11.5: 双曲线
在本节结束时,您将能够:
- 绘制一个双曲线,中心位于(0,0)
- 绘制一个双曲线,中心位于(h,k)
- 通过圆锥截面的方程识别圆锥截面
在开始之前,请参加这个准备测验。
- 解决:x2=12。
如果您错过了此问题,请查看示例 9.1。 - 扩展:(x−4)2。
如果您错过了此问题,请查看示例 5.32。 - 图表y=−23x。
如果你错过了这个问题,请查看示例 3.4。
绘制一个双曲线图,中心位于(0,0)
我们要看的最后一个圆锥部分叫做双曲线。 我们将看到双曲线的方程看起来与椭圆方程相同,只是它是差值而不是总和。 虽然椭圆和双曲线的方程非常相似,但它们的图形却大不相同。
我们将双曲线定义为平面中的所有点,其中它们与两个固定点的距离之差不变。 每个定点都称为双曲线的焦点。
双曲线是平面中的所有点,其与两个固定点的距离之差不变。 每个定点都称为双曲线的焦点。
穿过焦点的直线称为横轴。 横轴与双曲线相交的两个点均为双曲线的顶点。 连接焦点的线段的中点称为双曲线的中心。 垂直于穿过中心的横轴的直线称为共轭轴。 图表的每一部分都被称为双曲线的一个分支。
同样,我们的目标是将圆锥的几何与代数连接起来。 将双曲线放在矩形坐标系上为我们提供了这样的机会。 在图中,我们放置了双曲线,使焦点((−c,0),(c,0))位于x-轴上,中心是原点。
该定义指出,从焦点到点的距离的差异(x,y)是恒定的。 因此|d1−d2|,我们称之2a为常数|d1−d2|=2a。 我们将使用距离公式来引导我们得出椭圆的代数公式。
|d1−d2|=2a
使用距离公式查找d1,d2
|√(x−(−c))2+(y−0)2−√(x−c)2+(y−0)2|=2a
消灭激进分子。 为了简化椭圆的方程,我们让c2−a2=b2。
x2a2+y2c2−a2=1
因此,标准形式中以原点为中心的双曲线方程为:
x2a2−y2b2=1
要绘制双曲线图,了解截获量会很有帮助。 我们将使用公式找到x-intercepts和y-intercepts。
x-拦截
让y=0。
x2a2−y2b2=1x2a2−02b2=1x2a2=1x2=a2x=±a
x-intercepts 是(a,0)和(−a,0)。
y-拦截
让x=0。
x2a2−y2b2=102a2−y2b2=1−y2b2=1y2=−b2y=±√−b2
没有y-intercepts。
方程中的\(a, b\)值还可以帮助我们找到双曲线的渐近线。 渐近线与图形分支接近的直线相交,但随着\(x, y\)值越来越大,它们永远不会相交。
为了找到渐近线,我们绘制了一个矩形,其边在顶点处与 x 轴相交(−a,0),(a,0),在y-axis 处相交(0,−b),(0,b)。 包含该矩形对角线的线条是双曲线的渐近线。 矩形和渐近线不是双曲线的一部分,但它们可以帮助我们绘制双曲线图。
渐近线穿过原点,我们可以使用我们绘制的矩形来评估它们的斜率。 它们有方程y=bax和y=−bax.
双曲线有两个方程,这取决于横轴是垂直还是水平。 我们可以通过查看方程来判断横轴是否是水平的。 当方程为标准形式时,如果x2-term 为正,则横轴为水平。 当方程为标准形式时,如果y2-term 为正,则横轴为垂直。
第二个方程可以像我们所做的那样得出。 我们将在这里总结结果。
方程的标准形式是带中心的双曲线(0,0)
中心(0,0)双曲线方程的标准形式是
x2a2−y2b2=1或者y2a2−x2b2=1
请注意,与椭圆方程不同,的分母x2并不总是如此a2,分母也不y2总是如此b2。
请注意,当x2-term 为正时,横轴位于x-axis 上。 当y2-term 为正值时,横轴位于y-axis 上。
方程的标准形式是带中心的双曲线(0,0)
x2a2−y2b2=1 | y2a2−x2b2=1 | |
---|---|---|
方向 | \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >x-axis 上的横轴。 左右打开 |
\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >y-axis 上的横轴。 向上和向下打开 |
顶点 | \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >(−a,0),(a,0) | \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >(0,−a),(0,a) |
x-拦截 | \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >(−a,0),(a,0) | \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >无 |
y-拦截 | \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >无 | \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >(0,−a),(0,a) |
矩形 | \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >使用(±a,0)(0,±b) | \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >使用(0,±a)(±b,0) |
渐近线 | \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >y=bax,y=−bax | \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >y=abx,y=−abx |
我们将使用这些属性来绘制双曲线图。
图表x225−y24=1。
解决方案:
第 1 步:以标准形式写出方程式。 | 方程为标准形式。 | x225−y24=1 |
步骤 2:确定横轴是水平还是垂直。 | 由于x2-term 为正,因此横轴是水平的。 | 横轴是水平的。 |
步骤 3:找到顶点。 | 从a2=25那以后a=±5。 顶点在x-axis 上。 | (−5,0),(5,0) |
第 4 步:绘制以原点交叉点为中心的矩形±a,一个轴位于另一个轴处±b。 |
因为a=±5,矩形将在顶点处与x-轴相交。 因为b=±2,矩形将在(0,−2)和处与y-轴相交(0,2)。 |
|
第 5 步:绘制渐近线——穿过矩形对角线的直线。 |
渐近线有方程y=52x,y=−52x。 | |
步骤 6:画出双曲线的两个分支。 | 从每个顶点开始,使用渐近线作为指导。 |
图表x216−y24=1。
- 回答
图表x29−y216=1。
- 回答
我们总结了这些步骤以供参考。
绘制以双曲线为中心的图形(0,0)
- 用标准形式写出方程式。
- 确定横轴是水平还是垂直。
- 找到顶点。
- 绘制以原点为中心的矩形,其中一个轴±a与另一个轴相交±b。
- 绘制渐近线——穿过矩形对角线的直线。
- 画出双曲线的两个分支。
有时候,在我们绘制双曲线图之前,需要先以标准形式放置双曲线的方程。
图表4y2−16x2=64。
解决方案:
4y2−16x2=64 | |
要以标准形式书写方程,请将每个项除64以使方程等于1。 | 4y264−16x264=6464 |
简化。 | y216−x24=1 |
由于y2-term 为正,因此横轴是垂直的。 从a2=16那以后a=±4。 | |
顶点在y-axis 上,(0,−a),(0,a)。 从b2=4那以后b=±2。 | (0,−4),(0,4) |
绘制与x-axis 相交的矩形,在(−2,0),(2,0)顶点处与y-axis 相交的矩形。 通过矩形的对角线绘制渐近线。 画出双曲线的两个分支。 |
图表4y2−25x2=100。
- 回答
图表25y2−9x2=225。
- 回答
绘制一个双曲线图,中心位于(h,k)
双曲线并不总是以原点为中心。 当双曲线居中时(h,k),方程会稍有变化,如表中所示。
方程的标准形式是带中心的双曲线(h,k)
(x−h)2a2−(y−k)2b2=1 | (y−k)2a2−(x−h)2b2=1 | |
---|---|---|
方向 | \ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) “>横轴是水平的。 左右打开 | \ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) “>横轴是垂直的。 向上和向下打开 |
中心 | \ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >(h,k) | \ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >(h,k) |
顶点 | \ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\)” > 中心左侧和右侧的a单位 | \ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2}} =1\)” > 中心上方和下方的a单位 |
矩形 | \ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) “>在中心上方/下方使用中心ab单位左/右的单位 | \ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >使用中心a单位上方/下方中心左侧/右侧的b单位 |
图表(x−1)29−(y−2)216=1
解决方案:
第 1 步:以标准形式写出方程式。 | 方程为标准形式。 | (x−1)29−(y−2)216=1 |
步骤 2:确定横轴是水平还是垂直。 | 由于x2-term 为正,因此双曲线左右打开。 | 横轴是水平的。 双曲线左右打开。 |
步骤 3: 找到中心然后a,b. | h=1和k=2 a2=9 b2=16 |
(x−hx−1)29−(y−ky−2)216=1 中心:(1,2) a=3 b=4 |
第 4 步:绘制以(h,k)使用为中心的矩形a,b。 |
标记中心,(1,2)。 绘制一个矩形,该矩形穿过中心左侧/右侧的点34单位以及中心上方和下方的单位。 |
|
第 5 步:绘制渐近线——穿过矩形对角线的直线。 标记顶点。 | 绘制对角线。 标记顶点,这些顶点位于中心左侧和右侧的矩形3单位上。 | |
步骤 6:画出双曲线的两个分支。 | 从每个顶点开始,使用渐近线作为指导。 |
图表(x−3)225−(y−1)29=1。
- 回答
图表(x−2)24−(y−2)29=1。
- 回答
我们总结了这些步骤以便于参考。
绘制以双曲线为中心的图形(h,k)
- 用标准形式写出方程式。
- 确定横轴是水平还是垂直。
- 找到中心然后a,b.
- 绘制以(h,k)使用为中心的矩形a,b。
- 绘制渐近线——穿过矩形对角线的直线。 标记顶点。
- 画出双曲线的两个分支。
识别中心时要小心。 标准方程y−k的中心为x−h和(h,k)。
图表(y+2)29−(x+1)24=1。
解决方案:
由于y2-term 为正,因此双曲线向上和向下打开。 | |
找到中心,(h,k)。 | 中心:(−1,−2) |
查找a,b。 | a=3b=2 |
绘制一个矩形,该矩形穿过中心上方和下方的点3 2单位以及中心左侧/右侧的单位。 绘制渐近线,即穿过矩形对角线的直线。 标记顶点。 绘制树枝的图表。 |
图表(y+3)216−(x+2)29=1。
- 回答
图表(y+2)29−(x+2)29=1。
- 回答
同样,有时候我们必须将方程式转换为标准形式作为第一步。
用标准形式和图表写下方程4x2−9y2−24x−36y−36=0。
解决方案:
要获得标准形态,请完成方块。 | |
将每个项除36以得出常数1。 | |
由于x2-term 为正,因此双曲线左右打开。 | |
找到中心,(h,k)。 | 中心:(3,−2) |
查找a,b。 |
a=3 b=4 |
绘制一个矩形,该矩形穿过中心左侧/右侧的点32单位以及中心上方和下方的单位。 绘制渐近线,即穿过矩形对角线的直线。 标记顶点。 绘制树枝的图表。 |
- 用标准形式写下方程式然后
- 图表9x2−16y2+18x+64y−199=0。
- 回答
-
- (x+1)216−(y−2)29=1
- 用标准形式写下方程式然后
- 图表16x2−25y2+96x−50y−281=0。
- 回答
-
- (x+3)225−(y+1)216=1
通过圆锥截面的方程识别圆锥截面
现在我们已经完成了对圆锥截面的研究,我们将研究不同的方程并找出一些通过其方程来识别圆锥的方法。 当我们得到一个方程来绘制图形时,识别圆锥会很有帮助,这样我们就知道接下来要采取什么步骤。
要从其方程中识别圆锥曲线,将变量项放在方程的一侧,将常量放在另一侧会更容易。
圆锥的 | x2-和y2-术语的特征 | 示例 |
---|---|---|
抛物线 | \ (x^ {2}\)-和y2-terms” >要x2么是 ORy2。 只有一个变量是平方的。 | x=3y2−2y+1 |
圈子 | \ (x^ {2}\)-和y2-terms” >x2y2-和-项的系数相同。 | x2+y2=49 |
椭圆 | \ (x^ {2}\)-和y2-terms” >x2y2-和-项具有相同的符号,不同的系数。 | 4x2+25y2=100 |
双曲线 | \ (x^ {2}\)-和y2-terms” >x2y2-和-项有不同的符号,不同的系数。 | 25y2−4x2=100 |
将每个方程的图形标识为圆形、抛物线、椭圆或双曲线。
- 9x2+4y2+56y+160=0
- 9x2−16y2+18x+64y−199=0
- x2+y2−6x−8y=0
- y=−2x2−4x−5
解决方案:
a.x2-和y2-项具有相同的符号和不同的系数。
9x2+4y2+56y+160=0
椭圆
b.x2-和y2-项有不同的符号和不同的系数。
9x2−16y2+18x+64y−199=0
双曲线
c.x2-和y2-项的系数相同。
x2+y2−6x−8y=0
圈
d. 只有一个变量是平方的。x
y=−2x2−4x−5
抛物线
将每个方程的图形标识为圆形、抛物线、椭圆或双曲线。
- x2+y2−8x−6y=0
- 4x2+25y2=100
- y=6x2+2x−1
- 16y2−9x2=144
- 回答
-
- 圈
- 椭圆
- 抛物线
- 双曲线
将每个方程的图形标识为圆形、抛物线、椭圆或双曲线。
- 16x2+9y2=144
- y=2x2+4x+6
- x2+y2+2x+6y+9=0
- 4x2−16y2=64
- 回答
-
- 椭圆
- 抛物线
- 圈
- 双曲线
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- 绘制以原点为中心的双曲线图
- 绘制中心不在原点的双曲线图
- 以一般形式绘制双曲线图
- 以一般形式识别圆锥截面
关键概念
- 双曲线:双曲线是平面中的所有点,其与两个固定点的距离之差恒定。
- 每个定点都称为双曲线的焦点。
穿过焦点的直线称为横轴。
横轴与双曲线相交的两个点均为双曲线的顶点。
连接焦点的线段的中点称为双曲线的中心。
垂直于穿过中心的横轴的直线称为共轭轴。
图表的每一部分都被称为双曲线的一个分支。
图 11.4.2
方程的标准形式是带中心的双曲线(0,0)
x2a2−y2b2=1 | y2a2−x2b2=1 | |
---|---|---|
方向 | \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >x-axis 上的横轴。 左右打开 |
\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >y-axis 上的横轴。 向上和向下打开 |
顶点 | \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >(−a,0),(a,0) | \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >(0,−a),(0,a) |
x-拦截 | \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >(−a,0),(a,0) | \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >无 |
y-拦截 | \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >无 | \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >(0,−a),(0,a) |
矩形 | \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >使用(±a,0)(0,±b) | \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >使用(0,±a)(±b,0) |
渐近线 | \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >y=bax,y=−bax | \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >y=abx,y=−abx |
- 如何绘制以为中心的双曲线(0,0)。
- 用标准形式写出方程式。
- 确定横轴是水平还是垂直。
- 找到顶点。
- 绘制以原点为中心的矩形,其中一个轴±a与另一个轴相交±b。
- 绘制渐近线——穿过矩形对角线的直线。
- 画出双曲线的两个分支。
方程的标准形式是带中心的双曲线(h,k)
(x−h)2a2−(y−k)2b2=1 | (y−k)2a2−(x−h)2b2=1 | |
---|---|---|
方向 | \ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) “>横轴是水平的。 左右打开 | \ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) “>横轴是垂直的。 向上和向下打开 |
中心 | \ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >(h,k) | \ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >(h,k) |
顶点 | \ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\)” > 中心左侧和右侧的a单位 | \ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2}} =1\)” > 中心上方和下方的a单位 |
矩形 | \ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) “>在中心上方/下方使用中心ab单位左/右的单位 | \ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >使用中心a单位上方/下方中心左侧/右侧的b单位 |
- 如何绘制以为中心的双曲线(h,k)。
- 用标准形式写出方程式。
- 确定横轴是水平还是垂直。
- 找到中心然后a,b.
- 绘制以(h,k)使用为中心的矩形a,b。
- 绘制渐近线——穿过矩形对角线的直线。 标记顶点。
- 画出双曲线的两个分支。
圆锥的 | x2-和y2-术语的特征 | 示例 |
---|---|---|
抛物线 | \ (x^ {2}\)-和y2-terms” >要x2么是 ORy2。 只有一个变量是平方的。 | x=3y2−2y+1 |
圈子 | \ (x^ {2}\)-和y2-terms” >x2y2-和-项的系数相同。 | x2+y2=49 |
椭圆 | \ (x^ {2}\)-和y2-terms” >x2y2-和-项具有相同的符号,不同的系数。 | 4x2+25y2=100 |
双曲线 | \ (x^ {2}\)-和y2-terms” >x2y2-和-项有不同的符号,不同的系数。 | 25y2−4x2=100 |
词汇表
- 双曲线
- 双曲线被定义为平面中的所有点,这些点与两个固定点的距离之差不变。