12.4E：练习

练习成就完美

练习$\PageIndex{21}$ Determine if a Sequence is Geometric

在以下练习中，确定序列是否为几何序列，如果是，请指明常用比率。

1. $3,12,48,192,768,3072, \dots$
2. $2,10,50,250,1250,6250, \dots$
3. $48,24,12,6,3, \frac{3}{2}, \dots$
4. $54,18,6,2, \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, \dots$
5. $-3,6,-12,24,-48,96, \dots$
6. $2,-6,18,-54,162,-486, \dots$

回答

1。 该序列是几何序列，比例相同$r=4$。

3。 该序列是几何序列，比例相同$r=\frac{1}{2}$。

5。 该序列是几何序列，比例相同$r=−2$。

练习$\PageIndex{22}$ Determine if a Sequence is Geometric

在以下练习中，确定每个序列是算术序列、几何序列还是两者都不是。 如果是算术，请指出共同的区别。 如果是几何比例，请指明常用比率。

1. $48,24,12,6,3, \frac{3}{2}, \ldots$
2. $12,6,0,-6,-12,-18, \dots$
3. $-7,-2,3,8,13,18, \dots$
4. $5,9,13,17,21,25, \ldots$
5. $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \dots$
6. $4,8,12,24,48,96, \dots$

回答

1。 该序列是几何序列，比例相同$r=\frac{1}{2}$。

3。 该序列是算术运算，有共同的区别$d=5$。

5。 该序列是几何序列，比例相同$r=\frac{1}{2}$。

练习$\PageIndex{23}$ Determine if a Sequence is Geometric

在以下练习中，使用给定的第一项和常用比率写出每个几何序列的前五个项。

1. $a_{1}=4$和$r=3$
2. $a_{1}=9$和$r=2$
3. $a_{1}=-4$和$r=-2$
4. $a_{1}=-5$和$r=-3$
5. $a_{1}=27$和$r=\frac{1}{3}$
6. $a_{1}=64$和$r=\frac{1}{4}$

回答

1。 $4,12,36,108,324$

3。 $-4,8,-16,32,-64$

5。 $27,9,3,1, \frac{1}{3}$

练习$\PageIndex{24}$ Find the General Term ($n$th Term) of a Geometric Sequence

1. 找到$a_{11}$给定的$a_{1}=8$和$r=3$。
2. 找到$a_{13}$给定的$a_{1}=7$和$r=2$。
3. 找到$a_{10}$给定的$a_{1}=-6$和$r=-2$。
4. 找到$a_{15}$给定的$a_{1}=-4$和$r=-3$。
5. 找到$a_{10}$给定的$a_{1}=100,000$和$r=0.1$。
6. 找到$a_{8}$给定的$a_{1}=1,000,000$和$r=0.01$。

回答

1。 $472,392$

3。 $3,072$

5。 $0.0001$

练习$\PageIndex{25}$ Find the General Term ($n$th Term) of a Geometric Sequence

在以下练习中，找到给定序列的指定项。 找到序列的通用术语。

1. 找到$a_{9}$序列，$9,18,36,72,144,288, \dots$
2. 找到$a_{12}$序列，$5,15,45,135,405,1215, \dots$
3. 找到$a_{15}$序列，$-486,162,-54,18,-6,2, \dots$
4. 找到$a_{16}$序列，$224,-112,56,-28,14,-7, \ldots$
5. 找到$a_{10}$序列，$1,0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001, \ldots$
6. 找到$a_{9}$序列，$1000,100,10,1,0.1,0.01, \dots$

回答

1。 $a_{9}=2,304 .$一般术语是$a_{n}=9(2)^{n-1}$。

3。 $a_{15}=-\frac{2}{19,683} .$一般术语是$a_{n}=-486\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$。

5。 $a_{10}=0.000000001 .$一般术语是$a_{n}=(0.1)^{n-1}$。

练习$\PageIndex{26}$ Find the Sum of the First $n$ terms of a Geometric Sequence

在以下练习中，求出每个几何序列的前十五个项的总和。

1. $8,24,72,216,648,1944, \dots$
2. $7,14,28,56,112,224, \dots$
3. $-6,12,-24,48,-96,192, \dots$
4. $-4,12,-36,108,-324,972, \ldots$
5. $81,27,9,3,1, \frac{1}{3}, \ldots$
6. $256,64,16,4,1, \frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \dots$

回答

1。 $57,395,624$

3。 $-65,538$

5。 $\frac{7,174,453}{59,049} \approx 121.5$

练习$\PageIndex{27}$ Find the Sum of the First $n$ terms of a Geometric Sequence

在以下练习中，求出几何序列的总和。

1. $\sum_{i=1}^{15}(2)^{i}$
2. $\sum_{i=1}^{10}(3)^{i}$
3. $\sum_{i=1}^{9} 4(2)^{i}$
4. $\sum_{i=1}^{8} 5(3)^{i}$
5. $\sum_{i=1}^{10} 9\left(\frac{1}{3}\right)^{i}$
6. $\sum_{i=1}^{15} 4\left(\frac{1}{2}\right)^{i}$

回答

1。 $65,534$

3。 $4088$

5。 $\frac{29,524}{6561} \approx 4.5$

练习$\PageIndex{28}$ Find the Sum of an Infinite Geometric Series

在以下练习中，求出每个无限几何序列的总和。

1. $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\frac{1}{729}+\ldots$
2. $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\ldots$
3. $6-2+\frac{2}{3}-\frac{2}{9}+\frac{2}{27}-\frac{2}{81}+\ldots$
4. $-4+2-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\dots$
5. $6+12+24+48+96+192+\dots$
6. $5+15+45+135+405+1215+\ldots$
7. $1,024+512+256+128+64+32+\ldots$
8. $6,561+2187+729+243+81+27+\dots$

回答

1。 $\frac{3}{2}$

3。 $\frac{9}{2}$

5. 没有总和$r≥1$

7.\ (2,048\ (

练习$\PageIndex{29}$ Find the Sum of an Infinite Geometric Series

在以下练习中，将每个重复的十进制写成分数。

1. $0 . \overline{3}$
2. $0 . \overline{6}$
3. $0 . \overline{7}$
4. $0 . \overline{2}$
5. $0 . \overline{45}$
6. $0 . \overline{27}$

回答

1。 $\frac{1}{3}$

3。 $\frac{7}{9}$

5。 $\frac{5}{11}$

练习$\PageIndex{30}$ Apply Geometric Sequences and Series in the Real World

在以下练习中，解决问题。

1. 如果每个家庭将退税的指定百分比用于商品和服务，则找出政府向每个家庭提供的每笔退税对经济的总体影响，以刺激经济。

表 12.3.3

每个家庭的退税	在商品和服务上花费的百分比	对经济的总体影响
a. $$1,000$	$85$%
b. $$1,000$	$75$%
c. $$1,500$	$90$%
d. $$1,500$	$80$%

2。 新祖父母决定$100$每月投资美元为孙子支付年金。 该账户每年将支付$6$百分比的利息，按月复利（每年两$12$次）。 孩子二十一岁生日时账户里会有多少钱？

3。 贝伦尼斯（Berenice）大学毕业后刚找到第一份全职工作$30$. 她决定$500$每季度将美元投资于IRA（年金）。 年金的利息为$7$ ％，每季度复利（每年两$4$次）。 当贝伦尼斯年老退休时，她的账户里会有多少钱$65$？

4。 爱丽丝想在大约五年后买房。 她每月将美元$500$存入年金，年收入$5$百分比，按月（一年$12$次）复利。 爱丽丝将在五年内获得多少首付款？

5。 Myra大学毕业后刚找到第一份全职工作。 她计划获得硕士学位，因此每年将年终奖金中的美元$2,500$存入年金。 年金每年支付$6.5$ ％，并按年复利。 她将在五年内存多少钱来攻读硕士学位？

回答

1. a. $$6666.67$ b. $$4000$ c. $$15,000$ d. $$7500$

3。 $$295,581.88$

5。 $$14,234.10$

练习$\PageIndex{31}$ Writing Exercises

1. 用你自己的话说，解释如何确定序列是否为几何序列。
2. 用你自己的话说，解释如何找到几何序列的通用术语。
3. 用你自己的话说，解释几何序列和几何序列之间的区别。
4. 用你自己的话说，解释如何确定无限几何序列是否有总和以及如何找到它。

回答

2。 答案会有所不同。

4。 答案会有所不同

自检

图 12.3.11

1. 完成练习后，使用此清单来评估您对本节目标的掌握程度。
2. 关于你对本部分的掌握程度，这份清单告诉你什么？ 你会采取哪些措施来改进？