5.6：指数的幂法则

此规则有助于简化指数表达式的乘方。 该规则经常与乘积规则混淆，因此理解该规则对于成功简化指数表达式非常重要。

定义：指数的幂法则

对于任何实数$a$和任意数字$m$和$n$，指数的幂法则如下：

$(a^m)^n = a^{m\cdot n}$

想法：

给定表达式

$\begin{aligned} &(2^2 )^3 && \text{Use the exponent definition to expand the expression inside the parentheses.} \\ &(2 \cdot 2)^3 && \text{Now use the exponent definition to expand according to the exponent outside the parentheses.}\\ &(2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) = 2^6 && = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{1+1+1+1+1+1 }= 2^{6} \text{ (Product Rule of Exponents) }\end{aligned}$

因此，$(2^2 ) ^3 = 2^{2\cdot 3 }= 2^6$

示例 Template:Index

使用指数的幂法则简化以下表达式。

$(−3^4 )^3$

解决方案

$(−3)^{4\cdot 3 }= (−3)^{12}$

示例 Template:Index

使用指数的幂法则简化以下表达式。

$(−3^4 )^3$

解决方案

$(5y)^{3\cdot 7 }= (5y)^{21}$

示例 Template:Index

使用指数的幂法则简化以下表达式。

$((−y)^5 )^2$

解决方案

$(−y)^{5\cdot 2 }= (−y)^{10 }= y^{10}$

示例 Template:Index

使用指数的幂法则简化以下表达式。

$(x^{−2 })^3$

解决方案

$x^{−2\cdot 3 }= x^{−6 }= \dfrac{1 }{x^6}$

提示：问题中的圆括号有力地表明了简化指数的幂法则的使用。

练习 Template:Index

使用指数的幂法则简化表达式。

1. $(x^3 )^5$
2. $((−y)^3 )^7$
3. $((−6y)^8 ) ^{−3}$
4. $(x^{−2 }) ^{−3}$
5. $(r^4 )^5$
6. $(−p^7 )^7$
7. $((3k)^{−3 })^5$