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11.3: 抛物线

学习目标

在本节结束时,您将能够:

  • 绘制垂直抛物线
  • 绘制水平抛物线
  • 使用抛物线求解应用程序
做好准备

在开始之前,请参加这个准备测验。

  1. 图:y=3x2+12x12
    如果您错过了此问题,请查看示例 9.47。
  2. 通过完成方块求解:x26x+6=0.
    如果您错过了此问题,请查看示例 9.12。
  3. 以标准形式写入:y=3x26x+5.
    如果您错过了此问题,请查看示例 9.59。

绘制垂直抛物线

我们要看的下一个圆锥部分是抛物线。 我们将抛物线定义为平面中与定点和固定线距离相同的所有点。 定点称为焦点,固定线称为抛物线的直线。

此图显示了一个双锥体。 底部的午睡与平面相交,使得交叉点形成抛物线。
图 11.2.1
定义11.3.1: Parabola, Focus, and Directrix

抛物线是平面中与定点和固定线距离相同的所有点。 定点称为焦点,固定线称为抛物线的直线。

此图显示了向上开口的抛物线。 抛物线下方是一条标有 directrix 的水平线。 穿过抛物线中心的垂直虚线被标记为对称轴。 轴与抛物线相交的点被标记为顶点。 抛物线内的轴上的一个点被标记为焦点。 一条垂直于 directrix 的直线将 directrix 连接到抛物线上的某个点,另一条线将该点连接到焦点。 这两条线的长度相同。
图 11.2.2

以前,我们学会了使用属性从通用形式或标准形式绘制垂直抛物线图。 这些方法在这里也将起作用。 我们将在这里总结这些属性。

垂直抛物线

 

通用表格

y=ax2+bx+c

标准表单

y=a(xh)2+k

方向 \ (y=a x^ {2} +b x+c\)” >a>0 向上;a<0向下 \ (y=a (x-h) ^ {2} +k\)” >a>0 向上;a<0向下
对称轴 \ (y=a x^ {2} +b x+c\)” >x=b2a \ (y=a (x-h) ^ {2} +k\)” >x=h
顶点 \ (y=a x^ {2} +b x+c\)” >替换x=b2a
求解y.
\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\)” >(h,k)
y-截距 \ (y=a x^ {2} +b x+c\)” >Letx=0 \ (y=a (x-h) ^ {2} +k\)” >Letx=0
x-拦截 \ (y=a x^ {2} +b x+c\)” >Lety=0 \ (y=a (x-h) ^ {2} +k\)” >Lety=0
表 11.2.1

这些图表显示了抛物线向上或向下打开时的样子。 它们相对于y-或x-轴的位置只是一个例子。

此图显示了两个抛物线,其轴 x 等于 h,顶点 h, k。左边的抛物线打开,A 大于 0。 右边的那个向下打开。 这里 A 小于 0。
图 11.2.3

为了从这些表单中绘制抛物线,我们使用了以下步骤。

绘制垂直抛物线

如何绘制垂直抛物线图y=ax2+bx+cf(x)=a(xh)2+k使用属性。

  • 第 1 步:确定抛物线是向上还是向下打开。
  • 第 2 步。 找到对称轴。
  • 第 3 步。 找到顶点。
  • 第 4 步。 找到y截距。 在对称轴上找到y与-截距对称的点。
  • 第 5 步。 找到x-截图。
  • 第 6 步。 绘制抛物线图。

下一个示例回顾了根据抛物线方程的一般形式绘制抛物线的方法。

示例11.3.1

使用属性绘y=x2+6x8制图表。

解决方案

  y=ax2+bx+cy=x2+6x8
a既然1如此,抛物线向下打开。  
。  
要找到对称轴,请找到x=b2a x=b2ax=62(1)x=3
  对称轴是x=3
  。
顶点在线上x=3 y=x2+6x8
x=3 。
  y=9+188y=1
  顶点是(3,1)
  。
y-截距发生在x=0. y=x2+6x8
替代x=0 y=02+608
简化。 y=8
  y-截距为(0,8)
该点(0,8)位于对称线左侧的三个单位。 对称线右边三个单位的点是(6,8) y-截距对称的点是(6,8)
  。
x-截距发生在y=0. y=x2+6x8
y=0 0=x2+6x8
将全球公积金考虑在内。 0=(x26x+8)
将三项式分解为因子。 0=(x4)(x2)
求解x x=4,x=2
  x-intercepts 是(4,0),(2,0)
绘制抛物线图。 。
表 11.2.2
练习11.3.1

使用属性绘y=x2+5x6制图表。

回答
此图显示抛物线向下开口,其中 x 截距 (2, 0) 和 (3, 0) 以及 y 截距 (0, 负 6)。
图 11.2.24
练习11.3.2

使用属性绘y=x2+8x12制图表。

回答
这张图显示了一个向下开口的抛物线,其顶点 (4, 4) 和 x 截距 (2, 0) 和 (6, 0)。
图 11.2.25

下一个示例回顾了根据其方程的标准形式绘制抛物线的方法y=a(xh)2+k

示例11.3.2

y=3x26x+5以标准形式书写,然后使用标准形式的属性绘制方程图。

解决方案

通过填写方块来重写y=a(xh)2+k表单中的函数。 y=3x26x+5y=3(x22x)+5y=3(x22x+1)+53y=3(x1)2+2
识别常量a,h,k a=3,h=1,k=2
因为a=2,抛物线向上打开。  
。  
对称轴是x=h 对称轴是x=1
顶点是(h,k) 顶点是(1,2)
通过替换找到y-截距x=0 y=3(x1)2+2y=30260+5y=0
  y-截距(0,5)
找到与对称轴(0,5)对称的点。 (2,5)
找到x-截图。 y=3(x1)2+20=3(x1)2+22=3(x1)223=(x1)2±23=x1
  负数的平方根告诉我们解是复数。 所以没有x-intercepts。
绘制抛物线图。 。
表 11.2.3
练习11.3.3
  1. y=2x2+4x+5以标准形式书写然后
  2. 使用标准形式的属性来绘制方程式。
回答
  1. y=2(x+1)2+3
  2.  
这张图显示了一个向上开放的抛物线,其顶点(负 1、3)和 y 截距(0、5)。 它上面有减号 (2, 5)。
图 11.2.28
练习11.3.4
  1. y=2x2+8x7以标准形式书写然后
  2. 使用标准形式的属性来绘制方程式。
回答
  1. y=2(x2)2+1
  2.  
这张图显示了一个向下开口的抛物线,顶点 (2, 1) 和对称轴 x 等于 2。 它的 y 截距为 (0,负 7)。
图 11.2.29

绘制水平抛物线

到目前为止,我们的工作只涉及向上或向下打开的抛物线。 我们现在要看水平抛物线。 这些抛物线要么向左打开,要么向右打开。 如果我们在之前的方程y中将x和互换为抛物线,则会得到向左或向右打开的抛物线的方程。

水平抛物线

 

通用表格

x=ay2+by+c

标准表单

x=a(yk)2+h

方向 \ (x=a y^ {2} +b y+c\) “>a>0 右;a<0 \ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) “>a>0 右;a<0
对称轴 \ (x=a y^ {2} +b y+c\)” >y=b2a \ (x=a (y-k) ^ {2} +h\)” >y=k
顶点 \ (x=a y^ {2} +b y+c\)” >替换y=b2a
求解x.
\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\)” >(h,k)
x-拦截 \ (x=a y^ {2} +b y+c\)” >Letx=0 \ (x=a (y-k) ^ {2} +h\)” >Letx=0
y-截距 \ (x=a y^ {2} +b y+c\)” >Lety=0 \ (x=a (y-k) ^ {2} +h\)” >Lety=0
表 11.2.4

这些图表显示了抛物线向左或向右时的样子。 它们相对于y-或x-轴的位置只是一个例子。

此图显示了两个抛物线,其对称轴 y 等于 k,) 和顶点 (h, k)。左边的抛物线被标记为大于 0,向右打开。 另一个抛物线向左打开。
图 11.2.30

看看这些抛物线,它们的图表代表一个函数吗? 由于两张图都无法通过垂直线测试,因此它们不代表函数。

绘制向左或向右打开的物线基本上与我们对向上或向下打开的抛物线所做的相同,但xy变量反转。

操作方法:绘制水平抛物线y=ax2+bx+c or f(x)=a(xh)2+k using Properties
  • 第 1 步:确定抛物线是向左还是向右打开。
  • 步骤 2:找到对称轴。
  • 步骤 3:找到顶点。
  • 第 4 步:找到x截距。 在对称轴上找到x与-截距对称的点。
  • 第 5 步:找到y-intercepts。
  • 第 6 步:绘制抛物线图。
示例11.3.3

使用属性绘x=2y2制图表。

解决方案

表 11.2.5
  。
因为a=2,抛物线向右打开。  
。  
要找到对称轴,请找到y=b2a y=b2a
  y=-\dfrac{0}{2(2)}
  y=0
  对称轴是y=0
顶点在线上y=0 x=2 y^{2}
y=0 。
  x=0
  顶点是(0,0)

既然顶点是(0,0)x-和y-截距都是点(0,0)。 要绘制抛物线图,我们需要更多的点。 在这种情况下,最容易选择的值y

在方程中,x 等于 2 y 的平方,当 y 为 1 时,x 为 2,当 y 为 2 时,x 为 8。 分数为 (2, 1) 和 (8, 2)。
图 11.2.38

我们还绘制了(2,1)(8,2)y-轴对称的点,即点(2,−1),(8,−2)

绘制抛物线图。

此图显示了带有顶点 (0, 0) 的右开抛物线。 上面标有四个点:点 (2, 1)、点 (2、负 1)、点 (8、2) 和点 (8 减去 2)。
图 11.2.39
练习\PageIndex{5}

使用属性绘x=y^{2}制图表。

回答
这张图显示了右开抛物线,顶点位于原点。 上面的两个点是 (4, 2) 和 (4, 负 2)。
图 11.2.40
练习\PageIndex{6}

使用属性绘x=-y^{2}制图表。

回答
这张图显示了左开抛物线,顶点位于原点。 上面的两个点是(负 4,2)和(负 4,负 2)。
图 11.2.41

在下一个示例中,顶点不是原点。

示例\PageIndex{4}

使用属性绘x=-y^{2}+2 y+8制图表。

解决方案

  。
从那以后a=-1,抛物线向左打开。  
。  
要找到对称轴,请
找到y=-\dfrac{b}{2 a}
y=-\dfrac{b}{2 a}
  y=-\dfrac{2}{2(-1)}
  y=1
  对称轴是y=1
顶点在线上y=1 x=-y^{2}+2 y+8
y=1 。
  x=9
  顶点是(9,1)
x-截距发生在y=0. x=-y^{2}+2 y+8
  。
  x=8
  x-截距为(8,0)
该点(8,0)位于
对称线下方一个单位。 比对称线
上方一个单位的对称点是(8,2)
对称点是(8,2)
y-截距发生在x=0. x=-y^{2}+2 y+8
替代x=0 0=-y^{2}+2 y+8
解决。 y^{2}-2 y-8=0
  (y-4)(y+2)=0
  y=4, \quad  y=-2
  y-intercepts 是(0,4)(0,-2)
连接点以绘制抛物线。 。
表 11.2.6
练习\PageIndex{7}

使用属性绘x=-y^{2}-4 y+12制图表。

回答
这张图显示了带有顶点(16,负 2)和 x 截距(12,0)的左开抛物线。
图 11.2.58
练习\PageIndex{8}

使用属性绘x=-y^{2}+2 y-3制图表。

回答
此图显示左开抛物线,顶点为负 2, 1),x 截距减去 (3, 0)。
图 11.2.59

在表 11.2.4 中,我们看到了标准形式的方程与抛物线特性之间的关系。 操作方法框列出了以标准形式绘制抛物线的步骤x=a(y-k)^{2}+h。 我们将在下一个示例中使用此过程。

示例\PageIndex{5}

x=2(y-2)^{2}+1使用属性绘制图表。

解决方案

  。
识别常量a, h, k a=2, h=1, k=2
因为a=2,抛物线向右打开。  
。  
对称轴是y=k 对称轴是y=2
顶点是(h,k) 顶点是(1,2)
通过替换找到x-截距y=0 x=2(y-2)^{2}+1
x=2(0-2)^{2}+1
x=9
  x-截距为(9,0)
找到与对称轴(9,0)对称的点。 (9,4)
找到y-截图。 让x=0 \begin{aligned} x &=2(y-2)^{2}+1 \\ 0 &=2(y-2)^{2}+1 \\-1 &=2(y-2)^{2} \end{aligned}
  正方形不能为负,因此没有真正的解。 所以没有y-intercepts。
绘制抛物线图。 。
表 11.2.7
练习\PageIndex{9}

x=3(y-1)^{2}+2使用属性绘制图表。

回答
这张图显示了一个右开口的抛物线,顶点 (2, 1) 和 x 截距 (5, 0)。
图 11.2.63
练习\PageIndex{10}

x=2(y-3)^{2}+2使用属性绘制图表。

回答
这张图显示了一个右开口的抛物线,上面有顶点 (2、3) 和对称点 (4、2) 和 (4、4)。
图 11.2.64

在下一个示例中,我们注意到 a 是负数,因此抛物线向左打开。

示例\PageIndex{6}

x=-4(y+1)^{2}+4使用属性绘制图表。

解决方案

  。
识别常量a, h, k a=-4, h=4, k=-1
从那以后a=-4,抛物线向左打开。  
。  
对称轴是y=k 对称轴是y=-1
顶点是(h,k) 顶点是(4,-1)
通过替换找到x-截距y=0 x=-4(y+1)^{2}+4
x=-4(0+1)^{2}+4
x=0
  x-截距为(0,0)
找到与对称轴(0,0)对称的点。 (0,-2)
找到y-截图。 x=-4(y+1)^{2}+4
x=0 \begin{aligned} 0 &=-4(y+1)^{2}+4 \\-4 &=-4(y+1)^{2} \\ 1 &=(y+1)^{2} \\ y+1 &=\pm 1 \end{aligned}
  y=-1+1 \quad y=-1-1
  y=0 \quad\quad y=-2
  y-intercepts 是(0,0)(0,-2)
绘制抛物线图。 。
表 11.2.8
练习\PageIndex{11}

x=-4(y+2)^{2}+4使用属性绘制图表。

回答
此图显示了左侧的抛物线开口,其顶点(4,负 2)和 y 截距(0,负 1)和(0,负 3)。
图 11.2.68
练习\PageIndex{12}

x=-2(y+3)^{2}+2使用属性绘制图表。

回答
此图显示了左侧的抛物线开口,其顶点(2,负 3)和 y 截距(0,负 2)和(0,负 4)。
图 11.2.69

下一个示例要求我们首先将方程设置为标准形式,然后使用属性。

示例\PageIndex{7}

x=2 y^{2}+12 y+17以标准形式书写,然后使用标准形式的属性绘制方程图。

解决方案

  x=2 y^{2}+12 y+17
通过填写正方x=a(y-k)^{2}+h形来重写表单中的函数。 x=2\left(y^{2}+6 y\right)+17
  。
  x=2(y+3)^{2}-1
  。
识别常量a, h, k a=2, h=-1, k=-3
因为a=2,抛物线向右打开。  
。  
对称轴是y=k 对称轴是y=-3
顶点是(h,k) 顶点是(-1,-3)
通过替换找到x-截距y=0 x=2(y+3)^{2}-1
x=2(0+3)^{2}-1
x=17
  x-截距为(17,0)
找到与对称轴(17,0)对称的点。 (17,-6)

找到y-截图。

x=0

\begin{aligned} x &=2(y+3)^{2}-1 \\ 0 &=2(y+3)^{2}-1 \\ 1 &=2(y+3)^{2} \\ \dfrac{1}{2} &=(y+3)^{2} \\ y+3 &=\pm \sqrt{\dfrac{1}{2}} \\ y &=-3 \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}
  y=-3+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad y=-3-\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  y \approx-2.3 \quad y \approx-3.7
  y-intercepts 是\left(0,-3+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right),\left(0,-3-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)
绘制抛物线图。 。
表 11.2.9
练习\PageIndex{13}
  1. x=3 y^{2}+6 y+7以标准形式书写然后
  2. 使用标准形式的属性绘制方程图。
回答
  1. x=3(y+1)^{2}+4
  2.  
此图显示了一个向右开口的抛物线,顶点 (4,负 1) 和 x 截距 (7, 0)。
图 11.2.77
练习\PageIndex{14}
  1. x=-4 y^{2}-16 y-12以标准形式书写然后
  2. 使用标准形式的属性绘制方程图。
回答
  1. x=-4(y+2)^{2}+4
  2.  
此图显示了左侧开口的抛物线,顶点 (4,负 2),x 截距减去 (12, 0)。
图 11.2.78

使用抛物线求解应用程序

许多建筑设计都包含抛物线。 正如我们将在下一个示例中看到的那样,使用抛物线建造桥梁的情况并不少见。

示例\PageIndex{8}

找出在所示桥梁基础上形成的抛物线拱的方程。 用标准形式写出方程式。

该图显示了在桥基础上形成的抛物线拱形。 它高 10 英尺,底部宽 20 英尺。
图 11.2.79

解决方案

我们将首先设置一个坐标系并绘制抛物线。 该图将为我们提供以标准形式书写图表方程所需的信息y=a(x-h)^{2}+k

让桥的左下角作为该点坐标网格的原点(0,0)。 由于底部宽度为20英尺,因此该点(20,0)代表右下角。

这座桥的最高点有 10 英尺高。 最高点是抛物线的顶点,因此
顶点的y-坐标将是10
由于桥是对称的,因此顶点必须位于最左点和最右点之间(20,0)(0,0) 由此我们知道顶点的x-坐标也将是10

。
识别顶点,(h,k) (h, k)=(10,10)
  h=10, \quad k=10

将这些值替换为标准格式。

的值仍a未知。 要找到值,a请使用抛物线上的其他点之一。

\begin{aligned} y &=a(x-h)^{2}+k \\ y &=a(x-10)^{2}+10 \\(x, y) &=(0,0) \end{aligned}
将另一个点的值代入方程中。 y=a(x-10)^{2}+10
0=a(0-10)^{2}+10
求解a \begin{aligned} 0 &=a(0-10)^{2}+10 \\-10 &=a(-10)^{2} \\-10 &=100 a \\ \dfrac{-10}{100} &=a \\ a &=-\dfrac{1}{10} \end{aligned}
  y=a(x-10)^{2}+10
将的值替换a到方程中。 y=-\dfrac{1}{10}(x-10)^{2}+10
表 11.2.10
练习\PageIndex{15}

找出在所示桥梁基础上形成的抛物线拱的方程。 用标准形式写出方程式。

该图显示了在桥基础上形成的抛物线拱形。 它高 20 英尺,底部宽 40 英尺。
图 11.2.81
回答

y=-\dfrac{1}{20}(x-20)^{2}+20

练习\PageIndex{16}

找出在所示桥梁基础上形成的抛物线拱的方程。 用标准形式写出方程式。

该图显示了在桥基础上形成的抛物线拱形。 它高 5 英尺,底部宽 10 英尺。
图 11.2.82
回答

y=-\dfrac{1}{5} x^{2}+2 x y=-\dfrac{1}{5}(x-5)^{2}+5

访问这些在线资源,获取有关二次函数和抛物线的更多说明和练习。

  • 二次函数
  • 圆锥和绘制水平抛物线简介

关键概念

  • 抛物线:抛物线是平面中与定点和固定线距离相同的所有点。 定点称为焦点,固定线称为抛物线的直线。

垂直抛物线

 

通用表格

y=a x^{2}+b x+c

标准表单

y=a(x-h)^{2}+k

方向 \ (y=a x^ {2} +b x+c\)” >a>0 向上;a<0向下 \ (y=a (x-h) ^ {2} +k\)” >a>0 向上;a<0向下
对称轴 \ (y=a x^ {2} +b x+c\)” >x=-\dfrac{b}{2 a} \ (y=a (x-h) ^ {2} +k\)” >x=h
顶点 \ (y=a x^ {2} +b x+c\)” >替换x=-\dfrac{b}{2 a}
求解y .
\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\)” >(h, k)
y-截距 \ (y=a x^ {2} +b x+c\)” >Letx=0 \ (y=a (x-h) ^ {2} +k\)” >Letx=0
x-拦截 \ (y=a x^ {2} +b x+c\)” >Lety=0 \ (y=a (x-h) ^ {2} +k\)” >Lety=0
表 11.2.1
此图显示了两个抛物线,其轴 x 等于 h,顶点 h, k。左边的抛物线打开,A 大于 0。 右边的那个向下打开。 这里 A 小于 0。
图 11.2.3
  • 如何绘制垂直抛物线图y=a x^{2}+b x+cf(x)=a(x-h)^{2}+k)使用属性。
  1. 确定抛物线是向上还是向下打开。
  2. 找到对称轴。
  3. 找到顶点。
  4. 找到y截距。 在对称轴上找到y与-截距对称的点。
  5. 找到x-截图。
  6. 绘制抛物线图。

水平抛物线

 

通用表格

x=a y^{2}+b y+c

标准表单

x=a(y-k)^{2}+h

方向 \ (x=a y^ {2} +b y+c\) “>a>0 右;a<0 \ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) “>a>0 右;a<0
对称轴 \ (x=a y^ {2} +b y+c\)” >y=-\dfrac{b}{2 a} \ (x=a (y-k) ^ {2} +h\)” >y=k
顶点 \ (x=a y^ {2} +b y+c\)” >替换y=-\dfrac{b}{2 a}
求解x .
\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\)” >(h, k)
x-拦截 \ (x=a y^ {2} +b y+c\)” >Letx=0 \ (x=a (y-k) ^ {2} +h\)” >Letx=0
y-截距 \ (x=a y^ {2} +b y+c\)” >Lety=0 \ (x=a (y-k) ^ {2} +h\)” >Lety=0
表 11.2.4
此图显示了两个抛物线,其对称轴 y 等于 k,) 和顶点 (h, k)。左边的抛物线被标记为大于 0,向右打开。 另一个抛物线向左打开。
图 11.2.30
绘制水平抛物线

如何绘制水平抛物线图x=a y^{2}+b y+cx=a(y-k)^{2}+h使用属性。

  1. 确定抛物线是向左还是向右打开。
  2. 找到对称轴。
  3. 找到顶点。
  4. 找到x截距。 在对称轴上找到x与-截距对称的点。
  5. 找到y-截图。
  6. 绘制抛物线图。

词汇表

抛物线
抛物线是平面中与定点和固定线距离相同的所有点。