4.6: 多项式函数

多项式函数是一种可以用一般形式编写的函数：

$f(x) = a_n x^n + a_{n−1} x^{n−1 }+ ... + a_1x + a_0$

对于$n$一个非负整数，称为多项式的次数。 系数$a_0$、$a_1$$\ldots$、和是具有前导系数 an 的实数$a_n \neq 0$。 多项式函数的域是$(−\infty , \infty )$。 度数多项式函数的图形最多$n$$n$可以与 x 轴相交。 这些是多项式函数的根。

本节中没有示例或作业。

二次函数

定义：表单的函数

$f(x) = ax^2 + bx + c$哪里$a\neq 0$

是标准形式的二次函数，其图形是抛物线。 当前导系数为正时，二次函数的图形向上打开。$a$ 当前导系数为负时，二次函数的图形向下打开。$a$

示例 Template:Index

在直角坐标系$f(x) = −x^2 + 5x + 3$中绘制图形。 用代数求出顶点、x 截距和 y 截距。

解决方案

通过$\left(\dfrac{-b}{2 a}, f\left(\dfrac{-b}{2 a}\right)\right)$使用$a = −1$、$b = 5$和计算来找到顶点$c = 3$。

\ (\ begin {aligned}
\ 左 (\ dfrac {-b} {2 a}，f\ 左 (\ dfrac {-b} {2 a}\ 右) &=&&\ text {找到抛物线的顶点}\
\\ dfrac {2 (-1)} &=\
\ dfrac {5} {2} &=2.5\ text {简化}\\
\ dfrac {-5} {2 (-1)} &=2.5\\
f (2.5) &=-(2.5) ^ {2} +5 (2.5) +3=9.25=&& f\ 左 (\ dfrac {-b} {2 a}\ 右) =9.25\\\ 左 (\ dfrac {-b} {2 a}\ 右) & =( 2.59.25) &&\ text {抛物线顶点}
\ end {对齐}\)

要找到拦截，请执行以下操作：

\ (\ begin {aligned} 0&=-x^ {2} +5 x+3 &&\ text {x-intercept，set} f (x) =0\\ 0&=-x^ {2} +5 x+3 &&\ text {使用二次公式求解这个方程（无法分解）。 让} a=-1、b=5、c=3\\ x&=\ dfrac {-5\ pm\ sqrt {(5) ^ {2} -4 (-1) (3)} {2 (-1)} &&\ text {二次公式
}\\ x&=\ dfrac {-5\
pm\ sqrt {37}} {-2} &&\ text {Simplify}\\ x&= -0.54\ text {或} x=5.54 &&\ text {这个二次函数有两个根（x-intercepts）。}\\ f (0) &=-0^ {2} +5 (0) +3 &&\ text {y-intercept，set} x=0\\ f (0) &=3 &&\ text {y-intercept}\ end {aligned}\)

绘制四个有序对的图表，并在需要时计算更多有序对：$(2.5, 9.25)$$(−.54, 0)$、、$(5.54, 0)$、$(0, 3)$。

图 Template:Index

练习 Template:Index

1. $f(x) = 2x ^2 − 5x − 5$
2. $f(x) = 0.5x ^2 − 6x + 21$
3. $f(x) = −4x ^2 − 8x − 3$
4. $f(x) = −4x^ 2 + 16x − 15$
5. $f(x) = x^ 2 − 8x + 12$
6. $f(x) = −7x^ 2 + 100x − 10$

三次和高阶函数

定义：三次函数

三次函数是三次多项式函数，可以用一般形式编写：

$f(x) = a_3x^ 3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$

以 3 作为三次函数的度数。 系数$a_0$、$a_1$$a_2$、$a_3$是具有前导系数的实数$a_3 \neq 0$。 三次函数的域是$(−\infty , \infty )$。

示例 Template:Index

尽可能进行因子分解，然后通过创建解表来绘制函数的图形：

$f(x) = x^3 − 4x^2 + 6x − 1$

解决方案

这个多项式的度数为 3，很难分解。 创建解决方案表以绘制图表。

图 Template:Index

的解决方案表$f(x) = x^3 − 4x^2 + 6x − 1$
$x$	$f(x)$
-2	$f(−2) = (−2)^3 − 4(−2)^2 + 6(−2) − 1 = −37$
-1	$f(−1) = (−1)^3 − 4(−1)^2 + 6(−1) − 1 = −12$
0	$f(0) = (0)^3 − 4(0)^2 + 6(0) − 1 = −1$
1	$f(1) = (1)^3 − 4(1)^2 + 6(1) − 1 = 2$
2	$f(2) = (2)^3 − 4(2)^2 + 6(2) − 1 = 3$

示例 Template:Index

尽可能进行因子分解，然后通过创建解表来绘制函数的图形：

$g(x)=x^4-16$

解决方案

这个多项式的度数为 4，并且由于它是平方差，因此可以将其分解为二项式的乘积来找到多项式的零。 创建解决方案表以绘制图表。

$\begin{aligned} g(x)&=\left(x^{2}-4\right)\left(x^{2}+4\right) && \text{Factoring into the sum and difference of binomials.} \\ g(x)&=(x-2)(x+2)\left(x^{2}+4\right) && \text{Further factoring. Set each binomial equal to zero to find the real number zeroes of the polynomial.} \\ x-2&=0, x=2 && \text{The first real number zero of the polynomial, }(2,0) \\ x+2&=0, x=-2 &&\text{The second real number zero of the polynomial, } (2,0) \\ x^{2}+4&=0, x^{2}=-4 && \text{The third binomial factor does not produce real number zeroes, } \\ & &&\text{because no number squared can result in a negative value.} \end{aligned}$

图 Template:Index

的解决方案表$g(x)=x^4-16$
$x$	$g(x)$
-2	$g(−2) = (−2)^4 − 16 = 16 − 16 = 0$
-1	$g(−1) = (−1)^4 − 16 = 1 − 16 = −15$
0	$g(0) = (0)^4 − 16 = 0 − 16 = −16$
1	$g(1) = g(1) = (1)^4 − 16 = 1 − 16 = −15$
2	$g(2) = g(2) = (2)^4 − 16 = 16 − 16 = 0$

示例 Template:Index

尽可能进行因子分解，然后通过创建解表来绘制函数的图形：

$f(x) = x ^6 − 5x ^2 + 3$

解决方案

这个多项式的度数为 6，很难分解。 创建解决方案表以绘制图表。

图 Template:Index

的解决方案表$f(x) = x ^6 − 5x ^2 + 3$
$x$	$f(x)$
-2	$f(−2) = (−2)^6 − 5(−2)^2 + 3 = 47$
-1	$f(−1) = (−1)^6 − 5(−1)^2 + 3 = −1$
0	$f(0) = (0)^6 − 5(0)^2 + 3 = 3$
1	$f(1) = (1)^6 − 5(1)^2 + 3 = −1$
2	$f(2) = (2)^6 − 5(2)^2 + 3 = 47$

练习 Template:Index

1. $f(x) = x^3 − 27$
2. $g(x) = 81x ^4 − 16$
3. $h(x) = 2x ^5 − 4x ^2 − 6x + 3$
4. $f(x) = 5x ^6 − 6x ^4 + 5$

有理函数

定义：有理函数

有理函数是一种可以写成多项式商的函数。

$f(x) = \dfrac{P (x) }{Q(x) }$，$Q(x) \neq 0$

其中$P(x)$和$Q(x)$是一个变量中的多项式$x$。 域是所有实数的集合，例如$Q(x) \neq 0$。

示例 Template:Index

对于该函数，$f(x) = \dfrac{9 }{x − 3}$:

1. 绘制函数图表
2. 计算$x = 0$和的函数$x = 2$

解决方案

注意这个函数的范围。 除以零是未定义的，因此必须从域中排除构成分母 0 的数字。

在这个问题中，$x − 3$是函数的分母。 设置$x − 3 = 0$并求解$x$。 如果$x = 3$除法未定义，则从函数的域中排除数字 3。 可以将其视为总是从所有实数开始，$(−\infty , \infty )$然后删除会导致未定义除法的值。

此函数的域是$(−\infty , 3) \cup (3, \infty )$。

有理函数通常会有渐近线，这条线连续接近给定曲线，但在任何有限距离内都不与之相遇。 你将在 Math 162 的 “曲线素描” 部分中学习渐近线。

这个函数的图表可以通过制作解决方案表来找到：

图 Template:Index

的解决方案表$f(x) = \dfrac{9 }{x − 3}$	域名：$(−\infty , 3) \cup (3, \infty )$
$x$	$f(x)$
-4	$-\dfrac{9}{7}$
-3	$-\dfrac{3}{2}$
-2	$-\dfrac{9}{5}$
-1	$-\dfrac{9}{4}$
0	$-3$
1	$-\dfrac{9}{2}$
2	$-9$

示例 Template:Index

对于这个函数，$f(x) = \dfrac{100x}{ x^2 − 3x − 4}$

1. 绘制函数图表
2. 计算$x = −1$和的函数$x = 3$

解决方案

注意这个函数的范围。 除以零是未定义的，因此必须从域中排除构成分母 0 的数字。

在这个问题中，$x^2 − 3x − 4$是函数的分母。 将二次表达式分解得到，$(x − 4)(x + 1)$并将每个因子设置为等于零并求解$x$:$x − 4 = 0$, so$x = 4$;$x + 1 = 0$, so$x = −1$。 如果为$x = 4$ or$x = −1$，则除法未定义，因此从函数的域中排除数字 4 和 −1。 可以将其视为总是以所有实数开头，$(−\infty , \infty )$然后删除会导致未定义除法的值。

此函数的域是$(−\infty , −1) \cup (−1, 4) \cup (4, \infty )$。 这个函数的图表可以通过制作解决方案表来找到：

图 Template:Index

的解决方案表$f(x) = \dfrac{100x}{ x^2 − 3x − 4}$	域名：$(−\infty , −1) \cup (−1, 4) \cup (4, \infty )$
$x$	$f(x)$
-4	−16.667
-3	−21.429
-2	−33.333
-1	未定义
0	0
1	−16.667
2	−33.333
3	-75
4	未定义

练习 Template:Index

1. $f(x) = \dfrac{3x + 6 }{x − 1}$
2. $f(x) = \dfrac{9 }{x^2 − 9}$
3. $f(x) = \dfrac{x^ 2 − 4 }{x^2 − 4x}$