1.8: 小数
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- 205081
在本节结束时，您将能够：
- 命名和写小数
- 四舍五入小数
- 加上和减去小数
- 乘以和除以小数
- 转换小数、分数和百分比
在 Prealgebra 章节 “十进制” 中可以找到对本节所涵盖主题的更详尽的介绍。
命名和写小数
小@@ 数是另一种写分数的方法，其分母为 10 的整数。
\[\begin{array} {ll} {0.1 = \frac { 1 } { 10 }} &{0.1 \text { is "one tenth" }} \\ {0.01 = \frac { 1 } { 100 }} &{0.01 \text { is "one hundredth }} \\ {0.001 = \frac { 1 } { 1,000 }} &{0.001 \text { is "one thousandth }} \\ {0.0001 = \frac { 1 } { 10,000 }} &{0.0001 \text { is "one ten-thousandth" }} \end{array}\]
注意，“一万” 是一个大于一的数字，但 “一万个” 是一个小于一的数字。 名字末尾的 “th” 告诉你这个数字小于一。
当我们命名一个整数时，该名称对应于基于十的幂的位值。 我们将一万读作 “一万”，将一千万读作 “一千万”。 同样，小数位的名称对应于它们的分数值。 该图\(\PageIndex{1}\)显示了小数点左侧和右侧的位置值的名称。
命名十进制\(4.3\)。
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命名十进制\(6.7\)。
- 回答
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十分之六和十分之七
命名十进制\(5.8\)。
- 回答
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十分之五和十分之八
我们在下面总结了命名十进制所需的步骤。
- 命名小数点左边的数字。
- 写上 “and” 作为小数点。
- 将小数点右侧的 “数字” 部分命名为整数。
- 命名最后一位数字的小数位。
命名十进制：\(−15.571\)。
- 回答
-
\(−15.571\) 命名小数点左边的数字。 负十五 ________________ 写上 “and” 作为小数点。 负十五和______________________ 命名小数点右边的数字。 负十五五百七十一 __________ \(1\)在千分之一的位置。 负十五和五百七十一千分之一
命名十进制：\(−13.461\)。
- 回答
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负十三和四百六十一千分之一
命名十进制：\(−2.053\)。
- 回答
-
负二和五十三千分之一
当我们写支票时，我们会同时写下数字和数字的名称。 让我们看看如何从名称中写出十进制。
将 “十四和二十四千分之一” 写成十进制。
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用十进制写入：十三和六十八千分之一。
- 回答
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13.068
用十进制写入：五和九十四千分之一。
- 回答
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5.094
我们总结了写十进制的步骤。
- 查找 “and” 这个词，它定位小数点。
- 在 “and” 一词下放一个小数点。 将 “and” 之前的单词翻译成整数并将其放在小数点的左边。
- 如果没有 “and”，则写一个 “0”，右边有一个小数点。
- 通过记下最后一个单词所指示的位数来标记小数点右边所需的小数位数。
- 将 “and” 之后的单词翻译成小数点右边的数字。 将数字写在空格中，将最后一位数字放在最后一位。
- 根据需要填写占位符的零。
四舍五进制小数
四舍五入小数非常像四舍五入整数。 我们将使用基于我们用于四舍五入整数的方法对小数进行四舍五入。
将 18.379 四舍五入到最接近的百分之一。
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-
四舍五入到最接近的百分位数：1.047。
- 回答
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1.05
四舍五入到最接近的百分位数：9.173。
- 回答
-
9.17
我们在此总结四舍五入小数的步骤。
- 找到给定的位值并用箭头标记。
- 为位值右边的数字加下划线。
- 这个数字是否大于或等于 5？
- yes-向给定位数值中的数字加 1。
- no-请勿更改给定位数值中的数字。
- 重写数字，删除四舍五入数字右侧的所有数字。
将 18.379 四舍五入到最近的
- 第十
- 整数。
- 回答
-
第 18.379 回合
1. 到最接近的十分之一
用箭头找到第十个位置。 
为给定位数右边的数字加下划线。 
由于 7 大于或等于 5，因此将 1 与 3 相加。 
重写数字，删除四舍五入数字右侧的所有数字。 
请注意，删除的数字并未替换为零。 因此，18.379 四舍五入到最接近的十分位数为 18.4。
2. 到最接近的整数用箭头找到那个地方 
为给定位数右边的数字加下划线。 
由于 3 不大于或等于 5，因此请勿将 1 与 8 相加。 
重写数字，删除四舍五入数字右侧的所有数字。 
因此，18.379 四舍五入到最接近的整数为 18。
将 6.582 四舍五入到最近的
- 第一百
- 第十
- 整数。
- 回答
-
- 6.58
- 6.6
- 7
将 15.2175 四舍五入到最近的
- 第一千个
- 第一百
- 第十。
- 回答
-
- 15.218
- 15.22
- 15.2
加上和减去小数
要加上或减去小数，我们将小数点对齐。 通过以这种方式排列小数点，我们可以加上或减去相应的位值。 然后，我们将数字相加或减去，就好像它们是整数一样，然后将小数点放在总和中。
- 写下数字，使小数点垂直排列。
- 根据需要使用零作为占位符。
- 将数字相加或减去，就好像它们是整数一样。 然后将答案中的小数点放在给定数字的小数点下方。
添加：\(23.5+41.38\)。
- 回答
-
\[\text{Write the numbers so that the decimal points line up vertically.} \quad \begin{array} {r} { 23.50 } \\ { + 41.38 } \\ \hline \end{array}\]
\[\text{Put 0 as a placeholder after the 5 in 23.5. Remember, } \frac{5}{10} = \frac{50}{100}, \text{ so } 0.5 = 0.50 \quad \begin{array} {r} { 23.50 } \\ { + 41.38 } \\ \hline \end{array}\]
\[\text{Add the numbers as if they were whole numbers . Then place the decimal point in the sum.} \quad \begin{array} {r} { 23.50 } \\ { + 41.38 } \\ \hline 64.88 \end{array}\]
添加：\(4.8+11.69\)。
- 回答
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\(16.49\)
添加：\(5.123+18.47\)。
- 回答
-
\(23.593\)
减去：\(20−14.65\)。
- 回答
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\[\begin{array} {ll} {\text{Write the numbers so that the decimal points line up vertically.}} &{ \begin{align} {20 - 14.65} \\ {20.} \\ {-14.65} \\ \hline \end{align}} \\ {\text{Remember, 20 is a whole number, so place the decimal point after the 0.}} &{} \end{array}\]
\[\begin{array} {ll} {\text{Put zeros to the right as placeholders.}} &{ \begin{align} {20.00} \\ {-14.65} \\ \hline \end{align}} \end{array}\]
\[\begin{array} {ll} {\text{Write the numbers so that the decimal points line up vertically.}} &{ \begin{align} {\tiny{9} \quad \tiny{9}\qquad} \\ {\small{1} \not{\small{10}} \not{\small10}\not{\small10}}\\ {\not{2}\not{0.}\not{0}\not{0}} \\ {-14.65} \\ \hline \\{5.35} \end{align}} \end{array}\]
减去：\(10−9.58\)。
- 回答
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0.42
减去：\(50−37.42\)。
- 回答
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12.58
乘以和除以小数
乘以小数非常类似于整数相乘——我们只需要确定小数点的放置位置即可。 如果我们先将小数转换为分数然后再相乘，则乘以小数的过程才有意义。
因此，让我们看看先将小数转换为分数会得到什么。 我们将并排举两个例子。 寻找图案！
 |
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转换为分数。 |
 |
| 乘以。 |  |
| 转换为小数。 |  |
请注意，在第一个示例中，我们将两个数字相乘，每个数字的小数点后都有一位数，乘积有两个小数位。 在第二个示例中，我们将一个小数点后一位的数字乘以一个有两位小数的数字，乘积有三个小数位。
我们像整数一样乘以数字，暂时忽略小数点。 然后，我们计算因子中的小数点数，该总和告诉我们乘积中的小数位数。
当然，正数和负数相乘的规则也适用于小数！
将两个数字相乘时，
- 如果它们的体征相同，则该产品为阳性。
- 如果它们的迹象不同，则该产品为阴性。
当我们乘以有符号小数时，首先我们确定乘积的符号，然后相乘，就好像数字都是正数一样。 最后，我们在产品上写上相应的标志。
- 确定产品的标志。
- 以垂直格式书写，将右边的数字排成一列。 将数字相乘，就好像它们是整数一样，暂时忽略小数点。
- 放置小数点。 乘积中的小数位数是因子中小数位数的总和。
- 在产品上写上相应的标志。
乘以：\((−3.9)(4.075)\)。
- 回答
-
\((−3.9)(4.075)\) 迹象不同。 该产品将是负面的。 以垂直格式书写，将右边的数字排成一列。 
乘以。 
将因子中的小数位数相加\((1 + 3)\)。
将小数点从右边 4 位放置。
迹象不同，所以产品是负面的。 \((−3.9)(4.075) = −15.8925\)
乘以：\(−4.5(6.107)\)。
- 回答
-
\(−27.4815\)
乘以：−10.79 (8.12)。
- 回答
-
\(−87.6148\)
在许多其他课程中，尤其是在科学课中，你将把小数乘以 10 的乘方（10、100、1000 等）。 如果你将纸上的几个产品相乘，你可能会注意到一种模式，它将 10 的次方零数与小数位数联系起来，我们将小数点向右移动以得到该乘积。
将@@
- 将小数点向右移动，其位数与 10 的幂次数相同。
- 根据需要在数字末尾添加零。
乘以 5.63
- by 10
- by 100
- by 1,000。
- 回答
-
通过查看十倍数中的零数，我们可以看到向右移动十进制所需的位数。
ⓐ
\(5.63(10)\) 10 中有 1 个零，因此将小数点向右移动 1 位。 
ⓑ
\(5.63(100)\) 100 中有 2 个零，因此将小数点向右移动 2 位。 
ⓒ
1,000 中有 3 个零，因此将小数点向右移动 3 位。 
最后必须加一个零。 
乘以 2.58
- by 10
- by 100
- by 1,000。
- 回答
-
- 25.8
- 258
- 2,580
乘以 14.2
- by 10
- by 100
- by 1,000。
- 回答
-
- 142
- 1,420
- 14,200
就像乘法一样，小数的除法与整数相除非常相似。 我们只需要弄清楚小数点必须放在哪里。
要除以小数，请确定将分母乘以 10 的乘方得出整数。 然后将分子乘以相同的 10 次方。 由于等效的分数属性，我们没有改变分数的值！ 效果是将分子和分母中的小数点向右移动相同数量的位数。 例如：
\[\begin{array} { c } { \frac { 0.8 } { 0.4 } } \\ { \frac { 0.8 ( 10 ) } { 0.4 ( 10 ) } } \\ { \frac { 8 } { 4 } } \end{array}\]
我们也使用正数和负数除以小数的规则。 除以有符号小数时，首先确定商的符号，然后像数字都是正数一样进行除法。 最后，用适当的符号写下商。
我们回顾一下除法的符号和词汇：
\[\begin{array} {ll} {} &{\underset{\text{quotient}}{c}} \\ {\underset{\text{dividend}}{a} \div \underset{\text{divisor}}{b} = \underset{\text{quotient}}{c}} & {\underset{\text{divisor}}{b})\overline{\underset{\text{dividend}}{a}}} \end{array}\]
为了便于参考，我们将写出除以小数时要采取的步骤。
- 确定商的符号。
- 将小数点一直向右 “移动”，使除数成为整数。 将除数中的小数点 “移动” 到相同数量的位数——根据需要添加零。
- 除以。 将小数点置于除息小数点上方的商数中。
- 用适当的符号写出商。
除以：\(−25.65\div (−0.06)\)。
- 回答
-
请记住，由于等效分数属性，你可以 “移动” 除数和除数中的小数。
\(−25.65\div (−0.06)\) 迹象是一样的。 商是正数。 将小数点一直向右 “移动”，使除数成为整数。 将除数中的小数点 “移动” 相同的位数。 
除以。
将小数点置于除息小数点上方的商数中。
用适当的符号写出商。 \(−25.65\div (−0.06) = 427.5\)
除以：\(−23.492\div (−0.04)\)。
- 回答
-
687.3
除以：\(−4.11\div(−0.12)\)。
- 回答
-
34.25
将整数分成小数的常见应用是当我们想要找到一件作为多件装的一部分出售的商品的价格时。 例如，假设一箱 24 个水瓶的成本\($3.99\)。 要得出一个水瓶的价格，我们将除\($3.99\)以24。 我们在练习中显示了这个划分\(\PageIndex{31}\)。 在用金钱计算时，我们会将答案四舍五入到最接近的美分（百分之一）。
除以：\($3.99\div 24\)。
- 回答
-
给出了 .99 除以 24。 长除法问题是用 24 除以 3.99 来设置的。 给出了一张表，左边是方向，右边是数学步骤。 第一步是 “将小数点放在除息小数点上方的商中。 像往常一样分开。 我们什么时候停下来？ 由于这个分割涉及金钱，我们将其四舍五入到最接近的美分（百分之一）。 要做到这一点，我们必须将该师带到千分之一。” 在右边，我们设置了一个长除法问题，其中 24 除以 3.990。 商以 0.166 的形式给出。 为了展示作品，在 3.990 以下，它显示为 24、水平实线、159、144、实心水平线、150、144、实心水平线，最后是 6。 第五步是 “四舍五入到最接近的美分”。 在右边，我们有0.166美元大约等于0.17美元，因此>.99除以24等于0.17美元。” >
\($3.99\div 24\) 将小数点置于除息小数点上方的商数中。 像往常一样分开。
我们什么时候停下来？ 由于这个分割涉及金钱，我们将其四舍五入到最接近的美分（百分之一） 要做到这一点，我们必须将分区带到千分之一。
四舍五入到最接近的美分。 \($0.166\approx $0.17\)
\($3.99\div 2\approx $0.17\)
除以：\($6.99\div 36\)。
- 回答
-
\($0.19\)
除以：\($4.99\div 12\)。
- 回答
-
\($0.42\)
转换小数、分数和百分比
我们通过识别最后一个（最右边）数字的位值将小数转换为分数。 在十进制 0.03 中，3 位于百分之一位，所以 100 是等于 0.03 的分数的分母。
\[00.03 = \frac { 3 } { 100 }\]
注意，当十进制左边的数字为零时，我们会得到一个分子小于其分母的分数。 像这样的分数被称为适当的分数。
过程框中总结了将小数转换为分数所要采取的步骤。
- 确定最后一位数字的位值。
- 写下分数。
- 分子-小数点右边的 “数字”
- 分母-与最后一位数字对应的位值
将 0.374 写成分数。
- 回答
-
0.374 确定最后一位数字的位值。 
写下 0.374 的分数：
- 分子是 374。
- 分母为 1,000。
\(\dfrac{374}{1000}\) 简化分数。 \(\dfrac{2\cdot 187}{2\cdot 500}\) 除去常见因素。 \(\dfrac{187}{500}\)
所以，\(0.374=\dfrac{187}{500}\)你有没有注意到分母中的零数\(\dfrac{374}{1000}\)与 0.374 中的小数位数相同？
将 0.234 写成分数。
- 回答
-
\(\dfrac{117}{500}\)
将 0.024 写成分数。
- 回答
-
\(\dfrac{3}{125}\)
我们已经学会了将小数转换为分数。 现在我们将做相反的操作——将分数转换为小数。 请记住，分数条表示除法。 所以\(\dfrac{4}{5}\)可以写\(4\div 5\)或\(5)\overline{4}\). 这导致使用以下方法将分数转换为十进制。
要将分数转换为十进制，请将分数的分子除以分数的分母。
以十进制\(-\dfrac{5}{8}\)形式写入。
- 回答
-
由于分数条表示除法，因此我们首先写\(\dfrac{5}{8}\)为\(8)\overline{5}\)。 现在分开。
以十进制\(-\dfrac{7}{8}\)形式写入。
- 回答
-
−0.875
以十进制\(-\dfrac{3}{8}\)形式写入。
- 回答
-
−0.375
当我们除法时，我们不会总是得到零余数。 有时候，商以重复的十进制结尾。 重复十进制是指最后一位或一组数字无休止地重复的十进制。 在重复的数字块上方放置一个小节以表示其重复。
重复十进制是指最后一位或一组数字无休止地重复的十进制。
在重复的数字块上方放置一个小节以表示其重复。
以十进制\(\dfrac{43}{22}\)形式写入。
- 回答
-
以十进制\(\dfrac{27}{11}\)形式写入。
- 回答
-
\(2.\overline{45}\)
以十进制\(\dfrac{51}{22}\)形式写入。
- 回答
-
\(2.3\overline{18}\)
有时我们可能不得不将分数和小数放在一起的表达式来简化。
简化：\(\dfrac{7}{8}+6.4\)。
- 回答
-
首先，我们必须更改一个数字，这样两个数字的形式相同。 我们可以将分数更改为十进制，或者将小数更改为分数。 通常，将分数更改为十进制比较容易。
\(\dfrac{7}{8}+6.4\) 更改\(\dfrac{7}{8}\)为十进制。 
添加。 \(0.875+6.4\) \(7.275\) 所以，\(\dfrac{7}{8}+6.4 = 7.275\)
简化：\(\dfrac{3}{8}+4.9\)。
- 回答
-
\(5.275\)
简化：\(5.7 + \dfrac{13}{20}\)。
- 回答
-
\(6.35\)
百分比是分母为 100 的比率。 百分比表示每百。 我们使用百分比符号% 来显示百分比。
百分比是分母为 100 的比率。
由于百分比是一个比率，因此可以很容易地将其表示为分数。 百分比表示每 100，因此分数的分母为 100。 然后，我们将分子除以分母，将分数更改为十进制。
\[\begin{array} {llll} {} &{\text{6%}} &{\text{78%}} &{\text{135%}} \\ {\text { Write as a ratio with denominator } 100. } &{\dfrac{6}{100}} &{\dfrac{78}{100}} &{\dfrac{135}{100}} \\ { \text { Change the fraction to a decimal by dividing}} &{0.06} &{0.78} &{1.35}\\ {\text{the numerator by the denominator.}} &{} &{} &{} \end{array}\]
你看到图案了吗？ 要将百分数转换为十进制数，我们将小数点向左移动两位。
将每个百分比转换为十进制：
- 62%
- 135%
- 35.7%。
- 回答
-
1。 
将小数点向左移动两位。 0.62 2。 
将小数点向左移动两位。 1.35 3。 
将小数点向左移动两位。 0.057
将每个百分比转换为十进制：
- 9%
- 87%
- 3.9%。
- 回答
-
- 0.09
- 0.87
- 0.039
将每个百分比转换为十进制：
- 3%
- 91%
- 8.3%。
- 回答
-
- 0.03
- 0.91
- 0.083
如果我们记住百分比的定义并牢记位值，那么将小数转换为百分比是有意义的。
要将小数转换为百分比，请记住百分比表示每百。 如果我们将十进制更改为分母为 100 的分数，则很容易将该分数更改为百分比。
\[\begin{array} {llll} {} &{0.83} &{1.05} &{0.075} \\ {\text {Write as a fraction }} &{\frac{83}{100}} &{\small{1}\frac{5}{100}} &{\frac{75}{1000}} \\ { \text {The denominator is 100.}} &{} &{\frac{105}{100}} &{\frac{7.5}{100}}\\ {\text{Write the ratio as a percent.}} &{\text{83%}} &{\text{105%}} &{\text{7.5%}} \end{array}\]
认出这个模式了吗？ 要将小数转换为百分比，我们将小数点向右移动两位，然后添加百分号。
将每个小数转换为百分比：
- 0.51
- 1.25
- 0.093。
- 回答
-
1。 
将小数点向右移动两位。 \(51%\) 2。 
将小数点向右移动两位。 \(125%\) 3。 
将小数点向右移动两位。 \(9.3%\)
将每个小数转换为百分比：
- 0.17
- 1.75
- 0.0825
- 回答
-
- 17%
- 175%
- 8.25%
将每个小数转换为百分比：
- 0.41
- 2.25
- 0.0925。
- 回答
-
- 41%
- 225%
- 9.25%
关键概念
- 命名十进制
- 命名小数点左边的数字。
- 写上 “和” 作为小数点。
- 将小数点右侧的 “数字” 部分命名为整数。
- 命名最后一位数字的小数位。
- 写一个十进制
- 查找 “and” 这个词，它定位小数点。 在单词 “and” 下方放置一个小数点。 将 'and' 之前的单词翻译成整数，并将其放在小数点的左边。 如果没有 “and”，则写一个 “0”，右边有一个小数点。
- 通过记下最后一个单词所指示的位数来标记小数点右边所需的小数位数。
- 将 'and' 之后的单词翻译成小数点右边的数字。 将数字写在空格中，将最后一位数字放在最后一位。
- 根据需要填写占位符的零。
- 四舍五入十进制
- 找到给定的位值并用箭头标记。
- 为位值右边的数字加下划线。
- 这个数字是否大于或等于 5？ yes-向给定位数值中的数字加 1。 no-请勿更改给定位数值中的数字。
- 重写数字，删除四舍五入数字右侧的所有数字。
- 加上或减去小数
- 写下数字，使小数点垂直排列。
- 根据需要使用零作为占位符。
- 将数字相加或减去，就好像它们是整数一样。 然后将答案中的小数点放在给定数字的小数点下方。
- 乘以小数
- 确定产品的标志。
- 以垂直格式书写，将右边的数字排成一列。 将数字相乘，就好像它们是整数一样，暂时忽略小数点。
- 放置小数点。 乘积中的小数位数是因子中小数位的总和。
- 在产品上写上相应的标志。
- 将十进制乘以十的乘方
- 将小数点向右移动，其位数与 10 的幂次数相同。
- 根据需要在数字末尾添加零。
- 除以小数
- 确定商的符号。
- 将小数点一直向右 “移动”，使除数成为整数。 将除数中的小数点 “移动” 相同的位数——根据需要添加零。
- 除以。 将小数点置于除息小数点上方的商数中。
- 用适当的符号写出商。
- 将十进制转换为正确的分数
- 确定最后一位数字的位值。
- 写下分数：分子-小数点右边的 “数字”；分母-与最后一个数字对应的位值。
- 将@@ 分数转换为十进制将分数的分子除以分母。