\frac{y^2−36}{2y^2+11y−6}}{\frac{2y^2−2y−60}{8y−4}}\)。
- 回答
-
\(\frac{2}{y+5}\)
如果我们有两个以上的有理表达式可供使用，我们仍然遵循相同的程序。 第一步是将任何除法重写为乘以倒数。 然后我们进行分数并乘以。
\(\frac{3x−6}{4x−4}·\frac{x^2+2x−3}{x^2−3x−10}÷\frac{2x+12}{8x+16}\)。
- 回答
-
将除法重写为乘以倒数。 
将分子和分母除去，然后相乘。 
通过划分常见因素进行简化。 
简化。 
\(\frac{4m+4}{3m−15}·\frac{m^2−3m−10}{m^2−4m−32}÷\frac{12m−36}{6m−48}\)。
- 回答
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\(\frac{2(m+1)(m+2)}{3(m+4)(m−3)}\)
\(\frac{2n^2+10n}{n−1}÷\frac{n^2+10n+24}{n^2+8n−9}·\frac{n+4}{8n^2+12n}\)。
- 回答
-
\(\frac{(n+5)(n+9)}{2(n+6)(2n+3)}\)
关键概念
- 有理表达式的乘法
- 如果 p、q、r、s 是多项式，其中 and\(q \ne 0\)\(s \ne 0\)，那么\(\frac{p}{q}·\frac{r}{s}=\frac{pr}{qs}\)
- 要乘以有理表达式，请将分子相乘然后乘以分母
- 乘以有理表达式
- 将每个分子和分母完全分解。
- 将分子和分母相乘。
- 通过划分常见因素进行简化。
- 有理表达的划分
- 如果 p、q、r、s 是多项式\(q \ne 0\)，其中，\(r \ne 0\)\( s \ne 0\)，那么\(\frac{p}{q}÷\frac{r}{s}=\frac{p}{q}·\frac{s}{r}\)
- 要除以有理表达式，请将第一个分数乘以第二个分数的倒数。
- 划分有理表达式
- 将除法重写为第一个有理表达式的乘积和第二个有理表达式的倒数的乘积。
- 将分子和分母完全分解。
- 将分子和分母相乘。
- 通过划分常见因素进行简化。