4.7: 函数的域和范围

定义：函数的域和范围

函数的域是 x 的所有可能值，可用作函数的输入，这将产生一个实数作为输出。 函数的范围是函数所有可能的输出值的集合。

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找到以下函数的域和范围：

$f(x) = 5x + 3$

解决方案

在给定函数中，任何实数、负数、正数或零都可以替换为 x。 因此，函数的域全$f(x) = 5x + 3$是实数，或者用区间表示法写成，是:$D:(−\infty , \infty )$。 由于该函数$f(x) = 5x + 3$是 1 度的多项式，因此它是一条直线（没有任何断点或漏洞）。

任何度为 1 的多项式的范围均为实数或以区间表示法书写，为:$R:(−\infty , \infty )$。

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找到以下函数的域和范围：

$g(x) = 2\sqrt{ x − 4}$

解决方案

注意这个函数的平方根部分。 基数（平方根内的内容）必须是非负数。 将 radicand 设置为大于或等于零以找到域：

$\begin{aligned} x − 4 &\geq 0 && \text{Set the radicand greater than or equal to 0 }\\ x &\geq 4 &&\text{ Solve the inequality } \\ D&:[4, \infty ) &&\text{Write the solution in interval notation }\end{aligned}$

因此，函数的域$g(x) = 2\sqrt{ x − 4}$是写入的间隔中的$[4, \infty )$所有实数$D:[4, \infty )$。

要找到的范围$g(x) = 2\sqrt{ x − 4}$，让我们观察一下域中不同 x 值的函数行为。

让吧$x = 4$$g(4) = 2\sqrt{ 4 − 4}$，那么$g(4) = 0$。

让吧$x = 5$$g(5) = 2\sqrt{ 5 − 4}$，那么$g(5) = 2$。

让吧$x = 8$$g(8) = 2\sqrt{ 8 − 4}$，那么$g(8) = 4$。

为 x 选择的任何非负值都将生成非负值$g(x)$。 范围（函数的输出$g(x)$）的函数值是非负数，写为$R:[0, \infty )$。

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找到以下函数的域和范围：

$h(x) = −2x^2 + 4x − 9$

解决方案

在给定函数中，任何实数、负数、正数或零都可以替换 x。

因此，函数的域全$h(x) = 2x^2 + 4x − 9$是实数，或者用区间表示法写成，是:$D:(−\infty , \infty )$。

由于该函数$h(x) = 2x^2 + 4x − 9$是 2 度的二次曲线，因此在绘制图形时，它是一个抛物线（没有任何断点或漏洞）。 找出关于这个抛物线的两件事：

1. 它向哪个方向打开，向上还是向下？ 和
2. 顶点在哪里？

二次函数 ($2x^2$) 前导项系数的符号显示抛物线的打开方向。 系数为 2，由于系数为正，二次函数向上打开。

现在找到顶点。 顶点有序对的 y 值将显示范围的起点。

顶点是$\left(−\dfrac{b}{2a} , f\left( −\dfrac{b}{2a} \right)\right)$，带有 an$a = 2$ d$b = 4$。

顶点是$\left(− \dfrac{4 }{2∗2} , f \left(− \dfrac{4 }{2∗2}\right)\right)$

顶点是$(− 1, f(− 1))$，即$(− 1, 2 ∗ (−1)^2 − 9))$或$(− 1, −11)$

由于抛物线向上开放，该区间将从 −11 开始，并继续增加。 $R:[-11, \infty)$

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找到以下函数的域和范围：

$j(x) = \vert z − 6 \vert − 3$

解决方案

此函数包含一个绝对值。 可以选择任何值$z$，因此函数的域是全部实数，或者用区间表示法写成，是：$D:(−\infty , \infty )$

要找到范围，请检查绝对值符号的内部。 对于任何 z 值，该量$\vert z−6 \vert$始终为 0 或正数。首先，找出表达式 z−6 等于零的因素，即数字 6。

$\begin{aligned} j(x) &= \vert z − 6 \vert − 3 &&\text{ Original function } \\ j(x) &= \vert 6 − 6 \vert − 3 && \text{Replace z with 6 } \\j(x) &= \vert 0 \vert − 3 && \text{Simplify } \\ j(x) &= −3 && j(x) \text{ is } −3 \end{aligned}$

因此，该函数的范围$j(x) = \vert z − 6 \vert − 3$为 −3 或更高，或者用区间表示法写成，为：$R:[-3, \infty)$

某些类型的函数更难使用。 以下是一些函数的示例，在这些函数中可以找到域但范围很难找到，并且超出了本课程的范围：

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找到以下函数的域：

$f(x) = \dfrac{x − 4 }{x^2 − 2x − 15 }$

解决方案

对于任何有理函数（多项式的商），请注意除以 0。 将分母多项式设置为 0 并求解。

$\begin{aligned} x^2 − 2x − 15 &= 0 &&\text{Set the denominator function equal to } 0 \\ (x − 5)(x + 3) &= 0 &&\text{Factor the quadratic equation } \\ x − 5 &= 0 && \text{Set the first binomial factor equal to zero } \\ x &= 5 &&\text{Solve the first binomial factor } \\ x + 3 &= 0 &&\text{Set the second binomial factor equal to zero } \\ x &= −3 &&\text{Solve the second binomial factor} \end{aligned}$

二次方程有两个解，即 5 和 −3。

这些值必须从域中排除，因为如果$x$是 5 或 −3，则分母将等于零。

除以零是未定义的。 该函数的域$f(x) = x − 4 x^2 − 2x − 15$是$(−\infty , −3) \cup (−3, −5) \cup (−5, \infty )$。

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找到以下函数的域：

$g(x) = \dfrac{x }{x^2 − 9}$

解决方案

这又是一个有理函数，要注意的是避免除以 0。 将分母函数设置为 0 并求解。

$\begin{aligned} x^{2}-9&=0 && \text { Set the denominator function equal to } 0 \\ (x-3)(x+3)&=0 &&\text{Factor the quadratic equation} \\ x-3&=0 && \text{Set the first binomial factor equal to zero} \\ x&=3 &&\text{Solve the first binomial factor}\\ x+3&=0 && \text{Set the second binomial factor equal to zero} \\ x&=-3 && \text{Solve the second binomial factor} \end{aligned}$

二次方程有两个解，即 3 和 −3。 这些值必须从域中排除，因为如果$x$是 3 或 −3，则分母将等于零。 除以零是未定义的。 该函数的域$g(x) =\dfrac{ x}{ x^2 − 9 }$是$(−\infty , −3) \cup (−3, 3) \cup (3, \infty )$。

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找到以下函数的域：

$g(t) = \sqrt{6 + t − t^2}$

解决方案

此平方根函数的基数必须为非负数。 将基数设置为大于或等于 0 并求解。

$\begin{aligned} 6 + t − t^2 &\geq 0 &&\text{Set the radicand equal to }0 \\ −t^2 + t + 6 &\geq 0 &&\text{Rewrite the function with the leading term first } \\ (−t + 3)(t + 2) &= 0 && \text{Factor the quadratic equation } \\−t + 3 &= 0 && \text{Set the first binomial factor equal to zero } \\ t &= 3 && \text{Solve the first binomial factor } \\ t + 2 &= 0 &&\text{Set the second binomial factor equal to zero } \\ t &= −2 &&\text{Solve the second binomial factor} \end{aligned}$

有两个值会使这个平方根函数的基数为零，分别是 3 和 −2。

由于基数必须为非阴性，因此请测试找到的解之间的区域。

例如$x < −2$，如果 −4 为负数，则不允许使用 radicand。$g(−4) = \sqrt{6 + (−4) − (−4)^2}$

如果介$x$于 −2 和 3 之间，例如 0 表示$g(0) = \sqrt{6 + (0) − (0)^2}$正数。 介于 −2 和 3 之间的区域将位于函数的域中。

还有一个区域需要检查，在哪里$x > 3$。 让$x = 4$。 $g(4) = \sqrt{ 6 + (4) − (4)^2}$是负数，这对于激进分子来说是不允许的。 该函数的域$g(t) = \sqrt{6 + t − t^2}$是$[−2, 3]$

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找出以下函数的域和范围：

1. $f(x) = x ^2 − 8x + 12$
2. $g(x) = \sqrt{x + 10}$
3. $h(x) = \vert − 2x + 1\vert$

练习 Template:Index

找到以下函数的域：

1. $f(x) = \dfrac{6x + 7 }{5x + 2}$
2. $f(x) = \dfrac{2x }{2x^2 + 3x − 20}$
3. $f(x) =\dfrac{ 4x + 11 }{x^2 + 6x + 9}$
4. $f(x) = \dfrac{3x }{x^2 − 5x − 14}$
5. $f(x) = \dfrac{2x + 1}{ 6x^2 − x − 2}$
6. $f(x) = \dfrac{−6 }{25x^2 − 4}$