12.4: 几何序列和序列
在本节结束时,您将能够:
- 确定序列是否为几何序列
- 找出几何序列的通用项(n第 1 项)
- 求出几何序列首n项的总和
- 求无限几何序列的总和
- 在现实世界中应用几何序列和序列
在开始之前,请参加这个准备测验。
- 简化:2432。
如果你错过了这个问题,请查看示例 1.24。 - 评估:a.34 b(12)4.
如果你错过了这个问题,请查看示例 1.19。 - 如果f(x)=4⋅3x,找到 a.f(1) b.f(2) cf(3).
如果你错过了这个问题,请查看示例 3.49。
确定序列是否为几何序列
我们现在准备研究第二种特殊类型的序列,即几何序列。
如果连续项之间的比率始终相同,则该序列称为几何序列。 几何序列中连续项之间的比率为r常用比率,其中大n于或等于两项。
几何序列是连续项之间的比率始终相同的序列。
连续项之间的比率是常r用比率。anan−1 n大于或等于二。
以这些序列为例。
![此图显示了两组序列,其中 r 是常用比率。](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/21121/CNX_IntAlg_Figure_12_03_001_img.jpg)
确定每个序列是否为几何序列。 如果是,请指明常用比率。
- 4,8,16,32,64,128,…
- −2,6,−12,36,−72,216,…
- 27,9,3,1,13,19,…
解决方案:
为了确定序列是否为几何序列,我们找到了所示连续项的比率。
a. 找出连续术语的比率
4,8,16,32,64,128,…84168321664321286422222
该序列是几何的。 常见的口粮是r=2。
b. 找出连续术语的比率
−2,6,−12,36,−72216,…6−2−12636−12−7236216−72−3−2−3−2−3
该序列不是几何序列。 没有共同的比例。
c. 求出连续项的比率
27,9,3,1,13,19,…927391313119131313131313
该序列是几何的。 常见的比率是r=13。
确定每个序列是否为几何序列。 如果是,请指明通用比率。
- 7,21,63,189,567,1,701,…
- 64,16,4,1,14,116,…
- 2,4,12,48,240,1,440,…
- 回答
-
- 该序列是几何序列,比例相同r=3。
- 该序列是几何序列,比例相同d=14。
- 该序列不是几何序列。 没有共同的比例。
确定每个序列是否为几何序列。 如果是,请指明通用比率。
- −150,−30,−15,−5,−52,0,…
- 5,10,20,40,80,160,…
- 8,4,2,1,12,14,…
- 回答
-
- 该序列不是几何序列。 没有共同的比例。
- 该序列是几何序列,比例相同r=2。
- 该序列是几何序列,比例相同r=12。
如果我们知道第一个项和常用比率r,我们可以列出序列中有限数量的项。a1
写下序列的前五个项,其中第一个项是3,常用比率为r=−2。
解决方案:
我们从第一个项开始,然后将其乘以常用比率。 然后我们将该结果乘以常用比率得出下一个项,依此类推。
a1a2a3a4a533⋅(−2)−6⋅(−2)12⋅(−2)−24⋅(−2)−612−2448
答案:
顺序是3,−6,12,−24,48,…
写下序列的前五个项,其中第一个项是7,常用比率为r=−3。
- 回答
-
7,−21,63,−189,567
写下序列的前五个项,其中第一个项是6,常用比率为r=−4。
- 回答
-
6,−24,96,−384,1536
找出几何序列的通用项(n第 4 项)
就像我们找到了序列的通用项和算术序列的公式一样,我们也可以找到几何序列的通用项的公式。
让我们写下序列的前几个项,其中第一个项是a1,常用比率是r。 然后我们将寻找一种图案。
![此图显示了几何序列的图像。](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/21123/CNX_IntAlg_Figure_12_03_002_img.jpg)
当我们在上面五个术语中寻找模式时,我们发现每个术语都以开头a1。
第一个项a1不乘以任一r。 在第二个项中a1,将乘以r。 在第三项中a1,将乘以r两倍(r⋅r或r2)。 在第四项中a1,将乘以r三倍(r⋅r⋅r或r3),在第五项中a1,将乘以r四倍。 在每个项中,次数乘以a1比该r项的次数少一。 这使我们得出以下几点
an=a1rn−1
具有第一项a1和常用比率的几何序列的总r项为
an=a1rn−1
我们将在下一个示例中使用此公式来查找序列的第十四项。
找出序列的第十四项,其中第一个项为64,常用比率为r=12。
解决方案:
an=a1rn−1
要找到第十四个术语a14,请使用带有 and 的a1=64公式r=12。
a14=64(12)14−1
在值中替换。
a14=64(12)13
简化。
a14=1128
找出序列的第十三项,其中第一个项为81,常用比率为r=13。
- 回答
-
16,561
找出序列的第十二项,其中第一个项为256,常用比率为r=14。
- 回答
-
116,384
有时我们不知道通用比率,在找到所要求的术语之前,我们必须使用给定的信息来找到它。
找到序列的第十二项3,6,12,24,48,96,…找到该序列的通用项。
解决方案:
要找到第十二项,我们使用公式an=a1rn−1,因此我们需要首先确定a1和通用比率r。
第一个学期是三个。
3,6,12,24,48,96,…
a1=3
找到常用比率。
6312624124824964822222 The common ratio is r=2
要找到第十二个项a12,请使用带有 anda1=3 的公式r=2。
an=a1rn−1
在值中替换。
a12=3⋅212−1
简化。
a12=3⋅211
a12=6,144
找到通用术语。 我们使用带有 and 的a1=3公式r=2。
an=a1rn−1
an=3(2)n−1
找到序列的第九项6,18,54,162,486,1,458,…然后找到该序列的通用项。
- 回答
-
a9=39,366.一般术语是an=6(3)n−1。
找到序列的第十一个项7,14,28,56,112,224,…然后找到该序列的通用项。
- 回答
-
a11=7,168.一般术语是an=7(2)n−1。
求几何序列首n项之和
我们找到了通用序列和算术序列的总和。 现在,我们将对几何序列做同样的事情。 几何序列的第一个n项的总和写为Sn=a1+a2+a3+…+an。Sn 我们可以从第一个项开始写出这个总和a1,然后继续乘r以得出下一个项:
Sn=a1+a1r+a1r2+…+a1rn−1
让我们也将方程的两边乘以r。
rSn=a1r+a1r2+a1r3+…+a1rn
接下来,我们减去这些方程。 我们将看到,当我们减去时,除顶部方程的第一项和底部方程的最后一项外,其他所有项都减去为零。
Sn=a1+a1r+a1r2+a1r3+…+a1rn−1rSn=a1r+a1r2+a1r3+…+a1rn−1+a1rnSn−rSn=a1−a1rn
我们将双方都考虑在内。
Sn(1−r)=a1(1−rn)
要获得的公式Sn,请将两边除以(1−r)。
Sn=a1(1−rn)1−r
几何序列的第一个n项的总和为Sn
Sn=a1(1−rn)1−r
其中a1是第一个项,r是常用比率,r不等于一。
我们在下一个示例中应用这个公式,其中给出了序列的前几个项。 请注意,当常用比率大于 1 时,几何序列的总和通常会变得非常大。
求出几何序列首20项的总和7,14,28,56,112,224,…
解决方案:
为了找到总和,我们将使用公式Sn=a1(1−rn)1−r。 我们知道a1=7r=2,而且n=20,
知道a1=7,r=2n=20,然后使用总和公式。
Sn=a1(1−rn)1−r
在值中替换。
S20=7(1−220)1−2
简化。
S20=7,340,025
求出几何序列首20项的总和3,6,12,24,48,96,…
- 回答
-
3,145,725
求出几何序列首20项的总和6,18,54,162,486,1,458,…
- 回答
-
10,460,353,200
在下一个示例中,我们以求和表示法给出了总和。 虽然添加所有项是可能的,但大多数情况下,最简单的方法是使用公式来求出第一个n项的总和。
要使用这个公式,我们需要r。 我们可以通过写出序列的前几个项并找到它们的比率来找到它。 另一种选择是认识到,在求和表示法中,序列是以形式书写的∑ki=1a(r)i,其中r是常用比率。
找到总和:∑15i=12(3)i.
解决方案:
为了找到总和,我们将使用公式Sn=a1(1−rn)1−r,该公式需要a1和r。 我们将写出一些条款,以便我们获得所需的信息。
![]() |
|
写出前几个术语。 | ![]() |
识别a1。 | ![]() |
找到常用比率。 | ![]() |
知道a1=6r=3、和n=15,使用总和公式。 | ![]() |
在值中替换。 | ![]() |
简化。 | ![]() |
找到总和:∑15i=16(2)i.
- 回答
-
393,204
找到总和:∑10i=15(2)i.
- 回答
-
10,230
求无限几何序列的总和
如果我们取一个几何序列并将这些项相加,就会得到一个称为几何序列的总和。 无限几何序列是一个无限和,其第一个项是a1,常用比率是r写入的
a1+a1r+a1r2+…+a1rn−1+…
无限几何序列是一个无限和,其第一个项是a1,常用比率是r写入的
a1+a1r+a1r2+…+a1rn−1+…
我们知道如何使用公式求出几何序列的第一个n项的总和Sn=a1(1−rn)1−r。 但是我们如何找到无限和的总和呢?
让我们来看看无限几何系列3+6+12+24+48+96+….。 每个项越来越大,因此无限个项的总和越来越大是有道理的。 让我们来看一下本系列的部分总和。 我们看见a1=3了r=2
Sn=a1(1−rn)1−rSn=a1(1−rn)1−rSn=a1(1−rn)1−rS10=3(1−210)1−2S30=3(1−230)1−2S50=3(1−250)1−2S10=3,069S30=3,221,225,469S50≈3.38×1015
n随着越来越大,总和越来越大。 当我们称该系列为|r|≥1 divergent 时,情况确实如此。 什么时候我们找不到无限几何序列的总和|r|≥1。
让我们来看一个无限的几何序列,其常用比率小于一的分数
12+14+18+116+132+164+…。 在这里,术语越来越小,n越来越大。 让我们来看看这个系列的几个有限和。 我们看到a1=12了r=12。
Sn=a1(1−rn)1−rSn=a1(1−rn)1−rSn=a1(1−rn)1−rS10=12(1−1210)1−12S20=12(1−1220)1−12S30=12(1−1230)1−12S10≈0.9990234375S20≈0.9999990463S30≈0.9999999991
请注意,总和越来越大,但也越来越接近一。 当时|r|<1,表达式rn变得越来越小。 在这种情况下,我们称该系列为收敛。 当n接近无穷大时,(rn变得无限大)越来越接近零。 在我们的总和公式中,我们可以将rn替换为零,S然后得到一个无限几何序列的总和公式|r|<1。
Sn=a1(1−rn)1−rS=a1(1−0)1−rS=a11−r
这个公式给出了无限几何序列的总和。 请注意,S没有像我们nSn一样的下标,因为我们没有添加有限数量的项。
对于第一个项为常用比率的无限几何序列r,a1
如果|r|<1,总和为
S=a11−r
如果|r|≥1,则无限几何序列没有总和。 我们说这个系列有分歧。
求无限几何序列的总和54+18+6+2+23+29+…
解决方案:
要找到总和,我们首先必须验证公用比率,|r|<1然后才能使用总和公式S=a11−r。
找到常用比率。
r=1854r=618…r=13r=13|r|<1
识别a1。
a1=54
知道a1=54,r=13了,使用总和公式。
S=a11−r
在值中替换。
S=541−13
简化。
S=81
答案:
S=80
求无限几何序列的总和48+24+12+6+3+32+…
- 回答
-
96
求无限几何序列的总和64+16+4+1+14+116+…
- 回答
-
2563
无限几何序列的一个有趣用法是将重复的十进制写成分数。
将重复的十进制写0.5成分数。
解决方案:
重写0.5显示的重复五个。 使用位值将其重写为总和。 这是一个无限的几何系列。
0.555555555555…
0.5+0.05+0.005+0.0005+…
找到常用比率。
r=0.050.5r=0.0050.05…r=0.1r=0.1|r|<1
识别a1
a1=0.5
知道a1=0.5,r=0.1了,使用总和公式。
S=a11−r
在值中替换。
S=0.51−0.1
简化。
S=0.50.9
将分子和分母乘以10。
S=59
我们被要求找到分数形式。
0.5=59
将重复的十进制写0.4成分数。
- 回答
-
49
将重复的十进制写0.8成分数。
- 回答
-
89
在现实世界中应用几何序列和序列
几何序列的一个应用与消费者支出有关。 如果向每个家庭提供退税,则对经济的影响是个人退税金额的许多倍。
政府已决定向每个家庭提供美元退1,000税,以刺激经济。 政府统计数据显示,每个家庭将把折扣的80百分比花在商品和服务上。 然后,从该80百分比中受益的企业和个人将花费他们收到的金额的80百分比,依此类推。 结果称为乘数效应。 回扣对经济的总体影响是什么?
解决方案:
每当资金流入经济时,其中的80百分比都花在了经济中,然后花在经济中。 再说一遍,这笔钱的80百分比又花在了经济上。 这种情况仍在继续,因此我们得出了无限的几何序列。
1000+1000(0.8)+1000(0.8)2+…
这里的第一个学期是1,000,a1=1000。 常见的比率是0.8,r=0.8。 从那以后我们可以评估这个总和0.8<1。 我们使用公式计算无限几何序列的总和。
S=a11−r
在值中替换,a1=1,000和r=0.8。
S=1,0001−0.8
评估。
S=5,000
答案:
每个家庭1,000获得的美元所产生的总影响将是经济的美元5,000增长。
如果每个家庭将退税的90百分比花在商品和服务上,那么政府为刺激经济而向每个家庭提供美元的1,000退税对经济的总体影响是多少?
- 回答
-
$10,000
如果每个家庭将退税的85百分比花在商品和服务上,那么政府为刺激经济而向每个家庭提供美元的500退税对经济的总体影响是多少?
- 回答
-
$3,333.33
我们已经研究了一个复利公式P,即t多年来本金是按利r率投资的。 新的余额是指每年n多次复利A=P(1+rn)nt的时候。A 此公式适用于预先一次性投资并告诉我们一定时间段后的价值。
年金是一系列相等的定期存款的投资。 我们将研究在存款时支付利息的年金。 当我们制定年金价值的公式时,我们将放弃n=1。 这意味着每年有一笔存款。
A=P(1+rn)nt Let n=1.A=P(1+r1)1t Simplify. A=P(1+r)t
假设在每年年底投资P美元。 一年后,这笔存款价值P(1+r)1美元,又过了一年,它价值了P(1+r)2美元。 t多年后,它将物有所P(1+r)t值。
年底1 | 年底2 | 年底3 | |
---|---|---|---|
首次存款P @ 年底1 | \ (1\)” >P | \ (2\) “>1 一年后的金额P(1+r)1 | \ (3\) “>数2年后的金额P(1+r)2 |
2nd 存款P @ 年底2 | \ (1\)” > | \ (2\)” >P | \ (3\) “>1 一年后的金额P(1+r)1 |
3第三笔存款P @ 年底3 | \ (1\)” > | \ (2\)” > | \ (3\)” >P |
三年后,年金的价值为
![P 加 P 乘以量 1 加上括号中的 r,得出第一次方,再加 P 乘以数量 1 加上括号中的 r 的平方。 这等于第三年末存入的款项,加上第二年末存入的款项,再加上第一年年底存入的款项。](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/21031/CNX_IntAlg_Figure_12_03_003_img.jpg)
这是几何序列项的总和,其中第一个项为P,常用比率为1+r。 我们将这些值替换为总和公式。 小心,我们有两种不同的用法r。 总和公式r中的是序列的常用比率。 在这种情况下,这就是利率1+r在哪里r。
St=a1(1−rt)1−r Substitute in the values. St=P(1−(1+r)t)1−(1+r) Simplify. St=P(1−(1+r)t)−rSt=P((1+r)t−1)r
请记住,我们的前提是每年年底存入一笔存款。
我们可以根据每年的n存款调整这个公式,利息每年按复利n次数计算。
对于在复利P期结束时投资的本金,利率为每年复利n次数,t多年后的新余额为rA
At=P((1+rn)nt−1)rn
新父母决定100每月投资美元为宝贝女儿支付年金。 该账户每年将支付5百分比的利息,按月复利。 孩子十八岁生日时账户里会有多少钱?
解决方案:
要找到年金公式At=P((1+rn)nt−1)rn,我们需要确定P,r,n和t。
确定P每月的投资金额。
P=100
以十进制形式标识r年利率。
r=0.05
确定n每年的存款次数和复利的利息。
n=12
确定t年数。
t=18
知道P=100,r=0.05,n=12并t=18使用总和公式。
At=P((1+rn)nt−1)rn
在值中替换。
At=100((1+0.0512)12.18−1)0.0512
使用计算器进行评估。 请务必根据需要使用括号。
At=34.920.20
答案:
孩子会有 $34,920.20
新祖父母决定200每月投资美元为孙子支付年金。 该账户每年将支付5百分比的利息,按月复利。 孩子二十一岁生日时账户里会有多少钱?
- 回答
-
$88,868.36
阿图罗(Arturo)大学毕业后刚找到第一份全职工作27. 他决定200每月投资美元购买IRA(年金)。 年金的利息为8 %,按月复利。 当阿图罗六十七岁生日退休时,他的账户里会有多少钱?
- 回答
-
$698,201.57
访问这些在线资源以获取更多指导和序列练习。
关键概念
- 几何序列的通用项(n第 1 项):具有第一项a1和常用比率的几何序列的总r项为
an=a1rn−1
- 几何@@ 序列首n项之和:几何序列n项的总和为Sn
Sn=a1(1−rn)1−r
其中a1是第一个项,r是常用比率。 Infinite Geometry Series:无限几何序列是一个无限和,其第一个项是a1,常用比率是r写入的a1+a1r+a1r2+…+a1rn−1+…
- 无限几何序列的总和:对于第一个项为常用比率的无限几何序列r
|r|<1,总a1和为
S=a11−r
我们说这个系列趋于一致。
如果|r|≥1,则无限几何序列没有总和。 我们说这个系列有分歧。
- 年利息复合n倍数的年金价值:对于本金P,在复利期结束时投资,利率为每年复利n次数A,之后的新余额rt年份,是
At=P((1+rn)nt−1)rn
词汇表
- 年金
- 年金是一系列相等的定期存款的投资。
- 普通比率
- 几何序列中连续项之间的比率是r常用比率,其中r大于或等于两项。anan−1
- 几何序列
- 几何序列是连续项之间的比率始终相同的序列
- 无限几何系列
- 无限几何序列是无限和的无限几何序列。