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5.8: 指数的商法则的幂次方

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    指数的商法则的幂将侧重于当商提高到某种幂时会发生什么。

    定义：指数商法则的幂次方

    对于任何实数\(a\)\(b\)和任何整数\(n\)，指数的商法则的幂如下：

    \(\left( \dfrac{a }{b} \right)^n = \dfrac{a^n }{b^n }\)，

    哪里\(b \neq 0\)。

    使用指数的商乘法则简化以下内容。

    示例 Template:Index

    使用指数的商乘法则简化以下内容。

    \(\left( \dfrac{a }{b} \right)^4\)

    解决方案

    \(\begin{aligned} &\left( \dfrac{a}{ b} \right)^4 && \text{Given} \\ &= \dfrac{a }{b} \cdot \dfrac{a }{b} \cdot \dfrac{a }{b} \cdot \dfrac{a }{b} &&\text{Expand using the exponent definition} \\ &= \dfrac{a^4 }{b^4} && \text{Multiply as needed to simplify} \end{aligned}\)

    示例 Template:Index

    \(\left(\dfrac{x^2 }{3y^5} \right)^3\)

    解决方案

    \(\begin{aligned} &\left( \dfrac{x^2 }{3y^5 }\right)^3 && \text{Given} \\ &= \dfrac{x^{2\cdot 3 }}{3^3 \cdot y^{5\cdot 3 }} && \text{power of quotient rule for exponents applied} \\ &= \dfrac{x^6 }{3^3 \cdot y^{15 }} &&\text{Simplify exponent product} \\ &= \dfrac{x^6 }{27y^{15 }} && \text{Multiply as needed to simplify.} \end{aligned}\)

    示例 Template:Index

    \(\left( \dfrac{2x }{y }\right)^{−3}\)

    解决方案

    \(\begin{aligned} &\left( \dfrac{2x }{y }\right)^{−3 } &&\text{Given} \\ &= \left( \dfrac{y }{2x} \right)^3 && \text{Negative exponent rule applied} \\ &= \dfrac{y^3 }{2^3 \cdot x^3} && \text{Power of a quotient rule for exponents applied.} \\ &= \dfrac{y^3 }{8x^3 } && \text{Multiply as needed to simplify.} \end{aligned}\)

    指数规则的应用顺序无关紧要。 在示例三中，步骤 2 和 3 可以按任意顺序完成。 结果将是一样的。

    练习 Template:Index

    使用指数的商法则的幂简化表达式。

    1. \(\left( \dfrac{p^4 }{p^7 }\right) ^3\)
    2. \(−\left(\dfrac{ x^2 \cdot x^3 }{x \cdot y^3} \right) ^2\)
    3. \(\left( \dfrac{5x^3 }{2y^{13 }}\right) ^{−2}\)
    4. \(\left( \dfrac{2c^3}{ c^4} \right) ^3\)
    5. \(\left( \dfrac{a ^{−7}b }{a^2b^{−4 }}\right)^3\)
    6. \(\left( \dfrac{f^{−7 }}{f^5 }\right)^9\)
    7. \(\left(\dfrac{ xy^2z^3}{ x^3y^2z} \right) ^5\)