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5.4: 零指数规则

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    在第 5.3 节中，分子中数字的指数始终大于分母中数字的指数。

    在第 5.4 节中，分子中数字的指数将等于分母中数字的指数。

    定义：零指数规则

    对于任何实数\(a\)，零指数规则如下

    \(a^0= 1\)

    想法：

    来自前面的章节：

    \[x^5 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \nonumber \]

    和

    \[\dfrac{x^5 }{x^5} =\dfrac{ x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }= \dfrac{\cancel{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }}{\cancel{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }}= 1 \nonumber \]

    因此，

    \[\dfrac{x ^5 }{x^5} = x^{5−5 }= x^0=1 \nonumber \]

    示例 Template:Index

    使用零指数规则来简化表达式。

    1. \(\dfrac{x^9 }{x^9}\)
    2. \(\dfrac{d^5 }{d^2 \cdot d^3}\)
    3. \(\dfrac{5(xy)^3 }{(xy)^3}\)
    4. \(-\dfrac{y^3 }{\sqrt{5}y^3}\)
    5. \(\dfrac{(ab^2 )^7 }{(ab^2)^2 \cdot (ab^2)^4 ˙(ab^2)}\)
    解决方案
    表情 零指数规则
    \(\dfrac{x^9 }{x^9}\) \(x^{9−9} = x^0 = 1\)
    \(\dfrac{d^5 }{d^2 \cdot d^3}\) \(\dfrac{d^5 }{d^{2+3 }}= \dfrac{d^5 }{d^5} = d^{5−5 }= d^{0} = 1\)
    \(\dfrac{5(xy)^3 }{(xy)^3}\)

    \(5 \cdot \dfrac{(xy)^3 }{(xy)^3 }= 5 \cdot (xy)^{3−3 }= 5 \cdot (xy)^0 = 5 \cdot 1 = 5 \)

    可以分解常数 5，以便清楚地看到共同的基础。
    \(-\dfrac{y^3 }{\sqrt{5}y^3}\)

    \(− \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot \dfrac{y^3 }{y^3 }= − \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot y ^{3−3 }= − \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot y^0 = − \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot 1 = − \dfrac{1}{ \sqrt{5}}\)

    可以将常量分解出来\(−\left( \dfrac{1 }{\sqrt{5}}\right )\)，以便清楚地看到共同的基础。
    \(\dfrac{(ab^2 )^7 }{(ab^2)^2 \cdot (ab^2)^4 ˙(ab^2)}\)

    \(\dfrac{(ab^2 )^7 }{(ab^2)^{2+4+1}}= \dfrac{(ab^2 )^7}{ (ab^2)^7} = (ab^2 )^{7−7 }= (ab^2 )^0 = 1\)

    首先，使用指数乘积法则简化分母。 然后使用指数的商法则来简化其余表达式。

    注意：\(0^0\)不等于 1。 这是高级课程中涵盖的特例。 现在\(0^0\)考虑未定义。

    使用指数简化表达式的有用步骤

    1. 确定共同基础。
    2. 如果需要，使用指数乘积法则组合常用基数。
    3. 如果表达式在分子和分母中都包含公基，则根据需要使用指数的商法则。
    练习 Template:Index

    使用本章到目前为止涵盖的所有指数规则来简化以下内容。

    1. \(\dfrac{z ^4 }{z^ 4}\)
    2. \(\dfrac{d^2 \cdot d^8}{ d^7 \cdot d^3}\)
    3. \(\dfrac{5(x + y)^3 }{2(x + y)^3}\)
    4. \(−\dfrac{\sqrt{9}{y^3 }}{y^3}\)
    5. \(\dfrac{(a^3b^2 )^9}{ (a^3b^2)^3 \cdot (a^3b^2)^4 ˙(a^3b^2)^2}\)
    6. \(\dfrac{(xyz)^{19} }{(xyz)^{19}}\)