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12.2: 序列

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    203855
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    学习目标

    在本节结束时,您将能够:

    • 写出序列的前几个项
    • 找到序列的通用项(第 n 项)的公式
    • 使用阶乘表示法
    • 找出部分总和
    • 使用求和表示法写出总和

    在开始之前,请参加这个准备测验。

    1. 计算\(2n+3\)整数\(1, 2, 3\),然后\(4\)
      如果您错过了此问题,请查看示例 1.6。
    2. 计算\((−1)^{n}\)整数\(1, 2, 3\),然后\(4\)
      如果你错过了这个问题,请查看示例 1.19。
    3. 如果\(f(n)=n^{2}+2\),找到\(f(1)+f(2)+f(3)\)
      如果你错过了这个问题,请查看示例 3.49。

    写出序列的前几个项

    让我们来看看这个函数,\(f(x)=2x\)并仅根据计数数字对其进行评估。

    \(f(x)=2x\)  
    \(x\) \(2x\)
    \(1\) \(2\)
    \(2\) \(4\)
    \(3\) \(6\)
    \(4\) \(8\)
    \(5\) \(10\)
    \(...\) \(...\)
    表 12.1.1

    如果我们按顺序列出函数值,然后\(2, 4, 6, 8\)\(10\),... 我们就有一个序列了。 序列是一个函数,其域是计数数字。

    定义\(\PageIndex{1}\)

    序列是一个函数,其域是计数数字。

    序列也可以看作是有序的数字列表,列表中的每个数字都是一个术语。 一个序列可以有无限数量的项或有限数量的项。 我们的序列末尾有三个点(省略号),表示列表永无止境。 如果域是所有计数数字的集合,则该序列是无限序列。 它的域都是计数数字,并且有无限数量的计数数字。

    \(2,4,6,8,10, \dots\)

    如果我们将域限制为有限数量的计数数,则该序列是有限序列。 如果我们只使用前四个计数数字,\(1, 2, 3, 4\)我们的序列就是有限序列,

    \(2,4,6,8\)

    通常,在处理序列时,我们不想写出所有术语。 我们希望以更紧凑的方式来显示每个术语是如何定义的。 当我们使用函数时,我们写了\(f(x)=2x\),我们说表达式\(2x\)是定义范围内值的规则。 虽然序列是一个函数,但我们不使用通常的函数表示法。 与其将函数写成\(f(x)=2x\),不如将其写成\(a_{n}=2n\)\(a_{n}\)是序列的\(n\)第 th 项,位于\(n\) th 位置的项,其中,\(n\)是域中的一个值。 写出序列\(n\)第 th 项的公式称为序列的通用项或公式。

    定义\(\PageIndex{2}\)

    序列的通用项是从写入序列\(n\)第 th 项的公式中找到的。 序列的\(n\)第 th 项是位于\(n\)第 t 个位置的项,其中\(n\)是域中的一个值。\(a_{n}\)

    当我们得到序列的通用项时,我们可以通过按顺序\(n\)替换为计数数字来找到这些项。 对于\(a_{n}=2 n\)

    \(n\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\)
    \(a_{n}\) 2\(\cdot 1\) 2\(\cdot 2\) 2\(\cdot 3\) 2\(\cdot 4\) 2\(\cdot 5\) 2\(\cdot 6\)
      \(2\) \(4\) \(6\) \(8\) \(10\)  
    表 12.1.2

    \(a_{1}, \quad a_{2}, \quad a_{3}, \quad a_{4}, \quad a_{5}, \ldots, \quad a_{n}, \dots\)

    \(2, \quad 4, \quad 6, \quad 8, \quad10, \dots\)

    为了找到序列的值,我们在计数数字中按顺序替换为该序列的通用项。

    示例\(\PageIndex{1}\)

    写下总术语为的序列的前五个项\(a_{n}=4 n-3\)

    解决方案

    我们按顺序将值\(1, 2, 3, 4\)替换\(5\)到公式\(a_{n}=4n−3\)中。

    此图显示了三行五列。 第一行读取第 n 项等于 4 倍 n 减去 3 写入五次。 第二行读取 sub 1 等于 4 倍 g 乘以 1 减去 3,sub 2 等于 4 倍 g 乘以 2 减 3,sub 3 等于 4 倍 g 乘以 3 减 3,sub 4 等于 4 倍 g 乘以 4 减 3,sub 5 等于 4 倍 g 乘以 5 减 3。 第三行读取,子 1 等于 1,子 2 等于 5,子 3 等于 9,子 4 等于 13,子 5 等于 17。
    图 12.1.1

    答案

    序列的前五个项是\(1, 5, 9, 13\)、和\(17\)

    练习\(\PageIndex{1}\)

    写下总术语为的序列的前五个项\(a_{n}=3n-4\)

    回答

    \(-1,2,5,8,11\)

    练习\(\PageIndex{2}\)

    写下总术语为的序列的前五个项\(a_{n}=2n-5\)

    回答

    \(-3,-1,1,3,5\)

    对于某些序列,变量是指数。

    示例\(\PageIndex{2}\)

    写下总术语为的序列的前五个项\(a_{n}=2^{n}+1\)

    解决方案

    我们按顺序将值\(1, 2, 3, 4\)替换\(5\)到公式\(a_{n}=2^{n}+1\)中。

    此图显示了三行五列。 第一行写了五遍 “第 n 项等于 2 到 n 次方加 1”。 第二行是:“a sub 1 等于 2 倍 1 加 1,sub 2 等于 2 加 1 的次方,sub 3 等于 2 乘以 3 加 1,sub 4 等于 2 比 4 加 1 的次方,sub 5 等于 2 的次方 5 加 1”。 最后一行显示为 “a sub 1 等于 3,sub 2 等于 5,子 3 等于 9,子 4 等于 17,sub 5 等于 33”。
    图 12.1.2

    答案

    序列的前五个项是\(3, 5, 9, 17\)、和\(33\)

    练习\(\PageIndex{3}\)

    写下总术语为的序列的前五个项\(a_{n}=3^{n}+4\)

    回答

    \(7,13,31,85,247\)

    练习\(\PageIndex{4}\)

    写下总术语为的序列的前五个项\(a_{n}=2^{n}-5\)

    回答

    \(-3,-1,3,11,27\)

    看到序列的表达式\((−1)^{n}\)\((−1)^{n+1}\)通用术语的情况并不少见。 如果我们为每个表达式求值几个值,则会发现该表达式与术语的符号交替出现。

    \(n\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)
    \ (n\)” >\((-1)^{n}\) \ (1\)” >\((-1)^{1}\)
    \(-1\)
    \ (2\)” >\((-1)^{2}\)
    1
    \ (3\)” >\((-1)^{3}\)
    \(-1\)
    \ (4\)” >\((-1)^{4}\)
    \(1\)
    \ (5\)” >\((-1)^{5}\)
    \(-1\)
    \ (n\)” >\((-1)^{n+1}\) \ (1\)” >\((-1)^{1+1}\)
    1
    \ (2\)” >\((-1)^{2+1}\)
    \(-1\)
    \ (3\)” >\((-1)^{3+1}\)
    1
    \ (4\)” >\((-1)^{4+1}\)
    \(-1\)
    \ (5\)” >\((-1)^{5+1}\)
    1
    表 12.1.3

    \(a_{1}, \quad a_{2}, \quad a_{3}, \quad a_{4}, \quad a_{5}, \dots, \quad a_{n}, \dots\)

    \(\begin{array}{rrrr}{-1,} & {1,} & {-1,} & {1,} & {-1 \ldots} \\ {1,} & {-1,} & {1,} & {-1,} & {1 \ldots}\end{array}\)

    示例\(\PageIndex{3}\)

    写下总术语为的序列的前五个项\(a_{n}=(-1)^{n} n^{3}\)

    解决方案

    我们按顺序将值\(1, 2, 3, 4\)替换\(5\)到公式\(a_{n}=(-1)^{n} n^{3}\)中。

    此图显示了三行五列。 第一行显示写了五次的 “第 n 项等于负 1 到 n 次方次乘以 n cubed”。 第二行读取 sub 1 等于负 1 乘以 g 乘以 1 的次方,a sub 2 等于负 1 平方时间 g 乘以 2 立方体,a sub 3 等于负 1 立方乘以 g 乘以 23 立方体,sub 4 等于负 1 乘以 4 乘以 4 cubed,a sub 5 等于负 1乘以 g 乘以 5 立方体。 最后一行是:“a sub 1 等于负 1,子 2 等于 8,子 3 等于负 27,sub 4 等于 64,sub 5 等于负 125。
    图 12.1.3

    答案

    序列的前五个项是\(−1, 8, −27, 64, −1, 8, −27, 64\)、和\(−125\)

    练习\(\PageIndex{5}\)

    写下总术语为的序列的前五个项\(a_{n}=(-1)^{n} n^{2}\)

    回答

    \(-1,4,-9,16,-25\)

    练习\(\PageIndex{6}\)

    写下总术语为的序列的前五个项\(a_{n}=(-1)^{n+1} n^{3}\)

    回答

    \(1,-8,27,-64,125\)

    为序列的通用项(\(n\)第 1 项)找出公式

    有时候我们有几个序列项,知道通用术语或\(n\)第 th 个术语会很有帮助。 为了找到通用术语,我们在术语中寻找模式。 这些模式通常涉及倍数或乘方。 我们还在术语符号中寻找一种模式。

    示例\(\PageIndex{4}\)

    为显示前五个项的序列找一个通用项。 \(4,8,12,16,20, \dots\)

    解决方案


      。
      。
    我们在术语中寻找一种模式。 。
    这些数字都是的倍数\(4\) 。
      该序列的通用术语是\(a_{n}=4n\)
    表 12.1.4

    答案

    该序列的通用术语是\(a_{n}=4n\)

    练习\(\PageIndex{7}\)

    为显示前五个项的序列找一个通用项。

    \(3,6,9,12,15, \dots\)

    回答

    \(a_{n}=3 n\)

    练习\(\PageIndex{8}\)

    为显示前五个项的序列找一个通用项。

    \(5,10,15,20,25, \dots\)

    回答

    \(a_{n}=5 n\)

    示例\(\PageIndex{5}\)

    为显示前五个项的序列找一个通用项。 \(2,-4,8,-16,32, \dots\)

    解决方案

     
    。
    图 12.1.8
     
    。
    图 12.1.9
    我们在术语中寻找一种模式。
    。
    图 12.1.10
    数字是的幂次方\(2\)。 信号交替出现,甚至是\(n\)负数。
    。
    图 12.1.11
      序列的通用术语是\(a_{n}=(-1)^{n+1} 2^{n}\)
    表 12.1.5

    答案

    该序列的通用术语是\(a_{n}=(-1)^{n+1}2^{n}\)

    练习\(\PageIndex{9}\)

    为显示前五个项的序列找一个通用项。

    \(-3,9,-27,81,-243, \dots\)

    回答

    \(a_{n}=(-1)^{n} 3^{n}\)

    练习\(\PageIndex{10}\)

    为显示前五个项的序列找一个通用项

    \(1,-4,9,-16,25, \dots\)

    回答

    \(a_{n}=(-1)^{n+1} n^{2}\)

    示例\(\PageIndex{6}\)

    为显示前五个项的序列找一个通用项。 \(\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \frac{1}{81}, \frac{1}{243}, \dots\)

    解决方案

     
    。
    图 12.1.12
     
    。
    图 12.1.13
    我们在术语中寻找一种模式。
    。
    图 12.1.14
    分子都是\(1\)
    。
    图 12.1.15
    分母是的幂次方\(3\) 该序列的通用术语是\(a_{n}=\frac{1}{3^{n}}\)
    表 12.1.6

    答案

    该序列的通用术语是\(a_{n}=\frac{1}{3^{n}}\)

    练习\(\PageIndex{11}\)

    为显示前五个项的序列找一个通用项。

    \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \dots\)

    回答

    \(a_{n}=\frac{1}{2^{n}}\)

    练习\(\PageIndex{12}\)

    为显示前五个项的序列找一个通用项。

    \(\frac{1}{1}, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \frac{1}{25}, \dots\)

    回答

    \(a_{n}=\frac{1}{n^{2}}\)

    使用阶乘表示法

    序列的项通常是连续整数的乘积。 我们用一种称为阶乘表示法的特殊符号来表示这些产品。 例如\(5!\),读取\(5\)阶乘,均值\(5⋅4⋅3⋅2⋅1\)。 这里的感叹号不是标点符号;它表示阶乘记法

    定义\(\PageIndex{3}\)

    如果\(n\)是正整数,则\(n!\)

    \(n !=n(n-1)(n-2) \dots\)

    我们定义\(0!\)\(1\),所以\(0!=1\)

    显示\(n!\)了第一个\(5\)正整数的值。

    \(\begin{array}{ccccc}{1 !} & {2 !} & {3 !} & {4 !} & {5 !} \\ {1} & \quad{2 \cdot 1} & \quad {3 \cdot 2 \cdot 1} & \quad{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} & \quad {5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\ {1} & {2} & {6} & {24} & {120}\end{array}\)

    示例\(\PageIndex{7}\)

    写下总术语为的序列的前五个项\(a_{n}=\frac{1}{n !}\)

    解决方案

    我们按顺序将这些值替换\(1, 2, 3, 4, 5\)到公式\(a_{n}=\frac{1}{n !}\)中。

    此图显示了四行五列。 第一行写了 “第 n 项等于 1 除以 n 阶乘” 写了五遍。 第二行显示 “a sub 1 等于 1 除以 1 阶乘,子 2 等于 1 除以 2 阶乘,子 3 等于 1 除以 3 阶乘,子 4 等于 1 除以 4 阶乘,子 5 等于 1 除以 5 阶乘”。 第三行显示为 “a sub 1 等于 1 除以 1”,“a sub 2 等于 1 除以 2 倍 g 乘以 1 乘以 3 倍 g 乘以 2 g 乘以 1”,“a sub 4 等于 1 除以 4 倍 g 乘以 2 倍 g 乘以 2 倍 g 乘 2 倍”,“a sub 5 等于 1 除以 5 g 乘以 g 乘以 3 倍 g 乘以 2 倍g 乘以 1”、“a sub 1 等于 1,sub 2 等于一半”、“a sub 3 等于六分之一”、“a sub 4 等于 1 除以 24”、“a sub 5 等于 1 除以 120”。
    图 12.1.16

    答案

    序列的前五个项是\(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{24}, \frac{1}{120}\)

    练习\(\PageIndex{13}\)

    写下总术语为的序列的前五个项\(a_{n}=\frac{2}{n !}\)

    回答

    \(2,1, \frac{1}{3}, \frac{1}{12}, \frac{1}{60}\)

    练习\(\PageIndex{14}\)

    写下总术语为的序列的前五个项\(a_{n}=\frac{3}{n !}\)

    回答

    \(3, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{8}, \frac{1}{40}\)

    当分子和分母中有阶乘的分数时,我们会将因子垂直排列以简化计算。

    示例\(\PageIndex{8}\)

    写下总术语为的序列的前五个项\(a_{n}=\frac{(n+1) !}{(n-1) !}\)

    解决方案

    我们按顺序将这些值替换\(1, 2, 3, 4, 5\)到公式\(a_{n}=\frac{(n+1) !}{(n-1) !}\)中。

    此图显示了五列和五行。 第一行显示了写入五次的序列 “第 n 项等于 n 加 1 乘以阶乘除以 n 减去 1 倍阶乘”。 第二行是 “a sub 1 等于 1 加 1 乘以 1 乘以 1 乘以 1 乘以 1 乘以 1 乘以 2 减去 1 倍阶乘”、“a sub 3 等于 3 加 1 乘以阶乘”、“a sub 4 等于 4 加 1 乘以阶乘”、“a sub 4 等于 4 加 1 倍阶乘除以 4减去 1 倍阶乘”,“a sub 5 等于 5 加 1 乘以阶乘除以 5 减去 1 倍阶乘”。 第三行显示 “a sub 1 等于 2 倍阶乘除以 0 倍阶乘”、“a sub 2 等于 3 倍阶乘除以 1 倍阶乘”、“a sub 3 等于 4 倍阶乘除以 2 倍阶乘”、“a sub 4 等于 5 倍阶乘”除以 3 倍阶乘”,“a sub 5 等于 6 乘以阶乘除以 4 倍阶乘”。 第四行是:“a sub 1 等于 2 倍 g time 1 除以 1”,“a sub 2 等于 3 倍 g 乘以 2 倍 g 乘以 1”,“a sub 3 等于 4 倍 g 乘以 3 倍 g 乘以 2 倍 g 乘以 1”,“a sub 4 等于 5 倍 g 乘以 g 乘以 2 倍 g 乘以 2 倍 g 乘以 1除以 3 g 乘以 2 倍 g 乘以 1”,然后 “a sub 5 等于 6 倍 g 乘以 5 倍 g 乘以 4 倍 g 乘以 g 乘以 2 倍 g 乘以 2 倍 g 乘以 2 倍 g 乘以 1”。 第五行显示为 “a sub 1 等于 2”、“a sub 2 等于 6”、“a sub 3 等于 12”、“a sub 4 等于 20”、“a sub 5 等于 30”。
    图 12.1.17

    答案

    序列的前五个项是\(2, 6, 12, 20\)、和\(30\)

    练习\(\PageIndex{15}\)

    写下序列的前五个项,其通用项为\(a_{n}=\frac{(n-1) !}{(n+1) !}\)

    回答

    \(\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \frac{1}{30}\)

    练习\(\PageIndex{16}\)

    写下总术语为的序列的前五个项\(a_{n}=\frac{n !}{(n+1) !}\)

    回答

    \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}\)

    找出部分总和

    有时,在应用程序中,添加序列的术语对我们来说很重要,而不仅仅是列出术语。 我们可以使用求和表示法,而不仅仅是将术语与加号连接起来。

    例如,\(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}\)可以写成\(\sum_{i=1}^{5} a_{i}\)。 我们将此读作 “\(a\)sub\(i\) 的总和\(i\)等于 1 到 5”。 符号\(∑\)表示相加,\(i\)是求和的索引。 \(1\)告诉我们从哪里开始(初始值),\(5\)告诉我们从哪里结束(终值)。

    定义\(\PageIndex{4}\)

    序列的第一\(n\)项之和用求和表示法写成,其\(n\)第 1\(a_{n}\) 项为:

    \(\sum_{i=1}^{n} a_{i}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+\ldots+a_{n}\)

    \(i\)这是求和的索引,\(1\)它告诉我们从哪里开始,\(n\)告诉我们从哪里结束。

    当我们将有限数量的项相加时,我们将总和称为部分和

    示例\(\PageIndex{9}\)

    展开部分总和并找到其值:\(\sum_{i=1}^{5} 2 i\)

    解决方案

      \(\sum_{i=1}^{5} 2 i\)
    我们按顺序替\(1, 2, 3, 4, 5\)换值。 \(2 \cdot 1+2 \cdot 2+2 \cdot 3+2 \cdot 4 + 2 \cdot 5\)
    简化。 \(2+4+6+8+10\)
    添加。 \(\begin{array} {c} 30\\ \sum_{i=1}^{5} 2 i=30 \end{array}\)
    表 12.1.7

    答案

    \(\begin{array} {c} 30\\ \sum_{i=1}^{5} 2 i=30 \end{array}\)
    练习\(\PageIndex{17}\)

    展开部分总和并找到其值:\(\sum_{i=1}^{5} 3 i\)

    回答

    \(45\)

    练习\(\PageIndex{18}\)

    展开部分总和并找到其值:\(\sum_{i=1}^{5} 4 i\)

    回答

    \(60\)

    索引不一定总是\(i\)我们可以使用任何字母\(i\),而是\(k\)常用的。 索引不必以任何一个开头\(1\),它可以以任何正整数开头和结尾。

    示例\(\PageIndex{10}\)

    展开部分总和并找到其值:\(\sum_{k=0}^{3} \frac{1}{k !}\)

    解决方案

    \(\begin{array}{c c} {}&{\sum_{k=0}^{3} \frac{1}{k !}} \\ {We\:substitute\:the\:values\:0,1,2,3\:in\:order.}&{\frac{1}{1}+\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}} \\ {Evaluate\:the\:factorials.}& {\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{6}} \\ {Simplify.}&{1+1+\frac{3}{6}+\frac{1}{6}} \\{Simplify.}& {\frac{16}{6}} \\ {Simplify.}&{\frac{8}{3}} \\{}& {\sum_{k=0}^{3} \frac{1}{k !}=\frac{8}{3}}\end{array}\)

    练习\(\PageIndex{19}\)

    展开部分总和并找到其值:\(\sum_{k=0}^{3} \frac{2}{k !}\)

    回答

    \(\frac{16}{3}\)

    练习\(\PageIndex{20}\)

    展开部分总和并找到其值:\(\sum_{k=0}^{3} \frac{3}{k !}\)

    回答

    \(8\)

    使用求和表示法写出总和

    在最后两个例子中,我们从求和表示法转变为写出总和。 现在我们将从求和开始,并将其更改为求和表示法。 这与查找序列的通用术语非常相似。 我们需要研究这些术语并找到一种模式。 这些模式通常涉及倍数或乘方。

    示例\(\PageIndex{11}\)

    使用求和表示法写出总和:\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\)

    解决方案

    \(\begin{array} {}&{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}} \\ {}&{n : 1,2,3,4,5} \\ {\text{We look for a pattern in the terms.}}&{\text { Terms: } 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}} \\ {\text{The numerators are all one.}}&{\text { Pattern: } \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots \frac{1}{n}} \\ {\text{The denominators are the counting numbers from one to five.}}&{\text{The sum written in summation notation}} \\ {}&{1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\sum^{5}_{n=1} \frac{1}{n}.} \end{array}\)

    练习\(\PageIndex{21}\)

    使用求和表示法写出总和:\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}\)

    回答

    \(\sum_{n=1}^{5} \frac{1}{2^{n}}\)

    练习\(\PageIndex{22}\)

    使用求和表示法写出总和:\(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}\)

    回答

    \(\sum_{n=1}^{5} \frac{1}{n^{2}}\)

    当总和的项具有负系数时,我们必须仔细分析符号的模式。

    示例\(\PageIndex{12}\)

    使用求和表示法写出总和:\(-1+8-27+64-125\)

    解决方案


     
    。
    图 12.1.18
     
    。
    图 12.1.19
    我们在术语中寻找一种模式。
    。
    图 12.1.20
    术语的符号交替出现
    ,奇数项为负数。
    。
    图 12.1.21
    数字是从一到五的
    计数数字的立方体。
    。
    图 12.1.22
     
    。
    图 12.1.23
      用求和表示法写的总和是
      \(-1+8-27+64-125=\sum_{n=1}^{5}(-1)^{n} \cdot n^{3}\)
    表 12.1.8
    练习\(\PageIndex{23}\)

    使用求和表示法写出每个总和:\(1-4+9-16+25\)

    回答

    \(\sum_{n=1}^{5}(-1)^{n+1} n^{2}\)

    练习\(\PageIndex{24}\)

    使用求和表示法写出每个总和:\(-2+4-6+8-10\)

    回答

    \(\sum_{n=1}^{5}(-1)^{n} 2 n\)

    访问此在线资源以获取更多指导和序列练习。

    https://openstax.org/l/37serseqfindpat

    关键概念

    • 阶乘表示法

    如果\(n\)是正整数,则\(n!\)

    \(n !=n(n-1)(n-2) \ldots(3)(2)(1)\)

    我们定义\(0!\)\(1\),所以\(0!=1\)

    • 求和表示法

    序列的第一\(n\)项之和,其\(n\)第 1 项用求和表示法书写\(a_{n}\)为:

    \(\sum_{i=1}^{n} a_{i}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+\ldots+a_{n}\)

    \(i\)这是求和的索引,\(1\)它告诉我们从哪里开始,\(n\)告诉我们从哪里结束。

    词汇表

    有限序列
    一种序列,其域限制为有限数量的计数数。
    序列的通用术语
    序列的通用术语是写出序列\(n\)第 th 项的公式。 序列的\(n\)第 th 项是位于\(n\)第 t 个位置的项,其中\(n\)是域中的一个值。\(a_{n}\)
    无限序列
    一种序列,其域全部是计数数字,并且有无限数量的计数数字。
    部分总和
    当我们将一个序列的有限数量的项相加时,我们将总和称为部分和。
    顺序
    序列是一个函数,其域是计数数字。