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12.4E：练习

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    练习成就完美

    练习\(\PageIndex{21}\) Determine if a Sequence is Geometric

    在以下练习中，确定序列是否为几何序列，如果是，请指明常用比率。

    1. \(3,12,48,192,768,3072, \dots\)
    2. \(2,10,50,250,1250,6250, \dots\)
    3. \(48,24,12,6,3, \frac{3}{2}, \dots\)
    4. \(54,18,6,2, \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, \dots\)
    5. \(-3,6,-12,24,-48,96, \dots\)
    6. \(2,-6,18,-54,162,-486, \dots\)
    回答

    1。 该序列是几何序列，比例相同\(r=4\)。

    3。 该序列是几何序列，比例相同\(r=\frac{1}{2}\)。

    5。 该序列是几何序列，比例相同\(r=−2\)。

    练习\(\PageIndex{22}\) Determine if a Sequence is Geometric

    在以下练习中，确定每个序列是算术序列、几何序列还是两者都不是。 如果是算术，请指出共同的区别。 如果是几何比例，请指明常用比率。

    1. \(48,24,12,6,3, \frac{3}{2}, \ldots\)
    2. \(12,6,0,-6,-12,-18, \dots\)
    3. \(-7,-2,3,8,13,18, \dots\)
    4. \(5,9,13,17,21,25, \ldots\)
    5. \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \dots\)
    6. \(4,8,12,24,48,96, \dots\)
    回答

    1。 该序列是几何序列，比例相同\(r=\frac{1}{2}\)。

    3。 该序列是算术运算，有共同的区别\(d=5\)。

    5。 该序列是几何序列，比例相同\(r=\frac{1}{2}\)。

    练习\(\PageIndex{23}\) Determine if a Sequence is Geometric

    在以下练习中，使用给定的第一项和常用比率写出每个几何序列的前五个项。

    1. \(a_{1}=4\)和\(r=3\)
    2. \(a_{1}=9\)和\(r=2\)
    3. \(a_{1}=-4\)和\(r=-2\)
    4. \(a_{1}=-5\)和\(r=-3\)
    5. \(a_{1}=27\)和\(r=\frac{1}{3}\)
    6. \(a_{1}=64\)和\(r=\frac{1}{4}\)
    回答

    1。 \(4,12,36,108,324\)

    3。 \(-4,8,-16,32,-64\)

    5。 \(27,9,3,1, \frac{1}{3}\)

    练习\(\PageIndex{24}\) Find the General Term (\(n\)th Term) of a Geometric Sequence
    1. 找到\(a_{11}\)给定的\(a_{1}=8\)和\(r=3\)。
    2. 找到\(a_{13}\)给定的\(a_{1}=7\)和\(r=2\)。
    3. 找到\(a_{10}\)给定的\(a_{1}=-6\)和\(r=-2\)。
    4. 找到\(a_{15}\)给定的\(a_{1}=-4\)和\(r=-3\)。
    5. 找到\(a_{10}\)给定的\(a_{1}=100,000\)和\(r=0.1\)。
    6. 找到\(a_{8}\)给定的\(a_{1}=1,000,000\)和\(r=0.01\)。
    回答

    1。 \(472,392\)

    3。 \(3,072\)

    5。 \(0.0001\)

    练习\(\PageIndex{25}\) Find the General Term (\(n\)th Term) of a Geometric Sequence

    在以下练习中，找到给定序列的指定项。 找到序列的通用术语。

    1. 找到\(a_{9}\)序列，\(9,18,36,72,144,288, \dots\)
    2. 找到\(a_{12}\)序列，\(5,15,45,135,405,1215, \dots\)
    3. 找到\(a_{15}\)序列，\(-486,162,-54,18,-6,2, \dots\)
    4. 找到\(a_{16}\)序列，\(224,-112,56,-28,14,-7, \ldots\)
    5. 找到\(a_{10}\)序列，\(1,0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001, \ldots\)
    6. 找到\(a_{9}\)序列，\(1000,100,10,1,0.1,0.01, \dots\)
    回答

    1。 \(a_{9}=2,304 .\)一般术语是\(a_{n}=9(2)^{n-1}\)。

    3。 \(a_{15}=-\frac{2}{19,683} .\)一般术语是\(a_{n}=-486\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}\)。

    5。 \(a_{10}=0.000000001 .\)一般术语是\(a_{n}=(0.1)^{n-1}\)。

    练习\(\PageIndex{26}\) Find the Sum of the First \(n\) terms of a Geometric Sequence

    在以下练习中，求出每个几何序列的前十五个项的总和。

    1. \(8,24,72,216,648,1944, \dots\)
    2. \(7,14,28,56,112,224, \dots\)
    3. \(-6,12,-24,48,-96,192, \dots\)
    4. \(-4,12,-36,108,-324,972, \ldots\)
    5. \(81,27,9,3,1, \frac{1}{3}, \ldots\)
    6. \(256,64,16,4,1, \frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \dots\)
    回答

    1。 \(57,395,624\)

    3。 \(-65,538\)

    5。 \(\frac{7,174,453}{59,049} \approx 121.5\)

    练习\(\PageIndex{27}\) Find the Sum of the First \(n\) terms of a Geometric Sequence

    在以下练习中，求出几何序列的总和。

    1. \(\sum_{i=1}^{15}(2)^{i}\)
    2. \(\sum_{i=1}^{10}(3)^{i}\)
    3. \(\sum_{i=1}^{9} 4(2)^{i}\)
    4. \(\sum_{i=1}^{8} 5(3)^{i}\)
    5. \(\sum_{i=1}^{10} 9\left(\frac{1}{3}\right)^{i}\)
    6. \(\sum_{i=1}^{15} 4\left(\frac{1}{2}\right)^{i}\)
    回答

    1。 \(65,534\)

    3。 \(4088\)

    5。 \(\frac{29,524}{6561} \approx 4.5\)

    练习\(\PageIndex{28}\) Find the Sum of an Infinite Geometric Series

    在以下练习中，求出每个无限几何序列的总和。

    1. \(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\frac{1}{729}+\ldots\)
    2. \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\ldots\)
    3. \(6-2+\frac{2}{3}-\frac{2}{9}+\frac{2}{27}-\frac{2}{81}+\ldots\)
    4. \(-4+2-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\dots\)
    5. \(6+12+24+48+96+192+\dots\)
    6. \(5+15+45+135+405+1215+\ldots\)
    7. \(1,024+512+256+128+64+32+\ldots\)
    8. \(6,561+2187+729+243+81+27+\dots\)
    回答

    1。 \(\frac{3}{2}\)

    3。 \(\frac{9}{2}\)

    5. 没有总和\(r≥1\)

    7.\ (2,048\ (

    练习\(\PageIndex{29}\) Find the Sum of an Infinite Geometric Series

    在以下练习中，将每个重复的十进制写成分数。

    1. \(0 . \overline{3}\)
    2. \(0 . \overline{6}\)
    3. \(0 . \overline{7}\)
    4. \(0 . \overline{2}\)
    5. \(0 . \overline{45}\)
    6. \(0 . \overline{27}\)
    回答

    1。 \(\frac{1}{3}\)

    3。 \(\frac{7}{9}\)

    5。 \(\frac{5}{11}\)

    练习\(\PageIndex{30}\) Apply Geometric Sequences and Series in the Real World

    在以下练习中，解决问题。

    1. 如果每个家庭将退税的指定百分比用于商品和服务，则找出政府向每个家庭提供的每笔退税对经济的总体影响，以刺激经济。
    每个家庭的退税 在商品和服务上花费的百分比 对经济的总体影响
    a. $\(1,000\) \(85\)%  
    b. $\(1,000\) \(75\)%  
    c. $\(1,500\) \(90\)%  
    d. $\(1,500\) \(80\)%  
    表 12.3.3

    2。 新祖父母决定\(100\)每月投资美元为孙子支付年金。 该账户每年将支付\(6\)百分比的利息，按月复利（每年两\(12\)次）。 孩子二十一岁生日时账户里会有多少钱？

    3。 贝伦尼斯（Berenice）大学毕业后刚找到第一份全职工作\(30\). 她决定\(500\)每季度将美元投资于IRA（年金）。 年金的利息为\(7\) ％，每季度复利（每年两\(4\)次）。 当贝伦尼斯年老退休时，她的账户里会有多少钱\(65\)？

    4。 爱丽丝想在大约五年后买房。 她每月将美元\(500\)存入年金，年收入\(5\)百分比，按月（一年\(12\)次）复利。 爱丽丝将在五年内获得多少首付款？

    5。 Myra大学毕业后刚找到第一份全职工作。 她计划获得硕士学位，因此每年将年终奖金中的美元\(2,500\)存入年金。 年金每年支付\(6.5\) ％，并按年复利。 她将在五年内存多少钱来攻读硕士学位？

    回答

    1. a. $\(6666.67\) b. $\(4000\) c. $\(15,000\) d. $\(7500\)

    3。 $\(295,581.88\)

    5。 $\(14,234.10\)

    练习\(\PageIndex{31}\) Writing Exercises
    1. 用你自己的话说，解释如何确定序列是否为几何序列。
    2. 用你自己的话说，解释如何找到几何序列的通用术语。
    3. 用你自己的话说，解释几何序列和几何序列之间的区别。
    4. 用你自己的话说，解释如何确定无限几何序列是否有总和以及如何找到它。
    回答

    2。 答案会有所不同。

    4。 答案会有所不同

    自检

    此图显示了七行四列。 第一行是标题行，上面写着 “我能”、“自信”、“有帮助” 和 “不，我不明白。 第一列是 “确定序列是否为几何序列”、“找出 a 的通用项（第 n 项）”、“几何序列”、“求无限几何序列之和”、“使用几何序列求解应用程序”。 其余列为空白。
    图 12.3.11
    1. 完成练习后，使用此清单来评估您对本节目标的掌握程度。
    2. 关于你对本部分的掌握程度，这份清单告诉你什么？ 你会采取哪些措施来改进？