5.9: 有理指数

指数并不总是整数。 本节将探讨指数是有理数的情况。 当指数是有理数时，表达式可以写成带有激进的表达式。 规则是用与原始问题相同的形式写出答案（如果你以指数开头，以指数结尾，或者如果你以激进开头，以激进结尾）。

定义：表单的有理指数$\dfrac{1}{n}$

对于任何实数$a$和任何整数$n$，指数为的表达式$\dfrac{1}{n}$可以表示为如下所示

$$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \nonumber$$

注意：$n$是激进中的索引。 $\sqrt[n]{a}$被读为 “a 的第 n 个根”

注意：当激进没有可见索引时，默认情况下，索引为$2$（平方根）。 大于的指数$2$将在激进部分上标出。

示例 Template:Index

1. $(4)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$$\text{Index is \(2$默认}\)
2. $(x)^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{x}$$\text{Index is \(7$}\)
3. $(−3y)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{(-3y)}$$\text{Index is \(3$}\)

现在，让我们观察一下当指数是带有分子的有理数时会发生什么$\neq 1$。

定义：表单的有理指数$\dfrac{m}{n}$

对于任何实数$a$和任何整数$n$和$m$，指数为的表达式$\dfrac{m}{n}$可以表示为如下所示

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \text{ or } (\sqrt[n]{a})^m \nonumber$$

注意：$n$是激进中的索引，$m$是基数的力量。

示例 Template:Index

用激进的形式写下以下内容

1. $(x)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2$$\text{Index is \(3$并将 base 提升到$2$。}\)
2. $(5t)^{\frac{7}{8}} = \sqrt[8]{5t^7} = (\sqrt[8]{5t})^7$$\text{Index is \(8$然后 base 被提升到$7$力量。}\)
3. $(x)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2$$\text{Index is \(3$然后将基地提升到权力$2$。}\)
4. $\begin{array} &&(z)^{−\frac{5}{9}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Given} \\ &= \dfrac{1}{(z)^{\frac{5}{9}}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Negative exponent rule applied} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt[9]{x^5}} \text{ or } \left( \dfrac{1}{\sqrt[9]{x}} \right)^5 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Rational exponent written as a radical.} \end{array}$
5. $\left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{5}{7}} = \sqrt[7]{\dfrac{3}{4}^5}$$\text{Rational exponent written as radical with index \(7$然后 base 提升到$5$了。}\)

练习 Template:Index

用激进的形式写下以下内容。

1. $(x)^{\frac{5}{7}}$
2. $(xy)^{\frac{9}{8}}$
3. $(x)^{\frac{9}{5}}$
4. $(z)^{−\frac{11}{13}}$
5. $\left( \dfrac{x}{4} \right)^{\frac{6}{9}}$
6. $6(y)^{\frac{1}{17}}$
7. $(6y)^{\frac{1}{17}}$
8. $\left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{x}{y}}$
9. $\left( \dfrac{7}{4} \right)^{(−\frac{x}{y})}$