5.5: 负指数规则

在第 5.3 节中，分子中数字的指数大于分母中数字的指数。 在第 5.4 节中，分子中数字的指数等于分母中数字的指数。 在第 5.5 节中，分母中数字的指数可能大于分子中数字的指数。

定义：负指数规则

对于任何非零实数 a 和任何整数 n，负指数规则如下

\(a^{−n}= \dfrac{1 }{a^n} or \dfrac{1 }{a^{−n}} = a^n\)

在数学中，在答案中留下负指数的形式很差。 所有答案都将始终简化为显示正指数。

这是如何工作的？

回想一下：

\[\begin{align*} 2^3 &= 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \\[4pt] 2^2 &= 2 \cdot 2 = 4 \\[4pt] 2^1 &= 2 = 2 \\[4pt] 2^0 &= 1 \end{align*} \nonumber \]

负指数会怎样？

\[\begin{align*} 2^{−1 } &= \dfrac{1 }{2^1 }= \dfrac{1 }{2} \\[4pt] 2^{−2 } &= \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{ 4} \end{align*} \nonumber \]

回想一下：从上一节开始，

\[\begin{align*} x^3 = \textcolor{blue}{x \cdot x \cdot x} \\[4pt] x^5 &= \textcolor{red}{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x} \end{align*} \nonumber \]

他们的商数：

\(\dfrac{x^3 }{x^5} = \dfrac{x \cdot x \cdot x }{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }= \dfrac{\textcolor{blue}{\cancel{x \cdot x\cdot x }}}{\textcolor{red}{\cancel{x \cdot x\cdot x \cdot x \cdot x }}}=\dfrac{ 1 }{\textcolor{red}{x \cdot x }}= \dfrac{1 }{x^2}\)

应用商法则获得等效结果。

\(\dfrac{x^3 }{x^5} = x^{3−5 }= x^{−2}\)

使用负指数规则。

\(x^{−2 }= \dfrac{1 }{x^2}\)。

查看以下示例，以帮助理解使用指数商法则和负指数规则进行简化的过程。

提示：请耐心等待，花点时间，在简化时要小心！

示例 Template:Index

将以下表达式简化为只有正指数的单基数。

\(\dfrac{t^5}{ t^11}\)

解决方案

\(t^{5−11 }= t^{−6 }= \dfrac{1 }{t^6}\)

示例 Template:Index

将以下表达式简化为只有正指数的单基数。

\(\dfrac{x^{3} \cdot x^{11} }{x \cdot x^{15}}\)

解决方案

\(\dfrac{x^{ 3+11 }}{x^{1+15 }}= \dfrac{x^14 }{x^16 }= x^{14−16 }= x^{−2 }= \dfrac{1}{x^2}\)

示例 Template:Index

将以下表达式简化为只有正指数的单基数。

\(\dfrac{2y^3 }{7y^7}\)

解决方案

\(\dfrac{2 }{7} \cdot \dfrac{y^3 }{y^7 }= \dfrac{2 }{7} \cdot y^{3−7 }= \dfrac{2 }{7 }\cdot y^{−4} = \dfrac{2 }{7 }\cdot \dfrac{1 }{y^4 }= \dfrac{2 }{7y^4}\)

示例 Template:Index

将以下表达式简化为只有正指数的单基数。

\(-\dfrac{\sqrt{3}z^6}{ z^7}\)

解决方案

\(− \sqrt{3} \cdot \dfrac{z^6 }{z^7} = − \sqrt{3} \cdot z^{6−7 }= − \sqrt{3} \cdot z^{−1} = − \sqrt{3} \cdot \dfrac{1 }{z} = − \dfrac{\sqrt{3}}{z}\)

在示例 3 和示例 4 中，分解常量以清楚地看到共同基数。

示例 Template:Index

将以下表达式简化为只有正指数的单基数。

\(\dfrac{1}{ a^{−9}}\)

解决方案

\(a^9\)

示例 Template:Index

将以下表达式简化为只有正指数的单基数。

\(\dfrac{x^3 }{x^{−5}}\)

解决方案

\(x^{3−(−5) }= x^{3+5 }= x^{8}\)

示例 Template:Index

将以下表达式简化为只有正指数的单基数。

\(\dfrac{c^{−7 }}{c^{−3}}\)

解决方案

\(c^{(−7)−(−3) }= c^{−7+3 }= c ^{−4} = \dfrac{1 }{c^4}\)

在示例 6 和示例 7 中，在将指数更改为正指数之前使用了指数的商法则。 通过先将指数展开并更改为正指数，然后应用指数的商法则，可以获得相同的结果。

练习 Template:Index

将以下表达式简化为只有正指数的单基数。

1. \(\dfrac{p^4}{ p^{13}}\)
2. \(-\dfrac{k^2 \cdot k^3 }{k^7 \cdot k^8}\)
3. \(\dfrac{5(x + y)^3 }{2(x + y)^{13}}\)
4. −\(\dfrac{\sqrt{8}y^3}{ y^{−3}}\)
5. \(\dfrac{a^{−7}}{ a^2 \cdot a^{−5}}\)
6. \(\dfrac{x^{−7}}{ x^5}\)