5.3: 指数的商法则

定义：指数的商法则

对于任何实数$a$和正数$m$$n$，其中$m > n$。

指数的商法则如下。

$\dfrac{a^m }{a^n} = a^{ m−n}$

注意：基础必须相同。 结果将具有相同的基础。

想法：

从最后一节开始，

$x^3 = \textcolor{blue}{x \cdot x \cdot x} \qquad x^5 = \textcolor{red}{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x}$

他们的商数

$\dfrac{x^ 5 }{x^3} = \dfrac{\textcolor{red}{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }}{\textcolor{blue}{x \cdot x \cdot x }}= \dfrac{\textcolor{red}{\cancel{x \cdot x\cdot x \cdot x }\cdot x }}{\textcolor{blue}{\cancel{x \cdot x\cdot x }}}= \dfrac{\textcolor{red}{x \cdot x }}{1} = \textcolor{red}{x \cdot x}$。

所以，$\dfrac{x^5 }{x^3 }= x^{5−3 }= x^2$

示例 Template:Index

使用指数的商法则来简化表达式。

1. $\dfrac{k^3 }{k^2}$
2. $\dfrac{r^{32} }{r^{21}}$
3. $\dfrac{\sqrt{2}^ 7 }{\sqrt{2 }^4}$
4. $\dfrac{(−7)^9 }{(−7)^6}$
5. $\dfrac{(x \sqrt{5})^8 }{x\sqrt{ 5}}$
6. $\dfrac{(xy)^{18} }{(xy)^{17}}$

解决方案

表情	商数规则	基地
$\dfrac{k^3 }{k^2}$	$k^{3−2 }= k$	$k$
$\dfrac{r^{32} }{r^{21}}$	$r^{32−21 }= r^{11}$	$r$
$\dfrac{\sqrt{2}^ 7 }{\sqrt{2 }^4}$	$\sqrt{2 }^{7−4 }= \sqrt{2 }^3$	$\sqrt{2}$
$\dfrac{(−7)^9 }{(−7)^6}$	$(−7)^{9−6 }= (−7)^3$	$-7$
$\dfrac{(x \sqrt{5})^8 }{x\sqrt{ 5}}$	$(x \sqrt{5})^{8−1 }= (x \sqrt{5})^7$	$x\sqrt{5}$
$\dfrac{(xy)^{18} }{(xy)^{17}}$	$(xy)^{18−17 }= xy$	$xy$

注意：在本节中，分子的指数大于分母的指数。 情况并非总是如此。 分母中的指数大于分子中的指数的情况，将在后面的章节中讨论。

练习 Template:Index

使用指数的商法则来简化给定的表达式。

1. $\dfrac{−y ^{13} }{−y^7}$
2. $\dfrac{(2x)^{25}}{ 2x}$
3. $\dfrac{\sqrt{7 }^{17 }}{\sqrt{7 }^{12}}$
4. $\dfrac{(−7)^9 }{(−7)^6}$
5. $\dfrac{(x + y) ^{78}}{ (x + y)^{43}}$
6. $\dfrac{\sqrt{xy }^{15 }}{\sqrt{xy }^{11}}$