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12.2E：练习

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    练习成就完美

    练习\(\PageIndex{25}\) Write the First Few Terms of a Sequence

    在以下练习中，写出给出通用项的序列的前五个项。

    1. \(a_{n}=2 n-7\)
    2. \(a_{n}=5 n-1\)
    3. \(a_{n}=3 n+1\)
    4. \(a_{n}=4 n+2\)
    5. \(a_{n}=2^{n}+3\)
    6. \(a_{n}=3^{n}-1\)
    7. \(a_{n}=3^{n}-2 n\)
    8. \(a_{n}=2^{n}-3 n\)
    9. \(a_{n}=\frac{2^{n}}{n^{2}}\)
    10. \(a_{n}=\frac{3^{n}}{n^{3}}\)
    11. \(a_{n}=\frac{4 n-2}{2^{n}}\)
    12. \(a_{n}=\frac{3 n+3}{3^{n}}\)
    13. \(a_{n}=(-1)^{n} \cdot 2 n\)
    14. \(a_{n}=(-1)^{n} \cdot 3 n\)
    15. \(a_{n}=(-1)^{n+1} n^{2}\)
    16. \(a_{n}=(-1)^{n+1} n^{4}\)
    17. \(a_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}}\)
    18. \(a_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{2 n}\)
    回答

    1。 \(-5,-3,-1,1,3\)

    3。 \(4,7,10,13,16\)

    5。 \(5,7,11,19,35\)

    7。 \(1,5,21,73,233\)

    9。 \(2,1, \frac{8}{9}, 1, \frac{32}{25}\)

    11。 \(1, \frac{3}{2}, \frac{5}{4}, \frac{7}{8}, \frac{9}{16}\)

    13。 \(-2,4,-6,8,-10\)

    15。 \(1,-4,9,-16,25\)

    17。 \(1,-\frac{1}{4}, \frac{1}{9},-\frac{1}{16}, \frac{1}{25}\)

    练习\(\PageIndex{26}\) Find a Formula for the General Term (\(n\)th Term) of a Sequence

    在以下练习中，为显示前五个项的序列找到一个通用项。

    1. \(8,16,24,32,40, \dots\)
    2. \(7,14,21,28,35, \ldots\)
    3. \(6,7,8,9,10, \dots\)
    4. \(-3,-2,-1,0,1, \dots\)
    5. \(e^{3}, e^{4}, e^{5}, e^{6}, e^{7}, \ldots\)
    6. \(\frac{1}{e^{2}}, \frac{1}{e}, 1, e, e^{2}, \ldots\)
    7. \(-5,10,-15,20,-25, \dots\)
    8. \(-6,11,-16,21,-26, \dots\)
    9. \(-1,8,-27,64,-125, \dots\)
    10. \(2,-5,10,-17,26, \dots\)
    11. \(-2,4,-6,8,-10, \dots\)
    12. \(1,-3,5,-7,9, \dots\)
    13. \(\frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \frac{1}{64}, \frac{1}{256}, \frac{1}{1,024}, \dots\)
    14. \(\frac{1}{1}, \frac{1}{8}, \frac{1}{27}, \frac{1}{64}, \frac{1}{125}, \dots\)
    15. \(-\frac{1}{2},-\frac{2}{3},-\frac{3}{4},-\frac{4}{5},-\frac{5}{6}, \dots\)
    16. \(-2,-\frac{3}{2},-\frac{4}{3},-\frac{5}{4},-\frac{6}{5}, \dots\)
    17. \(-\frac{5}{2},-\frac{5}{4},-\frac{5}{8},-\frac{5}{16},-\frac{5}{32}, \dots\)
    18. \(4, \frac{1}{2}, \frac{4}{27}, \frac{4}{64}, \frac{4}{125}, \dots\)
    回答

    1。 \(a_{n}=8 n\)

    3。 \(a_{n}=n+5\)

    5。 \(a_{n}=e^{n+2}\)

    7。 \(a_{n}=(-1)^{n} 5 n\)

    9。 \(a_{n}=(-1)^{n} n^{3}\)

    11。 \(a_{n}=(-1)^{n} 2 n\)

    13。 \(a_{n}=\frac{1}{4^{n}}\)

    15。 \(a_{n}=-\frac{n}{n+1}\)

    17。 \(-\frac{5}{2^{n}}\)

    练习\(\PageIndex{27}\) Use Factorial Notation

    在以下练习中，使用阶乘表示法，写出给出通用项的序列的前五个项。

    1. \(a_{n}=\frac{4}{n !}\)
    2. \(a_{n}=\frac{5}{n !}\)
    3. \(a_{n}=3 n !\)
    4. \(a_{n}=2 n !\)
    5. \(a_{n}=(2 n) !\)
    6. \(a_{n}=(3 n) !\)
    7. \(a_{n}=\frac{(n-1) !}{(n) !}\)
    8. \(a_{n}=\frac{n !}{(n+1) !}\)
    9. \(a_{n}=\frac{n !}{n^{2}}\)
    10. \(a_{n}=\frac{n^{2}}{n !}\)
    11. \(a_{n}=\frac{(n+1) !}{n^{2}}\)
    12. \(a_{n}=\frac{(n+1) !}{2 n}\)
    回答

    1。 \(4,2, \frac{2}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{30}\)

    3。 \(3,6,18,72,360\)

    5。 \(2,24,720,40320,3628800\)

    7。 \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}\)

    9。 \(1, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{2}, \frac{24}{5}\)

    11。 \(2, \frac{3}{2}, \frac{8}{3}, \frac{15}{2}, \frac{144}{5}\)

    练习\(\PageIndex{28}\) Find the Partial Sum

    在以下练习中，展开部分总和并找到其值。

    1. \(\sum_{i=1}^{5} i^{2}\)
    2. \(\sum_{i=1}^{5} i^{3}\)
    3. \(\sum_{i=1}^{6}(2 i+3)\)
    4. \(\sum_{i=1}^{6}(3 i-2)\)
    5. \(\sum_{i=1}^{4} 2^{i}\)
    6. \(\sum_{i=1}^{4} 3^{i}\)
    7. \(\sum_{k=0}^{3} \frac{4}{k !}\)
    8. \(\sum_{k=0}^{4}-\frac{1}{k !}\)
    9. \(\sum_{k=1}^{5} k(k+1)\)
    10. \(\sum_{k=1}^{5} k(2 k-3)\)
    11. \(\sum_{n=1}^{5} \frac{n}{n+1}\)
    12. \(\sum_{n=1}^{4} \frac{n}{n+2}\)
    回答

    1。 \(1+4+9+16+25=55\)

    3。 \(5+7+9+11+13+15=60\)

    5。 \(2+4+8+16=30\)

    7。 \(\frac{4}{1}+\frac{4}{1}+\frac{4}{2}+\frac{4}{6}+\frac{32}{3}=10 \frac{2}{3}\)

    9。 \(2+6+12+20+30=70\)

    11。 \(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6}=\frac{71}{20}\)

    练习\(\PageIndex{29}\) Use Summation Notation to Write a Sum

    在以下练习中，使用求和表示法写出每个总和。

    1. \(\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}\)
    2. \(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}\)
    3. \(1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+\frac{1}{64}+\frac{1}{125}\)
    4. \(\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+\frac{1}{125}+\frac{1}{625}\)
    5. \(2+1+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+\frac{2}{5}\)
    6. \(3+\frac{3}{2}+1+\frac{3}{4}+\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\)
    7. \(3-6+9-12+15\)
    8. \(-5+10-15+20-25\)
    9. \(-2+4-6+8-10+\ldots+20\)
    10. \(1-3+5-7+9+\ldots+21\)
    11. \(14+16+18+20+22+24+26\)
    12. \(9+11+13+15+17+19+21\)
    回答

    1。 \(\sum_{n=1}^{5} \frac{1}{3^{n}}\)

    3。 \(\sum_{n=1}^{5} \frac{1}{n^{3}}\)

    5。 \(\sum_{n=1}^{5} \frac{2}{n}\)

    7。 \(\sum_{n=1}^{5}(-1)^{n+1} 3 n\)

    9。 \(\sum_{n=1}^{10}(-1)^{n} 2 n\)

    11。 \(\sum_{n=1}^{7}(2 n+12)\)

    练习\(\PageIndex{30}\) Writing Exercises
    1. 用你自己的话说，当你知道公式后，解释如何写出序列的术语。 举一个例子来说明你的解释。
    2. 当序列的项为时，序列中哪些\(n^{th}\)项为负数\(a_{n}=(-1)^{n}(n+2)\)？
    3. 用你自己的话说，解释一下是什么意思\(n!\)显示一些例子来说明你的解释。
    4. 解释符号的每个部分的\(\sum_{k=1}^{12} 2 k\)含义。
    回答

    1。 答案会有所不同。

    3。 答案会有所不同。

    自检

    a. 完成练习后，使用此清单评估您对本节目标的掌握程度。

    此图显示了一个包含四列六行的表。 第一行是标题行，将每列标记为 “我可以”、“自信”、“有帮助” 和 “不，我不明白！”。 第二列的第一行是 “写出序列的前几个项”，第三行，第一列读作 “为序列的第 n 项查找公式”，第四行第一列为 “使用阶乘表示法，第五行，第一列读取，找到部分和”，最后一行，第一列列显示为 “使用求和表示法写出总和”。 剩下的三列和行是空白的。
    图 12.1.24

    b. 如果您的大部分支票是：

    ... 自信地。 恭喜！ 您已经实现了本节中的目标。 反思一下你使用的学习技能，这样你就可以继续使用它们。 为了确信自己有能力做这些事情，你做了什么？ 具体一点。

    ... 在一些帮助下。 必须迅速解决这个问题，因为你不掌握的话题会成为你通往成功之路的坑洼。 在数学中，每个主题都建立在以前的工作基础上。 在继续前进之前，请务必确保自己有坚实的基础。 你能向谁寻求帮助？ 你的同学和老师都是很好的资源。 校园里有没有可以提供数学导师的地方？ 你的学习技能可以提高吗？

    ... 不-我不明白！ 这是一个警告信号，你一定不能忽视它。 你应该立即得到帮助，否则你很快就会不知所措。 尽快与您的教师见面，讨论您的情况。 你可以一起制定一个计划，为你提供所需的帮助。