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11.5: 双曲线

学习目标

在本节结束时,您将能够:

  • 绘制一个双曲线,中心位于(0,0)
  • 绘制一个双曲线,中心位于(h,k)
  • 通过圆锥截面的方程识别圆锥截面

在开始之前,请参加这个准备测验。

  1. 解决:x2=12
    如果您错过了此问题,请查看示例 9.1。
  2. 扩展:(x4)2
    如果您错过了此问题,请查看示例 5.32。
  3. 图表y=23x
    如果你错过了这个问题,请查看示例 3.4。

绘制一个双曲线图,中心位于(0,0)

我们要看的最后一个圆锥部分叫做双曲线。 我们将看到双曲线的方程看起来与椭圆方程相同,只是它是差值而不是总和。 虽然椭圆和双曲线的方程非常相似,但它们的图形却大不相同。

我们将双曲线定义为平面中的所有点,其中它们与两个固定点的距离之差不变。 每个定点都称为双曲线的点。

定义11.5.1

双曲线是平面中的所有点,其与两个固定点的距离之差不变。 每个定点都称为双曲线的点。

该图显示了一个双打磨的右圆锥体,该圆锥被平行于圆锥体垂直轴的平面切成双曲线。 这个人物标有 “hyperbolaမ” 的标签。
图 11.4.1

穿过焦点的直线称为横轴。 横轴与双曲线相交的两个点均为双曲线的顶点。 连接焦点的线段的中点称为双曲线的中心。 垂直于穿过中心的横轴的直线称为共轭轴。 图表的每一部分都被称为双曲线的一个分支

该图显示了两张双曲线图。 第一张图显示了 x 轴和 y 轴,它们均沿负向和正方向运行,但间隔未标记。 双曲线的中心是原点。 顶点和焦点以位于横轴(即 x 轴)上的点显示。 树枝穿过顶点并左右打开。 y 轴是共轭轴。 第二张图显示了 x 轴和 y 轴,它们均沿负向和正方向运行,但间隔未标记。 双曲线的中心是原点。 顶点和焦点线以位于横轴(即 y 轴)上的点来显示。 树枝穿过顶点并上下开放。 x 轴是共轭轴。
图 11.4.2

同样,我们的目标是将圆锥的几何与代数连接起来。 将双曲线放在矩形坐标系上为我们提供了这样的机会。 在图中,我们放置了双曲线,使焦点((c,0),(c,0))位于x-轴上,中心是原点。

该图显示了双曲线的图形。 该图显示了 x 轴和 y 轴,它们均沿负向和正方向运行,但间隔未标记。 双曲线的中心是原点。 焦点(负 c, 0)和(c, 0)标有点,位于 x 轴上。 顶点用点标记并位于 x 轴上。 树枝穿过顶点并左右打开。 从(负 c,0)到分支(x,y)上某一点的距离被标记为 d sub 1。 从树枝上的 (x, y) 到 (c, 0) 的距离标记为 d sub 2。
图 11.4.3

该定义指出,从焦点到点的距离的差异(x,y)是恒定的。 因此|d1d2|,我们称之2a为常数|d1d2|=2a。 我们将使用距离公式来引导我们得出椭圆的代数公式。

|d1d2|=2a

使用距离公式查找d1,d2

|(x(c))2+(y0)2(xc)2+(y0)2|=2a

消灭激进分子。 为了简化椭圆的方程,我们让c2a2=b2

x2a2+y2c2a2=1

因此,标准形式中以原点为中心的双曲线方程为:

x2a2y2b2=1

要绘制双曲线图,了解截获量会很有帮助。 我们将使用公式找到x-intercepts和y-intercepts。

x-拦截

y=0

x2a2y2b2=1x2a202b2=1x2a2=1x2=a2x=±a

x-intercepts 是(a,0)(a,0)

y-拦截

x=0

x2a2y2b2=102a2y2b2=1y2b2=1y2=b2y=±b2

没有y-intercepts。

方程中的\(a, b\)值还可以帮助我们找到双曲线的渐近线。 渐近线与图形分支接近的直线相交,但随着\(x, y\)值越来越大,它们永远不会相交。

为了找到渐近线,我们绘制了一个矩形,其边在顶点处与 x 轴相交(a,0),(a,0),在y-axis 处相交(0,b),(0,b)。 包含该矩形对角线的线条是双曲线的渐近线。 矩形和渐近线不是双曲线的一部分,但它们可以帮助我们绘制双曲线图。

该图显示了双曲线的图形。 该图显示了 x 轴和 y 轴,它们均沿负向和正方向运行,但间隔未标记。 双曲线的中心是原点。 顶点为(负 a, 0)和(a, 0),并标有点并位于 x 轴上。 点 (0, b) 和 (0, 负) 位于 y 轴上。 有一个中心矩形,其边在顶点(负 a、0)和(a、0)处与 x 轴相交,在(0,b)和(0,负 b)处与 y 轴相交。 渐近线由 y 等于 b 除以 a 乘以 x 给出,y 等于负 b 除以 a 乘以 x,然后绘制为中心矩形的对角线。 双曲线的分支穿过顶点,左右打开,然后接近渐近线。
图 11.4.4

渐近线穿过原点,我们可以使用我们绘制的矩形来评估它们的斜率。 它们有方程y=baxy=bax.

双曲线有两个方程,这取决于横轴是垂直还是水平。 我们可以通过查看方程来判断横轴是否是水平的。 当方程为标准形式时,如果x2-term 为正,则横轴为水平。 当方程为标准形式时,如果y2-term 为正,则横轴为垂直。

第二个方程可以像我们所做的那样得出。 我们将在这里总结结果。

定义11.5.2

方程的标准形式是带中心的双曲线(0,0)

中心(0,0)双曲线方程的标准形式是

x2a2y2b2=1或者y2a2x2b2=1

该图显示了两个双曲线的图形。 第一张图显示了 x 轴和 y 轴,它们均沿负向和正方向运行,但间隔未标记。 双曲线的中心是原点。 顶点为(负 a, 0)和(a, 0),并标有点并位于 x 轴上。 点 (0, b) 和 (0, 负) 位于 y 轴上。 有一个中心矩形,其边在顶点(负 a、0)和(a、0)处与 x 轴相交,在(0,b)和(0,负 b)处与 y 轴相交。 渐近线由 y 等于 b 除以 a 乘以 x 给出,y 等于负 b 除以 a 乘以 x,然后绘制为中心矩形的对角线。 双曲线的分支穿过顶点,左右打开,然后接近渐近线。 第二张图显示了 x 轴和 y 轴,它们均沿负向和正方向运行,但间隔未标记。 双曲线的中心是原点。 顶点为 (0, a) 和 (0, 负 a),并标有点并位于 y 轴上。 点 (0, b) 和 (0, 负) 位于 y 轴上。 有一个中心矩形,其边在顶点(0,a)和(0,负 a)处与 y 轴相交,在(负 b,0)和(b,0)处与 y 轴相交。 双曲线的分支穿过顶点,上下打开,然后接近渐近线。
图 11.4.5

请注意,与椭圆方程不同,的分母x2并不总是如此a2,分母也不y2总是如此b2

请注意,当x2-term 为正时,横轴位于x-axis 上。 当y2-term 为正值时,横轴位于y-axis 上。

方程的标准形式是带中心的双曲线(0,0)

x2a2y2b2=1 y2a2x2b2=1
方向 \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >x-axis 上的横轴。
左右打开
\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >y-axis 上的横轴。
向上和向下打开
顶点 \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >(a,0),(a,0) \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >(0,a),(0,a)
x-拦截 \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >(a,0),(a,0) \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >无
y-拦截 \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >无 \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >(0,a),(0,a)
矩形 \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >使用(±a,0)(0,±b) \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >使用(0,±a)(±b,0)
渐近线 \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >y=bax,y=bax \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >y=abx,y=abx
表 11.4.1

我们将使用这些属性来绘制双曲线图。

示例11.5.1 How to Graph a Hyperbola with Center (0,0)

图表x225y24=1

解决方案

第 1 步:以标准形式写出方程式。 方程为标准形式。 x225y24=1
步骤 2:确定横轴是水平还是垂直。 由于x2-term 为正,因此横轴是水平的。 横轴是水平的。
步骤 3:找到顶点。 a2=25那以后a=±5。 顶点在x-axis 上。 (5,0),(5,0)
第 4 步:绘制以原点交叉点为中心的矩形±a,一个轴位于另一个轴处±b

因为a=±5,矩形将在顶点处与x-轴相交。

因为b=±2,矩形将在(0,2)和处与y-轴相交(0,2)

屏幕截图 (148) .png

第 5 步:绘制渐近线——穿过矩形对角线的直线。

渐近线有方程y=52x,y=52x 屏幕截图 (149) .png
步骤 6:画出双曲线的两个分支。 从每个顶点开始,使用渐近线作为指导。 屏幕截图 (150) .png
表 11.4.2
练习11.5.1

图表x216y24=1

回答
该图显示了 x 轴和 y 轴,它们均沿负向和正方向延伸,但间隔未标记,渐近线 y 等于正负乘以 x 的一半,分支穿过顶点(正负 4,0)并左右打开。
图 11.4.9
练习11.5.2

图表x29y216=1

回答
该图显示了 x 轴和 y 轴,它们均沿负向和正方向延伸,但间隔未标记,渐近线 y 等于正负三分之四乘以 x,分支穿过顶点(正负 3,0),然后左右打开。
图 11.4.10

我们总结了这些步骤以供参考。

绘制以双曲线为中心的图形(0,0)

  1. 用标准形式写出方程式。
  2. 确定横轴是水平还是垂直。
  3. 找到顶点。
  4. 绘制以原点为中心的矩形,其中一个轴±a与另一个轴相交±b
  5. 绘制渐近线——穿过矩形对角线的直线。
  6. 画出双曲线的两个分支。

有时候,在我们绘制双曲线图之前,需要先以标准形式放置双曲线的方程。

示例11.5.2

图表4y216x2=64

解决方案

  4y216x2=64
要以标准形式书写方程,请将每个项除64以使方程等于1 4y26416x264=6464
简化。 y216x24=1
由于y2-term 为正,因此横轴是垂直的。 从a2=16那以后a=±4  
顶点在y-axis 上,(0,a),(0,a)。 从b2=4那以后b=±2 (0,4),(0,4)
绘制与x-axis 相交的矩形,在(2,0),(2,0)顶点处与y-axis 相交的矩形。 通过矩形的对角线绘制渐近线。 画出双曲线的两个分支。 。
表 11.4.3
练习11.5.3

图表4y225x2=100

回答
该图显示了 x 轴和 y 轴,它们均沿负向和正方向延伸,但间隔未标记,渐近线 y 等于正负五半乘以 x,分支穿过顶点(0、正负 5)并上下打开。
图 11.4.12
练习11.5.4

图表25y29x2=225

回答
该图显示了 x 轴和 y 轴,它们均沿负向和正方向延伸,但间隔未标记,渐近线 y 等于正负五分之三乘以 x,分支穿过顶点(0、正负 3)并上下开放。
图 11.4.13

绘制一个双曲线图,中心位于(h,k)

双曲线并不总是以原点为中心。 当双曲线居中时(h,k),方程会稍有变化,如表中所示。

方程的标准形式是带中心的双曲线(h,k)

(xh)2a2(yk)2b2=1 (yk)2a2(xh)2b2=1
方向 \ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) “>横轴是水平的。 左右打开 \ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) “>横轴是垂直的。 向上和向下打开
中心 \ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >(h,k) \ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >(h,k)
顶点 \ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\)” > 中心左侧和右侧的a单位 \ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2}} =1\)” > 中心上方和下方的a单位
矩形 \ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) “>在中心上方/下方使用中心ab单位左/右的单位 \ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >使用中心a单位上方/下方中心左侧/右侧的b单位
表 11.4.4
示例11.5.3 How to Graph a Hyperbola with Center (h,k)

图表(x1)29(y2)216=1

解决方案

第 1 步:以标准形式写出方程式。 方程为标准形式。 (x1)29(y2)216=1
步骤 2:确定横轴是水平还是垂直。 由于x2-term 为正,因此双曲线左右打开。 横轴是水平的。 双曲线左右打开。
步骤 3: 找到中心然后a,b. h=1k=2
a2=9
b2=16

(xhx1)29(yky2)216=1

中心:(1,2)

a=3

b=4

第 4 步:绘制以(h,k)使用为中心的矩形a,b

标记中心,(1,2)

绘制一个矩形,该矩形穿过中心左侧/右侧的点34单位以及中心上方和下方的单位。

屏幕截图 (151) .png
第 5 步:绘制渐近线——穿过矩形对角线的直线。 标记顶点。 绘制对角线。 标记顶点,这些顶点位于中心左侧和右侧的矩形3单位上。 屏幕截图 (152) .png
步骤 6:画出双曲线的两个分支。 从每个顶点开始,使用渐近线作为指导。 屏幕截图 (153) .png
表 11.4.5
练习11.5.5

图表(x3)225(y1)29=1

回答
该图显示了沿负向和正方向延伸但间隔未标记的 x 轴和 y 轴,其渐近线穿过(负 2、负 2)和(8、4),渐近线穿过(负 2、4)和(8,负 2),分支穿过顶点(负 2,负 2)负 2、2)和(8、2),然后左右打开。
图 11.4.17
练习11.5.6

图表(x2)24(y2)29=1

回答
该图显示了沿负向和正方向延伸但间隔未标记的 x 轴和 y 轴,其中心为(2、2)、穿过(0、负 1)和(4、5)的渐近线和穿过(0、5)和(4,负 1)的渐近线以及穿过顶点的分支(0, 2) 和 (4, 2),然后左右打开。
图 11.4.18

我们总结了这些步骤以便于参考。

绘制以双曲线为中心的图形(h,k)

  1. 用标准形式写出方程式。
  2. 确定横轴是水平还是垂直。
  3. 找到中心然后a,b.
  4. 绘制以(h,k)使用为中心的矩形a,b
  5. 绘制渐近线——穿过矩形对角线的直线。 标记顶点。
  6. 画出双曲线的两个分支。

识别中心时要小心。 标准方程yk的中心为xh(h,k)

示例11.5.4

图表(y+2)29(x+1)24=1

解决方案

  。
由于y2-term 为正,因此双曲线向上和向下打开。 。
找到中心,(h,k) 中心:(1,2)
查找a,b a=3b=2
绘制一个矩形,该矩形穿过中心上方和下方的点3
2单位以及中心左侧/右侧的单位。
绘制渐近线,即穿过矩形对角线的直线。
标记顶点。
绘制树枝的图表。
。
表 11.4.6
练习11.5.7

图表(y+3)216(x+2)29=1

回答
该图显示了 x 轴和 y 轴,它们均沿负方向和正方向延伸,但间隔未标记,中心位于(负 2,负 3),渐近线穿过(负 5,负 7)和(1,1),渐近线穿过(负 5、1)和(1、7),以及分支它穿过顶点(负 2,1)和(负 2,负 7),然后向上和向下打开。
图 11.4.22
练习11.5.8

图表(y+2)29(x+2)29=1

回答
该图显示了 x 轴和 y 轴,它们均沿负方向和正方向延伸,但间隔未标记,中心位于(负 2,负 2),渐近线穿过(负 5,负 5)和(1,负 5),渐近线穿过(负 5,1)和(1,负 5),以及穿过顶点(负 2、1)和(负 2、负 5)并上下打开的分支。
图 11.4.23

同样,有时候我们必须将方程式转换为标准形式作为第一步。

示例11.5.5

用标准形式和图表写下方程4x29y224x36y36=0

解决方案

  。
要获得标准形态,请完成方块。 。
  。
  。
将每个项除36以得出常数1 。
  。
由于x2-term 为正,因此双曲线左右打开。  
找到中心,(h,k) 中心:(3,2)
查找a,b

a=3

b=4

绘制一个矩形,该矩形穿过中心左侧/右侧的点32单位以及中心上方和下方的单位。
绘制渐近线,即穿过矩形对角线的直线。
标记顶点。
绘制树枝的图表。
。
表 11.4.7
练习11.5.9
  1. 用标准形式写下方程式然后
  2. 图表9x216y2+18x+64y199=0
回答
  1. (x+1)216(y2)29=1
该图显示了沿负向和正方向延伸但间隔未标记的 x 轴和 y 轴,其中心为负 1、2、穿过(负 5、5)和(3,负 1)的渐近线和穿过(3、5)和(负 5,负 1)的渐近线,以及分支穿过顶点(负 5、2)和(3、2),然后左右打开。
图 11.4.31
练习11.5.10
  1. 用标准形式写下方程式然后
  2. 图表16x225y2+96x50y281=0
回答
  1. (x+3)225(y+1)216=1
该图显示了 x 轴和 y 轴,它们均沿负方向和正方向延伸,但间隔未标记,中心为负 3,负 1)、穿过(负 8、负 5)和(2、3)的渐近线以及穿过(负 8、3)和(2,负 5)的渐近线,以及穿过顶点(负 8,负 1)和(2,负 1)并左右打开的分支。
图 11.4.32

通过圆锥截面的方程识别圆锥截面

现在我们已经完成了对圆锥截面的研究,我们将研究不同的方程并找出一些通过其方程来识别圆锥的方法。 当我们得到一个方程来绘制图形时,识别圆锥会很有帮助,这样我们就知道接下来要采取什么步骤。

要从其方程中识别圆锥曲线,将变量项放在方程的一侧,将常量放在另一侧会更容易。

圆锥的 x2-和y2-术语的特征 示例
抛物线 \ (x^ {2}\)-和y2-terms” >要x2么是 ORy2。 只有一个变量是平方的。 x=3y22y+1
圈子 \ (x^ {2}\)-和y2-terms” >x2y2-和-项的系数相同。 x2+y2=49
椭圆 \ (x^ {2}\)-和y2-terms” >x2y2-和-项具有相同的符号,不同的系数。 4x2+25y2=100
双曲线 \ (x^ {2}\)-和y2-terms” >x2y2-和-项有不同的符号,不同的系数。 25y24x2=100
表 11.4.8
示例11.5.6

将每个方程的图形标识为圆形、抛物线、椭圆或双曲线。

  1. 9x2+4y2+56y+160=0
  2. 9x216y2+18x+64y199=0
  3. x2+y26x8y=0
  4. y=2x24x5

解决方案

a.x2-和y2-项具有相同的符号和不同的系数。

9x2+4y2+56y+160=0

椭圆

b.x2-和y2-项有不同的符号和不同的系数。

9x216y2+18x+64y199=0

双曲线

c.x2-和y2-项的系数相同。

x2+y26x8y=0

d. 只有一个变量是平方的。x

y=2x24x5

抛物线

练习11.5.11

将每个方程的图形标识为圆形、抛物线、椭圆或双曲线。

  1. x2+y28x6y=0
  2. 4x2+25y2=100
  3. y=6x2+2x1
  4. 16y29x2=144
回答
  1. 椭圆
  2. 抛物线
  3. 双曲线
练习11.5.12

将每个方程的图形标识为圆形、抛物线、椭圆或双曲线。

  1. 16x2+9y2=144
  2. y=2x2+4x+6
  3. x2+y2+2x+6y+9=0
  4. 4x216y2=64
回答
  1. 椭圆
  2. 抛物线
  3. 双曲线

访问这些在线资源以获取更多说明和使用双曲线练习。

  • 绘制以原点为中心的双曲线图
  • 绘制中心不在原点的双曲线图
  • 以一般形式绘制双曲线图
  • 以一般形式识别圆锥截面

关键概念

  • 双曲线:双曲线是平面中的所有点,其与两个固定点的距离之差恒定。
该图显示了一个双打磨的右圆锥体,该圆锥被平行于圆锥体垂直轴的平面切成双曲线。 这个数字被标记为 “双曲线”。
图 11.4.1
  • 每个定点都称为双曲线的点。
    穿过焦点的直线称为横轴
    横轴与双曲线相交的两个点均为双曲线的顶点
    连接焦点的线段的中点称为双曲线的中心
    垂直于穿过中心的横轴的直线称为共轭轴
    图表的每一部分都被称为双曲线的一个分支
    该图显示了两张双曲线图。 第一张图显示了 x 轴和 y 轴,它们均沿负向和正方向运行,但间隔未标记。 双曲线的中心是原点。 顶点和焦点以位于横轴(即 x 轴)上的点显示。 树枝穿过顶点并左右打开。 y 轴是共轭轴。 第二张图显示了 x 轴和 y 轴,它们均沿负向和正方向运行,但间隔未标记。 双曲线的中心是原点。 顶点和焦点线以位于横轴(即 y 轴)上的点来显示。 树枝穿过顶点并上下开放。 x 轴是共轭轴。

图 11.4.2

方程的标准形式是带中心的双曲线(0,0)

x2a2y2b2=1 y2a2x2b2=1
方向 \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >x-axis 上的横轴。
左右打开
\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >y-axis 上的横轴。
向上和向下打开
顶点 \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >(a,0),(a,0) \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >(0,a),(0,a)
x-拦截 \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >(a,0),(a,0) \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >无
y-拦截 \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >无 \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >(0,a),(0,a)
矩形 \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >使用(±a,0)(0,±b) \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >使用(0,±a)(±b,0)
渐近线 \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >y=bax,y=bax \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >y=abx,y=abx
表 11.4.1
  • 如何绘制以为中心的双曲线(0,0)
    1. 用标准形式写出方程式。
    2. 确定横轴是水平还是垂直。
    3. 找到顶点。
    4. 绘制以原点为中心的矩形,其中一个轴±a与另一个轴相交±b
    5. 绘制渐近线——穿过矩形对角线的直线。
    6. 画出双曲线的两个分支。

方程的标准形式是带中心的双曲线(h,k)

(xh)2a2(yk)2b2=1 (yk)2a2(xh)2b2=1
方向 \ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) “>横轴是水平的。 左右打开 \ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) “>横轴是垂直的。 向上和向下打开
中心 \ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >(h,k) \ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >(h,k)
顶点 \ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\)” > 中心左侧和右侧的a单位 \ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2}} =1\)” > 中心上方和下方的a单位
矩形 \ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) “>在中心上方/下方使用中心ab单位左/右的单位 \ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}}-\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2}} =1\)” >使用中心a单位上方/下方中心左侧/右侧的b单位
表 11.4.4
  • 如何绘制以为中心的双曲线(h,k)
    1. 用标准形式写出方程式。
    2. 确定横轴是水平还是垂直。
    3. 找到中心然后a,b.
    4. 绘制以(h,k)使用为中心的矩形a,b
    5. 绘制渐近线——穿过矩形对角线的直线。 标记顶点。
    6. 画出双曲线的两个分支。
圆锥的 x2-和y2-术语的特征 示例
抛物线 \ (x^ {2}\)-和y2-terms” >要x2么是 ORy2。 只有一个变量是平方的。 x=3y22y+1
圈子 \ (x^ {2}\)-和y2-terms” >x2y2-和-项的系数相同。 x2+y2=49
椭圆 \ (x^ {2}\)-和y2-terms” >x2y2-和-项具有相同的符号,不同的系数。 4x2+25y2=100
双曲线 \ (x^ {2}\)-和y2-terms” >x2y2-和-项有不同的符号,不同的系数。 25y24x2=100
表 11.4.8

词汇表

双曲线
双曲线被定义为平面中的所有点,这些点与两个固定点的距离之差不变。