第 8 章复习练习

章节复习练习

简化有理表达式

确定未定义有理表达式的值

在以下练习中，确定有理表达式未定义的值。

练习$\PageIndex{1}$

$\dfrac{2a+1}{3a−2}$

回答

$a \ne \dfrac{2}{3}$

练习$\PageIndex{2}$

$\dfrac{b−3}{b^2−16}$

练习$\PageIndex{3}$

$\dfrac{3xy^2}{5y}$

回答

$y \ne 0$

练习$\PageIndex{4}$

$\dfrac{u−3}{u^2−u−30}$

评估有理表达式

在以下练习中，计算给定值的有理表达式。

练习$\PageIndex{5}$

$\dfrac{4p−1}{p^2+5}$什么时候$p=−1$

回答

$−\dfrac{5}{6}$

练习$\PageIndex{6}$

$\dfrac{q^2−5}{q+3}$什么时候$q=7$

练习$\PageIndex{7}$

$\dfrac{y^2−8}{y^2−y−2}$什么时候$y=1$

回答

$\dfrac{7}{2}$

示例$\PageIndex{8}$

$\dfrac{z^2+2}{4z−z^2}$什么时候$z=3$

简化有理表达式

在以下练习中，进行简化。

练习$\PageIndex{9}$

$\dfrac{10}{24}$

回答

$\dfrac{5}{12}$

练习$\PageIndex{10}$

$\dfrac{8m^4}{16mn^3}$

练习$\PageIndex{11}$

$\dfrac{14a−14}{a−1}$

回答

$14$

练习$\PageIndex{12}$

$\dfrac{b^2+7b+12}{b^2+8b+16}$

使用相反因子简化有理表达式

在以下练习中，进行简化。

练习$\PageIndex{13}$

$\dfrac{c^2−c−2}{4−c^2}$

回答

$-\dfrac{c+1}{c+2}$

练习$\PageIndex{14}$

$\dfrac{d−16}{16−d}$

练习$\PageIndex{15}$

$\dfrac{7v−35}{25−v^2}$

回答

$−\dfrac{7}{5+v}$

练习$\PageIndex{16}$

$\dfrac{w^2−3w−28}{49−w^2}$

有理表达式的乘法和除法

乘以有理表达式

在以下练习中，乘以。

练习$\PageIndex{17}$

$\dfrac{3}{8}·\dfrac{2}{15}$

回答

$\dfrac{1}{20}$

练习$\PageIndex{18}$

$\dfrac{2xy^2}{8y^3}·\dfrac{16y}{24x}$

练习$\PageIndex{19}$

$\dfrac{3a^2+21a}{a^2+6a−7}·\dfrac{a−1}{ab}$

回答

$\dfrac{3}{b}$

练习$\PageIndex{20}$

$\dfrac{5z^2}{5z^2+40z+35}·\dfrac{z^2−1}{3z}$

划分有理表达式

在以下练习中，除以。

练习$\PageIndex{21}$

$\dfrac{t^2−4t-12}{t^2+8t+12}÷\dfrac{t^2−36}{6t}$

回答

$\dfrac{6t}{(t+6)^2}$

练习$\PageIndex{22}$

$\dfrac{r^2−16}{4}÷\dfrac{r^3−64}{2r^2−8r+32}$

练习$\PageIndex{23}$

$\dfrac{11+w}{w−9}÷\dfrac{121−w^2}{9−w}$

回答

$\dfrac{1}{11+w}$

练习$\PageIndex{24}$

$\dfrac{3y^2−12y−63}{4y+3}÷(6y^2−42y)$

练习$\PageIndex{25}$

$\dfrac{\dfrac{c^2−64}{3c^2+26c+16}}{\dfrac{c^2−4c−32}{15c+10}}$

回答

$5c+4$

练习$\PageIndex{26}$

$\dfrac{8m^2−8m}{m−4}·\dfrac{m^2+2m−24}{m^2+7m+10}÷\dfrac{2m^2−6m}{m+5}$

用公分母加减有理表达式

添加带有公分母的有理表达式

在以下练习中，添加。

练习$\PageIndex{27}$

$\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}$

回答

$1$

练习$\PageIndex{28}$

$\dfrac{4a^2}{2a−1}−\dfrac{1}{2a−1}$

练习$\PageIndex{29}$

$\dfrac{p^2+10p}{p+5}+\dfrac{25}{p+5}$

回答

$p+5$

练习$\PageIndex{30}$

$\dfrac{3x}{x−1}+\dfrac{2}{x−1}$

用公分母减去有理表达式

在以下练习中，减去。

练习$\PageIndex{31}$

$\dfrac{d^2}{d+4}−\dfrac{3d+28}{d+4}$

回答

$d-7$

练习$\PageIndex{32}$

$\dfrac{z^2}{z+10}−\dfrac{100}{z+10}$

练习$\PageIndex{33}$

$\dfrac{4q^2−q+3}{q^2+6q+5}−\dfrac{3q^2+q+6}{q^2+6q+5}$

回答

$\dfrac{q−3}{q+5}$

练习$\PageIndex{34}$

$\dfrac{5t+4t+3}{t^2−25}−\dfrac{4t^2−8t−32}{t^2−25}$

加减分母对立的有理表达式

在以下练习中，加减法。

练习$\PageIndex{35}$

$\dfrac{18w}{6w−1}+\dfrac{3w−2}{1−6w}$

回答

$\dfrac{15w+2}{6w−1}$

练习$\PageIndex{36}$

$\dfrac{a^2+3a}{a^2−4}−\dfrac{3a−8}{4−a^2}$

练习$\PageIndex{37}$

$\dfrac{2b^2+3b−15}{b^2−49}−\dfrac{b^2+16b−1}{49−b^2}$

回答

$\dfrac{3b−2}{b+7}$

练习$\PageIndex{38}$

$\dfrac{8y^2−10y+7}{2y−5}+\dfrac{2y^2+7y+2}{5−2y}$

使用不同分母加减有理表达式

找出有理表达式的最小公分母

在以下练习中，找到 LCD。

练习$\PageIndex{38}$

$\dfrac{4}{m^2−3m−10},\quad\dfrac{2m}{m^2−m−20}$

回答

$(m+2)(m−5)(m+4)$

练习$\PageIndex{39}$

$\dfrac{6}{n^2−4},\quad\dfrac{2n}{n^2−4n+4}$

练习$\PageIndex{40}$

$\dfrac{5}{3p^2+17p−6},\quad\dfrac{2m}{3p^2−23p−8}$

回答

$(3p+1)(p+6)(p+8)$

查找等效有理表达式

在以下练习中，使用给定的分母重写为等效有理表达式。

练习$\PageIndex{41}$

用分母重写为等效有理表达式$(m+2)(m−5)(m+4)$

$\dfrac{4}{m^2−3m−10},\quad\dfrac{2m}{m^2−m−20}$。

练习$\PageIndex{42}$

用分母重写为等效有理表达式$(n−2)(n−2)(n+2)$

$\dfrac{6}{n^2−4n+4},\quad\dfrac{2n}{n^2−4}$。

回答

$\dfrac{6n+12}{(n−2)(n−2)(n+2)},\quad\dfrac{2n^2−4n}{(n−2)(n−2)(n+2)}$

练习$\PageIndex{43}$

用分母重写为等效有理表达式$(3p+1)(p+6)(p+8)$

$\dfrac{5}{3p^2+19p+6},\quad\dfrac{7p}{3p^2+25p+8}$

添加具有不同分母的有理表达式

在以下练习中，添加。

练习$\PageIndex{44}$

$\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{5}$

回答

$\dfrac{19}{15}$

练习$\PageIndex{45}$

$\dfrac{7}{5a}+\dfrac{3}{2b}$

练习$\PageIndex{46}$

$\dfrac{2}{c−2}+\dfrac{9}{c+3}$

回答

$\dfrac{11c−12}{(c−2)(c+3)}$

练习$\PageIndex{47}$

$\dfrac{3d}{d^2−9}+\dfrac{5}{d^2+6d+9}$

练习$\PageIndex{48}$

$\dfrac{2x}{x^2+10x+24}+\dfrac{3x}{x^2+8x+16}$

回答

$\dfrac{5x^2+26x}{(x+4)(x+4)(x+6)}$

练习$\PageIndex{49}$

$\dfrac{5q}{p^{2}q−p^2}+\dfrac{4q}{q^2−1}$

减去具有不同分母的有理表达式

在以下练习中，减去和相加。

练习$\PageIndex{50}$

$\dfrac{3v}{v+2}−\dfrac{v+2}{v+8}$

回答

$\dfrac{2(v^2+10v−2)}{(v+2)(v+8)}$

练习$\PageIndex{51}$

$\dfrac{−3w−15}{w^2+w−20}−\dfrac{w+2}{4−w}$

练习$\PageIndex{52}$

$\dfrac{7m+3}{m+2}−5$

回答

$\dfrac{2m−7}{m+2}$

练习$\PageIndex{53}$

$\dfrac{n}{n+3}+\dfrac{2}{n−3}−\dfrac{n−9}{n^2−9}$

练习$\PageIndex{54}$

$\dfrac{8d}{d^2−64}−\dfrac{4}{d+8}$

回答

$4d−8$

练习$\PageIndex{55}$

$\dfrac{5}{12x^{2}y}+\dfrac{7}{20xy^3}$

简化复杂的有理表达式

通过将复杂的有理表达式写成 Division 来简化它

在以下练习中，进行简化。

练习$\PageIndex{56}$

$\dfrac{\dfrac{5a}{a+2}}{\dfrac{10a^2}{a^2−4}}$

回答

$\dfrac{a−2}{2a}$

练习$\PageIndex{57}$

$\dfrac{\dfrac{2}{5}+\dfrac{5}{6}}{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}}$

练习$\PageIndex{58}$

$\dfrac{x−\dfrac{3x}{x+5}}{\dfrac{1}{x+5}+\dfrac{1}{x−5}}$

回答

$\dfrac{(x−8)(x−5)}{2}$

练习$\PageIndex{59}$

$\dfrac{\dfrac{2}{m}+\dfrac{m}{n}}{\dfrac{n}{m}−\dfrac{1}{n}}$

使用 LCD 简化复杂的有理表达式

在以下练习中，进行简化。

练习$\PageIndex{60}$

$\dfrac{6+\dfrac{2}{q−4}}{\dfrac{5}{q}+4}$

回答

$\dfrac{(q−2)(q+4)}{5(q−4)}$

练习$\PageIndex{61}$

$\dfrac{\dfrac{3}{a^2}−\dfrac{1}{b}}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b^2}}$

练习$\PageIndex{62}$

$\dfrac{\dfrac{2}{z^2−49}+\dfrac{1}{z+7}}{\dfrac{9}{z+7}+\dfrac{12}{z−7}}$

回答

$\dfrac{z−5}{21z+21}$

练习$\PageIndex{63}$

$\dfrac{\dfrac{3}{y^2−4y−32}}{\dfrac{2}{y−8}+\dfrac{1}{y+4}}$

求解有理方程

求解有理方程

在以下练习中，求解。

练习$\PageIndex{64}$

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{x}$

回答

$\dfrac{6}{7}$

练习$\PageIndex{65}$

$1−\dfrac{2}{m}=\dfrac{8}{m^2}$

练习$\PageIndex{66}$

$\dfrac{1}{b−2}+\dfrac{1}{b+2}=\dfrac{3}{b^2−4}$

回答

$\dfrac{3}{2}$

练习$\PageIndex{67}$

$\dfrac{3}{q+8}−\dfrac{2}{q−2}=1$

练习$\PageIndex{68}$

$\dfrac{v−15}{v^2−9v+18}=\dfrac{4}{v−3}+\dfrac{2}{v−6}$

回答

没有解决办法

练习$\PageIndex{69}$

$\dfrac{z}{12}+\dfrac{z+3}{3z}=\dfrac{1}{z}$

求解特定变量的有理方程

在以下练习中，求解指定变量。

练习$\PageIndex{70}$

$\dfrac{V}{l}=hw$为了$l$

回答

$l=\dfrac{V}{hw}$

练习$\PageIndex{71}$

$\dfrac{1}{x}−\dfrac{2}{y}=5$为了$y$

练习$\PageIndex{72}$

$x=\dfrac{y+5}{z−7}$为了$z$

回答

$z=\dfrac{y+5+7x}{x}$

练习$\PageIndex{73}$

$P=\dfrac{k}{V}$为了$V$

求解比例和相似图应用相似度

求解比例

在以下练习中，求解。

练习$\PageIndex{74}$

$\dfrac{x}{4}=\dfrac{3}{5}$

回答

$\dfrac{12}{5}$

练习$\PageIndex{75}$

$\dfrac{3}{y}=\dfrac{9}{5}$

练习$\PageIndex{76}$

$\dfrac{s}{s+20}=\dfrac{3}{7}$

回答

$15$

练习$\PageIndex{77}$

$\dfrac{t−3}{5}=\dfrac{t+2}{9}$

在以下练习中，使用比例求解。

练习$\PageIndex{78}$

Rachael 吃了一$21$盎司$739$含有卡路里的草莓奶昔。 一$32$盎司奶昔中有多少卡路里？

回答

$1161$卡路里

练习$\PageIndex{79}$

Leo 在圣诞节假期去了墨西哥，将$$525$美元兑换成了墨西哥比索。 当时，美元的汇率等于$16.25$墨西哥比索。$$1$ 他这次旅行得到了多少墨西哥比索？

求解相似图形应用程序

在以下练习中，求解。

练习$\PageIndex{80}$

$∆ABC$类似于$∆XYZ$。 图中给出了每个三角形两边的长度。 找出第三边的长度。

回答

$b=9$;$x=2\dfrac{1}{3}$

练习$\PageIndex{81}$

在欧洲地图上，巴黎、罗马和维也纳形成一个三角形，其边如下图所示。 如果从罗马到维也纳的实际距离是$700$英里，请找到距离

1. a. 从巴黎到罗马
2. b. 从巴黎到维也纳

练习$\PageIndex{82}$

托尼身高一$5.75$英尺。 一天下午晚些时候，他的影子长一$8$英尺。 同时，附近一棵树的阴影长达几$32$英尺。 找出树的高度。

回答

$23$英尺

练习$\PageIndex{83}$

佛罗里达州彭萨科拉的一座灯塔的高度是$150$英尺。 站在雕像旁边，一$5.5$英尺高的娜塔莉投下了$1.1$脚影，灯塔的阴影会持续多久？

解决均匀运动和工作应用问题

求解均匀运动应用程序

在以下练习中，求解。

练习$\PageIndex{84}$

丽莎在去探望父母后开车5小时回家时，遇到了恶劣的天气。 天气好的时候她可以行驶$176$数英里, 但是后来慢了$10$英里每小时, 在恶劣的天气下行驶了$81$几英里. 天气不好的时候她开了多快？

回答

45 英里每小时

练习$\PageIndex{85}$

马克乘坐的飞机可以以英里$20$ /小时的顺风飞行$490$数英里，同时它可以在英里/小时的顺风下飞行$350$数$20$英里. 飞机的速度是多少？

练习$\PageIndex{86}$

约翰骑自行车的$8$速度比卢克骑自行车的速度更快. 卢克比约翰长$3$几个小时才能骑行$48$里程。 约翰能骑多快自行车？

回答

$16$mph

练习$\PageIndex{87}$

马克正在为铁人三项训练。 他在总共$3$几个小时内跑$8$了$32$几公里并骑了几公里. 他的跑步速度比骑自行车的速度低每小时$8$千米。 他的跑步速度是多少？

解决工作申请

在以下练习中，求解。

练习$\PageIndex{88}$

杰瑞可以在一$1$小时内构筑一个房间，而杰克则需要$4$几个小时。 他们能一起搭建一个房间多久？

回答

$\dfrac{4}{5}$小时

练习$\PageIndex{89}$

丽莎需要$3$几个小时来修剪草坪，而她的堂兄 Barb 则需要$2$几个小时。 他们一起工作需要多长时间？

练习$\PageIndex{90}$

杰弗里可以在$6$几天之内粉刷房子，但如果他有帮手，他可以在$4$几天之内完成。 帮手独自粉刷房子要花多长时间？

回答

$12$天

练习$\PageIndex{91}$

Sue 和 Deb 一起写了一本花了他们$90$几天的书。 如果 Sue 一个人工作，那将花费她$120$几天时间。 Deb 独自写这本书要花多长时间？

使用直接变异和逆变异

解决直接变异问题

在以下练习中，求解。

练习$\PageIndex{92}$

它直接$y$变化$x$，比如，何时$y=9$和$x=3$，找出$x$时间$y=21$。

回答

$7$

练习$\PageIndex{93}$

它直接$y$变化$x$，比如，何时$y=20$和$x=2$，找出$y$时间$x=4$。

练习$\PageIndex{94}$

它$m$与$n$、when$m=4$ 和$n=6$ fin$m$ d when 的平方成反比$n=2$。

回答

$36$

练习$\PageIndex{95}$

凡妮莎正在旅行去见她的未婚夫。 距离，$d$，直接随速度而变化，$v$，她开车。 如果她以英里/小时的$60$速度行驶$258$数英里, 她会以英里/小时的$70$速度行驶多远?

练习$\PageIndex{96}$

如果披萨的成本直接随其直径而变化，如果一个$8$ “直径” 的披萨的价格是多少$$12$，那么$6$ “直径” 的披萨要花多少钱？

回答

$$9$

练习$\PageIndex{97}$

停下汽车的距离直接随其速度的平方而变化。 阻止汽车以$200$英里/小时的速度行驶需要$50$英尺. 阻止一辆汽车以英里/小时的速度行驶需要多少$60$英尺?

解决逆变问题

在以下练习中，求解。

练习$\PageIndex{98}$

音乐筹款活动的门票数量与门票价格成反比。 如果玛德琳有足够的钱购买$12$门票$$6$，那么如果价格上涨到了，玛德琳能买多少张票$$8$？

回答

$97$门票

练习$\PageIndex{99}$

在弦乐器上，弦的长度与其振动频率成反比。 如果小提琴上的$11$-inch 弦具有每秒$360$循环的频率，那么$12$-inch 琴弦的频率是多少？

练习测试

在以下练习中，进行简化。

练习$\PageIndex{1}$

$\dfrac{3a^{2}b}{6ab^2}$

回答

$\dfrac{a}{2b}$

练习$\PageIndex{2}$

$\dfrac{5b−25}{b^2−25}$

在以下练习中，执行指定的操作并进行简化。

练习$\PageIndex{3}$

$\dfrac{4x}{x+2}·\dfrac{x^2+5x+6}{12x^2}$

回答

$\dfrac{x+3}{3x}$

练习$\PageIndex{4}$

$\dfrac{5y}{4y−8}·\dfrac{y^2−4}{10}$

练习$\PageIndex{5}$

$\dfrac{4p}{q}+\dfrac{5}{p}$

回答

$\dfrac{4+5q}{pq}$

练习$\PageIndex{6}$

$\dfrac{1}{z−9}−\dfrac{3}{z+9}$

练习$\PageIndex{7}$

$\dfrac{\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{5}}{\dfrac{2}{5}}$

回答

$\dfrac{19}{16}$

练习$\PageIndex{8}$

$\dfrac{\dfrac{1}{m}−\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m}}$

在以下练习中，求解每个方程。

练习$\PageIndex{9}$

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{7}=\dfrac{1}{x}$

回答

$x = \dfrac{14}{11}$

练习$\PageIndex{10}$

$\dfrac{5}{y−6}=\dfrac{3}{y+6}$

练习$\PageIndex{11}$

$\dfrac{1}{z−5}+\dfrac{1}{z+5}=\dfrac{1}{z^2−25}$

回答

$z = \dfrac{1}{2}$

练习$\PageIndex{12}$

$\dfrac{t}{4}=\dfrac{3}{5}$

练习$\PageIndex{13}$

$\dfrac{2}{r−2}=\dfrac{3}{r−1}$

回答

$r = 4$

在以下练习中，求解。

练习$\PageIndex{14}$

它直接$y$随时间$x$而变化$x=5$$y=30$，找出$x$时间$y=42$。

练习$\PageIndex{15}$

如果$y$与时间成反比$x$$y=20$，$x=6$则找出$y$时间$x=2$。

回答

$y=60$

练习$\PageIndex{16}$

如果与$y$ when$x$ 和$x=3$ when 的平方成反比$y=9$，请找出$y$时间$x=4$。

练习$\PageIndex{17}$

狗的推荐红霉素剂量是狗每重一磅的$5$毫克。 如果黛西体重一$25$磅，她的兽医应该开多少毫克的红霉素？

回答

$125$毫克

练习$\PageIndex{18}$

周日下午，朱莉娅花了$4$几个小时在健身房锻炼身体。 她在跑步机上跑了$10$几英里然后骑了$20$几英里。 她的骑行$5$速度比跑步机上的跑步速度快mph. 她的跑步速度是多少？

练习$\PageIndex{19}$

库尔特可以在风中骑自行车行驶数$30$英里，时间与逆风行驶数$21$英里的时间相同。 如果风速是$6$英里每小时，那么库尔特骑自行车的速度是多少？

回答

$14$mph

练习$\PageIndex{20}$

阿曼达（Amanda$8$）使用一条路线慢跑到公园数英里，然后通过一条$14$-英里路线返回. 回程比她慢跑到公园花费的时间要长$1$一个小时。 找出她的慢跑速率

练习$\PageIndex{21}$

经验丰富的洗窗机可以在$2$数小时内清洗迈克家的所有窗户，而新学员可以在$7$数小时内清洗所有窗户。 他们一起工作需要多长时间？

回答

$1\frac{5}{9}$小时

练习$\PageIndex{22}$

Josh 可以在$8$几个小时内拆分一卡车的日志，但是和他父亲一起工作他们可以在$3$几个小时内完成。 Josh 的爸爸独自工作要花多长时间才能拆分日志？

练习$\PageIndex{23}$

泰勒为汽油支付的价格与他购买的加仑数量直接不同。 如果$24$加仑花了他钱$$59.76$，$30$加仑要花多少钱？

回答

$$74.70$

练习$\PageIndex{24}$

容器中气体的体积与气体上的压力成反比。 如果氮气容器的体积为$29.5$升，$2000$psi，那么如果储罐的额定值为$14.7$ psi，则容量是多少？ 四舍五入到最接近的整数。

练习$\PageIndex{25}$

代顿、哥伦布和辛辛那提等城市在俄亥俄州南部形成一个三角形，如下图所示，这给出了这些城市之间的地图距离（以英寸为单位）。

从代顿到辛辛那提的实际距离为$48$英里. 代顿和哥伦布之间的实际距离是多少？

回答

$64$英里

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