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12.4: 几何序列和序列

学习目标

在本节结束时,您将能够:

  • 确定序列是否为几何序列
  • 找出几何序列的通用项(n第 1 项)
  • 求出几何序列首n项的总和
  • 求无限几何序列的总和
  • 在现实世界中应用几何序列和序列

在开始之前,请参加这个准备测验。

  1. 简化:2432
    如果你错过了这个问题,请查看示例 1.24。
  2. 评估:a.34 b(12)4.
    如果你错过了这个问题,请查看示例 1.19。
  3. 如果f(x)=43x,找到 a.f(1) b.f(2) cf(3).
    如果你错过了这个问题,请查看示例 3.49。

确定序列是否为几何序列

我们现在准备研究第二种特殊类型的序列,即几何序列。

如果连续项之间的比率始终相同,则该序列称为几何序列。 几何序列中连续项之间的比率为r常用比率,其中大n于或等于两项。

定义12.4.1

何序列是连续项之间的比率始终相同的序列。

连续项之间的比率是r用比率anan1 n大于或等于二。

以这些序列为例。

此图显示了两组序列,其中 r 是常用比率。
图 12.3.1
示例12.4.1

确定每个序列是否为几何序列。 如果是,请指明常用比率。

  1. 4,8,16,32,64,128,
  2. 2,6,12,36,72,216,
  3. 27,9,3,1,13,19,

解决方案

为了确定序列是否为几何序列,我们找到了所示连续项的比率。

a. 找出连续术语的比率

4,8,16,32,64,128,84168321664321286422222

该序列是几何的。 常见的口粮是r=2

b. 找出连续术语的比率

2,6,12,36,72216,62126361272362167232323

该序列不是几何序列。 没有共同的比例。

c. 求出连续项的比率

27,9,3,1,13,19,927391313119131313131313

该序列是几何的。 常见的比率是r=13

练习12.4.1

确定每个序列是否为几何序列。 如果是,请指明通用比率。

  1. 7,21,63,189,567,1,701,
  2. 64,16,4,1,14,116,
  3. 2,4,12,48,240,1,440,
回答
  1. 该序列是几何序列,比例相同r=3
  2. 该序列是几何序列,比例相同d=14
  3. 该序列不是几何序列。 没有共同的比例。
练习12.4.2

确定每个序列是否为几何序列。 如果是,请指明通用比率。

  1. 150,30,15,5,52,0,
  2. 5,10,20,40,80,160,
  3. 8,4,2,1,12,14,
回答
  1. 该序列不是几何序列。 没有共同的比例。
  2. 该序列是几何序列,比例相同r=2
  3. 该序列是几何序列,比例相同r=12

如果我们知道第一个项和常用比率r,我们可以列出序列中有限数量的项。a1

示例12.4.2

写下序列的前五个项,其中第一个项是3,常用比率为r=2

解决方案

我们从第一个项开始,然后将其乘以常用比率。 然后我们将该结果乘以常用比率得出下一个项,依此类推。

a1a2a3a4a533(2)6(2)12(2)24(2)6122448

答案

顺序是3,6,12,24,48,

练习12.4.3

写下序列的前五个项,其中第一个项是7,常用比率为r=3

回答

7,21,63,189,567

练习12.4.4

写下序列的前五个项,其中第一个项是6,常用比率为r=4

回答

6,24,96,384,1536

找出几何序列的通用项(n第 4 项)

就像我们找到了序列的通用项和算术序列的公式一样,我们也可以找到几何序列的通用项的公式。

让我们写下序列的前几个项,其中第一个项是a1,常用比率是r。 然后我们将寻找一种图案。

此图显示了几何序列的图像。
图 12.3.2

当我们在上面五个术语中寻找模式时,我们发现每个术语都以开头a1

第一个项a1不乘以任一r。 在第二个项中a1,将乘以r。 在第三项中a1,将乘以r两倍(rrr2)。 在第四项中a1,将乘以r三倍(rrrr3),在第五项中a1,将乘以r四倍。 在每个项中,次数乘以a1比该r项的次数少一。 这使我们得出以下几点

an=a1rn1

定义12.4.2

具有第一项a1和常用比率的几何序列的总r项为

an=a1rn1

我们将在下一个示例中使用此公式来查找序列的第十四项。

示例12.4.3

找出序列的第十四项,其中第一个项为64,常用比率为r=12

解决方案

an=a1rn1

要找到第十四个术语a14,请使用带有 and 的a1=64公式r=12

a14=64(12)141

在值中替换。

a14=64(12)13

简化。

a14=1128

练习12.4.5

找出序列的第十三项,其中第一个项为81,常用比率为r=13

回答

16,561

练习12.4.6

找出序列的第十二项,其中第一个项为256,常用比率为r=14

回答

116,384

有时我们不知道通用比率,在找到所要求的术语之前,我们必须使用给定的信息来找到它。

示例12.4.4

找到序列的第十二项3,6,12,24,48,96,找到该序列的通用项。

解决方案

要找到第十二项,我们使用公式an=a1rn1,因此我们需要首先确定a1和通用比率r

第一个学期是三个。

3,6,12,24,48,96,
a1=3

找到常用比率。

6312624124824964822222 The common ratio is r=2

要找到第十二个项a12,请使用带有 anda1=3 的公式r=2

an=a1rn1

在值中替换。

a12=32121

简化。

a12=3211
a12=6,144

找到通用术语。 我们使用带有 and 的a1=3公式r=2

an=a1rn1
an=3(2)n1

练习12.4.7

找到序列的第九项6,18,54,162,486,1,458,然后找到该序列的通用项。

回答

a9=39,366.一般术语是an=6(3)n1

练习12.4.8

找到序列的第十一个项7,14,28,56,112,224,然后找到该序列的通用项。

回答

a11=7,168.一般术语是an=7(2)n1

求几何序列首n项之和

我们找到了通用序列和算术序列的总和。 现在,我们将对几何序列做同样的事情。 几何序列的第一个n项的总和写为Sn=a1+a2+a3++anSn 我们可以从第一个项开始写出这个总和a1,然后继续乘r以得出下一个项:

Sn=a1+a1r+a1r2++a1rn1

让我们也将方程的两边乘以r

rSn=a1r+a1r2+a1r3++a1rn

接下来,我们减去这些方程。 我们将看到,当我们减去时,除顶部方程的第一项和底部方程的最后一项外,其他所有项都减去为零。

Sn=a1+a1r+a1r2+a1r3++a1rn1rSn=a1r+a1r2+a1r3++a1rn1+a1rnSnrSn=a1a1rn

我们将双方都考虑在内。

Sn(1r)=a1(1rn)

要获得的公式Sn,请将两边除以(1r)

Sn=a1(1rn)1r

定义12.4.3

几何序列的第一个n项的总和为Sn

Sn=a1(1rn)1r

其中a1是第一个项,r是常用比率,r不等于一。

我们在下一个示例中应用这个公式,其中给出了序列的前几个项。 请注意,当常用比率大于 1 时,几何序列的总和通常会变得非常大。

示例12.4.5

求出几何序列首20项的总和7,14,28,56,112,224,

解决方案

为了找到总和,我们将使用公式Sn=a1(1rn)1r。 我们知道a1=7r=2,而且n=20

知道a1=7,r=2n=20,然后使用总和公式。

Sn=a1(1rn)1r

在值中替换。

S20=7(1220)12

简化。

S20=7,340,025

练习12.4.9

求出几何序列首20项的总和3,6,12,24,48,96,

回答

3,145,725

练习12.4.10

求出几何序列首20项的总和6,18,54,162,486,1,458,

回答

10,460,353,200

在下一个示例中,我们以求和表示法给出了总和。 虽然添加所有项是可能的,但大多数情况下,最简单的方法是使用公式来求出第一个n项的总和。

要使用这个公式,我们需要r。 我们可以通过写出序列的前几个项并找到它们的比率来找到它。 另一种选择是认识到,在求和表示法中,序列是以形式书写的ki=1a(r)i,其中r是常用比率。

示例12.4.6

找到总和:15i=12(3)i.

解决方案

为了找到总和,我们将使用公式Sn=a1(1rn)1r,该公式需要a1r。 我们将写出一些条款,以便我们获得所需的信息。

  。
写出前几个术语。 。
识别a1 。
找到常用比率。 。
知道a1=6r=3、和n=15,使用总和公式。 。
在值中替换。 。
简化。 。
表 12.3.1
练习12.4.11

找到总和:15i=16(2)i.

回答

393,204

练习12.4.12

找到总和:10i=15(2)i.

回答

10,230

求无限几何序列的总和

如果我们取一个几何序列并将这些项相加,就会得到一个称为几何序列的总和。 无限几何序列是一个无限和,其第一个项是a1,常用比率是r写入的

a1+a1r+a1r2++a1rn1+

定义12.4.4

无限几何序列是一个无限和,其第一个项是a1,常用比率是r写入的

a1+a1r+a1r2++a1rn1+

我们知道如何使用公式求出几何序列的第一个n项的总和Sn=a1(1rn)1r。 但是我们如何找到无限和的总和呢?

让我们来看看无限几何系列3+6+12+24+48+96+.。 每个项越来越大,因此无限个项的总和越来越大是有道理的。 让我们来看一下本系列的部分总和。 我们看见a1=3r=2

Sn=a1(1rn)1rSn=a1(1rn)1rSn=a1(1rn)1rS10=3(1210)12S30=3(1230)12S50=3(1250)12S10=3,069S30=3,221,225,469S503.38×1015

n随着越来越大,总和越来越大。 当我们称该系列为|r|1 divergent 时,情况确实如此。 什么时候我们找不到无限几何序列的总和|r|1

让我们来看一个无限的几何序列,其常用比率小于一的分数
12+14+18+116+132+164+。 在这里,术语越来越小,n越来越大。 让我们来看看这个系列的几个有限和。 我们看到a1=12r=12

Sn=a1(1rn)1rSn=a1(1rn)1rSn=a1(1rn)1rS10=12(11210)112S20=12(11220)112S30=12(11230)112S100.9990234375S200.9999990463S300.9999999991

请注意,总和越来越大,但也越来越接近一。 当时|r|<1,表达式rn变得越来越小。 在这种情况下,我们称该系列为收敛。 当n接近无穷大时,(rn变得无限大)越来越接近零。 在我们的总和公式中,我们可以将rn替换为零,S然后得到一个无限几何序列的总和公式|r|<1

Sn=a1(1rn)1rS=a1(10)1rS=a11r

这个公式给出了无限几何序列的总和。 请注意,S没有像我们nSn一样的下标,因为我们没有添加有限数量的项。

定义12.4.5

对于第一个项为常用比率的无限几何序列ra1

如果|r|<1,总和为

S=a11r

如果|r|1,则无限几何序列没有总和。 我们说这个系列有分歧。

示例12.4.7

求无限几何序列的总和54+18+6+2+23+29+

解决方案

要找到总和,我们首先必须验证公用比率,|r|<1然后才能使用总和公式S=a11r

找到常用比率。

r=1854r=618r=13r=13|r|<1

识别a1

a1=54

知道a1=54,r=13了,使用总和公式。

S=a11r

在值中替换。

S=54113

简化。

S=81

答案

S=80

练习12.4.13

求无限几何序列的总和48+24+12+6+3+32+

回答

96

练习12.4.14

求无限几何序列的总和64+16+4+1+14+116+

回答

2563

无限几何序列的一个有趣用法是将重复的十进制写成分数。

示例12.4.8

将重复的十进制写0.5成分数。

解决方案

重写0.5显示的重复五个。 使用位值将其重写为总和。 这是一个无限的几何系列。

0.555555555555
0.5+0.05+0.005+0.0005+

找到常用比率。

r=0.050.5r=0.0050.05r=0.1r=0.1|r|<1

识别a1

a1=0.5

知道a1=0.5,r=0.1了,使用总和公式。

S=a11r

在值中替换。

S=0.510.1

简化。

S=0.50.9

将分子和分母乘以10

S=59

我们被要求找到分数形式。

0.5=59

练习12.4.15

将重复的十进制写0.4成分数。

回答

49

练习12.4.16

将重复的十进制写0.8成分数。

回答

89

在现实世界中应用几何序列和序列

几何序列的一个应用与消费者支出有关。 如果向每个家庭提供退税,则对经济的影响是个人退税金额的许多倍。

示例12.4.9

政府已决定向每个家庭提供美元退1,000税,以刺激经济。 政府统计数据显示,每个家庭将把折扣的80百分比花在商品和服务上。 然后,从该80百分比中受益的企业和个人将花费他们收到的金额的80百分比,依此类推。 结果称为乘数效应。 回扣对经济的总体影响是什么?

解决方案

每当资金流入经济时,其中的80百分比都花在了经济中,然后花在经济中。 再说一遍,这笔钱的80百分比又花在了经济上。 这种情况仍在继续,因此我们得出了无限的几何序列。

1000+1000(0.8)+1000(0.8)2+

这里的第一个学期是1,000,a1=1000。 常见的比率是0.8,r=0.8。 从那以后我们可以评估这个总和0.8<1。 我们使用公式计算无限几何序列的总和。

S=a11r

在值中替换,a1=1,000r=0.8

S=1,00010.8

评估。

S=5,000

答案

每个家庭1,000获得的美元所产生的总影响将是经济的美元5,000增长。

练习12.4.17

如果每个家庭将退税的90百分比花在商品和服务上,那么政府为刺激经济而向每个家庭提供美元的1,000退税对经济的总体影响是多少?

回答

$10,000

练习12.4.18

如果每个家庭将退税的85百分比花在商品和服务上,那么政府为刺激经济而向每个家庭提供美元的500退税对经济的总体影响是多少?

回答

$3,333.33

我们已经研究了一个复利公式P,即t多年来本金是按利r率投资的。 新的余额是指每年n多次复利A=P(1+rn)nt的时候。A 此公式适用于预先一次性投资并告诉我们一定时间段后的价值。

年金是一系列相等的定期存款的投资。 我们将研究在存款时支付利息的年金。 当我们制定年金价值的公式时,我们将放弃n=1。 这意味着每年有一笔存款。

A=P(1+rn)nt Let n=1.A=P(1+r1)1t Simplify. A=P(1+r)t

假设在每年年底投资P美元。 一年后,这笔存款价值P(1+r)1美元,又过了一年,它价值了P(1+r)2美元。 t多年后,它将物有所P(1+r)t值。

年底1 年底2 年底3
首次存款P @ 年底1 \ (1\)” >P \ (2\) “>1 一年后的金额P(1+r)1 \ (3\) “>数2年后的金额P(1+r)2
2nd 存款P @ 年底2 \ (1\)” > \ (2\)” >P \ (3\) “>1 一年后的金额P(1+r)1
3第三笔存款P @ 年底3 \ (1\)” > \ (2\)” > \ (3\)” >P
表 12.3.2

三年后,年金的价值为

P 加 P 乘以量 1 加上括号中的 r,得出第一次方,再加 P 乘以数量 1 加上括号中的 r 的平方。 这等于第三年末存入的款项,加上第二年末存入的款项,再加上第一年年底存入的款项。
图 12.3.10

这是几何序列项的总和,其中第一个项为P,常用比率为1+r。 我们将这些值替换为总和公式。 小心,我们有两种不同的用法r。 总和公式r中的是序列的常用比率。 在这种情况下,这就是利率1+r在哪里r

St=a1(1rt)1r Substitute in the values. St=P(1(1+r)t)1(1+r) Simplify. St=P(1(1+r)t)rSt=P((1+r)t1)r

请记住,我们的前提是每年年底存入一笔存款。

我们可以根据每年的n存款调整这个公式,利息每年按复利n次数计算。

定义12.4.6

对于在复利P期结束时投资的本金,利率为每年复利n次数,t多年后的新余额为rA

At=P((1+rn)nt1)rn

示例12.4.10

新父母决定100每月投资美元为宝贝女儿支付年金。 该账户每年将支付5百分比的利息,按月复利。 孩子十八岁生日时账户里会有多少钱?

解决方案

要找到年金公式At=P((1+rn)nt1)rn,我们需要确定P,r,nt

确定P每月的投资金额。

P=100

以十进制形式标识r年利率。

r=0.05

确定n每年的存款次数和复利的利息。

n=12

确定t年数。

t=18

知道P=100,r=0.05,n=12t=18使用总和公式。

At=P((1+rn)nt1)rn

在值中替换。

At=100((1+0.0512)12.181)0.0512

使用计算器进行评估。 请务必根据需要使用括号。

At=34.920.20

答案

孩子会有 $34,920.20

练习12.4.19

新祖父母决定200每月投资美元为孙子支付年金。 该账户每年将支付5百分比的利息,按月复利。 孩子二十一岁生日时账户里会有多少钱?

回答

$88,868.36

练习12.4.20

阿图罗(Arturo)大学毕业后刚找到第一份全职工作27. 他决定200每月投资美元购买IRA(年金)。 年金的利息为8 %,按月复利。 当阿图罗六十七岁生日退休时,他的账户里会有多少钱?

回答

$698,201.57

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关键概念

  • 几何序列的通用项(n第 1 项):具有第一项a1和常用比率的几何序列的总r项为

    an=a1rn1

  • 几何@@ 序列首n项之和:几何序列n项的总和为Sn

    Sn=a1(1rn)1r

    其中a1是第一个项,r是常用比率。 Infinite Geometry Series:无限几何序列是一个无限和,其第一个项是a1,常用比率是r写入的

    a1+a1r+a1r2++a1rn1+

  • 无限几何序列的总和:对于第一个项为常用比率的无限几何序列r
    |r|<1,总a1和为

S=a11r

我们说这个系列趋于一致。

如果|r|1,则无限几何序列没有总和。 我们说这个系列有分歧。

  • 年利息复合n倍数的年金价值对于本金P,在复利期结束时投资,利率为每年复利n次数A,之后的新余额rt年份,是

    At=P((1+rn)nt1)rn

词汇表

年金
年金是一系列相等的定期存款的投资。
普通比率
几何序列中连续项之间的比率是r常用比率,其中r大于或等于两项。anan1
几何序列
几何序列是连续项之间的比率始终相同的序列
无限几何系列
无限几何序列是无限和的无限几何序列。