5.1: 连续概率密度函数的属性

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Nov 1, 2022
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- 5.0：连续随机变量的前奏
- 5.2: 均匀分布

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连续概率分布的图形是一条曲线。概率由曲线下方的面积表示。当我们在第 2 章中使用直方图开发相对频率时，我们已经遇到了这个概念。一系列值的相对面积是在该组中随机绘制观测值的概率。同样，在第 4 章中的泊松分布中，示例中的图形 $\PageIndex{14}$ 使用方框来表示随机变量特定值的概率。在这种情况下，我们有点随意，因为泊松分布的随机变量是离散的，整数的，盒子有宽度。请注意，水平轴，即随机变量 $x$ ，故意没有标记轴上的点。连续随机变量的特定值的概率将为零，因为点下方的面积为零。概率是面积。

该曲线称为概率密度函数（缩写为 pdf）。我们使用符号 $f(x))$ 来表示曲线。 $f(x))$ 是与图形对应的函数；我们使用密度函数 $f(x))$ 来绘制概率分布图。

曲线下方的面积由另一个称为累积分布函数（缩写为 cdf）的函数给出。累积分布函数用于将概率计算为面积。从数学上讲，累积概率密度函数是 pdf 的积分，连续随机变量的两个值之间的概率将是这两个值之间 pdf 的积分：这两个值之间的曲线下方的面积。请记住，可以肯定的是，随机变量的所有可能值在 pdf 下方的区域是一个。因此，概率可以看作是两个感兴趣值之间的相对确定性百分比。

结果是衡量的，而不是计算在内的。
曲线下方和 x 轴上方的整个面积等于 1。
可以为 x 值的间隔找到概率，而不是为单个 $x$ 值找到概率。
$P(c < x < d)$ 是随机变量 X 处于值 c 和 d 之间的间隔内的概率。 $P(c < x < d)$ 是曲线下方、x 轴上方、右侧 $c$ 和左侧的面积 $d$ 。
$P(x = c) = 0$ $x$ 采用任何单个值的概率为零。曲线下方、x 轴上方以及 $x = c$ 和之间的区域 $x = c$ 没有宽度，因此没有面积 ( $\text{area }= 0$ )。由于概率等于面积，因此概率也为零。
$P(c < x < d)$ 与之相同， $P(c ≤ x ≤ d)$ 因为概率等于面积。

我们将使用几何、公式、技术或概率表来找到表示概率的区域。通常，需要使用积分微积分来找到许多概率密度函数的曲线下方的面积。当我们在本教科书中使用公式来查找面积时，公式是使用积分微积分技术找到的。

有许多连续概率分布。使用连续概率分布对概率进行建模时，选择使用的分布以最佳方式对特定情况进行建模和拟合。

在本章和下一章中，我们将研究均匀分布、指数分布和正态分布。下图说明了这些分布。

这张图显示了均匀分布。水平轴的范围为 0 到 10。分布由从 x = 2 延伸到 x = 8.8 的矩形建模。从 x = 3 到 x = 6 的区域在矩形内部被着色。阴影区域表示 P (3 x < 6)。 — 图 $\PageIndex{2}$ 该图显示了均匀分布，面积介于 $x = 3$ 和 $x = 6$ 阴影之间，表示随机变量的值 $X$ 处于三到六之间的间隔内的概率。

图 $\PageIndex{3}$ 该图显示了指数分布，面积介于 $x = 2$ 和 $x = 4$ 阴影之间，表示随机变量的值 $X$ 处于二到四之间的间隔内的概率。

此图显示了指数分布。该图向下倾斜。它从 y 轴上的某个点开始，接近图形右边缘的 x 轴。图表下方从 x = 2 到 x = 4 的区域用阴影表示 P (2 < x < 4)。 — 图 $\PageIndex{4}$ 该图显示了标准正态分布，其面积介于 $x = 1$ 和 $x = 2$ 阴影之间，表示随机变量的值处 $X$ 于 1 和 2 之间的间隔内的概率。

对于连续概率分布，概率 = 面积。

示例 $\PageIndex{1}$

考虑实数 $f(x) = \frac{1}{20}$ $0 ≤ x ≤ 20. x =$ 的函数。的图形 $f(x) = \frac{1}{20}$ 是一条水平线。但是，sanc $0 ≤ x≤ 20, f(x)$ e 仅限于介于 $x = 0$ 和之间（含 $x = 20$ ）的部分。

这显示了函数 f (x) = 1/20 的图形。水平线的范围从点 (0, 1/20) 到点 (20, 1/20)。一条垂直线从 x 轴延伸到直线的末端 (20, 1/20)，形成矩形。 — 图 $\PageIndex{5}$

$f(x) = \frac{1}{20}$ 对于 $0 ≤ x ≤ 20$ 。

的图形 $f(x) =\frac{1}{20}$ 是水平线段 $0 ≤ x ≤ 20$ 。

wher $f(x) = \frac{1}{20}$ e $0 ≤ x ≤ 20$ 和 x 轴之间的区域是具有底部 $= 20$ 和高度的矩形的面积 $= \frac{1}{20}$ 。

$\operatorname{AREA}=20\left(\frac{1}{20}\right)=1\nonumber$

假设我们想找到介于$bf{f(x)) = \frac{1}{20}}$和 x 轴之间的区域 $\bf{0 < x < 2}$ 。

这显示了函数 f (x) = 1/20 的图形。水平线的范围从点 (0, 1/20) 到点 (20, 1/20)。一条垂直线从 x 轴延伸到直线的末端 (20, 1/20)，形成矩形。矩形内部的区域从 x = 0 到 x = 2 的阴影呈阴影。 — 图 $\PageIndex{6}$

$\operatorname{AREA}=(2-0)\left(\frac{1}{20}\right)=0.1\nonumber$

$(2-0)=2= \text{base of rectangle}\nonumber$

提醒

矩形的面积 =（底部）（高度）。

该区域对应概率。介于零和二之间的概率 $x$ 是 $0.1$ ，在数学上可以写成 $P(0 < x < 2) = P(x < 2) = 0.1$ 。

假设我们想找到介于 $\bf{f(x) = \frac{1}{20}}$ 和 x 轴之间的区域 $\bf{ 4 < x < 15 }$ 。

这显示了函数 f (x) = 1/20 的图形。水平线的范围从点 (0, 1/20) 到点 (20, 1/20)。一条垂直线从 x 轴延伸到直线的末端 (20, 1/20)，形成矩形。矩形内部的区域从 x = 4 到 x = 15 的阴影呈阴影。 — 图 $\PageIndex{7}$

$\operatorname{AREA}=(15-4)\left(\frac{1}{20}\right)=0.55$

$(15 – 4) = 11 = \text{the base of a rectangle}$

面积对应于概率 $P (4 < x < 15) = 0.55$ 。

假设我们想找到 $P(x = 15)$ 。在 x-y 图上， $x = 15$ 是一条垂直线。垂直线没有宽度（或零宽度）。因此， $P(x = 15) =$ （底座）（高度） $= (0)\left(\frac{1}{20}\right) = 0$

这显示了函数 f (x) = 1/20 的图形。水平线的范围从点 (0, 1/20) 到点 (20, 1/20)。一条垂直线从 x 轴延伸到直线的末端 (20, 1/20)，形成矩形。一条垂直线从水平轴延伸到 x = 15 处的图形。 — 图 $\PageIndex{8}$

$P(X ≤ x)$ ，也可以写成 $P(X < x)$ 连续分布函数，称为累积分布函数或 CDF。注意 “小于或等于” 符号。我们也可以使用 CDF 来计算 $P (X > x)$ 。 CDF 给出 “左边的区域” 并 $P(X > x)$ 给出 “右边的区域”。我们按如下方式计算 $P(X > x)$ 连续分布: $P(X > x) = 1 – P (X < x)$ .

这显示了函数 f (x) = 1/20 的图形。水平线的范围从点 (0, 1/20) 到点 (20, 1/20)。一条垂直线从 x 轴延伸到直线的末端 (20, 1/20)，形成矩形。值 x 左侧的区域带有阴影。 — 图 $\PageIndex{9}$

使用 $f(x)$ 和标记图表 $x$ 。使用最大值 $x$ 和 $y$ 值缩放 $x$ 和 $y$ 轴。 $f(x) = \frac{1}{20} , 0 ≤ x ≤ 20$ 。

要计算两个 $x$ 值之间的概率，请看下图。对 $x = 2.3$ 和之间的区域进行遮蔽 $x = 12.7$ 。然后计算矩形的阴影面积。

这显示了函数 f (x) = 1/20 的图形。水平线的范围从点 (0, 1/20) 到点 (20, 1/20)。一条垂直线从 x 轴延伸到直线的末端 (20, 1/20)，形成矩形。矩形内部的区域从 x = 2.3 到 x = 12.7 的阴影呈阴影 — 图 $\PageIndex{10}$

$P(2.3<x<12.7)=(\text { base })(\text { height })=(12.7-2.3)\left(\frac{1}{20}\right)=0.52$

练习 $\PageIndex{1}$

考虑这个函数 $f(x) = \frac{1}{8}$ $0 \leq x \leq 8$ 。绘制图表 $f(x))$ 并查找 $P(2.5 < x < 7.5)$ 。