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12.5: 二项式定理

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    203867
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    学习目标

    在本节结束时,您将能够:

    • 使用帕斯卡三角形扩展二项式
    • 评估二项式系数
    • 使用二项式定理扩展二项式

    在开始之前,请参加这个准备测验。

    1. 简化:\(\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\)
      如果你错过了这个问题,请查看示例 1.25。
    2. 扩展:\((3 x+5)^{2}\)
      如果您错过了此问题,请查看示例 5.32。
    3. 扩展:\((x-y)^{2}\)
      如果您错过了此问题,请查看示例 5.32。

    使用帕斯卡三角形扩展二项式

    在我们之前的工作中,我们使用FOIL或使用二项式方块图案对二项式进行了平方。 我们也可以说我们扩大\((a+b)^{2}\)了。

    \((a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}\)

    为了扩大规模\((a+b)^{3}\),我们认识到这是事实,\((a+b)^{2}(a+b)\)然后成倍增加。

    \((a+b)^{3}\)
    \((a+b)^{2}(a+b)\)
    \(\left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right)(a+b)\)
    \(a^{3}+2 a^{2} b+a b^{2}+a^{2} b+2 a b^{2}+b^{3}\)
    \(a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}\)
    \((a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}\)

    为了找到一种不那么繁琐且适用于更高扩展的方法\((a+b)^{7}\),我们再次在一些扩展中寻找模式。

    术语数量 第一学期 最后一学期
    \((a+b)^{1}=a+b\) \(2\) \(a^{1}\) \(b^{1}\)
    \((a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}\) \(3\) \(a^{2}\) \(b^{2}\)
    \((a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}\) \(4\) \(a^{3}\) \(b^{3}\)
    \((a+b)^{4}=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4}\) \(5\) \(a^{4}\) \(b^{4}\)
    \((a+b)^{5}=a^{5}+5 a^{4} b+10 a^{3} b^{2}+10 a^{2} b^{3}+5 a b^{4}+b^{5}\) \(6\) \(a^{5}\) \(b^{5}\)
    \((a+b)^{n}\) \(n\) \(a^{n}\) \(b^{n}\)
    表 12.4.1

    请注意,第一个和最后一个项仅显示一个变量。 回想一下\(a^{0}=1\),我们可以重写第一个和最后一个术语以包含这两个变量。 例如,我们可以扩展\((a+b)^{3}\)以显示带有两个变量的每个术语。

    此图显示了模式 a 加 b 对 3 的幂等于 a 对 3 乘以 b 的幂次乘以 0 加上 3 倍 a 到 2 倍 b 的乘以 1 的幂加 3 a 到 0 乘以 b 的幂次方对 3 的幂次方。
    图 12.4.1

    通常,我们不显示零指数,就像我们平时写的那样,\(x\)而不是\(1x\)

    注意

    扩张中的模式\((a+b)^{n}\)

    • 项数为\(n+1\)
    • 第一个学期是\(a^{n}\),最后一个学期是\(b^{n}\)
    • 每个\(a\)项上的指数从左到右减一。
    • 每个项的指数从左向右\(b\)增加 1。
    • 任何项的指数之和为\(n\)

    让我们来看一个例子来突出最后三种模式。

    此图显示了模式 a 加 b 乘以 5 的次方等于 a 加 5 倍 a 乘以 b 加 10 倍 a 乘以 b 加 5 倍 a 乘以 b。
    图 12.4.2

    从我们确定的模式中,我们可以看到扩展中的变量将是\((a+b)^{n}\)

    \((a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1}b^{1}+\_\_\_a^{n-2}b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n}\)

    为了找出各项的系数,我们再次以系数为重点编写扩展。 我们将系数重写到右边,形成系数数组。

    A 加 b 对 0 的幂等于 1。 帕斯卡三角形的最高等级为 1。 A 加 b 对 1 的乘方等于 1 a 加 1 b。帕斯卡三角形的第二级是 1, 1。 A 加 b 对 2 的幂等于 1 a 加 2 的幂加 2 a b 加 1 b 对 2 的幂次方。 帕斯卡三角形的第三层是 1、2、1。 A 加 b 对 3 的乘方等于 1 a 对 3 的乘方加 3 a 对 2 b 加 3 a 的幂加 3 a b 的乘以 2 加 1 b 对 3 的乘方。 帕斯卡三角形的第四层是1,3,3,1。 A 加 b 对 4 的幂等于 1 a 乘以 4 的次方加 4 a 的次方加 3 b 加 6 a 对 2 b 的次方加 4 a 的次方加 3 的次方加 1 b 对 4 的次方。 帕斯卡三角形的第五层是 1、4、6、4、1。 A 加 b 对 5 的幂等于 1 a 乘以 5 的次方加 5 a 的次方加 4 b 加 10 a 对 3 b 的次方加 2 的幂加 10 a 对 2 b 的次方对 3 的次方。 帕斯卡三角形的第六行是 1、5、10、10、5、1。
    图 12.4.3

    右边的数组被称为帕斯卡三角形。 请注意,数组中的每个数字都是上一行中最接近的两个数字的总和。 我们可以通过以下方法找到下一行:以一个开头和结尾,然后将两个相邻的数字相加。

    此图显示了帕斯卡的三角形。 第一级是 1。 第二级是 1、1。 第三级是 1、2、1。 第四级是 1、3、3、1。 第五级是 1、4、6、4、1。 第六级是 1、5、10、10、5、1。 第七级是 1、6、15、20、15、6、1。
    图 12.4.4

    当我们展开二项式时,这个三角形给出了项的系数。

    定义\(\PageIndex{1}\)

    帕斯卡三角形

    此图显示了帕斯卡的三角形。 第一级是 1。 第二级是 1、1。 第三级是 1、2、1。 第四级是 1、3、3、1。 第五级是 1、4、6、4、1。 第六级是 1、5、10、10、5、1。 第七级是 1、6、15、20、15、6、1。
    图 12.4.5

    在下一个示例中,我们将使用这个三角形和我们识别的模式来扩展二项式。

    示例\(\PageIndex{1}\)

    使用帕斯卡三角形进行扩展\((x+y)^{6}\)

    解决方案

    我们知道这次扩张的变量将遵循我们确定的模式。 的非零指数\(x\)将从 6 开始,减小为 1。 的非零指数\(y\)将从 1 开始,然后增加到 6。 每个项中的指数之和将为六。 按照我们的模式,\(a=x\)\(b=y\)

    \(\begin{array}{l}{(a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1} b^{1}+\_\_\_a^{n-2} b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n}} \\ {(x+y)^{6}=x^{6}+\_\_\_x^{5} y^{1}+\_\_\_x^{4} y^{2}+\_\_\_x^{3} y^{3}+\_\_\_x^{2} y^{4}+\_\_\_x^{1} y^{5}+y^{6}}\end{array}\)

    此图显示 n 减去 1 b 的次方加 a 对 n 的幂加 a 的次方,如果 n 减去 1 b 乘以 n 的次方加 a 对 n 的次方减去 2 b 的次方,如果 2 加省略号加 a 对 1 b 的次方减 n 的幂减 1 加 b 的次方。下图显示 x 加 y 的次方6 的 x 等于 6 加 x 的次方乘以 5 y 的次方乘以 1 加 x 到 4 y 的次方乘以 2 加 x 的次方到 3 y 的幂到 3 加 x 的次方到 2 y 的次方到 4 加 x 的次方再到 1 y 的次方乘以 5 加 y 对 6 的次方。
    图 12.4.6
    练习\(\PageIndex{1}\)

    使用帕斯卡三角形进行扩展\((x+y)^{5}\)

    回答

    \(\begin{array}{l}{x^{5}+5 x^{4} y+10 x^{3} y^{2}+10 x^{2} y^{3}} {+5 x y^{4}+y^{5}}\end{array}\)

    练习\(\PageIndex{2}\)

    使用帕斯卡三角形进行扩展\((p+q)^{7}\)

    回答

    \(\begin{array}{c}{p^{7}+7 p^{6} q+21 p^{5} q^{2}+35 p^{4} q^{3}} {+35 p^{3} q^{4}+21 p^{2} q^{5}+7 p q^{6}+q^{7}}\end{array}\)

    在下一个例子中,我们想用一个变量和一个常量来扩展二项式。 我们需要识别\(a\)\(b\)仔细应用该模式。

    示例\(\PageIndex{2}\)

    使用帕斯卡三角形进行扩展\((x+3)^{5}\)

    解决方案

    我们确定图案\(b\)\(a\)和。

    此图显示了我们如何在 x 加 3 到 5 的幂次方中识别 a 加 b 的 n 次方。
    图 12.4.7

    按照我们的模式,\(a=x\)\(b=3\)

    我们知道这次扩张的变量将遵循我们确定的模式。 每个项中的指数之和将为五。

    \((a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1}b^{1}+\_\_\_a^{n-2}b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n} \)

    \((x+3)^{5}=x^{5}+\_\_\_x^{4}\cdot3^{1}+\_\_\_x^{3}\cdot3^{2}+\_\_\_x^{2}\cdot3^{3}+\_\_\_x^{1}\cdot3^{4}+3^{5}\)

    此图显示了帕斯卡的三角形。 第一级是 1。 第二级是 1、1。 第三级是 1、2、1。 第四级是 1、3、3、1。 第五级是 1、4、6、4、1。 第六级是 1、5、10、10、5、1。 第七级是 1、6、15、20、15、6、1。 此图显示 X 加 3 乘以 5 的幂等于 1 x 乘以 5 g 3 x 到 4 的次方加 10 g 9 x 到 3 的次方加 10 g 27 x 的次方加 2 加 5 g 81 x 的次方乘以 1 加 1 g 243 的次方。 然后,x 加 3 对 5 的幂等于 x 乘以 5 的乘方加 15 x 到 4 的乘方加 90 x 到 3 加 270 x 再加 2 加 405 加 243 的次方。
    图 12.4.8
    练习\(\PageIndex{3}\)

    使用帕斯卡三角形进行扩展\((x+2)^{4}\)

    回答

    \(x^{4}+8 x^{3}+24 x^{2}+32 x+16\)

    练习\(\PageIndex{4}\)

    使用帕斯卡三角形进行扩展\((x+1)^{6}\)

    回答

    \(\begin{array}{l}{x^{6}+6 x^{5}+15 x^{4}+20 x^{3}+15 x^{2}} {+6 x+1}\end{array}\)

    在下一个示例中,二项式是差值,第一个项的常数乘以变量。 一旦我们确定了图案\(b\)\(a\)和,就必须再次仔细应用该图案。

    示例\(\PageIndex{3}\)

    使用帕斯卡三角形进行扩展\((3x-2)^{4}\)

    解决方案

    我们确定图案\(b\)\(a\)和。

    此图显示了我们如何在 3 x 减 2 到 4 的幂次方中识别出 a 加 b 的 n 次方。
    图 12.4.9

    按照我们的模式,\(a=3x\)\(b=-2\)

    此图显示了帕斯卡的三角形。 第一级是 1。 第二级是 1、1。 第三级是 1、2、1。 第四级是 1、3、3、1。 第五级是 1、4、6、4、1。 第六级是 1、5、10、10、5、1。 第七级是 1、6、15、20、15、6、1。
    图 12.4.10

    \((a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1}b^{1}+\_\_\_a^{n-2}b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n} \)

    \((3 x-2 )^{4}=1 \cdot\left(\stackrel{3}{x}+4(3 x)^{3}(-2)^{1}+6(3 x)^{2}(-2)^{2}+4(3 x)^{1}(-2)^{3}+1 \cdot(-2)^{4}\right.\)

    \((3 x-2)^{4}=81 x^{4}+4\left(27 x^{3}\right)(-2)+6\left(9 x^{2}\right)(4)+4(3 x)(-8)+1 \cdot 16\)

    \((3 x-2 )^{4}=81 x^{4}-216 x^{3}+216 x^{2}-96 x+16\)

    练习\(\PageIndex{5}\)

    使用帕斯卡三角形进行扩展\((2x-3)^{4}\)

    回答

    \(16 x^{4}-96 x^{3}+216 x^{2}-216 x+81\)

    练习\(\PageIndex{6}\)

    使用帕斯卡三角形进行扩展\((2x-1)^{6}\)

    回答

    \(\begin{array}{l}{64 x^{6}-192 x^{5}+240 x^{4}-160 x^{3}} {+60 x^{2}-12 x+1}\end{array}\)

    评估二项式系数

    虽然帕斯卡三角形是扩展二项式的一种方法,但我们还将研究另一种方法。 在我们开始讨论这个问题之前,我们需要引入一些更多的阶乘表示法。 这种表示法不仅用于扩展二项式,还用于概率的研究和使用。

    要找到扩展二项式项的系数,我们需要能够评估称为二项式系数的表示法\(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)\)。 我们读\(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)\)作 “\(n\)选择\(r\)” 或 “\(r\)一次\(n\)拍摄”。

    定义\(\PageIndex{1}\)

    二项式系数\(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)\),其中\(r\)\(b\)是整数\(0 \leq r \leq n\),定义为

    \(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}\)

    我们读\(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)\)作 “\(n\)选择\(r\)” 或 “\(r\)一次\(n\)拍摄”。

    示例\(\PageIndex{4}\)

    评估:

    1. \(\left( \begin{array}{l}{5} \\ {1}\end{array}\right)\)
    2. \(\left( \begin{array}{l}{7} \\ {7}\end{array}\right)\)
    3. \(\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)\)
    4. \(\left( \begin{array}{l}{8} \\ {5}\end{array}\right)\)

    解决方案

    a. 我们将使用二项式系数的定义,

    \(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}\)

    \(\left( \begin{array}{l}{5} \\ {1}\end{array}\right)\)

    使用定义\(\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}\),在哪里\(n=5, r=1\)

    \(\frac{5 !}{1 !(5-1) !}\)

    简化。

    \(\frac{5 !}{1 !(4) !}\)

    重写\(5!\)\(5\cdot 4!\)

    \(\frac{5 \cdot 4 !}{1 ! \cdot 4 !}\)

    通过删除常见因素来简化。

    \(\frac{5\cdot \cancel{4 !}}{1 ! \cdot \cancel{4 !}}\)

    简化。

    \(5\)

    \(\left( \begin{array}{l}{5} \\ {1}\end{array}\right)=5\)

    b。\(\left( \begin{array}{l}{7} \\ {7}\end{array}\right)\)

    使用定义\(\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}\),在哪里\(n=7, r=7\)

    \(\frac{7 !}{7 !(7-7) !}\)

    简化。

    \(\frac{7 !}{7 !(0) !}\)

    简化。 记住\(0!=1\)

    \(1\)

    \(\left( \begin{array}{l}{7} \\ {7}\end{array}\right)=1\)

    c。\(\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)\)

    使用定义\(\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}\),在哪里\(n=4, r=0\)

    \(\frac{4 !}{0 !(4-0) !}\)

    简化。

    \(\frac{4 !}{0 !(4) !}\)

    简化。

    \(1\)

    \(\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)=1\)

    d。\(\left( \begin{array}{l}{8} \\ {5}\end{array}\right)\)

    使用定义\(\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}\),在哪里\(n=8, r=5\)

    \(\frac{8 !}{5 !(8-5) !}\)

    简化。

    \(\frac{8 !}{5 !(3) !}\)

    重写\(8!\)\(8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!\)并删除常见因素。

    \(\frac{8\cdot7\cdot\cancel{6}\cdot\cancel{5!}}{\cancel{5!}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{2}\cdot1}\)

    简化。

    \(56\)

    \(\left( \begin{array}{l}{8} \\ {5}\end{array}\right)=56\)

    练习\(\PageIndex{7}\)

    评估每个二项式系数:

    1. \(\left( \begin{array}{l}{6} \\ {1}\end{array}\right)\)
    2. \(\left( \begin{array}{l}{8} \\ {8}\end{array}\right)\)
    3. \(\left( \begin{array}{l}{5} \\ {0}\end{array}\right)\)
    4. \(\left( \begin{array}{l}{7} \\ {3}\end{array}\right)\)
    回答
    1. \(6\)
    2. \(1\)
    3. \(1\)
    4. \(35\)
    练习\(\PageIndex{8}\)

    评估每个二项式系数:

    1. \(\left( \begin{array}{l}{2} \\ {1}\end{array}\right)\)
    2. \(\left( \begin{array}{l}{11} \\ {11}\end{array}\right)\)
    3. \(\left( \begin{array}{l}{9} \\ {0}\end{array}\right)\)
    4. \(\left( \begin{array}{l}{6} \\ {5}\end{array}\right)\)
    回答
    1. \(2\)
    2. \(1\)
    3. \(1\)
    4. \(6\)

    在前面的示例中\((a)\)\((b)\)\((c)\)演示了二项式系数的一些特殊属性。

    定义\(\PageIndex{2}\)

    二项式系数的性质

    \(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1 \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1\)

    使用二项式定理扩展二项式

    我们现在准备使用扩展二项式的替代方法了。 二项式定理对变量使用相同的模式,但使用二项式系数作为每个项的系数。

    定义\(\PageIndex{3}\)

    二项式定理

    对于任何实数\(a\)\(b\)正整数\(n\)

    \((a+b)^{n}=\left( \begin{array}{c}{n} \\ {0}\end{array}\right) a^{n}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {1}\end{array}\right) a^{n-1} b^{1}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {2}\end{array}\right) a^{n-2} b^{2}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {n}\end{array}\right) b^{n}\)

    示例\(\PageIndex{5}\)

    使用二项式定理进行扩展\((p+q)^{4}\)

    解决方案

    我们确定图案\(b\)\(a\)和。

    此图显示了我们如何将 a 加 b 与 n 的幂相提并论,其模式为 p 加 q 到 4 的幂次方。
    图 12.4.11

    按照我们的模式,\(a=p\)\(b=q\)

    我们使用二项式定理。

    \((a+b)^{n}=\left( \begin{array}{c}{n} \\ {0}\end{array}\right) a^{n}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {1}\end{array}\right) a^{n-1} b^{1}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {2}\end{array}\right) a^{n-2} b^{2}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {n}\end{array}\right) b^{n}\)

    在值中替换\(a=p, b=q\)\(n=4\)

    \((p+q)^{4}=\left( \begin{array}{c}{4} \\ {0}\end{array}\right) p^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right) p^{4-1} q^{1}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right) p^{4-2} q^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right) p^{4-3} q^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right) q^{4}\)

    简化指数。

    \((p+q)^{4}=\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right) p^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right) p^{3} q+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right) p^{2} q^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right) p q^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right) q^{4}\)

    评估系数,记住,\(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1\)

    \((p+q)^{4}=1 p^{4}+4 p^{3} q^{1}+\frac{4 !}{2 !(2) !} p^{2} q^{2}+\frac{4 !}{3 !(4-3) !} p^{1} q^{3}+1 q^{4}\)
    \((p+q)^{4}=p^{4}+4 p^{3} q+6 p^{2} q^{2}+4 p q^{3}+q^{4}\)

    练习\(\PageIndex{9}\)

    使用二项式定理进行扩展\((x+y)^{5}\)

    回答

    \(\begin{array}{l}{x^{5}+5 x^{4} y+10 x^{3} y^{2}+10 x^{2} y^{3}} {+5 x y^{4}+y^{5}}\end{array}\)

    练习\(\PageIndex{10}\)

    使用二项式定理进行扩展\((m+n)^{6}\)

    回答

    \(\begin{array}{l}{m^{6}+6 m^{5} n+15 m^{4} n^{2}+20 m^{3} n^{3}} {+15 m^{2} n^{4}+6 m n^{5}+n^{6}}\end{array}\)

    请注意,当我们在上一个示例\((p+q)^{4}\)中使用二项式定理进行扩展时,我们得到的系数与使用帕斯卡三角形获得的系数相同。

    上图是 P 加 q 对 4 的次方等于 4 选择 0 倍 p 到 4 的幂次方选择 1 倍 p 为 3 q 加 4 的次方选择 2 倍 p 到 2 q 的次方选择 3 倍 p q 到 3 加 4 的次方选择 4 的幂次方。 P 加 q 对 4 的幂等于 p 乘以 3 q 加 6 p 的次方乘以 2 q 的次方加 2 q 的次方加 4 p q 的次方加 3 加 q 的次方加 4 的次方。 右边的这个图显示了帕斯卡的三角形。 第一级是 1。 第二级是 1、1。 第三级是 1、2、1。 第四级是 1、3、3、1。 第五级是 1、4、6、4、1。 第六级是 1、5、10、10、5、1。 第七级是 1、6、15、20、15、6、1。
    图 12.4.12

    下一个例子,二项式是区别。 当二项式是差异时,我们必须谨慎识别我们将在模式中使用的值。

    示例\(\PageIndex{6}\)

    使用二项式定理进行扩展\((x-2)^{5}\)

    解决方案

    我们确定图案\(b\)\(a\)和。

    此图显示 x 减去 2 到 5 的幂次方。
    图 12.4.13

    按照我们的模式,\(a=x\)\(b=-2\)

    我们使用二项式定理。

    \((a+b)^{n}=\left( \begin{array}{c}{n} \\ {0}\end{array}\right) a^{n}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {1}\end{array}\right) a^{n-1} b^{1}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {2}\end{array}\right) a^{n-2} b^{2}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {n}\end{array}\right) b^{n}\)

    在值中替换\(a=x, b=-2\),和\(n=5\)

    \((x-2)^{5}=\left( \begin{array}{l}{5} \\ {0}\end{array}\right) x^{5}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {1}\end{array}\right) x^{5-1}(-2)^{1}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {2}\end{array}\right) x^{5-2}(-2)^{2}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {3}\end{array}\right) x^{5-3}(-2)^{3}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {4}\end{array}\right) x^{5-4}(-2)^{4}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {5}\end{array}\right)(-2)^{5}\)

    简化系数。 记住,\(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1\)

    \((x-2)^{5}=\left( \begin{array}{l}{5} \\ {0}\end{array}\right) x^{5}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {1}\end{array}\right) x^{4}(-2)+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {2}\end{array}\right) x^{3}(-2)^{2}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {3}\end{array}\right) x^{2}(-2)^{3}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {4}\end{array}\right) x(-2)^{4}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {5}\end{array}\right)(-2)^{5}\)

    \((x-2)^{5}=1 x^{5}+5(-2) x^{4}+\frac{5 !}{2 ! \cdot 3 !}(-2)^{2} x^{3}+\frac{5 !}{3 ! 2 !}(-2)^{3} x^{2}+\frac{5 !}{4 !1 !}(-2)^{4} x+1(-2)^{5}\)

    \((x-2)^{5}=x^{5}+5(-2) x^{4}+10 \cdot 4 \cdot x^{3}+10(-8) x^{2}+5 \cdot 16 \cdot x+1(-32)\)

    \((x-2)^{5}=x^{5}-10 x^{4}+40 x^{3}-80 x^{2}+80 x-32\)

    练习\(\PageIndex{11}\)

    使用二项式定理进行扩展\((x-3)^{5}\)

    回答

    \(\begin{array}{l}{x^{5}-15 x^{4}+90 x^{3}-270 x^{2}} {+405 x-243}\end{array}\)

    练习\(\PageIndex{12}\)

    使用二项式定理进行扩展\((y-1)^{6}\)

    回答

    \(\begin{array}{l}{y^{6}-6 y^{5}+15 y^{4}-20 y^{3}+15 y^{2}} {-6 y+1}\end{array}\)

    当两个项都有系数和变量时,事情可能会变得混乱。

    示例\(\PageIndex{7}\)

    使用二项式定理进行扩展\((2x-3y)^{4}\)

    解决方案

    我们确定图案\(b\)\(a\)和。

    此图显示了我们如何将 a 加 b 与 n 的幂次方相提并论,模式为 2 x 减去 3 y 乘以 4 的幂次方。
    图 12.4.14

    按照我们的模式,\(a=2x\)\(b=-3y\)

    我们使用二项式定理。

    \((a+b)^{n}=\left( \begin{array}{c}{n} \\ {0}\end{array}\right) a^{n}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {1}\end{array}\right) a^{n-1} b^{1}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {2}\end{array}\right) a^{n-2} b^{2}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {n}\end{array}\right) b^{n}\)

    在值中替换\(a=2x, b=-3y\)\(n=4\)

    \((2 x-3 y)^{4}=\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)(2 x)^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right)(2 x)^{4-1}(-3 y)^{1}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right)(2 x)^{4-2}(-3 y)^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right)(2 x)^{4-3}(-3 y)^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right) (-3y)^{4}\)

    简化指数。

    \((2 x-3 y)^{4}=\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)(2 x)^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right)(2 x)^{3}(-3 y)^{1}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right)(2 x)^{2}(-3 y)^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right)(2 x)^{1}(-3 y)^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right)(-3 y)^{4}\)

    评估系数。 记住,\(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1\)

    \((2 x-3 y)^{4}=1(2 x)^{4}+4(2 x)^{3}(-3 y)^{1}+\frac{4 !}{2 !(2 x) !}(2 x)^{2}+\frac{4 !}{3 !(4-3) !}(2 x)^{3}(-3 y)^{3}+1(-3 y)^{4}\)

    \((2 x-3 y)^{4}=16 x^{4}+4 \cdot 8 x^{3}(-3 y)+6\left(4 x^{2}\right)\left(9 y^{2}\right)+4(2 x)\left(-27 y^{3}\right)+81 y^{4}\)

    \((2 x-3 y)^{4}=16 x^{4}-96 x^{3} y+216 x^{2} y^{2}-216 x y^{3}+81 y^{4}\)

    练习\(\PageIndex{13}\)

    使用二项式定理进行扩展\((3x-2y)^{5}\)

    回答

    \(\begin{array}{l}{243 x^{5}-810 x^{4} y+1080 x^{3} y^{2}} {-720 x^{2} y^{3}+240 x y^{4}-32 y^{5}}\end{array}\)

    练习\(\PageIndex{14}\)

    使用二项式定理进行扩展\((4x-3y)^{4}\)

    回答

    \(\begin{array}{l}{256 x^{4}-768 x^{3} y+864 x^{2} y^{2}} {-432 x y^{3}+81 y^{4}}\end{array}\)

    二项式定理的真正美妙之处在于,它为任何特定的扩展项提供了公式,而无需计算总和。 让我们来看看二项式定理中的模式。

    此图显示 a 加 b 对 n 的乘方等于 n 选择 0 乘以 a 乘以 n 的次方加 n 的次方加 n 选择 1 倍 a 给 n 的次方减去 1 b 再加 n 选择 2 倍 a 到 n 的幂减去 2 b 再加上省略号加 n 选择 r 乘以 n 减去 r 加的次方省略号加 n 选择 n 乘以 b 的 n 次方。
    图 12.4.15

    注意,在每种情况下,上的指数\(b\)都比项的数字小一。 该\((r+1)^{st}\)项是指其指数\(b\)为的项\(r\)。 因此,我们可以使用\((r+1)^{st}\)术语的格式来查找特定术语的值。

    注意

    在二项式扩展中找到特定术语

    扩展中的\((r+1)^{s t}\)术语\((a+b)^{n}\)

    \(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}\)

    示例\(\PageIndex{8}\)

    找到第四个学期\((x+y)^{7}\).

    解决方案

    按照我们的模式,\(n=7, a=x\)\(b=y\) 。

    我们正在寻找第四个学期。

    \(r+1=4\)那以后\(r=3\)

     
    写下公式 。
    在值\(n=7, r=3, a=x\)、和中替换\(b=y\) 。
    。 。
    简化。 。
    简化。 。
    表 12.4.1
    练习\(\PageIndex{15}\)

    找到第三个学期\((x+y)^{6}\).

    回答

    \(15x^{4}y^{2}\)

    练习\(\PageIndex{16}\)

    找出第五个学期\((a+b)^{8}\).

    回答

    \(8ab^{7}\)

    示例\(\PageIndex{9}\)

    \(x^{6}\)项的系数\((x+3)^{9}\)

    解决方案

    那么,按照我们的模式\(n=9, a=x\),和\(b=3\)
    。
    图 12.4.23
    我们正在寻找该\(x^{6}\)项的系数。 从那以后\(a=x\)\(x^{9-r}=x^{6}\),我们知道\(r=3\)了。  
    写下公式。
    。
    图 12.4.24
    在值\(n=9, 4=3, a=x\)、和中替换\(b=3\)
    。
    图 12.4.25
    。
    图 12.4.26
    。
    图 12.4.27
    简化。
    。
    图 12.4.28
    简化。
    。
    图 12.4.29
    简化。
    。
    图 12.4.30
    表 12.4.2
    练习\(\PageIndex{17}\)

    \(x^{5}\)项的系数\((x+4)^{8}\)

    回答

    \(7,168\)

    练习\(\PageIndex{18}\)

    \(x^{4}\)项的系数\((x+2)^{7}\)

    回答

    \(280\)

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    关键概念

    • \ (a+b) ^ {n}\ (扩展中的模式
      • 项数为\(n+1\)
      • 第一个学期是\(a^{n}\),最后一个学期是\(b^{n}\)
      • 每个\(a\)项上的指数从左到右减一。
      • 每个项的指数从左向右\(b\)增加 1。
      • 任何项的指数之和为\(n\)
    • 帕斯卡三角形
    此图显示了帕斯卡的三角形。 第一级是 1。 第二级是 1、1。 第三级是 1、2、1。 第四级是 1、3、3、1。 第五级是 1、4、6、4、1。 第六级是 1、5、10、10、5、1。 第七级是 1、6、15、20、15、6、1
    图 12.4.31
    • 二项式系数 \(\left( \begin{array}{l}{\mathbf{n}} \\ {\mathbf{r}}\end{array}\right)\)二项式系数\(\left( \begin{array}{l}{\mathbf{n}} \\ {\mathbf{r}}\end{array}\right)\),其中\(r\)\(n\)是整数\(0≤r≤n\),定义为

    \(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}\)

    我们读\(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)\)作 “\(n\)选择\(r\)” 或 “\(r\)一次\(n\)拍摄”。

    • 二项式系数的性质

    \(\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1 \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1\)

    • 二项式定理:

    对于任何实数\(a\)\(b\)、和正整数\(n\)

    \((a+b)^{n}=\left( \begin{array}{c}{n} \\ {0}\end{array}\right) a^{n}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {1}\end{array}\right) a^{n-1} b^{1}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {2}\end{array}\right) a^{n-2} b^{2}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {n}\end{array}\right) b^{n}\)