11.4: 省略号

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Nov 1, 2022
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204433
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- 11.3E：练习
- 11.4E：练习

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学习目标

在本节结束时，您将能够：

绘制一个以原点为中心的椭圆
找出以原点为中心的椭圆的方程
绘制中心不在原点的椭圆
用省略号求解应用程序

在开始之前，请参加这个准备测验。

$y=(x-1)^{2}-2$ 使用转换绘制图表。
如果您错过了此问题，请查看示例 9.57。
完成正方形: $x^{2}-8 x=8$ .
如果您错过了此问题，请查看示例 9.12。
以标准形式书写。 $y=2 x^{2}-12 x+14$
如果您错过了此问题，请查看示例 9.59。

绘制以原点为中心的椭圆

我们要看的下一个圆锥截面是一个椭圆。我们将椭圆定义为平面中的所有点，其中两个固定点的距离之和是恒定的。每个给定点都称为椭圆的焦点。

定义 $\PageIndex{1}$

椭圆是平面中的所有点，其中两个定点的距离之和是恒定的。每个定点都称为椭圆的焦点。

我们可以画一个椭圆，方法是拿一些固定长度的柔性绳子，然后将两端连接到两个图钉上。我们用一支钢笔拉紧绳子，然后围绕两个图钉旋转。生成的数字是一个椭圆。

此图显示了一支附着在两根绳子上的笔，两根绳子的另一端连接在两根图钉上。拉紧绳子，旋转笔画一个椭圆。图钉标记为 F 下标 1 和 F 下标 2。 — 图 11.3.2

通过焦点绘制的直线在两点上与椭圆相交。每个点都被称为椭圆的顶点。连接顶点的线段称为长轴。线段的中点称为椭圆的中心。垂直于长轴、穿过中心并在两点上与椭圆相交的线段称为短轴。

此图显示了两个省略号。在每个椭圆中，椭圆内的两个点被标记为焦点。穿过焦点绘制的直线在两点上与椭圆相交。每个点都被标记为一个顶点。在左图中，连接顶点的线段称为长轴。垂直于长轴且穿过其中点并在两点上与椭圆相交的线段被标记为短轴。长轴比短轴长。在右图中，穿过焦点、连接顶点的线段较短，标为短轴。它的中点被标记为中心。 — 图 11.3.3

我们前面提到过，我们的目标是将圆锥的几何与代数连接起来。将椭圆放置在矩形坐标系上为我们提供了这样的机会。在图中，我们放置了椭圆，使焦点 $((−c,0),(c,0))$ 位于 $x$ -轴上，中心是原点。

左图显示了一个椭圆，其中心位于坐标轴的原点，焦点在减去 (c, 0) 和 (c, 0) 的点上。一条线段（负 c，0）连接到椭圆上的一个点（x，y）。该分段被标记为 d 下标 1。另一个标有 d 下标 2 的分段将 (c, 0) 连接到 (x, y)。右图显示了一个以原点为中心的椭圆，焦点（负 c，0）和（c，0）以及顶点（负 a，0）和（a，0）。椭圆与 y 轴相交的点被标记为 (0, b)。连接 (0, 0) 到 (c, 0)、(c, 0) 到 (0, b) 以及 (0, b) 到 (0, 0) 的段形成一个紧角三角形，边分别为 c、a 和 b。方程为 a 的平方等于 b 的平方加 c 的平方。 — 图 11.3.4

该定义指出，从焦点到点的距离之和 $(x,y)$ 是恒定的。 $d_{1}+d_{2}$ 所以，我们称之 $2a$ 为常数 $d_{1}+d_{2}=2 a$ 。我们将使用距离公式来引导我们得出椭圆的代数公式。

$d_{1} \quad+\quad \quad d_{2} \quad=\quad 2 a$

使用距离公式查找 $d_{1},d_{2}$ 。

$\sqrt{(x-(-c))^{2}+(y-0)^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}=2 a$

消除激进分子并简化后，我们得到：

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-c^{2}}=1$

为了简化椭圆的方程，我们假定 $a^{2}−c^{2}=b^{2}$ 。所以，标准形式中以原点为中心的椭圆的方程为：

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

要绘制椭圆图，了解截面会很有帮助。我们将使用公式找到 $x$ -intercepts和 $y$ -intercepts。

$y$ -拦截

让 $x=0$ 。

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{0^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}} &=1 \\ \frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ y^{2} &=b^{2} \\ y &=\pm b \end{aligned}$

$y$ -intercepts 是 $(0,b)$ 和 $(0, -b)$ 。

$x$ -拦截

让 $y=0$ 。

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{0^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} &=1 \\ x^{2} &=a^{2} \\ x &=\pm a \end{aligned}$

$x$ -intercepts 是 $(a,0)$ 和 $(-a,0)$ 。

定义 $\PageIndex{2}$

方程的标准形式是中心椭圆 $(0,0)$

中心 $(0,0)$ 椭圆方程的标准形式是

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

$x$ -intercepts 是 $(a,0)$ 和 $(−a,0)$ 。

$y$ -intercepts 是 $(0,b)$ 和 $(0,−b)$ 。

两幅图显示了以坐标轴原点为中心的椭圆。它们在点（负 a、0）和（a、0）处与 x 轴相交，在点（0，b）和（0，负 b）处与 y 轴相交。在左图中，椭圆的长轴沿 x 轴，在右图中，椭圆的长轴沿 y 轴。 — 图 11.3.5

请注意，当长轴为水平轴时，的值 $a$ 将大于的 $b$ 值；当长轴垂直时，的值 $b$ 将大于的值 $a$ 。我们将使用这些信息绘制以原点为中心的椭圆。

中心椭圆 $(0,0)$

表 11.3.1
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$	$a>b$	$b>a$
长轴	在 $x$ -轴上。	在 $y$ -轴上
$x$ -拦截	$(-a, 0),(a, 0)$
$y$ -拦截	$(0,-b),(0, b)$

示例 $\PageIndex{1}$

图表： $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 。

解决方案：

表 11.3.2
第 1 步。用标准形式写出方程式。	它是标准形式。	$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$
第 2 步。确定长轴是水平还是垂直。	由于 $9>4$ 和 $9$ 在 $y^{2}$ 术语中，长轴是垂直的。	长轴是垂直的。
第 3 步。找到长轴的端点。	端点将是 $y$ -intercepts。从 $b^{2}=9$ 那以后 $b=\pm 3$ 。长轴的端点是 $(0,3),(0,-3)$ 。	长轴的端点是 $(0,3),(0,-3)$ 。
第 4 步。找到短轴的端点。	端点将是 $x$ -intercepts。从 $a^{2}=4$ 那以后 $a=\pm 2$ 。长轴的端点是 $(2,0),(-2,0)$ 。	长轴的端点是 $(2,0),(-2,0)$ 。
第 5 步。草绘椭圆。		$屏幕截图 (147) .png$

练习 $\PageIndex{1}$

图表： $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1$ 。

回答: $此图显示了一个包含 x 截距（负 2、0）和（2、0）以及 y 截距（0、4）和（0，负 4）的椭圆。$
图 11.3.7

练习 $\PageIndex{2}$

图表： $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1$ 。

回答: $此图显示了一个包含 x 截距（负 3、0）和（3、0）以及 y 截距（0、4）和（0，负 4）的椭圆。$
图 11.3.8

我们总结了这些步骤以供参考。

如何绘制中心椭圆 $(0,0)$ 。

用标准形式写出方程式。
确定长轴是水平还是垂直。
找到长轴的端点。
找到短轴的端点
草绘椭圆。

有时我们的方程首先需要采用标准形式。

示例 $\PageIndex{2}$

图表 $x^{2}+4 y^{2}=16$ 。

解决方案：

表 11.3.3
我们将其视为椭圆方程，因为 $x$ 和 $y$ 项都是平方且系数不同。	$x^{2}+4 y^{2}=16$
要获得标准形式的方程，请将两边除以 $16$ 使方程等于 $1$ 。	$\frac{x^{2}}{16}+\frac{4 y^{2}}{16}=\frac{16}{16}$
简化。	$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$
方程为标准形式。椭圆以原点为中心。	中心是 $(0,0)$ 。
由于 $16>4$ 和 $16$ 在 $x^{2}$ 术语中，长轴是水平的。
$a^{2}=16, a=\pm 4$ $b^{2}=4, \quad b=\pm 2$	顶点是 $(4,0),(−4,0)$ 。短轴的端点是 $(0,2),(0,−2)$ 。
绘制抛物线。	$。$

练习 $\PageIndex{3}$

图表 $9 x^{2}+16 y^{2}=144$ 。

回答: $此图显示了一个包含 x 截距（负 4、0）和（4、0）以及 y 截距（0、3）和（0，负 3）的椭圆。$
图 11.3.10

练习 $\PageIndex{4}$

图表 $16 x^{2}+25 y^{2}=400$ 。

回答: $此图显示了一个包含 x 截距（负 5、0）和（5、0）以及 y 截距（0、4）和（0，负 4）的椭圆。$
图 11.3.11

求以原点为中心的椭圆方程

如果给我们一个椭圆的图形，我们就能找到椭圆的方程。

示例 $\PageIndex{3}$

找到所示椭圆的方程。

此图显示了一个包含 x 截距（负 4、0）和（4、0）以及 y 截距（0、3）和（0，负 3）的椭圆。 — 图 11.3.12

解决方案：

我们认为这是一个以原点为中心的椭圆。

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

既然长轴是水平的，从中心到顶点的距离是水平的 $4$ ，我们知道 $a=4$ 等等 $a^{2}=16$ 。

$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

我们知道 $b=3$ ，短轴是垂直的，从中心到椭圆的距离是垂直的 $3$ ，依此类推 $b^{2}=9$ 。

$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$

练习 $\PageIndex{5}$

找到所示椭圆的方程。

此图显示了一个包含 x 截距（负 2、0）和（2、0）以及 y 截距（0、5）和（0，负 5）的椭圆。 — 图 11.3.13

回答: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{25}=1$

练习 $\PageIndex{6}$

找到所示椭圆的方程。

此图显示了一个包含 x 截距（负 3、0）和（3、0）以及 y 截距（0、2）和（0，负 2）的椭圆。 — 图 11.3.14

回答: $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$

绘制中心不在原点的椭圆

到目前为止，我们看到的椭圆都以原点为中心。现在我们来看中心为的椭圆 $(h,k)$ 。

方程为 $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ ，何时 $a>b$ ，长轴是水平的，所以从中心到顶点的距离是 $a$ 。当时 $b>a$ ，长轴是垂直的，因此从中心到顶点的距离是 $b$ 。

定义 $\PageIndex{3}$

方程的标准形式是中心椭圆 $(h,k)$

中心 $(h,k)$ 椭圆方程的标准形式是

$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$

当时 $a>b$ ，长轴是水平的，所以从中心到顶点的距离是 $a$ 。

当时 $b>a$ ，长轴是垂直的，因此从中心到顶点的距离是 $b$ 。

示例 $\PageIndex{4}$

图表： $\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1$ 。

解决方案：

表 11.3.4
方程采用标准形式， $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ 。	$\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1$
椭圆的中心位于 $(h,k)$ 。	中心是 $(3,1)$ 。
由于 $9>4$ 和 $9$ 在 $x^{2}$ 术语中，长轴是水平的。
$a^{2}=9, a=\pm 3$ $b^{2}=4, b=\pm 2$	从中心到顶点的距离为 $3$ 。从短轴中心到端点的距离为 $2$ 。
草绘椭圆。	$。$

练习 $\PageIndex{7}$

图表： $\frac{(x+3)^{2}}{4}+\frac{(y-5)^{2}}{16}=1$ 。

回答: $此图显示了一个椭圆，其中心位于（负 3、5），顶点位于（负 3、9）和（负 3、1），短轴的端点位于（负 5、5）和（负 1、5）。$
图 11.3.16

练习 $\PageIndex{8}$

图表： $\frac{(x-1)^{2}}{25}+\frac{(y+3)^{2}}{16}=1$ 。

回答: $此图显示了一个椭圆，中心为 1，负 3，顶点位于（负 4，负 3）和（6，负 3），短轴端点为 1、1）和（负 1，负 7）。$
图 11.3.17

如果我们看一下 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 和的方程 $\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1$ ，就会发现它们都是带有 $a=3$ 和的椭圆 $b=2$ 。因此，它们将具有相同的大小和形状。它们的不同之处在于它们没有相同的中心。

第一张图中的方程为 x 乘以 9 加上 y 的平方 4 等于 1。在这里，a 是 3，b 是 2。绘制椭圆的中心位于 (0, 0)。右边的方程是左括号 x 减去 3 个右圆括号 9 加上左括号 y 减去 1 右括号 4 的平方等于 1。在这里，a 也是 3，b 是 2，但中心是 (3, 1)。椭圆与第一个椭圆一起显示在同一个图表上。中心显示已向右移动 3 个单位，向上移动 1 个单位。 — 图 11.3.18

请注意，在上面的图表中，我们可以 $\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1$ 通过翻译来绘制图表。我们将原来的椭圆向右 $3$ 移动，然后向上移动 $1$ 单位。

此图显示了一个从中心 (0, 0) 转换到中心 (3, 1) 的椭圆。中心向右移动 3 个单位，向上移动 1 个单位。原始椭圆的顶点位于（负 3, 0）和（3, 0），短轴的端点位于（负 2, 0）和（2, 0）。平移椭圆的顶点位于 (0, 1) 和 (6, 1)，短轴的端点位于 (3，负 1) 和 (3, 3)。 — 图 11.3.19

在下一个示例中，我们将使用平移方法绘制椭圆的图形。

示例 $\PageIndex{5}$

$\frac{(x+4)^{2}}{16}+\frac{(y-6)^{2}}{9}=1$ 按翻译绘制图表。

解决方案：

这个椭圆的大小和形状将与中心 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 所在的椭圆相同 $(0,0)$ 。我们先绘制这个椭圆的图。

表 11.3.5
中心是 $(0,0)$ 。	中心 $(0,0)$
因为 $16>9$ ，长轴是水平的。
$a^{2}=16, a=\pm 4$ $b^{2}=9, \quad b=\pm 3$	顶点是 $(4,0),(−4,0)$ 。短轴的端点是 $(0,3),(0,−3)$ 。
草绘椭圆。	$。$
原始方程为标准形式， $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ 。	$\frac{(x-(-4))^{2}}{16}+\frac{(y-6)^{2}}{9}=1$
椭圆的中心位于 $(h,k)$ 。	中心是 $(-4,6)$ 。
我们将 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 四个单位的图形向左平移，然后向上转换 $6$ 单位。验证中心是否为 $(−4,6)$ 。新椭圆是方程为的椭圆 $\frac{(x+4)^{2}}{16}+\frac{(y-6)^{2}}{9}=1$ 。	$。$

练习 $\PageIndex{9}$

$\frac{(x-5)^{2}}{9}+\frac{(y+4)^{2}}{4}=1$ 按翻译绘制图表。

回答: $此图显示了一个椭圆，中心为中心（5，负 4），顶点（2，负 4）和（8，负 4），端点为短轴（5，负 2）和（5，负 6）。$
图 11.3.22

练习 $\PageIndex{10}$

$\frac{(x+6)^{2}}{16}+\frac{(y+2)^{2}}{25}=1$ 按翻译绘制图表。

回答: $此图显示了一个具有中心（负 6、负 2）、顶点（负 6、3）和（负 6、负 7）和端点为短轴（负 10、负 2）和（负 2，负 2）的椭圆。$
图 11.3.23

当一个方程的系数不同的 a $x^{2}$ 和 a $y^{2}$ 时，我们通过将其置于标准形式来验证它是否为省略号。然后，我们将能够绘制方程式。

示例 $\PageIndex{6}$

用标准 $x^{2}+4 y^{2}-4 x+24 y+24=0$ 形式和图表写下方程。

解决方案：

我们通过填写 $x$ 和中的正方形将方程置于标准形式 $y$ 。

表 11.3.6
	$x^{2}+4 y^{2}-4 x+24 y+24=0$
重写 $x$ 术语和 $y$ 术语的分组。	$。$
使 $x^{2}$ 和的系数 $y^{2}$ 相等 $1$ 。	$。$
完成方格。	$。$
写成二项式方块。	$。$
将两边除 $16$ 以向 $1$ 右移动。	$。$
简化。	$。$
方程采用标准形式， $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$	$。$
椭圆的中心位于 $(h,k)$ 。	中心是 $(2,-3)$ 。
由于 $16>4$ 和 $16$ 在 $x^{2}$ 术语中，长轴是水平的。 $a^{2}=16, a=\pm 4$ $b^{2}=4, \quad b=\pm 2$	从中心到顶点的距离为 $4$ 。从短轴中心到端点的距离为 $2$ 。
草绘椭圆。	$。$

练习 $\PageIndex{11}$

用标准形式写 $6 x^{2}+4 y^{2}+12 x-32 y+34=0$ 下方程式然后
图表。

回答

$\frac{(x+1)^{2}}{6}+\frac{(y-4)^{2}}{9}=1$

此图显示了一个椭圆，其中心为负（负 1，4），顶点减去（1，1）和（负 1，7），短轴的端点大约为（负 3.5、4）和（大约 1.5、4）。 — 图 11.3.32

练习 $\PageIndex{12}$

用标准形式写 $4 x^{2}+y^{2}-16 x-6 y+9=0$ 下方程式然后
图表。

回答

$\frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{(y-3)^{2}}{16}=1$

此图显示了一个椭圆，其中心为 (2, 3)，顶点 (2，负 1) 和 (2, 7)，端点为短轴 (0, 3) 和 (4, 3)。 — 图 11.3.33

用省略号求解应用程序

行星绕太阳的轨道遵循椭圆形路径。

示例 $\PageIndex{7}$

冥王星（一颗矮行星）在绕太阳的椭圆轨道上移动。冥王星离太阳最近的距离大约是 $30$ 天文单位（AU），最远的约为 $50$ AU。太阳是椭圆轨道的焦点之一。让椭圆以原点为中心并在 AU 中标注轴，轨道将如下图所示。使用图表为冥王星的椭圆轨道写一个方程。

此图显示了一个具有中心 (0, 0) 和顶点 (负 40, 0) 和 (40, 0) 的椭圆。太阳显示在点 (10, 0) 处。这是距右顶点的 30 个单位，距离左顶点的 50 个单位。 — 图 11.3.34

解决方案：

我们认为这是一个以原点为中心的椭圆。

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

既然长轴是水平的，从中心到顶点的距离是水平的 $40$ ，我们知道 $a=40$ 等等 $a^{2}=1600$ 。

$\frac{x^{2}}{1600}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

短轴是垂直的，但没有给出终点。要找到， $b$ 我们将使用太阳的位置。既然太阳是椭圆在该点的焦点 $(10,0)$ ，我们知道 $c=10$ 。用这个来求解 $b^{2}$ 。

$b^{2}=a^{2}-c^{2}$
$b^{2}=40^{2}-10^{2}$
$b^{2}=1600-100$
$b^{2}=1500$

$b^{2}$ 将 $a^{2}$ 和替换为椭圆的标准形式。

$\frac{x^{2}}{1600}+\frac{y^{2}}{1500}=1$

练习 $\PageIndex{13}$

一颗行星在绕太阳的椭圆轨道上移动。行星离太阳最近的距离大约是 $20$ 非盟，最远的距离大约是 $30$ 非盟。太阳是椭圆轨道的焦点之一。让椭圆以原点为中心并在 AU 中标注轴，轨道将如下图所示。使用图表为行星的椭圆轨道写一个方程。

此图显示了一个具有中心 (0, 0) 和顶点 (负 25, 0) 和 (25, 0) 的椭圆。太阳显示在点 (5, 0) 处。这是距右顶点的 20 个单位，距离左顶点的 30 个单位。 — 图 11.3.35

回答: $\frac{x^{2}}{625}+\frac{y^{2}}{600}=1$

练习 $\PageIndex{14}$

一颗行星在绕太阳的椭圆轨道上移动。行星离太阳最近的距离大约是 $20$ 非盟，最远的距离大约是 $50$ 非盟。太阳是椭圆轨道的焦点之一。让椭圆以原点为中心并在 AU 中标注轴，轨道将如下图所示。使用图表为行星的椭圆轨道写一个方程。

此图显示了一个具有中心 (0, 0) 和顶点 (负 35, 0) 和 (35, 0) 的椭圆。太阳显示在点 (15, 0) 处。这是距右顶点的 20 个单位，距离左顶点的 50 个单位。 — 图 11.3.36

回答: $\frac{x^{2}}{1225}+\frac{y^{2}}{1000}=1$

访问这些在线资源以获取更多说明和使用省略号进行练习。

圆锥截面：绘制椭圆图第 1 部分
圆锥截面：绘制椭圆图第 2 部分
来自图表的椭圆方程

关键概念

椭圆：椭圆是平面中的所有点，其中两个定点的距离之和是恒定的。每个定点都称为椭圆的焦点。
$此图显示了两个省略号。在每个椭圆中，椭圆内的两个点被标记为焦点。穿过焦点绘制的直线在两点上与椭圆相交。每个点都被标记为一个顶点。在左图中，连接顶点的线段称为长轴。垂直于长轴且穿过其中点并在两点上与椭圆相交的线段被标记为短轴。长轴比短轴长。在右图中，穿过焦点、连接顶点的线段较短，标为短轴。它的中点被标记为中心。$

图 11.3.37

如果我们画一条穿过焦点的直线，则椭圆在两个点上相交——每个点都被称为椭圆的顶点。
连接顶点的线段称为长轴。
线段的中点称为椭圆的中心。
垂直于长轴、穿过中心并在两点上与椭圆相交的线段称为短轴。
方程的标准形式带中心的椭圆 $(0,0)$ ：中心椭圆方程的标准形式是 $(0,0)$
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
$x$ -intercepts 是 $(a,0)$ 和 $(−a,0)$ 。
$y$ -intercepts 是 $(0,b)$ 和 $(0,−b)$ 。
如何画一个中间的椭圆 $(0,0)$
1. 用标准形式写出方程式。
2. 确定长轴是水平还是垂直。
3. 找到长轴的端点。
4. 找到短轴的端点
5. 草绘椭圆。
方程的标准形式带中心的椭圆 $(h,k)$ ：中心椭圆方程的标准形式是 $(h,k)$
$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$
当时 $a>b$ ，长轴是水平的，所以从中心到顶点的距离是 $a$ 。
当时 $b>a$ ，长轴是垂直的，因此从中心到顶点的距离是 $b$ 。

词汇表

椭圆: 椭圆是平面中的所有点，其中两个定点的距离之和是恒定的。

学习目标

绘制以原点为中心的椭圆

定义11.4.1\PageIndex{1}

yy-拦截

xx-拦截

定义11.4.2\PageIndex{2}

示例11.4.1\PageIndex{1}

练习11.4.1\PageIndex{1}

练习11.4.2\PageIndex{2}

如何绘制中心椭圆(0,0)(0,0)。

示例11.4.2\PageIndex{2}

练习11.4.3\PageIndex{3}

练习11.4.4\PageIndex{4}

求以原点为中心的椭圆方程

示例11.4.3\PageIndex{3}

练习11.4.5\PageIndex{5}

练习11.4.6\PageIndex{6}

绘制中心不在原点的椭圆

定义11.4.3\PageIndex{3}

示例11.4.4\PageIndex{4}

练习11.4.7\PageIndex{7}

练习11.4.8\PageIndex{8}

示例11.4.5\PageIndex{5}

练习11.4.9\PageIndex{9}

练习11.4.10\PageIndex{10}

示例11.4.6\PageIndex{6}

练习11.4.11\PageIndex{11}

练习11.4.12\PageIndex{12}

用省略号求解应用程序

示例11.4.7\PageIndex{7}

练习11.4.13\PageIndex{13}

练习11.4.14\PageIndex{14}

关键概念

词汇表

定义 $\PageIndex{1}$

$y$ -拦截

$x$ -拦截

定义 $\PageIndex{2}$

示例 $\PageIndex{1}$

练习 $\PageIndex{1}$

练习 $\PageIndex{2}$

如何绘制中心椭圆 $(0,0)$ 。

示例 $\PageIndex{2}$

练习 $\PageIndex{3}$

练习 $\PageIndex{4}$

示例 $\PageIndex{3}$

练习 $\PageIndex{5}$

练习 $\PageIndex{6}$

定义 $\PageIndex{3}$

示例 $\PageIndex{4}$

练习 $\PageIndex{7}$

练习 $\PageIndex{8}$

示例 $\PageIndex{5}$

练习 $\PageIndex{9}$

练习 $\PageIndex{10}$

示例 $\PageIndex{6}$

练习 $\PageIndex{11}$

练习 $\PageIndex{12}$

示例 $\PageIndex{7}$

练习 $\PageIndex{13}$

练习 $\PageIndex{14}$