7.1：按分组划分的最大公因子和因子
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在本节结束时，您将能够：
- 找出两个或多个表达式的最大公因子
- 分解多项式中的最大公因子
- 按分组分列
在开始之前，请参加这个准备测验。
- 将 56 分成素数。
如果您错过了此问题，请查看练习 1.2.19。 - 找出 18 和 24 的最小公倍数。
如果您错过了此问题，请查看练习 1.2.28。 - 简化\(−3(6a+11)\)。
如果您错过了此问题，请查看练习 1.10.40。
找出两个或多个表达式的最大公因子
之前我们将因子乘以得出产品。 现在，我们将扭转这个过程；我们将从产品开始，然后将其分解为其因素。 将产品拆分为因子称为因子分解。
我们已经学会了如何对数字进行分解以找到两个或多个数字的最小公倍数（LCM）。 现在，我们将对表达式进行分解并找到两个或多个表达式的最大公因子。 我们使用的方法类似于我们用来查找 LCM 的方法。
两个或多个表达式的最大公因子 (GCF) 是作为所有表达式中因子的最大表达式。
首先，我们将找到两个数字的 GCF。
找出 54 和 36 的 GCF。
- 回答
-
请注意，由于 GCF 是两个数字的因子，因此 54 和 36 可以写成 18 的倍数。
\[\begin{array}{l}{54=18 \cdot 3} \\ {36=18 \cdot 2}\end{array}\]
找出 48 和 80 的 GCF。
- 回答
-
16
找出 18 和 40 的 GCF。
- 回答
-
2
我们在下面总结了查找 GCF 所用的步骤。
找出两个表达式的最大公因子 (GCF)。
- 第 1 步。 将每个系数分解为素数。 以扩展形式写入所有带有指数的变量。
- 第 2 步。 列出所有因子-在一列中匹配常见因子。 在每列中，圈出常见因素。
- 第 3 步。 记下所有表达式共有的共同因素。
- 第 4 步。 将因子相乘。
在第一个例子中，GCF 是一个常数。 在接下来的两个示例中，我们将获得最大公因子中的变量。
找出\(27x^3\)和的最大共同因子\(18x^4\)。
- 回答
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将每个系数分解为素数，然后以扩展形式写入带有指数的变量。 圈出每列中的常见因素。 记下常见因素。 将因子相乘。 27\(x^{3}\) 和
18 的 GCF\(x^{4}\) 为 9\(x^{3}\)。
找到 GCF：\(12 x^{2}, 18 x^{3}\)
- 回答
-
\(6x^2\)
找到 GCF：\(16 y^{2}, 24 y^{3}\)
- 回答
-
\(8y^2\)
找出的 GCF\(4 x^{2} y, 6 x y^{3}\)
- 回答
-
将每个系数分解为素数，然后以扩展形式写入带有指数的变量。 圈出每列中的常见因素。 记下常见因素。 将因子相乘。 4\(x^{2} y\) 和
6 的 GCF\(x y^{3}\) 为 2\(x y .\)
找到 GCF：\(6 a b^{4}, 8 a^{2} b\)
- 回答
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\(2ab\)
找到 GCF：\(9 m^{5} n^{2}, 12 m^{3} n\)
- 回答
-
\(3m^3 n\)
找出以下几点的 GCF：\(21 x^{3}, 9 x^{2}, 15 x\)
- 回答
-
将每个系数分解为素数，然后以扩展形式写入带有指数的变量。 圈出每列中的常见因素。 记下常见因素。 将因子相乘。 \(21 x^{3}, 9 x^{2}\)
和 15 的 GCF\(x\) 为 3\(x\)
找出最大的共同因素：\(25 m^{4}, 35 m^{3}, 20 m^{2}\)
- 回答
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\(5m^2\)
找出最大的共同因素：\(14 x^{3}, 70 x^{2}, 105 x\)
- 回答
-
\(7x\)
从多项式中分解最大公因子
就像在算术中一样，有时用因子形式表示数字（例如，12 表示为 2·6or3·4）,2·6or3·4）很有用，在代数中，以因子形式表示多项式可能很有用。 做到这一点的一种方法是找到所有术语的GCF。 请记住，我们将多项式乘以单项式，如下所示：
\[\begin{array}{cc}{2(x+7)} & {\text { factors }} \\ {2 \cdot x+2 \cdot 7} & { } \\ {2 x+14} & {\text { product }}\end{array}\]
现在我们将从一个产品开始，比如说\(2 x+14\)，最后是它的因素，2\((x+7)\)。 为此，我们 “反向” 应用分配财产。
我们在这里陈述分配财产，就像你在前面的章节中看到的那样，“相反”。
如果\(a,b,c\)是实数，那么
\[a(b+c)=a b+a c \quad\text{ and }\quad a b+a c=a(b+c)\]
左边的表格用于乘法。 右边的表单用于分数。
那么如何使用分布属性来分解多项式呢？ 你只需找到所有项的 GCF，然后将多项式写成乘积即可！
因子：\(4 x+12\)
- 回答
-
因子：\(6 a+24\)
- 回答
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\(6(a+4)\)
因子：\(2 b+14\)
- 回答
-
\(2(b+7)\)
分解多项式中的最大公因子。
第 1 步。 找出多项式所有项的 GCF。
第 2 步。 使用 GCF 将每个术语重写为产品。
第 3 步。 使用 “反向” 分布属性对表达式进行分解。
第 4 步。 通过乘以因子进行检查。
我们使用 “因子” 既是名词又是动词。
因子：\(5 a+5\)
- 回答
-
找出 5 a 和 5 的 GCF。 使用 GCF 将每个术语重写为产品。 使用 “反向” 分配属性来分解 GCF。 通过乘以因子进行检查，得到原始多项式。 5\((a+1)\) \(5 \cdot a+5 \cdot 1\) \(5 a+5 \checkmark\)
因子：\(14 x+14\)
- 回答
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\(14(x+1)\)
因子：\(12 p+12\)
- 回答
-
\(12(p+1)\)
下一个示例中的表达式有几个共同的因素。 记得把 GCF 写成所有常见因素的乘积。
因子：\(12 x-60\)
- 回答
-
找出 12 x 和 60 的 GCF。 使用 GCF 将每个术语重写为产品。 将全球公积金考虑在内。 通过乘以因子进行检查。 12 (x−5) \(12 \cdot x-12 \cdot 5\) \(12 x-60 \checkmark\)
因子：\(18 u-36\)
- 回答
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\(8(u-2)\)
因子：\(30 y-60\)
- 回答
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\(30(y-2)\)
现在我们将从三项式中分解出最大的公因子。 我们首先找到所有三个学期的GCF。
因子：\(4 y^{2}+24 y+28\)
- 回答
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我们首先找到所有三个学期的GCF。
找出\(4 y^{2}, 24 y\)和 28 的 GCF 使用 GCF 将每个术语重写为产品。 将全球公积金考虑在内。 乘法检查。 4\(\left(y^{2}+6 y+7\right)\) \(4 \cdot y^{2}+4 \cdot 6 y+4 \cdot 7\) \(4 y^{2}+24 y+28 \checkmark\)
因子：\(5 x^{2}-25 x+15\)
- 回答
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\(5\left(x^{2}-5 x+3\right)\)
因子：\(3 y^{2}-12 y+27\)
- 回答
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\(3\left(y^{2}-4 y+9\right)\)
因子：\(5 x^{3}-25 x^{2}\)
- 回答
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找出 5\(x^{3}\) 和 25 的 GCF\(x^{2}\) 重写每个术语。 将全球公积金考虑在内。 查看。 5\(x^{2}(x-5)\) \(5 x^{2} \cdot x-5 x^{2} \cdot 5\) \(5 x^{3}-25 x^{2}\checkmark\)
因子：\(2 x^{3}+12 x^{2}\)
- 回答
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\(2x^2(x+6)\)
因子：\(6 y^{3}-15 y^{2}\)
- 回答
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\(3y^2(2y-5)\)
因子：\(21 x^{3}-9 x^{2}+15 x\)
- 回答
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在前面的示例中，我们发现的 GCF\(21 x^{3}, 9 x^{2}, 15 x\) 为 3\(x\)。
使用 GCF 重写每个术语，3 x。 将全球公积金考虑在内。 查看。 3\(x\left(7 x^{2}-3 x+5\right)\) \(3 x \cdot 7 x^{2}-3 x \cdot 3 x+3 x \cdot 5\) \(21 x^{3}-9 x^{2}+15 x\checkmark\)
因子：\(20 x^{3}-10 x^{2}+14 x\)
- 回答
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\(2x(10x^2-5x+7)\)
因子：\(24 y^{3}-12 y^{2}-20 y\)
- 回答
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\(4y(6y^2-3y-5)\)
因子：\(8 m^{3}-12 m^{2} n+20 m n^{2}\)
- 回答
-
找出的 GCF\(8 m^{3}, 12 m^{2} n, 20 m n^{2}\) 重写每个术语。 将全球公积金考虑在内。 查看。 4\(m\left(2 m^{2}-3 m n+5 n^{2}\right)\) \(4 m \cdot 2 m^{2}-4 m \cdot 3 m n+4 m \cdot 5 n^{2}\) \(8 m^{3}-12 m^{2} n+20 m n^{2}\checkmark\)
因子：\(9 x y^{2}+6 x^{2} y^{2}+21 y^{3}\)
- 回答
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\(3y^2(3x+2x^2+7y)\)
因子：\(3 p^{3}-6 p^{2} q+9 p q^{3}\)
- 回答
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\(3p(p^2-2pq+3q^2\)
当前导系数为负时，我们将负值作为 GCF 的一部分除去。
因子：\(-8 y-24\)
- 回答
-
当前导系数为负时，GCF 将为负。
忽略术语的符号，我们首先发现 8 y 的 GCF，24 是 8。 由于表达式 −8 y − 24 的前导系数为负，因此我们使用 −8 作为 GCF。 使用 GCF 重写每个术语。
将全球公积金考虑在内。 查看。 \(-8(y+3)\) \(-8 \cdot y+(-8) \cdot 3\) \(-8 y-24 \checkmark\)
因子：\(-16 z-64\)
- 回答
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\(-16(z+4)\)
因子：\(-9 y-27\)
- 回答
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\(-9(y+3)\)
因子：\(-6 a^{2}+36 a\)
- 回答
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前导系数为负，因此 GCF 将为负。？
由于前导系数为负，因此 GCF 为负，即 −6 a。
使用 GCF 重写每个术语。 将全球公积金考虑在内。 查看。 \(-6 a(a-6)\) \(-6 a \cdot a+(-6 a)(-6)\) \(-6 a^{2}+36 a v\)
因子：\(-4 b^{2}+16 b\)
- 回答
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\(-4b(b-4)\)
因子：\(-7 a^{2}+21 a\)
- 回答
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\(-7a(a-3)\)
因子：\(5 q(q+7)-6(q+7)\)
- 回答
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GCF 是二项式 q+7。
将 GCF 考虑在内，(q + 7)。 通过乘法自行检查。
因子：\(4 m(m+3)-7(m+3)\)
- 回答
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\( (m+3)(4m-7) \)
因子：\(8 n(n-4)+5(n-4)\)
- 回答
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\( (n-4)(8n+5) \)
按分组排序
当多项式的所有项都没有公因子时，只在其中一些项中寻找共同因子。 当有四个项时，一个好的起点是将多项式分成两部分，每部分有两个项。 然后在每个部分中查找 GCF。 如果多项式可以分解，你会发现两个部分都有一个共同的因子。
（并非所有的多项式都可以分解。 就像有些数字是素数一样，有些多项式是素数。）
因子：\(x y+3 y+2 x+6\)
- 回答
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因子：\(x y+8 y+3 x+24\)
- 回答
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\( (x+8)(y+3) \)
因子：\(a b+7 b+8 a+56\)
- 回答
-
\( (a+7)(b+8) \)
按分组进行因子排序。
第 1 步。 对具有共同因素的术语进行分组。
第 2 步。 排除每组中的共同因素。
第 3 步。 从表达式中分解公共因子。
第 4 步。 通过乘以因子进行检查。
因子：\(x^{2}+3 x-2 x-6\)
- 回答
-
\(\begin{array}{ll}{\text { There is no GCF in all four terms. }} & x^{2}+3 x-2 x-6\\ {\text { Separate into two parts. }} & \underbrace{x^{2}+3 x}\underbrace{-2 x-6} \\ \\ {\text { Factor the GCF from both parts. Be careful }} \\ {\text { with the signs when factoring the GCF from }}& \begin{array}{c}{x(x+3)-2(x+3)} \\ {(x+3)(x-2)}\end{array} \\ {\text { the last two terms. }} \\ \\ \text { Check on your own by multinlying. }\end{array}\)
因子：\(x^{2}+2 x-5 x-10\)
- 回答
-
\( (x-5)(x+2) \)
因子：\(y^{2}+4 y-7 y-28\)
- 回答
-
\( (y+4)(y-7) \)
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- 最大共同因子 (GCF)
- 分解二项式的 GCF
- 多项式的最大公因子 (GCF)
词汇表
- 保理
- 保理是将产品拆分为因子；换句话说，它是相反的乘法过程。
- 最大的共同因素
- 最大的公因子是最大的表达式，即两个或更多表达式的因子是最大公因子 (GCF)。