5.4: 零指数规则

在第 5.3 节中，分子中数字的指数始终大于分母中数字的指数。

在第 5.4 节中，分子中数字的指数将等于分母中数字的指数。

定义：零指数规则

对于任何实数\(a\)，零指数规则如下

\(a^0= 1\)

想法：

来自前面的章节：

\[x^5 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \nonumber \]

和

\[\dfrac{x^5 }{x^5} =\dfrac{ x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }= \dfrac{\cancel{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }}{\cancel{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }}= 1 \nonumber \]

因此，

\[\dfrac{x ^5 }{x^5} = x^{5−5 }= x^0=1 \nonumber \]

示例 Template:Index

使用零指数规则来简化表达式。

1. \(\dfrac{x^9 }{x^9}\)
2. \(\dfrac{d^5 }{d^2 \cdot d^3}\)
3. \(\dfrac{5(xy)^3 }{(xy)^3}\)
4. \(-\dfrac{y^3 }{\sqrt{5}y^3}\)
5. \(\dfrac{(ab^2 )^7 }{(ab^2)^2 \cdot (ab^2)^4 ˙(ab^2)}\)

解决方案

表情	零指数规则
\(\dfrac{x^9 }{x^9}\)	\(x^{9−9} = x^0 = 1\)
\(\dfrac{d^5 }{d^2 \cdot d^3}\)	\(\dfrac{d^5 }{d^{2+3 }}= \dfrac{d^5 }{d^5} = d^{5−5 }= d^{0} = 1\)
\(\dfrac{5(xy)^3 }{(xy)^3}\)	\(5 \cdot \dfrac{(xy)^3 }{(xy)^3 }= 5 \cdot (xy)^{3−3 }= 5 \cdot (xy)^0 = 5 \cdot 1 = 5 \) 可以分解常数 5，以便清楚地看到共同的基础。
\(-\dfrac{y^3 }{\sqrt{5}y^3}\)	\(− \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot \dfrac{y^3 }{y^3 }= − \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot y ^{3−3 }= − \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot y^0 = − \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot 1 = − \dfrac{1}{ \sqrt{5}}\) 可以将常量分解出来\(−\left( \dfrac{1 }{\sqrt{5}}\right )\)，以便清楚地看到共同的基础。
\(\dfrac{(ab^2 )^7 }{(ab^2)^2 \cdot (ab^2)^4 ˙(ab^2)}\)	\(\dfrac{(ab^2 )^7 }{(ab^2)^{2+4+1}}= \dfrac{(ab^2 )^7}{ (ab^2)^7} = (ab^2 )^{7−7 }= (ab^2 )^0 = 1\) 首先，使用指数乘积法则简化分母。 然后使用指数的商法则来简化其余表达式。

注意：\(0^0\)不等于 1。 这是高级课程中涵盖的特例。 现在\(0^0\)考虑未定义。

使用指数简化表达式的有用步骤

1. 确定共同基础。
2. 如果需要，使用指数乘积法则组合常用基数。
3. 如果表达式在分子和分母中都包含公基，则根据需要使用指数的商法则。

练习 Template:Index

使用本章到目前为止涵盖的所有指数规则来简化以下内容。

1. \(\dfrac{z ^4 }{z^ 4}\)
2. \(\dfrac{d^2 \cdot d^8}{ d^7 \cdot d^3}\)
3. \(\dfrac{5(x + y)^3 }{2(x + y)^3}\)
4. \(−\dfrac{\sqrt{9}{y^3 }}{y^3}\)
5. \(\dfrac{(a^3b^2 )^9}{ (a^3b^2)^3 \cdot (a^3b^2)^4 ˙(a^3b^2)^2}\)
6. \(\dfrac{(xyz)^{19} }{(xyz)^{19}}\)