7.3: 垂直线

定义：垂直线

两条截然不同的直线\(l\)\(l ⊥ q\)，如果它们的交点在测量时形成四个直角或角度，则\(q\)是垂直的\(90^{\circ}\)。 垂直线的斜率\(l\)和\(q\)是负倒数。 也就是说，

\[m_l = −\dfrac{1}{m_q} \nonumber \]

和

\[m_q = − \dfrac{1}{m_l} \nonumber \]

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确定给定线是否垂直。 穿\(l\)过点\((0, 1)\)和的直线\((1, 3)\)，以及穿\(q\)过点\((−1, 4)\)和的线\((5, 1)\)。

解决方案

要确定直线是否垂直，首先使用直线公式的斜率求出它们的斜率。 穿过点的直线的\(l\)斜\((0, 1)\)率\((1, 3)\)是\(m_l\)

\(\begin{array}s m_l &= \dfrac{3 − 1}{1 − 0} \\ &= \dfrac{2}{1} \\ &= 2 \end{array}\)

穿过点\((−1, 4)\)的直线的\(q\)斜率为\(m_q\)\((5, 1)\)

\(\begin{array}s m_q &= \dfrac{1 − 4}{5 − (-1)} \\ &= \dfrac{-3}{6} \\ &= \dfrac{-1}{2} \end{array}\)

现在，\(q\)当\(l\)且仅在以下情况下，直线和才是垂直的：

\(m_l = −\dfrac{1}{m_q} \text{ and } m_q = −\dfrac{1}{m_l}\)

\(m_l = 2\)和\(m_q = −\dfrac{1}{m_l} = −\dfrac{1}{2}\)。 因此，直线的斜率是负倒数，因此可以得出结论，直线\(l\)和\(q\)是垂直线。

示例 Template:Index

找出一条垂直于穿过点的直线的斜率\(l\)，\((−3, 0)\)然后\((3, 4)\)。

解决方案

首先找到穿过点的线的\(l\)斜率\((3, 4)\)，\((−3, 0)\)然后使用直线公式的斜率。 因此，

\(\begin{array} s m_l &= \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} \\ &= \dfrac{4 − 0}{3 − (−3)} \\ &= \dfrac{4}{6} \\ &= \dfrac{2}{3} \end{array}\)

任何垂直于直线的直线的斜率\(l\)必须为其斜率的负倒数。 从\(m_l = \dfrac{2}{3}\)那时起，垂直于直线的线的斜率\(l\)必须为\(m = −\dfrac{3}{2}\)

练习 Template:Index

确定给定线是否垂直。

1. 穿\(l\)过点的直线\((0, 4)\)\((5, 3)\)\(q\)和穿过点的直线\((1, 5)\)和\((−1, −5)\)。
2. 穿\(l\)过点的直线\((−2, −5)\)\((1, 7)\)\(q\)和穿过点的直线\((−4, 1)\)和\((−3, −3)\)。

练习 Template:Index

找出垂直于以下位置的直线的斜率：

1. 穿\(l\)过点\((4, 2)\)和的线\((−1, −2)\)。
2. 穿\(q\)过点\((7, −8)\)和的线\((9, 1)\)。