4.9: 函数组合

下图再次出自 Calaway、Hoffman 和 Lippman 的 OER 教科书《商业微积分》，经许可使用（知识共享署名 3.0 美国许可证）。

图 Template:Index

符号$f(g(x))$和$g(f(x))$可能比使用组合运算符更容易理解。 因为$f(g(x))$，可以考虑包装一个包裹。 礼物被放入盒子里（礼物是$g(x)$，盒子是$f(x)$）$f(x)$，包装好的礼物包含礼物$g(x)$。

示例 Template:Index

如果为$f(x) = x^2 − 2$ and$g(x) =\sqrt{x}$，请查找：

1. $f(g(x))$和复合函数的域
2. $g(f(x))$和复合函数的域

解决方案

1. 函数的组成$f(g(x))$是：

$\begin{aligned} f(g(x)) &&\text{ Function composition, }f \text{ of }g\text{ of }x \\ f(\sqrt{x}) &&\text{ Replace } g(x)\text{ with }\sqrt{x} \\ ( \sqrt{x})^2 − 2 && \text{ In the function } f(x)\text{, every }x \text{ is replaced with } g(x) =\sqrt{x} \\ x − 2 && f(g(x))\text{, answer simplified.} \end{aligned}$

复合函数的域包含内部函数域的限制以及复合函数的限制。

内部函数的域$x$必须$g(x) = \sqrt{x}$是非负的，或者采用区间表示法$[0, \infty )$

复合函数的域，$x − 2$都是实数，$(−\infty , \infty )$

因此，的域$f(g(x))$是$[0, \infty )$。

2. 函数的组成$g(f(x))$是：

$\begin{aligned} g(f(x)) &&\text{ Function composition, }g \text{ of } f \text{ of } x \\ g(x^2 − 2)&& \text{ Replace }f(x)\text{ with } x^2 − 2 \\ \sqrt{x^2 − 2} &&\text{ In the function } g(x)\text{, every }x \text{ is replaced with } f(x) = x^2−2 \\ x^2 − 2 && g(f(x))\text{, answer simplified. }\end{aligned}$

复合函数的域包含内部函数的域以及复合函数的域的限制。

内部函数的域，全部$f(x) = x^2 − 2$为实数，或以间隔表示法$(−\infty , \infty )$

复合函数的域$\sqrt{x^2} − 2$是量$x^2 −2$必须为非负或$x^2 −2 \geq 0$。

$x^2 − 2 \geq 0$求解$x$、$x \geq 2$和$x \leq −2$。 在间隔表示法中，$(−\infty , −2] \cup [2, \infty )$

因此，复合函数的域 g (f (x)) 是限制性更强的域$(−\infty , −2] \cup [2, \infty )$。

示例 Template:Index

如果为$f(x) = \dfrac{1 }{x − 4}$ and$g(x) = \dfrac{5 }{x} + 4$，请查找：

1. $f(g(x))$和复合函数的域
2. $g(f(x))$和复合函数的域

解决方案

1. 函数的组成$f(g(x))$是：

$\begin{aligned} f(g(x)) \text{ Function composition, } f\text{ of }g \text{ of }x\\ f\left( \dfrac{5}{ x} + 4\right) && \text{ Replace }g(x)\text{ with }\dfrac{5 }{x} + 4 \\ \dfrac{1 }{\left(5 x + 4\right)− 4} && \text{ In the function } f(x)\text{, every x is replaced with } g(x) = \dfrac{5}{ x} + 4 \\ \dfrac{1 }{\dfrac{5 }{x}}&&\text{ Simplify} \\ \dfrac{x }{5} && f(g(x))\text{, answer simplified. }\end{aligned}$

复合函数的域包含内部函数域的限制以及复合函数的限制。

内部函数的域$g(x) = 5 x + 4$是$x$这样的所有值，$x$不能为 0，或者用间隔表示法$(−\infty , 0) \cup (0, \infty )$

复合函数的域$\dfrac{x }{5}$都是实数，$(−\infty , \infty )$因此，的域$f(g(x))$是$(−\infty , 0) \cup (0, \infty )$

2. 函数的组成$g(f(x))$是

$\begin{aligned} g(f(x))&&\text{Function composition, } g \text{ of } f\text{ of }x \\ g\left( \dfrac{1 }{x −4}\right) &&\text{Replace } f(x) \text{ with }\dfrac{1}{ x − 4}\\ \dfrac{5 }{\dfrac{1 }{x − 4}} + 4 &&\text{In the function } g(x)\text{, every x is replaced with } f(x) = \dfrac{1 }{x − 4}\\ 5(x − 4) + 4 && \text{ Simplify the fraction} \\ 5x − 20 + 4 &&\text{ Simplify more}\\ 5x − 16 && g(f(x))\text{, answer simplified.} \end{aligned}$

复合函数的域包含内部函数的域以及复合函数的域的限制。

内部函数的域$f(x) = \dfrac{1}{ x − 4 }$是 that$x\neq 4$，或者用区间表示法$(−\infty , 4) \cup (4, \infty )$

复合函数的域均$5x − 16$为实数$(−\infty , \infty )$。

因此，复合函数的域$g(f(x))$是限制性更强的域$(−\infty , 4) \cup (4, \infty)$。

练习 Template:Index

对于给定函数，请同时找到$f(g(x))$和$g(f(x))$，然后找到复合函数的域。

1. $f(x) = 3x^ 2 + x − 10$，$g(x) = 1 − 20x$
2. $f(x) = 3x − 2$，$g(x) = \dfrac{1}{ 3} x + \dfrac{2 }{3}$
3. $f(x) = 4x − 1$，$g(x) = \sqrt{6 + 7x}$
4. $f(x) = 5x + 2$，$g(x) = x^2 − 14x$
5. $f(x) = x^ 2 − 2x + 1$，$g(x) = 8 − 3x ^2$
6. $f(x) = x ^2 + 3$，$g(x) = \sqrt{5 + x^2}$