1.2: 整数简介
- Page ID
- 205033
- 在本节结束时，您将能够：
- 使用带整数的位值
- 识别倍数并应用可分性测试
- 查找素数因式分解和最小公倍数
当我们开始研究基本代数时，我们需要刷新一些技能和词汇量。 本章将重点介绍整数、整数、分数、小数和实数。 我们还将开始使用代数表示法和词汇。
将位值与整数一起使用
代数中使用的最基本的数字是我们用来计算世界中物体的数字：\(1, 2, 3, 4\)，依此类推。 这些被称为计数数字 s。 计数也称为自然数。 如果我们在计数数字上加零，则得到整数 s 的集合。
- 计数数字：\(1, 2, 3, …\)
- 整数：\(0, 1, 2, 3, …\)
符号 “\(…\)” 被称为省略号，意思是 “依此类推”，或者表示该模式无休止地延续。
我们可以可视化在数字线上计算数字和整数（见图\(\PageIndex{1}\)）。
进行操纵数学活动 “数字线-第 1 部分” 将有助于你更好地理解计数数字和整数。
我们的数字系统称为位值系统，因为数字的值取决于它在数字中的位置。 该图\(\PageIndex{2}\)显示了位值。 位值分为三组，称为句点。 周期为一、数千、数百万、数十亿、万亿等等。 在书面数字中，用逗号分隔句点。
在数字中\(63407218\)，找到每个数字的位值：
- \(7\)
- \(0\)
- \(1\)
- \(6\)
- \(3\)
- 回答
-
将数字放在位值图表中：
-
- \(7\)在数千个地方。
- \(0\)在万个地方。
- \(1\)在十个地方。
- \(6\)在千万的地方。
- \(3\)在数百万个地方。
对于数字\(27493615\)，找出每个数字的位值：
- 2
- 1
- 4
- 7
- 5
- 回答
-
- 一千万
- 十
- 十万
- 数百万的
- 那些
对于数字\(519711641328\)，找出每个数字的位值：
- 9
- 4
- 2
- 6
- 7
- 回答
-
- 数十亿
- 一万个
- 十
- 十万
- 一亿
当你写支票时，你可以用文字和数字写出数字。 要用单词写数字，请在每个句点中写下数字，后跟句点的名称，结尾不带 s。 从左侧开始，其中周期的值最大。 那个时期没有命名。 逗号分隔句点，因此，无论数字中有逗号的地方，都要在单词之间加上逗号（见图\(\PageIndex{3}\)）。 \(74218369\)这个数字写成七千四百万、二十一万八千、三百六十九。
用@@
- 从左侧开始，命名每个句点中的数字，然后是期间名称。
- 在数字中加上逗号以分隔句点。
- 不要命名一个句点。
\(8165432098710\)用文字命名数字。
- 回答
-
命名每个句点中的数字，然后是期间名称。
-
用逗号分隔句点。
所以，\(8165432098710\)被命名为八万亿、一千六百五十亿、四亿三千万、九万八千、七百十。
用文字命名数字 9,258,137,904,0619,258,137,904,04,061。
- 回答
-
九万亿、二亿五千八十亿、一亿三千七百万、九十四千、六十一
用文字命名数字 17,864,325,619,00417,864,325,619,004。
- 回答
-
十七万亿、八亿六千四十亿、三亿二千五百万、六十一万九千四
现在，我们将通过写下数字名称中的数字来逆转这个过程。 要用数字写数字，我们首先要寻找表示句点的线索词。 为所需的句点画三个空格，然后用数字填充空格，用逗号分隔句点会很有帮助。
- 识别表示句点的单词。 （请记住，那个句点从来没有被命名。）
- 画三个空白以表示每个时段所需的名额数量。 用逗号分隔句点。
- 命名每个句点中的数字，并将数字放在正确的位值位置。
用数字将九十亿、二亿四千六百万、七万三千、一百八十九写成一个整数。
- 回答
-
识别表示句点的单词。
除第一个时段外，所有其他时段必须有三个位置。 画三个空白以表示每个时段所需的名额数量。 用逗号分隔句点。
然后写下每个句点中的数字。 
这个数字是 9,246,073,189。
用数字将数字二十亿、四亿六千六百万、七十一万四千、五十一写成一个整数。
- 回答
-
2,466,714,051
用数字将数字一千一亿、九亿二千万、八十三万、一百六写成一个整数。
- 回答
-
11,921,830,106
2013年，美国人口普查局估计纽约州的人口为19,651,127人。 我们可以说纽约的人口约为2000万。 在许多情况下，你不需要确切的值；近似数字就足够了。
近似数字的过程称为四舍五入。 数字会四舍五入到特定的位值，具体取决于所需的精度。 说纽约的人口约为2000万意味着我们四舍五入到数百万人。
将23,658四舍五入到最接近的百位。
- 回答
-
四舍五入到最接近的百位：17,852。
- 回答
-
17,900
四舍五入到最接近的百位：468,751。
- 回答
-
468,800
- 找到给定的位值并用箭头标记。 箭头左侧的所有数字都不会改变。
- 给定位数右边的数字加下划线。
- 这个数字是否大于或等于 5？
- yes-在给定位数值的数字上加 11。
- no-请勿更改给定位数值中的数字。
- 将给定位数右边的所有数字替换为零。
四舍五入 103,978103,978 至最接近的值：
- 百
- 千
- 一万
- 回答
- 1。
2。找到 103,978 中的数百个地方。 
为数百位右边的数字加下划线。 
由于 7 大于或等于 5，在 9 上加 1。 将百位右边的所有数字替换为零。 
因此，104,000 等于 103,978 四舍五入到最接近的百位数。
3。找到千位并给千位右边的数字加下划线。 
由于 9 大于或等于 5，在 3 上加 1。 将百位右边的所有数字替换为零。 
因此，104,000 等于 103,978 四舍五入到最接近的千位数。 找到万个位置并在万个位置右边加下划线。 
由于 3 小于 5，我们保留 0 不变，然后将右边的数字替换为零。 
因此，100,000 等于 103,978 四舍五入到最接近的一万。
将 206,981 四舍五入到最接近的：1 百两千 3. 一万。
- 回答
-
- 207,000
- 207,000
- 210,000
将 784,951 四舍五入到最接近的：1. 百 2 千 3. 一万。
- 回答
-
- 785,000
- 785,000
- 780,000
识别倍数并应用可分性测试
数字 2、4、6、8、10 和 12 被称为 2 的倍数。 2 的倍数可以写成计数数字和 2 的乘积。
同样，3 的倍数将是计数数字和 3 的乘积。
通过继续这个过程，我们可以找到任何数字的倍数。
进行操纵数学活动 “倍数” 将有助于你更好地理解倍数。
表中\(\PageIndex{1}\)显示了前 12 个计数数字的 2 到 9 的倍数。
| 计数数字 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 的倍数 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 |
| 3 的倍数 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | 33 | 36 |
| 4 的倍数 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 |
| 5 的倍数 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 |
| 6 的倍数 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 | 66 | 72 |
| 7 的倍数 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 |
| 8 的倍数 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 | 88 | 96 |
| 9 的倍数 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 | 99 | 108 |
| 10 的倍数 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 |
\(n\)如果数字是计数数字的乘积，则数字是的倍数\(n\)。
说15是3的倍数的另一种方法是说15可以被3 整除。 这意味着当我们将 3 除以 15 时，我们得到一个计数数字。 实际上，\(15\div 3\)是 5，所以 15 是\(5\cdot3\)。
如果一个数字\(m\)是的倍数\(n\)，\(m\)则可整除为\(n\)
看看表\(5\)中的倍数\(\PageIndex{1}\)。 它们都以 5 或 0 结尾。 最后一位数字为 5 或 0 的数字可被 5 整除。 在表格中寻找显示数字 2\(\PageIndex{1}\) 到 9 倍数的其他模式，我们可以发现以下可除性测试：
一个数字可以整除为：
- 如果最后一位数字为 0、2、4、6 或 8，则为 2。
- 如果数字之和可被 3 整除，则为 3。
- 如果最后一位数字为 5 或 0，则为 5。
- 如果它可以被 2 和 3 整除，则为 6。
- 如果以 0 结尾，则为 10。
5625 可以被 2 整除吗？ 乘以 3？ By 5？ 在 6 点之前？ 在 10 点之前？
- 回答
-
\[\begin{array} {ll} {\text{Is 5625 divisible by 2?}} &{} \\ {\text{Does it end in 0, 2, 4, 6, or 8?}} &{\text{No.}} \\ {} &{\text{5625 is not divisible by 2.}} \end{array}\]
\[\begin{array} {ll} {\text{Is 5625 divisible by 3?}} &{} \\ {\text{What is the sum of the digits?}} &{5 + 6 + 2 + 5 = 18} \\ {\text{Is the sum divisible by 3?}} &{\text{Yes, 5625 is divisible by 3.}} \end{array}\]
\[\begin{array} {ll} {\text{Is 5625 divisible by 5 or 10?}} &{} \\ {\text{What is the last digit? It is 5.}} &{\text{5625 is divisible by 5 but not by 10.}} \end{array}\]
\[\begin{array} {ll} {\text{Is 5625 divisible by 6?}} &{} \\ {\text{Is it divisible by both 2 and 3?}} &{\text{No, 5625 is not divisible by 2, so 5625 is }} \\ {} &{\text{not divisible by 6.}}\end{array}\]
确定 4,962 是否可被 2、3、5、6 和 10 整除。
- 回答
-
由 2、3 和 6
确定 3,765 是否可被 2、3、5、6 和 10 整除。
- 回答
-
by 3 和 5
查找素数因式分解和最小公倍数
在数学中，通常有几种方法可以谈论相同的想法。 到目前为止，我们已经看到，如果\(m\)是的倍\(n\)数，我们可以说\(m\)它是可以整除的\(n\)。 例如，由于 72 是 8 的倍数，我们说 72 可被 8 整除。 由于 72 是 9 的倍数，我们说 72 可以被 9 整除。 我们可以用另一种方式来表达。
因为\(8\cdot 9=72\)，我们说8和9是72的因子。 当我们写作时\(72=8\cdot 9\)，我们说我们已经考虑了72因子。
分数 72 的其他方法是\(1\cdot 72\)\(2\cdot 36\)、\(3\cdot 24\)、\(4\cdot 18\)和\(6\cdot 12\)。 七十二有许多因素：1、2、3、4、6、8、9、12、18、36 和 72。
如果\(a\cdot b=m\)、那么\(a\)和\(b\)是因子\(m\)。
有些数字，比如72，有很多因子。 其他数字只有两个因子。
进行操纵数学活动 “模型乘法和分解” 将有助于你更好地理解乘法和分解。
素数是大于 1 的计数数，其唯一因子为 1 及其本身。
复合数是非素数的计数数。 复合数除了 1 及其自身以外的因子。
进行操纵数学活动 “素数” 将有助于你更好地理解素数。
图中列出了从 2 到 19 的计数数字\(\PageIndex{7}\)及其因子。 请务必同意每种标签的 “主要” 或 “复合” 标签！
小于 20 的质数为 2、3、5、7、11、13、17 和 19。 请注意，唯一的偶数素数是 2。
复合数可以写成素数的唯一乘积。 这称为数字的素数分解。 在本课程的后面部分，找到复合数的素数分解将很有用。
数字的素数分解是等于该数字的质数的乘积。
要找到复合数的素数分解，请找到该数字的任意两个因子并使用它们来创建两个分支。 如果一个因子是素数，则该分支是完整的。 圈出那个素数！
如果该因子不是素数，请找到该数的两个因子并继续该过程。 一旦所有分支的末尾都有圈出素数，分解就完成了。 复合数现在可以写成素数的乘积。
因子 48。
- 回答
-
我们说\(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\)的是 48 的素数因式分解。 我们通常按升序写入素数。 一定要乘以因子来验证你的答案！
如果我们首先以不同的方式分解 48，例如 as\(6\cdot 8\)，则结果仍然是一样的。 完成素数分解并亲自验证。
求出 80 的素数因式分解。
- 回答
-
\(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\)
求出 60 的素数因式分解。
- 回答
-
\(2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\)
- 找出乘积为给定数字的两个因子，然后使用这些数字创建两个分支。
- 如果一个因子是素数，则该分支是完整的。 环绕素数，就像树上的花蕾一样。
- 如果一个因子不是素数，则将其写成两个因子的乘积并继续该过程。
- 将复合数写成所有圈出素数的乘积。
求出 252 的素数因式分解。
- 回答
-
第 1 步。 找出乘积为 252 的两个因子。12 和 21 不是素数。
将 12 和 21 分解为另外两个因子。 继续，直到所有素数都被分解。
第 2 步。 将 252 写成所有圈出素数的乘积。 \(252=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 7\)
求出 126 的素数因式分解。
- 回答
-
\(2\cdot 3\cdot 3\cdot 7\)
找出 294 的素数因式分解。
- 回答
-
\(2\cdot 3\cdot 7\cdot 7\)
我们研究倍数和素数的原因之一是使用这些技术来找到两个数字中最不常见的倍数。 当我们加上和减去具有不同分母的分数时，这将很有用。最常使用两种方法来找到最不常见的倍数，我们将同时研究这两种方法。
第一种方法是列出倍数方法。 为了找出 12 和 18 的最小公倍数，我们列出了 12 和 18 的前几个倍数：
请注意，两个列表中都出现了一些数字。 它们是 12 和 18 的常见倍数。
我们看到 12 和 18 的前几个常用倍数是 36、72 和 108。 由于 36 是常用倍数中最小的一个，因此我们称之为最小公倍数。 我们经常使用缩写 LCM。
两个数字的最小公倍数 (LCM) 是两个数字的倍数的最小数字。
程序框列出了使用我们上面在 12 和 18 中使用的素数因子法查找 LCM 所要采取的步骤。
- 列出每个数字的几个倍数。
- 查找两个列表中出现的最小数字。
- 这个数字是 LCM。
通过列出倍数找出 15 和 20 的最小公倍数。
- 回答
-
列出 15 和 20 的前几个倍数，然后使用它们来查找最不常见的倍数。 
查找两个列表中出现的最小数字。 两个列表中出现的第一个数字是 60，因此 60 是 15 和 20 的最不常见的倍数。 请注意，两个列表中也有 120。 它是一个常见倍数，但它不是最不常见的倍数。
通过列出倍数 9 和 12 来找到最不常见的倍数。
- 回答
-
\(36\)
通过列出倍数（18 和 24）找到最不常见的倍数。
- 回答
-
\(72\)
我们找出两个数字中最不公倍数的第二种方法是使用素数法。 让我们再次找出 12 和 18 的 LCM，这次是使用它们的素因子。
使用素数法找出 12 和 18 的最小公倍数 (LCM)。
- 回答
-
请注意，LCM 中包含主要因\(18(2\cdot 3\cdot 3)\)子\(12(2\cdot 2\cdot 3)\)和主要因子\((2\cdot 2\cdot 3\cdot 3)\)。 因此，36 是 12 和 18 中最不常见的倍数。
通过匹配常见素数，每个公共素数只能使用一次。 这样你就可以确定36是最不常见的倍数。
使用素数因子方法查找 LCM：9 和 12。
- 回答
-
\(36\)
使用素数因子法查找 LCM：18 和 24。
- 回答
-
\(72\)
- 将每个数字写成素数的乘积。
- 列出每个数字的素数。 尽可能垂直匹配素数。
- 把柱子放下。
- 将因子相乘。
使用素数法找出 24 和 36 的最小公倍数 (LCM)。
- 回答
-
找出 24 和 36 的素数。
尽可能垂直匹配素数。
调低所有列。
将因子相乘。 
24 和 36 的 LCM 为 72。
使用素数因子法查找 LCM：21 和 28。
- 回答
-
\(84\)
使用素数因子方法查找 LCM：24 和 32。
- 回答
-
\(96\)
关键概念
- 放置值如图所示。
- 用单词命名一个整数
- 从左侧开始，命名每个句点中的数字，然后是期间名称。
- 在数字中加上逗号以分隔句点。
- 不要命名一个句点。
- 用数字写一个整数
- 识别表示句点的单词。 （记住那个句点从来没有被命名。）
- 画出 3 个空白以表示每个时段所需的名额数量。 用逗号分隔句点。
- 命名每个句点中的数字，并将数字放在正确的位值位置。
- 四舍五入整数
- 找到给定的位值并用箭头标记。 箭头左侧的所有数字都不会改变。
- 给定位数右边的数字加下划线。
- 这个数字是否大于或等于 5？
- yes-向给定位数值中的数字加 1。
- no-请勿更改给定位数值中的数字。
- 将给定位数右边的所有数字替换为零。
- 可分性测试：数字可整除为：
- 如果最后一位数字为 0、2、4、6 或 8，则为 2。
- 如果数字之和可被 3 整除，则为 3。
- 如果最后一位数字为 5 或 0，则为 5。
- 如果它可以被 2 和 3 整除，则为 6。
- 如果以 0 结尾，则为 10。
- 求复合数的素数分解
- 找出乘积为给定数字的两个因子，然后使用这些数字创建两个分支。
- 如果一个因子是素数，则该分支是完整的。 环绕素数，就像树上的花蕾一样。
- 如果一个因子不是素数，则将其写成两个因子的乘积并继续该过程。
- 将复合数写成所有圈出素数的乘积。
- 通过列出倍数找出最小公倍数
- 列出每个数字的几个倍数。
- 查找两个列表中出现的最小数字。
- 这个数字是 LCM。
- 使用素数法找出最小公倍数
- 将每个数字写成素数的乘积。
- 列出每个数字的素数。 尽可能垂直匹配素数。
- 把柱子放下。
- 将因子相乘。
词汇表
- 复合数字
- 复合数是非素数的计数数。 复合数除了 1 及其自身以外的因子。
- 数数字
- 计数数字是数字 1、2、3、...
- 可被数字整除
- 如果一个数字\(m\)是的倍数\(n\)，\(m\)则可被整除\(n\)。 （如果 6 是 3 的倍数，则 6 可被 3 整除。）
- 因素
- 如果\(a\cdot b=m\)、那么\(a\)和\(b\)是因子\(m\)。 因为\(3 \cdot 4 = 12\)，那么 3 和 4 是 12 的因子。
- 最小公倍数
- 两个数字的最小公倍数是两个数字的倍数的最小数字。
- 数字的倍数
- \(n\)如果数字是计数数字的乘积，则数字是的倍数\(n\)。
- 数字线
- 数字线用于可视化数字。 数字行上的数字从左向右移动时会变大，从右向左移动时会变小。
- 起源
- 原点是数字线上标记为 0 的点。
- 素数分解
- 数字的素数分解是等于该数字的质数的乘积。
- 素数
- 素数是大于 1 的计数数，其唯一因子为 1 及其本身。
- 整数
- 整数是数字 0、1、2、3、...