5.9: 有理指数
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指数并不总是整数。 本节将探讨指数是有理数的情况。 当指数是有理数时,表达式可以写成带有激进的表达式。 规则是用与原始问题相同的形式写出答案(如果你以指数开头,以指数结尾,或者如果你以激进开头,以激进结尾)。
对于任何实数\(a\)和任何整数\(n\),指数为的表达式\(\dfrac{1}{n}\)可以表示为如下所示
\[a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \nonumber \]
注意:\(n\)是激进中的索引。 \(\sqrt[n]{a}\)被读为 “a 的第 n 个根”
注意:当激进没有可见索引时,默认情况下,索引为\(2\)(平方根)。 大于的指数\(2\)将在激进部分上标出。
- \((4)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2\)\(\text{Index is \(2\)默认}\)
- \( (x)^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{x}\)\(\text{Index is \(7\)}\)
- \((−3y)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{(-3y)}\)\(\text{Index is \(3\)}\)
现在,让我们观察一下当指数是带有分子的有理数时会发生什么\(\neq 1\)。
对于任何实数\(a\)和任何整数\(n\)和\(m\),指数为的表达式\(\dfrac{m}{n}\)可以表示为如下所示
\[a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \text{ or } (\sqrt[n]{a})^m \nonumber \]
注意:\(n\)是激进中的索引,\(m\)是基数的力量。
用激进的形式写下以下内容
- \((x)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2\)\(\text{Index is \(3\)并将 base 提升到\(2\)。}\)
- \((5t)^{\frac{7}{8}} = \sqrt[8]{5t^7} = (\sqrt[8]{5t})^7\)\(\text{Index is \(8\)然后 base 被提升到\(7\)力量。}\)
- \((x)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2\)\(\text{Index is \(3\)然后将基地提升到权力\(2\)。}\)
- \(\begin{array} &&(z)^{−\frac{5}{9}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Given} \\ &= \dfrac{1}{(z)^{\frac{5}{9}}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Negative exponent rule applied} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt[9]{x^5}} \text{ or } \left( \dfrac{1}{\sqrt[9]{x}} \right)^5 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Rational exponent written as a radical.} \end{array}\)
- \(\left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{5}{7}} = \sqrt[7]{\dfrac{3}{4}^5}\)\(\text{Rational exponent written as radical with index \(7\)然后 base 提升到\(5\)了。}\)
用激进的形式写下以下内容。
- \((x)^{\frac{5}{7}}\)
- \((xy)^{\frac{9}{8}}\)
- \((x)^{\frac{9}{5}}\)
- \((z)^{−\frac{11}{13}}\)
- \(\left( \dfrac{x}{4} \right)^{\frac{6}{9}}\)
- \(6(y)^{\frac{1}{17}}\)
- \((6y)^{\frac{1}{17}}\)
- \(\left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{x}{y}}\)
- \(\left( \dfrac{7}{4} \right)^{(−\frac{x}{y})}\)