6.3：求解绝对值不等式并用区间表示法写出答案

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Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

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上一节讲解了如何求解绝对值方程。本节介绍如何解决绝对值不等式。为此，首先要考虑以下两个属性：

定义：绝对值不等式的属性

属性 1：适用于所有正数$b$和所有实数$p$$q$，

$|a| < b$当且仅当$−b < a < b$。

解决方案集的形式为单$(p,q)$个开放间隔。

$|a| ≤ b$当且仅当$−b ≤ a ≤ b$。

解决方案集的形式为单$[p,q]$个封闭间隔。

在考虑属性 2 之前，定义两个区间的并集很重要。任意两个间隔$A$和$B$、的并集是、或$A$$B$、或两者中的一组元素。联盟用符号表示$∪$。

属性 2：适用于所有正数$b$和所有实数$p$$q$，

$|a| > b$当且仅当$a < −b$或$a > −b$

解决方案集的形式$(−∞, p) ∪ (q, ∞)$为 “不相交间隔”。

$|a| ≥ b$当且仅当$a ≤ −b$或时$a ≥ b$。

解决方案集的形式$(−∞, p] ∪ [q, ∞)$为 “不相交间隔”。

请注意，在应用不等式的属性之前，隔离不等式两侧的绝对值表达式。

示例 Template:Index

求解以下不等式并绘制解集的图形。

$|5x − 2| < 7$
$|8x − 6| < −1$
$2|x − 3| + 5 ≤ 9$

解决方案

这是一个小于正数形式的绝对值表达式$|a| < b$。使用$a = 5x − 2$和应用属性 1 (i)$b = 7$。

$\begin{array} &&|5x − 2| < 7 &\text{Given} \\ &−7 < 5x − 2 < 7 &\text{Property 1 (i)} \end{array}$

要解决不平等问题，请隔离$x$。上一步变成

$\begin{array} &&−5 < 5x < 9 &\text{Add \(2$四面八方}\\ &−1 < x <\ dfrac {9} {5} &\ text {将所有边除以$5$}\ end {array}\)

解决方案集是单次打开$\left(−1, \dfrac{9}{5} \right)$间隔，图形如下图所示。

$clipboard_eee2ec390ebb3481038f3625204438819.png$

回想一下，任何数字的绝对值都是从$0$到数字线上该数字的距离。这意味着，任何数字的绝对值总是大于或等于$0$。

这个例子给出了$|8x − 6| < −1,$哪个不可能发生，因为距离从来都不是负数。所以，绝对值不等式没有解，解集是写的空集$\phi$。

要求解$2|x − 3| + 5 ≤ 9$，请分离绝对值。

$\begin{array} &&2|x − 3| + 5 ≤ 9 &\text{Given} \\ &2|x − 3| ≤ 4 &\text{Subtract \(5$来自两边}\\ &|x − 3| ≤ 2 &\ text {将两边除以$2$}\ end {array}\)

现在，$|x − 3| ≤ 2$就是这样的$|a| ≤ b$。使用$a = x − 3$和应用属性 1 (ii)$b = 2$。

$\begin{array} &&|x − 3| ≤ 2 & \\&− 2 ≤ x − 3 ≤ 2 &\text{Property 1(ii)} \\ &1 ≤ x ≤ 5 & \end{array}$

解决方案集是单一间隔$[1, 5]$，图形如下图所示。

$clipboard_e335bc0a4c68c53a86ca3273caf045e67.png$

示例 Template:Index

求解并绘制解决方案集的图表。

$\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3$
$2 < \left|\dfrac{3}{4} x − 3 \right| − 5$
$|2 − 4x| ≥ −7$

解决方案

绝对值不等式的形式$\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3$为$|a| ≥ b$。将 Property 2 (ii) 与$a = \dfrac{6 − x}{10}$和一起应用$b = 3$来解决不等式。

$\begin{array} & & &\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3 &&\text{Given} \\ &\dfrac{6 − x}{10} ≤ −3 &\text{ or } &\dfrac{6 − x}{10} ≥ 3 &\text{Property 2 (ii)} \\ &6 − x ≤ −30 &\text{ or } &6 − x ≥ 30 &\text{Multiply by \(10$双方}\\ &−x ≤ −36 &\ text {or} &−x ≥ 24 &\ text {$6$从两边减去}\\ &x ≥ 36 &\ text {or} &x ≤ −24 &\ text {乘以$−1$}\ end {array}\)

请注意，由于不等式乘以负数$−1$，即不等式的方向发生了变化。

解集是两个间隔的并集。因此，$(−∞, −24] ∪ [36, ∞)$是以间隔表示法设置的解。解决方案的图表如下图所示。

$clipboard_e994fe946d0c11e329dc3c0829b29b123.png$

分离绝对值。

$\begin{array} &&2 < \left|\dfrac{3}{4} x − 3 \right| − 5 &\text{Given} \\ &7 < \left| \dfrac{3}{4} x − 3 \right| &\text{Add \(5$到两边}\ end {array}\)

请注意，上述不等式从右向左读取为 “表达式的绝对值大$\dfrac{3}{4} x − 3$于$7$”，或者等效地将绝对值不等式的顺序切换为 have$\dfrac{3}{4} x − 3 > 7$，这是一种更熟悉的求解形式。

现在，$\dfrac{3}{4} x − 3 > 7$就是这样的$|a| > b$。将属性 2 (ii) 与$a = \dfrac{3x}{4} − 3$和一起使用$b = 7$。

$\begin{array} && &\dfrac{3}{4} x − 3 > 7 &&\text{Given} \\ &\dfrac{3}{4} x − 3 < −7 &\text{ or } &\dfrac{3}{4}x − 3 > 7 &\text{Property 2 (ii)}\\ &\dfrac{3}{4} x < −4 &\text{ or } &\dfrac{3}{4} x > 10 &\text{Add \(3$四面八方}\\ &x < −\ dfrac {16} {3} &\ text {or} &x >\ dfrac {40} {3} &\ text {将两边乘以$\dfrac{4}{3}$。} \ end {array}\)

解决方案集是两个间隔的并集，即$(− ∞, −\dfrac{16}{3}] ∪ [\dfrac{40}{3}, ∞)$。解决方案的图如下图所示

$clipboard_efb943e2ff7407d1b4777246c86c52bee.png$

由于任何实数$|2 − 4x|$总是大于或等于$x$，因此所有实数的绝对值不等式都是正确的。$0$ 假设$x$是任何实数，负数或正数，则绝对值要$0$么是正数。

因此，解决方案集是数字线上的所有实数，如下图所示。在间隔表示法中设置的解是$(−∞, ∞)$。

$clipboard_e0e607828723541fb83638051b94dbe29.png$

练习 Template:Index

求解以下不等式，用区间表示法写出答案，然后绘制解集合的图形：

$|−6x + 1| < 20$
$\left| \dfrac{2}{3} x + 5 \right| > 5$
$\left| 5 − \dfrac{1}{4} x \right| < −71$
$2 \left| − x + \dfrac{4}{5} \right| ≤ \dfrac{5}{2}$
$−\dfrac{1}{7} < |x + 10| − 10$
$|−12 − 3x| < −0.6$
$\left|\dfrac{16 − 2x}{8} \right| ≥ 11$
$|2 − 6x| − 5 ≥ −9$
$\left| \dfrac{2}{3} x − \dfrac{1}{4} \right| ≤ \dfrac{1}{12}$
$|.02x + 5| < .02$
$\left| \dfrac{1}{2} − x \right| < 8$
$| − 6x + 9| − 5 < −6$