5.6：指数的幂法则
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此规则有助于简化指数表达式的乘方。 该规则经常与乘积规则混淆，因此理解该规则对于成功简化指数表达式非常重要。
对于任何实数\(a\)和任意数字\(m\)和\(n\)，指数的幂法则如下：
\((a^m)^n = a^{m\cdot n}\)
想法：
给定表达式
\(\begin{aligned} &(2^2 )^3 && \text{Use the exponent definition to expand the expression inside the parentheses.} \\ &(2 \cdot 2)^3 && \text{Now use the exponent definition to expand according to the exponent outside the parentheses.}\\ &(2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) = 2^6 && = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{1+1+1+1+1+1 }= 2^{6} \text{ (Product Rule of Exponents) }\end{aligned}\)
因此，\((2^2 ) ^3 = 2^{2\cdot 3 }= 2^6\)
使用指数的幂法则简化以下表达式。
\((−3^4 )^3\)
解决方案
\((−3)^{4\cdot 3 }= (−3)^{12}\)
使用指数的幂法则简化以下表达式。
\((−3^4 )^3\)
解决方案
\((5y)^{3\cdot 7 }= (5y)^{21}\)
使用指数的幂法则简化以下表达式。
\(((−y)^5 )^2\)
解决方案
\((−y)^{5\cdot 2 }= (−y)^{10 }= y^{10}\)
使用指数的幂法则简化以下表达式。
\((x^{−2 })^3\)
解决方案
\(x^{−2\cdot 3 }= x^{−6 }= \dfrac{1 }{x^6}\)
提示：问题中的圆括号有力地表明了简化指数的幂法则的使用。
使用指数的幂法则简化表达式。
- \((x^3 )^5\)
- \(((−y)^3 )^7\)
- \(((−6y)^8 ) ^{−3}\)
- \((x^{−2 }) ^{−3}\)
- \((r^4 )^5\)
- \((−p^7 )^7\)
- \(((3k)^{−3 })^5\)