5.2: 均匀分布

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均匀分布是一种连续的概率分布，涉及同样可能发生的事件。在解决分布均匀的问题时，请注意数据是包含还是不包括端点。

均匀分布的数学陈述是

\(f(x) = \frac{1}{b-a}\)为了\(a \leq x \leq b\)

其\(a =\)中，的最低\(b =\)值\(x\)和最高值\(x\)。

理论均值和标准差的公式为

\(\mu=\frac{a+b}{2}\)和\(\sigma=\sqrt{\frac{(b-a)^{2}}{12}}\)

练习\(\PageIndex{1}\)

以下数据是35艘不同包租渔船的乘客人数。样本均值 = 7.9，样本标准差 = 4.33。数据遵循均匀分布，其中介于 0 和 14 之间的所有值的可能性相同。陈述\(a\)和的值\(b\)。用正确的表示法写出分布，然后计算理论均值和标准差。

\ (\ pageIndex {1}\) “>

1	12	4	10	4	14	11
7	11	4	13	2	4	6
3	10	0	12	6	9	10
5	13	4	10	14	12	11
6	10	11	0	11	13	2

表 5.1

示例\(\PageIndex{2}\)

一个人必须等待公交车的时间（以分钟为单位）在零到十五分钟（含）之间均匀分配。

a. 一个人等待少于 12.5 分钟的概率是多少？

回答

a. Let\(X\) = 一个人必须等待公共汽车的分钟数。 \(a = 0\)和\(b = 15\)。 \(X \sim U(0, 15)\)。编写概率密度函数。 \(f(x) = \frac{1}{15-0}=\frac{1}{15}\)对于\(0 \leq x \leq 15\)。

查找\(P(x < 12.5)\)。画一张图表。

\[P(x<k)=\text { (base) (height) }=(12.5-0)\left(\frac{1}{15}\right)=0.8333\nonumber\]

一个人等待少于 12.5 分钟的概率为 0.8333。

这显示了函数 f (x) = 1/15 的图形。水平线的范围从点 (0, 1/15) 到点 (15, 1/15)。一条垂直线从 x 轴延伸到直线的末端 (15, 1/15)，形成矩形。矩形内部的区域从 x = 0 到 x = 12.5 的阴影呈阴影。

b. 平均而言，一个人必须等多久？求均值\(\mu\)、和标准差\(\sigma\)。

回答: b\(\mu=\frac{a+b}{2}=\frac{15+0}{2}=7.5\)。平均而言，一个人必须等待7.5分钟。

\(\sigma=\sqrt{\frac{(b-a)^{2}}{12}}=\sqrt{\frac{(15-\theta)^{2}}{12}}=4.3\)。标准差为 4.3 分钟。

c. 百分之九十的时候，一个人必须等待的时间会低于什么值？

注意

这要求^第 90 个百分位数。

回答

c. 找到^第 90 个百分位数。画一张图表。假\(k =\)设^第 90 个百分位数。

\ (P (x<k) >
\(0.90=(k)\left(\frac{1}{15}\right)\)

\(k=(0.90)(15)=13.5\)

^第 90 个百分位数为 13.5 分钟。百分之九十的时间，一个人最多必须等待 13.5 分钟。

练习\(\PageIndex{2}\)

2011 赛季美国职业棒球大联盟的总时长均匀分布在 447 小时至 521 小时之间（含）。

找到\(a\)\(b\)并描述它们所代表的内容。
编写发行版。
找出均值和标准差。
一支球队在 2011 赛季的比赛时长在 480 到 500 小时之间的概率是多少？