6.3: 乘以多项式
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在本节结束时，您将能够：
- 将多项式乘以单项式
- 将二项式乘以二项式
- 将三项式乘以二项式
在开始之前，请参加这个准备测验。
- 分发：\(2(x+3)\)。
如果您错过了此问题，请查看练习 1.10.31。 - 将类似的术语合并:\(x^{2}+9x+7x+63\).
如果您错过了此问题，请查看练习 1.3.37。
将多项式乘以单项式
我们已经使用分布属性来简化表达式，例如\(2(x−3)\)。 你将括号中的两个项乘以，\(x\)然后\(3\)乘以\(2\)，得到\(2x−6\)。 有了本章的新词汇，你可以说你在将二项式\(x−3\)乘以单项式\(2\)。
将二项式乘以单项式对你来说并不是什么新鲜事！ 下面是一个例子：
乘以：\(4(x+3)\)。
- 回答
-
分发。 \(4 \cdot x+4 \cdot 3\) 简化。 \(4 x+12\)
乘以：\(5(x+7)\)。
- 回答
-
5x+35
乘以：\(3(y+13)\)。
- 回答
-
3y+39
乘以：y (y−2)。
- 回答
-
分发。 \(y \cdot y-y \cdot 2\) 简化。 \(y^{2}-2 y\)
乘以：\(x(x−7)\)。
- 回答
-
\(x^{2}-7 x\)
乘以：\(d(d−11)\)。
- 回答
-
\(d^{2}-11d\)
乘以：\(7x(2 x+y)\)
- 回答
-
分发。 
简化。 
乘以：\(5x(x+4 y)\)
- 回答
-
\(5 x^{2}+20 x y\)
乘以：\(2p(6 p+r)\)
- 回答
-
\(12 p^{2}+2 p r\)
乘以：\(-2 y\left(4 y^{2}+3 y-5\right)\)
- 回答
-
分发。 
简化。 
乘以：\(-3 y\left(5 y^{2}+8 y-7\right)\)
- 回答
-
\(-15 y^{3}-24 y^{2}+21 y\)
乘以：\(4x^{2}\left(2 x^{2}-3 x+5\right)\)
- 回答
-
\(8 x^{4}-24 x^{3}+20 x^{2}\)
乘以：\(2x^{3}\left(x^{2}-8 x+1\right)\)
- 回答
-
分发。 \(2 x^{3} \cdot x^{2}+\left(2 x^{3}\right) \cdot(-8 x)+\left(2 x^{3}\right) \cdot 1\) 简化。 \(2 x^{5}-16 x^{4}+2 x^{3}\)
乘以：4\(x\left(3 x^{2}-5 x+3\right)\)
- 回答
-
\(12 x^{3}-20 x^{2}+12 x\)
乘以：\(-6 a^{3}\left(3 a^{2}-2 a+6\right)\)
- 回答
-
\(-18 a^{5}+12 a^{4}-36 a^{3}\)
乘以：\((x+3) p\)
- 回答
-
单项式是第二个因素。 
分发。 \(x \cdot p+3 \cdot p\) 简化。 \ (\ x p+3 p)
乘以：\((x+8) p\)
- 回答
-
\(x p+8 p\)
乘以：\((a+4) p\)
- 回答
-
\(a p+4 p\)
将二项式乘以二项式
就像有不同的方法来表示数字的乘法一样，有几种方法可以用来将二项式乘以二项式。 我们将首先使用分配财产。
使用分布属性将二项式乘以二项式
看看练习\(\PageIndex{16}\)，我们用二项式乘以单项式。
| 指令 | 表情 |
|---|---|
| 起始表达式 |  |
| 我们分发了，\(p\)以获得： |  |
| 如果我们有\((x + 7)\)代替\(p\)怎么办？ |  |
| 分发\((x + 7)\)。 |  |
| 再次分发。 | \(x^{2}+7 x+3 x+21\) |
| 将相似的术语组合在一起。 | \(x^{2}+10 x+21\) |
请注意，在合并相似术语之前，您有四个术语。 你将第一个二项式的两个项乘以第二个二项式的两个项——四个乘法。
乘以：\((y+5)(y+8)\)
- 回答
-
分发 (y + 8)。 
再次分发 \(y^{2}+8 y+5 y+40\) 将相似的术语组合在一起。 \ (\ y^ {2} +13 y+40)
乘以：\((x+8)(x+9)\)
- 回答
-
\(x^{2}+17 x+72\)
乘以：\((5 x+9)(4 x+3)\)
- 回答
-
\(20 x^{2}+51 x+27\)
乘以：\((2 y+5)(3 y+4)\)
- 回答
-
分发 (3 y + 4)。 
再次分发 \(6 y^{2}+8 y+15 y+20\) 将相似的术语组合在一起。 \(6 y^{2}+23 y+20\)
乘以：\((3 b+5)(4 b+6)\)
- 回答
-
\(12 b^{2}+38 b+30\)
乘以：\((a+10)(a+7)\)
- 回答
-
\(a^{2}+17 a+70\)
乘以：\((4 y+3)(2 y-5)\)
- 回答
-
分发。 
再次分发。 \(8 y^{2}-20 y+6 y-15\) 将相似的术语组合在一起。 \(8 y^{2}-14 y-15\)
乘以：\((5 y+2)(6 y-3)\)
- 回答
-
\(30 y^{2}-3 y-6\)
乘以：\((3 c+4)(5 c-2)\)
- 回答
-
\(15 c^{2}+14 c-8\)
乘以：\((x-2)(x-y)\)
- 回答
-
分发。 
再次分发。 \(x^{2}-x y-2 x+2 y\) 没有相似的术语可以合并。
乘以：\((a+7)(a-b)\)
- 回答
-
\(a^{2}-a b+7 a-7 b\)
乘以：\((x+5)(x-y)\)
- 回答
-
\(x^{2}-x y+5 x-5 y\)
使用 FOIL 方法将二项式乘以二项式
请记住，当你将二项式乘以二项式时，你会得到四个项。 有时你可以将相似的术语组合起来得到三项式，但有时候，比如在练习中\(\PageIndex{28}\)，没有相似的术语可以组合。
让我们再看最后一个例子，特别注意我们是如何得到这四个术语的。
\[\begin{array}{c}{(x-2)(x-y)} \\ {x^{2}-x y-2 x+2 y}\end{array} \nonumber\]
第一个学期是从哪\(x^{2}\)里来的？
我们将 “第一、外部、内部、最后” 缩写为 FOIL。 字母代表 “F f irst、O uter、I nner、L as t”。 FOIL 这个词很容易记住，可以确保我们找到所有四种产品。
\[\begin{array}{c}{(x-2)(x-y)} \\ {x^{2}-x y-2 x+2 y} \\ {F \qquad O\qquad I\qquad L}\end{array}\]
让我们来看看 (x+3) (x+7)。
| 分配财产 | 铝箔 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
\(x^{2}+10 x+21\) |
注意第三行中的术语如何符合 FOIL 模式。
现在我们将举一个例子，我们使用 FOIL 模式将两个二项式相乘。
使用 FOIL 方法乘以：\((x+5)(x+9)\)
- 回答
-
使用 FOIL 方法乘以：\((x+6)(x+8)\)
- 回答
-
\(x^{2}+14 x+48\)
使用 FOIL 方法乘以：\((y+17)(y+3)\)
- 回答
-
\(y^{2}+20 y+51\)
我们在下面总结了 FOIL 方法的步骤。 FOIL 方法仅适用于乘以二项式，不适用于其他多项式！
当你乘以 FOIL 方法时，画出线条可以帮助你的大脑专注于图案，使其更容易使用。
乘以：\((y−7)(y+4)\)。
- 回答
-
乘以：\((x−7)(x+5)\)。
- 回答
-
\(x^{2}-2 x-35\)
乘以:(b−3) (b+6)。
- 回答
-
\(b^{2}+3 b-18\)
乘以：\((4x+3)(2x−5)\)。
- 回答
-
乘以：\((3x+7)(5x−2)\)。
- 回答
-
\(15 x^{2}+29 x-14\)
乘以：\((4y+5)(4y−10)\)。
- 回答
-
\(16 y^{2}-20 y-50\)
最后四个例子中的最终产物是三项式，因为我们可以将两个中间项结合起来。 情况并非总是如此。
乘以：\((3x−y)(2x−5)\)。
- 回答
-
\((3 x-y)(2 x-5)\) 
乘以第一个。 
乘以外部。 
乘以内在。 
乘以最后一个。 
用相似的术语组合起来——没有。 \(6 x^{2}-15 x-2 x y+5 y\)
乘以:(10c−d) (c−6)。
- 回答
-
\(10 c^{2}-60 c-c d+6 d\)
乘以:(7x−y) (2x−5)。
- 回答
-
\(14 x^{2}-35 x-2 x y+10 y\)
注意下一个示例中的指数。
乘以：\(\left(n^{2}+4\right)(n-1)\)
- 回答
-
\(\left(n^{2}+4\right)(n-1)\) 
乘以第一个。 
乘以外部。 
乘以内在。 
乘以最后一个。 
用相似的术语组合起来——没有。 \ (\ n^ {3}-n^ {2} +4 n-4)
乘以：\(\left(x^{2}+6\right)(x-8)\)
- 回答
-
\(x^{3}-8 x^{2}+6 x-48\)
乘以：\(\left(y^{2}+7\right)(y-9)\)
- 回答
-
\(y^{3}-9 y^{2}+7 y-63\)
乘以：\((3 p q+5)(6 p q-11)\)
- 回答
-
\((3 p q+5)(6 p q-11)\) 乘以第一个。 
乘以外部。 
乘以内在。 
乘以最后一个。 
用相似的术语组合起来——没有。 \(18 p^{2} q^{2}-3 p q-55\)
乘以：\((2 a b+5)(4 a b-4)\)
- 回答
-
\(8 a^{2} b^{2}+12 a b-20\)
乘以：\((2 x y+3)(4 x y-5)\)
- 回答
-
\(8 x^{2} y^{2}+2 x y-15\)
使用垂直法将二项式乘以二项式
FOIL 方法通常是将两个二项式相乘的最快方法，但它仅适用于二项式。 您可以使用分布属性来查找任意两个多项式的乘积。 另一种适用于所有多项式的方法是垂直法。 它非常像你用来乘以整数的方法。 仔细看这个将两位数相乘的例子。
现在我们将应用同样的方法将两个二项式相乘。
使用垂直方法乘以：\((3 y-1)(2 y-6)\)
- 回答
-
哪个二项式排在顶部并不重要。
\[\begin{array}{lll}{\text { Multiply } 3 y-1 \text { by }-6 \text { . }}&& \\ {\text { Multiply } 3 y-1 \text { by } 2 y \text { . }}& &\\ \\ &{\qquad\space3 y-1} & \\& {\dfrac{ \space\space\times 2 y-6}{\quad-18 y+6}} & \text{partial product} & \\ &
ParseError: EOF expected (click for details)& \text{partial product} & \\ \text{Add like terms.} &&\text{product} \end{array}\]Callstack: at (简体中文/图书：基本代数_(OpenStax)/06:_多项式/6.03:_乘以多项式), /content/body/div[4]/div[3]/div[1]/div/dl/dd/p[2]/span/span, line 1, column 3请注意，部分产品与 FOIL 方法中的条款相同。
使用垂直方法乘以：\((5 m-7)(3 m-6)\)
- 回答
-
\(15 m^{2}-51 m+42\)
使用垂直方法乘以：\((6 b-5)(7 b-3)\)
- 回答
-
\(42 b^{2}-53 b+15\)
我们现在使用了三种方法来乘以二项式。 一定要练习每种方法，然后尝试决定你更喜欢哪种方法。 这里列出了所有方法，以帮助您记住它们。
要乘以二项式，请使用：
- 分配财产
- 铝箔法
- 垂直法
请记住，FOIL 仅在将两个二项式相乘时有效。
将三项式乘以二项式
我们将单项式乘以单项式，将单项式乘以多项式，将二项式乘以二项式。 现在我们已经准备好将三项式乘以二项式了。 请记住，FOIL 在这种情况下不起作用，但我们可以使用分布属性或垂直方法。 我们首先看一个使用分布属性的例子。
使用分布属性乘以：\((b+3)\left(2 b^{2}-5 b+8\right)\)
- 回答
-
分发。 
乘。 \(2 b^{3}-5 b^{2}+8 b+6 b^{2}-15 b+24\) 将相似的术语组合在一起。 \(2 b^{3}+b^{2}-7 b+24\)
使用分布属性乘以：\((y-3)\left(y^{2}-5 y+2\right)\)
- 回答
-
\(y^{3}-8 y^{2}+17 y-6\)
使用分布属性乘以：\((x+4)\left(2 x^{2}-3 x+5\right)\)
- 回答
-
\(2 x^{3}+5 x^{2}-7 x+20\)
现在让我们使用垂直方法进行同样的乘法。
使用垂直方法乘以：\((b+3)\left(2 b^{2}-5 b+8\right)\)
- 回答
-
将项数较少的多项式放在底部比较容易，因为这样我们得到的偏积就更少了。
\((2b^2 − 5b + 8)\)乘以 3。 
\((2b^2 − 5b + 8)\)乘以\(b\)。 \(2 b^{3}+b^{2}-7 b+24\) 添加点赞条款。
使用垂直方法乘以：\((y-3)\left(y^{2}-5 y+2\right)\)
- 回答
-
\(y^{3}-8 y^{2}+17 y-6\)
使用垂直方法乘以：\((x+4)\left(2 x^{2}-3 x+5\right)\)
- 回答
-
\(2 x^{3}+5 x^{2}-7 x+20\)
我们现在已经看到了两种方法可以用来将三项式乘以二项式。 在你练习了每种方法之后，你可能会发现自己更喜欢一种方法而不是另一种方法。 为了便于参考，我们在此列出了这两种方法。
要将三项式乘以二项式，请使用：
- 分配财产
- 垂直法
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