5.4: 零指数规则

在第 5.3 节中，分子中数字的指数始终大于分母中数字的指数。

在第 5.4 节中，分子中数字的指数将等于分母中数字的指数。

定义：零指数规则

对于任何实数$a$，零指数规则如下

$a^0= 1$

想法：

来自前面的章节：

$$x^5 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \nonumber$$

和

$$\dfrac{x^5 }{x^5} =\dfrac{ x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }= \dfrac{\cancel{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }}{\cancel{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }}= 1 \nonumber$$

因此，

$$\dfrac{x ^5 }{x^5} = x^{5−5 }= x^0=1 \nonumber$$

示例 Template:Index

使用零指数规则来简化表达式。

1. $\dfrac{x^9 }{x^9}$
2. $\dfrac{d^5 }{d^2 \cdot d^3}$
3. $\dfrac{5(xy)^3 }{(xy)^3}$
4. $-\dfrac{y^3 }{\sqrt{5}y^3}$
5. $\dfrac{(ab^2 )^7 }{(ab^2)^2 \cdot (ab^2)^4 ˙(ab^2)}$

解决方案

表情	零指数规则
$\dfrac{x^9 }{x^9}$	$x^{9−9} = x^0 = 1$
$\dfrac{d^5 }{d^2 \cdot d^3}$	$\dfrac{d^5 }{d^{2+3 }}= \dfrac{d^5 }{d^5} = d^{5−5 }= d^{0} = 1$
$\dfrac{5(xy)^3 }{(xy)^3}$	$5 \cdot \dfrac{(xy)^3 }{(xy)^3 }= 5 \cdot (xy)^{3−3 }= 5 \cdot (xy)^0 = 5 \cdot 1 = 5$ 可以分解常数 5，以便清楚地看到共同的基础。
$-\dfrac{y^3 }{\sqrt{5}y^3}$	$− \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot \dfrac{y^3 }{y^3 }= − \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot y ^{3−3 }= − \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot y^0 = − \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot 1 = − \dfrac{1}{ \sqrt{5}}$ 可以将常量分解出来$−\left( \dfrac{1 }{\sqrt{5}}\right )$，以便清楚地看到共同的基础。
$\dfrac{(ab^2 )^7 }{(ab^2)^2 \cdot (ab^2)^4 ˙(ab^2)}$	$\dfrac{(ab^2 )^7 }{(ab^2)^{2+4+1}}= \dfrac{(ab^2 )^7}{ (ab^2)^7} = (ab^2 )^{7−7 }= (ab^2 )^0 = 1$ 首先，使用指数乘积法则简化分母。 然后使用指数的商法则来简化其余表达式。

注意：$0^0$不等于 1。 这是高级课程中涵盖的特例。 现在$0^0$考虑未定义。

使用指数简化表达式的有用步骤

1. 确定共同基础。
2. 如果需要，使用指数乘积法则组合常用基数。
3. 如果表达式在分子和分母中都包含公基，则根据需要使用指数的商法则。

练习 Template:Index

使用本章到目前为止涵盖的所有指数规则来简化以下内容。

1. $\dfrac{z ^4 }{z^ 4}$
2. $\dfrac{d^2 \cdot d^8}{ d^7 \cdot d^3}$
3. $\dfrac{5(x + y)^3 }{2(x + y)^3}$
4. $−\dfrac{\sqrt{9}{y^3 }}{y^3}$
5. $\dfrac{(a^3b^2 )^9}{ (a^3b^2)^3 \cdot (a^3b^2)^4 ˙(a^3b^2)^2}$
6. $\dfrac{(xyz)^{19} }{(xyz)^{19}}$