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12.3: 算术序列

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    203864
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    学习目标

    在本节结束时,您将能够:

    • 确定序列是否为算术
    • 找出算术序列的通用项(\(n\)第 1 项)
    • 求算术序列首\(n\)项的总和

    在开始之前,请参加这个准备测验。

    1. 计算\(4n−1\)整数\(1, 2, 3\),然后\(4\)
      如果您错过了此问题,请查看示例 1.6。
    2. 求解方程组:\(\left\{\begin{array}{l}{x+y=7} \\ {3 x+4 y=23}\end{array}\right.\).
      如果您错过了此问题,请查看示例 4.9。
    3. 如果\(f(n)=\frac{n}{2}(3 n+5)\),找到\(f(1)+f(20)\)
      如果你错过了这个问题,请查看示例 3.49。

    确定序列是否为算术

    最后一节介绍了序列,现在我们将研究两种特定类型的序列,每种序列都有特殊的属性。 在本节中,我们将介绍算术序列,在下一节中,我们将介绍几何序列。

    算术序列是连续项之间差异恒定的序列。 算术序列中连续项 a_ {n}-a_ {n-1} 之间的差异是\(d\)\(n\)大于或等于两个的常见区别

    定义\(\PageIndex{1}\)

    算术序列是连续项之间的差异始终相同的序列。

    连续项 a_ {n}-a_ {n-1} 之间的差异是\(d\)\(n\)大于或等于两个的常见差异

    此图有两行三列。 第一行读作 “7”、“10”、“13”、“16”、“19”、“22” 和省略号,“10 减去 7,除以 3”、“13 减去 10,除以 3”、“16 减去 13,除以 3”,第 n 项等于第 n 项减去 1 除以 d”
    图 12.2.1
    示例\(\PageIndex{1}\)

    确定每个序列是否为算术序列。 如果是,请指出共同的区别。

    1. \(5,9,13,17,21,25, \dots\)
    2. \(4,9,12,17,20,25, \dots\)
    3. \(10,3,-4,-11,-18,-25, \dots\)

    解决方案

    为了确定序列是否为算术,我们找到了所示连续项的差异。

    一个。\(\begin{array}{cccccc}{5,} & {9,} & {13,} & {17} & {21,} & {25, \ldots} \\ {\text { Find the difference of the consecutive terms.}} & {9-5} & {13-9} & {17-13} & {21-17} & {25-21} \\ & {4} & {4} & {4} & {4}&{4}\end{array}\)

    该序列是算术的。 共同的区别是\(d=4\)

    b。\(\begin{array}{cccccc}{4,} & {9,} & {12,} & {17} & {20,} & {25, \ldots} \\ {\text { Find the difference of the consecutive terms.}} & {9-4} & {12-9} & {17-12} & {20-17} & {25-20} \\ & {2} & {3} & {5} & {3}&{5}\end{array}\)

    该序列不是算术的,因为连续项之间的所有差异都不相同。 没有共同的区别。

    c。\(\begin{array}{cccccc}{10,} & {3,} & {-4,} & {-11} & {-18,} & {-25, \ldots} \\ {\text { Find the difference of the consecutive terms.}} & {3-10} & {-4-3} & {-11-(-4)} & {-18-(-11)} & {-25-(-18)} \\ & {-7} & {-7} & {-7} & {-7}&{-7}\end{array}\)

    答案

    该序列是算术的。 共同的区别是\(d=-7\)

    练习\(\PageIndex{1}\)

    确定每个序列是否为算术序列。 如果是,请指出共同的区别。

    1. \(9,20,31,42,53,64, \dots\)
    2. \(12,6,0,-6,-12,-18, \dots\)
    3. \(7,1,10,4,13,7, \dots\)
    回答
    1. 该序列是算术运算,有共同的区别\(d=11\)
    2. 该序列是算术运算,有共同的区别\(d=-6\)
    3. 该序列不是算术的,因为连续项之间的所有差异都不相同。
    练习\(\PageIndex{2}\)

    确定每个序列是否为算术序列。 如果是,请指出共同的区别。

    1. \(-4,4,2,10,8,16, \dots\)
    2. \(-3,-1,1,3,5,7, \dots\)
    3. \(7,2,-3,-8,-13,-18, \dots\)
    回答
    1. 该序列不是算术的,因为连续项之间的所有差异都不相同。
    2. 该序列是算术运算,有共同的区别\(d=2\)
    3. 该序列是算术运算,有共同的区别\(d=−5\)

    如果我们知道第一个项和共同的区别\(d\),我们可以列出序列中有限数量的项。\(a_{1}\)

    示例\(\PageIndex{2}\)

    写下序列的前五个项,其中第一个项是\(5\),共同的区别是\(d=−6\)

    解决方案

    我们从第一个术语开始,再加上共同的区别。 然后我们在该结果中添加共同差异以得出下一个学期,依此类推。

    \(\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {a_{3}} & {a_{4}} & {a_{5}} \\ {5} & {5+(-6)} & {-1+(-6)} & {-7+(-6)} & {-13+(-6)} \\ {}&{-1} & {-7} & {-13} & {-19}\end{array}\)

    答案

    顺序是\(5,-1,-7,-13,-19, \dots\)

    练习\(\PageIndex{3}\)

    写下序列的前五个项,其中第一个项是\(7\),共同的区别是\(d=−4\)

    回答

    \(7,3,-1,-5,-9, \dots\)

    练习\(\PageIndex{4}\)

    写下序列的前五个项,其中第一个项是\(11\),共同的区别是\(d=−8\)

    回答

    \(11,3,-5,-13,-21, \dots\)

    求算术序列的通用项(\(n\)第 1 项)

    就像我们找到了序列通用项的公式一样,我们也可以找到算术序列的通用项的公式。

    让我们写一个序列的前几个项,其中第一个项是\(a_{1}\),共同的区别是\(d\)。 然后,我们将寻找一种图案。

    当我们寻找一种模式时,我们会发现每个术语都以开头\(a_{1}\)

    此图显示了序列的图像。
    图 12.2.2

    第一个术语加\(0d\)\(a_{1}\),第二个术语加了\(1d\),第三个术语加了\(2d\),第四个术语加了\(3d\),第五个术语加\(4d\)了。 相加\(ds\)的数字比术语的数目少一。\(a_{1}\) 这使我们得出以下几点

    \(a_{n}=a_{1}+(n-1) d\)

    定义\(\PageIndex{2}\)

    具有第一项的算术序列的通用项\(a_{1}\)和常见区别\(d\)

    \(a_{n}=a_{1}+(n-1) d\)

    我们将在下一个示例中使用此公式来查找序列的 15 项。

    示例\(\PageIndex{3}\)

    找出序列的第十五项,其中第一个项是\(3\),共同的区别是\(6\)

    解决方案

    \(\begin{array}{cc}{\text{To find the fifteenth term, }a_{15}\text{, use the formula with } a_{1}=3 \:\text{and} \:d=6.}&{a_{n}=a_{1}+(n-1) d} \\ {\text{Substitute in the values.}}&{a_{15}=3+(15-1) 6} \\{\text{Simplify.}}& {a_{15}=3+(14) 6} \\ {}&{a_{15}=87}\end{array}\)

    练习\(\PageIndex{5}\)

    找出序列的第二十七项,其中第一个项是\(7\),共同差异是\(9\)

    回答

    \(241\)

    练习\(\PageIndex{6}\)

    找出序列的第十八项,其中第一个项是\(13\),共同差异是\(−7\)

    回答

    \(-106\)

    有时我们不知道第一个术语,在找到所请求的术语之前,我们必须使用其他给定的信息来找到它。

    示例\(\PageIndex{4}\)

    找出序列的第十二项,其中第七项是\(10\),共同差异是\(−2\)。 给出通用术语的公式。

    解决方案

    要首先找到第一个项,\(a_{1}\)请使用带有\(a_{7}=10\)\(n=7\)、和的公式\(d=−2\)。 在值中替换。 简化。

    \(a_{n}=a_{1}+(n-1) d\)
    \(10=a_{1}+(7-1)(-2)\)
    \(10=a_{1}+(6)(-2)\)
    \(10=a_{1}-12\)
    \(a_{1}=22\)

    使用带有\(a_{12}\)\(a_{1}=22\)、和的公式找到第十二\(n=12\)个项\(d=-2\)。 在值中替换。 简化。

    \(a_{n}=a_{1}+(n-1) d\)
    \(a_{12}=22+(12-1)(-2)\)
    \(a_{12}=22+(11)(-2)\)
    \(a_{12}=0\)

    序列的第十二项是\(0, a_{12}=0\)

    要找到通用术语,请将这些值替换到公式中。

    \(a_{n}=a_{1}+(n-1) d\)
    \(a_{n}=22+(n-1)(-2)\)
    \(a_{n}=22-2 n+2\)


    通用术语是\(a_{n}=-2 n+24\)

    练习\(\PageIndex{7}\)

    找出序列的第十一个项,其中第九项是\(8\),共同的区别是\(−3\)。 给出通用术语的公式。

    回答

    \(a_{11}=2 .\)一般术语是\(a_{n}=-3 n+35\)

    练习\(\PageIndex{8}\)

    找出序列的第十九项,其中第五项是\(1\),共同差异为\(−4\)。给出通用项的公式。

    回答

    \(a_{19}=-55 .\)一般术语是\(a_{n}=-4 n+21\)

    有时,给出的信息会使我们得出两个未知数中的两个方程。 然后,我们使用求解方程组的方法来找到所需的值。

    示例\(\PageIndex{5}\)

    找出序列的第一个项和共同差异,其中第五项是\(19\),第十一个项是\(37\)。 给出通用术语的公式。

    解决方案

    既然我们知道两个项,我们可以使用通用项的公式来创建方程组。

      。
    我们知道\(a_{5}\)和的值\(a_{11}\),因此我们将使用\(n=5\)\(n=11\) 。

    在值中替换,\(a_{5}=19\)\(a_{11}=37\)
    。
    简化。 。
    准备通过将顶部方程乘以来消除该项\(−1\)\(a_{1}\)
    添加方程。
    。
    用第一个方程替换\(d=3\)回去。 。
    求解\(a_{1}\) 。
    使用带有 and 的\(a_{1}=7\)公式\(d=3\) 。
    在值中替换。 。
    简化。 。
      第一个学期是\(a_{1}=7\)
    共同的区别是\(d=3\)
      该序列的通用术语是\(a_{n}=3n+4\)
    表 12.2.1

    答案

    该序列的通用术语是\(a_{n}=3n+4\)

    练习\(\PageIndex{9}\)

    找出序列的第一个项和常见差异,其中第四项是\(17\),第十三项是\(53\)。 给出通用术语的公式。

    回答

    \(a_{1}=5, d=4 .\)一般术语是\(a_{n}=4 n+1\)

    练习\(\PageIndex{10}\)

    找出第三项和第十二项为的序列的第一个项\(2\)和共同差异\(−25\)。 给出通用术语的公式。

    回答

    \(a_{1}=8, d=-3 .\)一般术语是\(a_{n}=-3 n+11\)

    求算术序列首\(n\)项之和

    与一般序列一样,求出算术序列的总和通常很有用。 任何算术序列的第一\(n\)项的总和写为\(S_{n} =a_{1} +a_{2} +a_{3} +\ldots +a_{n}\)\(S_{n}\) 仅通过将所有术语相加就能找到总和可能很乏味。 因此,我们还可以开发一个公式,使用序列的第一个和最后一个项来求出序列的总和。

    我们可以开发出这个新公式,方法是先用第一个项写出总和\(a_{1}\),然后继续加上 a\(d\) 得出下一个项为:

    \(S_{n}=a_{1}+\left(a_{1}+d\right)+\left(a_{1}+2 d\right)+\ldots+a_{n}\)

    我们也可以反转项的顺序,用以开头写出总和,\(a_{n}\)然后\(d\)继续减去,得出下一个项为

    \(S_{n}=a_{n}+\left(a_{n}-d\right)+\left(a_{n}-2 d\right)+\ldots+a_{1}\)

    如果我们将这两个表达式相加得出算术序列中前\(n\)项的总和,则可以得出任何算术序列的第一\(n\)项之和的公式。

    \(\begin{aligned} &S_{n}= a_{1} \quad+\left(a_{1}+d\right)+\left(a_{1}+2 d\right)+\ldots+a_{n} \\+&S_{n} =a_{n} \quad+\left(a_{n}-d\right)+\left(a_{n}-2 d\right)+\ldots+a_{1} \\ \hline \\ &2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{1}+a_{n})+(a_{1}+a_{n})+\dots+(a_{1}+a_{n}) \end{aligned}\)

    因为方程右侧有\(n\)总和,所以我们将右边的总和重写为\(n(a_{1}+a_{n})\)\((a_{1}+a_{n})\)

    \(2 S_{n}=n\left(a_{1}+a_{n}\right)\)

    我们除以二来求解\(S_{n}\)

    \(S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)\)

    这为我们提供了一个算术序列首\(n\)项之和的通用公式。

    定义\(\PageIndex{3}\)

    算术序列的第一\(n\)项之和为\(S_{n}\)

    \(S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)\)

    其中\(a_{1}\)是第一项,\(a_{n}\)\(n\)第 3 项。

    我们在下一个示例中应用这个公式,其中给出了序列的前几个项。

    示例\(\PageIndex{6}\)

    求算术序列首\(30\)项的总和:\(8, 13, 18, 23, 28, …\)

    解决方案

    为了找到总和,我们将使用公式\(S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)\)。 我们知道\(a_{1}=8, d=5\)\(n=30\),但是我们需要找到\(a_{n}\)才能使用总和公式。

    找出\(a_{n}\)位置\(a_{1}=8, d=5\)\(n=30\). 简化。

    \(\begin{aligned} a_{n} &=a_{1}+(n-1) d \\ a_{30} &=8+(30-1) 5 \\ a_{30} &=8+(29) 5 \\ a_{30} &=153 \end{aligned}\)

    知道\(a_{1}=8, n=30\)\(a_{30}=153\),然后使用总和公式。 在值中替换。 简化。 简化。

    \(\begin{aligned} S_{n} &=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right) \\ S_{30} &=\frac{30}{2}(8+153) \\ S_{30} &=15(161) \\ S_{30} &=2,415 \end{aligned}\)

    练习\(\PageIndex{11}\)

    求算术序列首\(30\)项的总和:\(5, 9, 13, 17, 21, …\)

    回答

    \(1,890\)

    练习\(\PageIndex{12}\)

    求算术序列首\(30\)项的总和:\(7, 10, 13, 16, 19, …\)

    回答

    \(1,515\)

    在下一个示例中,我们得到序列的通用项,并要求我们找出第一个\(50\)项的总和。

    示例\(\PageIndex{7}\)

    求通用项为的算术序列中前\(50\)项的总和\(a_{n}=3n−4\)

    解决方案

    为了找到总和,我们将使用公式\(S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)\)。 我们知道\(n=50\),但是我们需要找到\(a_{1}\)\(a_{n}\)才能使用总和公式。

      。
    通过替换查找\(a_{1}\)\(n=1\) 。
    \(a_{n}\)通过替换查找\(n=50\) 。
    简化。 。
    了解\(n=50, a_{1}=−1,\)\(a_{50}=146\)使用总和公式。 。
    在值中替换。 。
    简化。 。
    简化。 。
    表 12.2.2
    练习\(\PageIndex{13}\)

    求通用项为的算术序列中前\(50\)项的总和\(a_{n}=2n−5\)

    回答

    \(2,300\)

    练习\(\PageIndex{14}\)

    求通用项为的算术序列中前\(50\)项的总和\(a_{n}=4n+3\)

    回答

    \(5,250\)

    在下一个示例中,我们以求和表示法给出了总和。 添加所有术语会很乏味,因此我们提取所需的信息,以使用公式求出第一个\(n\)项的总和。

    示例\(\PageIndex{8}\)

    找到总和:\(\sum_{i=1}^{25}(4 i+7)\).

    解决方案

    为了找到总和,我们将使用公式\(S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)\)。 我们知道\(n=25\),但是我们需要找到\(a_{1}\)\(a_{n}\)才能使用总和公式。

    扩展求和表示法。
    。
    图 12.2.21
    简化。
    。
    图 12.2.22
    识别\(a_{1}\) 。
    识别\(a_{25}\)
    。
    图 12.2.24
    知道\(n=25, a_{1}=11\)\(a_{25} = 107\)使用总和公式。 。
    在值中替换。 。
    简化。 。
    简化。 。
    表 12.2.3
    练习\(\PageIndex{15}\)

    找到总和:\(\sum_{i=1}^{30}(6 i-4)\).

    回答

    \(2,670\)

    练习\(\PageIndex{16}\)

    找到总和:\(\sum_{i=1}^{35}(5 i-3)\).

    回答

    \(3,045\)

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    关键概念

    • 算术序列
      的通用项(\(n\)第 1 项)
      具有第一项\(a_{1}\)和共同差异的算术序列的总\(d\)项是

      \(a_{n}=a_{1}+(n-1) d\)

    • 算@@ \(n\)术序列第一项的总和算术序列
      的前\\(n\) 项的总和,其中\(a_{1}\)是第一项,\(a_{n}\)\(n\)第 th 项\(S_{n}\)

      \(S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)\)

    词汇表

    算术序列
    算术序列是连续项之间差异恒定的序列。
    共同的区别
    对于\(n\)大于或等于两个\(a_{n}−a_{n−1}\),算术序列中连续项之间的差异是\(d\)常见的区别。