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10.3:计算指数函数并绘制其图形

学习目标

在本节结束时,您将能够:

  • 图形指数函数
  • 求解指数方程
  • 在应用程序中使用指数模型

在开始之前,请参加这个准备测验。

  1. 简化:(x3x2)
    如果您错过了此问题,请查看示例 5.13。
  2. 评估:a.20 b(13)0.
    如果您错过了此问题,请查看示例 5.14。
  3. 评估:a.21 b(13)1.
    如果您错过了此问题,请查看示例 5.15。

图形指数函数

到目前为止,我们研究的函数并不能为许多自然发生的现象提供模型。 从人口的增长和病毒的传播到放射性衰变和复合兴趣,这些模型与我们迄今为止研究的模型截然不同。 这些模型涉及指数函数。

指数函数是 w here and 形式的f(x)=ax函数a1a>0

定义1

指数函数,其中a>0 and 是以下形式的函数a1

f(x)=ax

请注意,在此函数中,变量是指数。 到目前为止,在我们的函数中,变量是基础。

此图显示了三个函数:x 的 f 等于负 3x 加 4,被标记为线性;f of x 等于 2x 平方加 5x 减去 3,标记为二次;x 的 f 等于 x 次方,标记为指数。 对于标记为线性和二次的函数,x 是基数。 对于标记为指数的函数,x 是以 6 为底的指数。
图 10.2.1

我们的定义是a1。 如果我们放手a=1,那f(x)=ax就变成f(x)=1x。 因为1x=1对于所有实数,f(x)=1. 这是常量函数。

我们的定义也说a>0。 比如说,如果我们让一个基数为负数4,那么什么时候就f(x)=(4)x不是一个实数x=12

f(x)=(4)xf(12)=(4)12f(12)=4 not a real number 

实际上,f(x)=(4)x任何时候都不是实数x是带有偶数分母的分数。 所以我们的定义要求a>0

通过绘制几个指数函数,我们将能够看到它们的独特属性。

示例1

在同一个坐标系图上f(x)=2xg(x)=3x.

解决方案

我们将使用点图来绘制函数图。

此表有七行五列。 第一行是标题行,读取 x,x 的 f 等于 x 次方,(x, f of x),g of x 等于 x 次方,(x, g of x),g of x 等于 x 次方,(x, g of x)。 第二行读取负 2,2 到负 2 的功率等于 1 除以 2 的平方,等于 1 比 4,(负 2,1 高于 4),3 到负 2 的功率等于 1 除以 3 的平方,等于 1 比 9(负 2,1 高于 9)。 第三行读取负 1,2 到负 1 的功率等于 1 除以 2 得到 1 的第一个功率(负 1,1 高于 2),3 到负 1 的功率等于 1 除以 3 得到 1 的第一个功率(负 1,1 高于 3)。 第四行读取 0,2 到 0 的功率等于 1,(0, 1),3 到 0 的功率等于 1,(0, 1)。 第五行读取 1,2 对 1 的乘方等于 2,(1, 2),3 到 1 的乘方等于 9,(1, 3)。 第六行读取 2,2 的乘方等于 4,(2, 4),3 到 2 的乘方等于 9,(2, 9)。 第七行读取 3,2 对 3 的功率等于 8,(3, 8),3 到 3 的功率等于 27,(3, 27)。
图 10.2.2
此图显示了两条曲线。 第一条曲线以蓝色标记并穿过点(负 1、1 高于 2)、(0、1)和(1、2)。 第二条曲线以红色标记并穿过点(负 1、1 比 3)、(0、1)和(1、3)。
图 10.2.3
练习1

图表:f(x)=4x

回答
此图显示了一条曲线,该曲线从正上方(负 3, 0)到 (0, 1) 直到 (1, 4) 快速向上倾斜。
图 10.2.4
练习2

图表:g(x)=5x

回答
此图显示了一条曲线,该曲线从正上方(负 3, 0)到 (0, 1) 直到 (1, 5) 快速向上倾斜。
图 10.2.5

如果我们看一下前面示例 10.2.1 和练习 10.2.1 和 10.2.2 中的图表,我们可以识别出指数函数的一些属性。

f(x)=2x和的图g(x)=3x以及f(x)=4xg(x)=5x的图形都具有相同的基本形状。 这是我们期望从指数函数得到的形状,其中a>1

我们注意到,对于每个函数,图中都包含点(0,1)。 这是有道理的,因为a0=1对任何人来说a.

每个函数的图形f(x)=ax也包含点(1,a)f(x)=2x包含的图(1,2)g(x)=3x包含的图表(1,3)。 这是有道理的,因为a1=a.

还要注意,每个函数的图表f(x)=ax也包含点(1,1a)f(x)=2x包含的图(1,12)g(x)=3x包含的图表(1,13)。这很有意义a1=1a

每个函数的域是什么? 从图中我们可以看出,域是所有实数的集合。 域名没有限制。 我们将区间表示法中的域写为(,)

看看每张图表。 该函数的范围是多少? 图表永远不会碰到x-axis。 范围均为正数。 我们将间隔表示法中的范围写为(0,)

每当函数的图接近一条直线但从未碰到它时,我们就称该线为渐近线。 对于我们正在研究的指数函数,图形非常接近x-axis,但永远不会越过它,我们称这条线y=0,即x-axis,水平渐近线。

f(x)=ax何时图表的属性a>1

域名 (,)
射程 (0,)
x-截距
y-截距 (0,1)
包含 (1,a),(1,1a)
渐近线 x-axis,直线y=0
表 10.2.1
此图显示了一条从(负 1,1 比 a)到(0,1)向上倾斜到(1,a)的曲线。
图 10.2.6

我们对指数函数的定义是这样f(x)=ax说的a>0,但是到目前为止的例子和讨论都是关于函数在哪里a>1。 下一个示例将探讨这种可能性时0<a<1会发生什么。

示例2

在同一个坐标系上,绘制图表f(x)=(12)xg(x)=(13)x

解决方案

我们将使用点图来绘制函数图。

此表有七行五列。 第一行是标题行,读取 x,f of x,等于 1 比 x 次方,(x, f of x),x 的 g 等于 1 比 x 次方,以及 (x, g of x)。 第二行读取负 2,1 高于 2 到负 2 的乘方等于 2 的平方,等于 4,(负 2,4),3 到负 2 的乘方等于 9,(负 2,9)。 第三行读取负 1,1 大于 2,负 1 次功率等于 2 的第一个功率等于 2,(负 1,2),1 大于 3 等于 3 的第一个功率等于 3(负 1,3)。 第四行读取 0,1 大于 2 到 0 的功率等于 1,(0, 1),1 大于 3 到 0 的功率等于 1,(0, 1)。 第五行读取 1,1 比 2 的功率等于 1 比 2,(1,1 比 2),1 比 3 的功率等于 1 比 3,(1 比 3)。 第六行读取 2,1 比 2 的功率等于 1 比 4,(2,1 大于 4),1 比 3 等于 1 比 9,(2,1 比 9)。 第七行读取 3,1 比 2,3 的功率等于 1 比 8,(3,1 比 8),1 比 3 的功率等于 1 比 27,(3,1 比 27)。
图 10.2.7
此图显示了两条曲线。 第一条曲线以蓝色标记并穿过点(负 1、2)、(0、1)和(1、1 比 2)。 第二条曲线以红色标记并穿过点(负 1、3)、(0、1)和(1、1 比 3)。
图 10.2.8
练习3

图表:f(x)=(14)x

回答
此图显示了一条穿过(负 1、4)、(0、1)到正上方(3、0)点的曲线。
图 10.2.9
练习4

图表:g(x)=(15)x

回答
此图显示了一条穿过(负 1、5)、(0、1)到正上方(3、0)点的曲线。
图 10.2.10

现在让我们看一下前面示例 10.2.2 和练习 10.2.3 和 10.2.4 中的图表,这样我们现在就可以确定指数函数的一些属性了0<a<1

f(x)=(12)x和的图表g(x)=(13)x以及f(x)=(14)x和的图形g(x)=(15)x都具有相同的基本形状。 虽然这是我们期望从指数函数中得到的形状,其中0<a<1,图形从左向右向下移动,而前面的图形从左向右向上移动。a>1

我们注意到,对于每个函数,图表仍然包含点(0,1)。 这是有道理的,因为a0=1对任何人来说a.

和以前一样,每个函数的图形也包含点(1,a)f(x)=ax f(x)=(12)x包含的图(1,12)g(x)=(13)x包含的图表(1,13)。 这是有道理的,因为a1=a.

还要注意,每个函数的图形也包含点(1,1a)f(x)=ax f(x)=(12)x包含的图(1,2)g(x)=(13)x包含的图表(1,3)。 这是有道理的,因为a1=1a.

每个函数的域和范围是多少? 从图中我们可以看出,域是所有实数的集合,我们将区间表示法中的域写成(,)。 同样,图表永远不会碰到x-axis。 范围均为正数。 我们将间隔表示法中的范围写为(0,)

我们将在下表中总结这些属性。 其中还包括何时a>1.

图表的属性f(x)=ax

什么时候a>1 什么时候0<a<1
\ (a “>1\)” >域 (,) \ (0<a<1\)” >Domain (,)
\ (a “>1\)” >范围 (0,) \ (0<a<1\)” >Range (0,)
\ (a “>1\)” >x-intercept \ (0<a<1\)” >x-intercept
\ (a “>1\)” >y-intercept (0,1) \ (0<a<1\)” >y-intercept (0,1)
\ (a “>1\)” >包含 (1,a),(1,1a) \ (0<a<1\) “>包含 (1,a),(1,1a)
\ (a “>1\)” >渐近线

x-axis,直线y=0

\ (0<a<1\)” >渐近线 x-axis,直线y=0
\ (a “>1\)” >基本形状 增加 \ (0<a<1\)” >基本形状 减少
表 10.2.2
此图分为两部分。 在左边,我们有一条曲线穿过(负 1,1 在 a 上)穿过(0,1)到(1,a)。 在右边,其中 a 小于 1,我们有一条曲线穿过(负 1,1 高于 a)通过 (0, 1) 到 (1, a)。
图 10.2.11

对我们来说,重要的是要注意,这两张图都是一对一的,因为它们都通过了水平线测试。 这意味着指数函数将具有逆函数。 我们稍后再来看这个。

当我们绘制二次函数时,我们能够使用平移来绘制图形,而不仅仅是绘制点。 这在绘制指数函数时行得通吗?

示例3

在同一个坐标系图上f(x)=2xg(x)=2x+1.

解决方案

我们将使用点图来绘制函数图。

此表有七行五列。 第一行是标题行,读取 x,x 的 f 等于 x 幂的 2,(x,f of x),g of x 等于 x 加 1 的幂和(x,g of x)。 第二行读取负 2,2 到负 2 的功率等于 1 除以 2 的平方,等于 1 比 4,(负 2,1 高于 4),2 到负 2 加 1 的功率等于 1 除以 2 得到 1 的第一个乘方(负 2,1 比 2)。 第三行读取负 1,2 到负 1 的功率等于 1 除以 2 得到 1 的第一个乘方,后者等于 1 比 2(负 1,1 高于 2),2 到负 1 加 1 的功率等于 2 等于 1(负 1,1)。 第四行读取 0,2 到 0 的功率等于 1,(0, 1),2 到 0 加 1 的功率等于 2,等于 2,(0, 2)。 第五行读取 1,2 对 1 的功率等于 2,(1, 2),2 到 1 加 1 的功率等于 2 等于 4,(1, 4)。 第六行读取 2,2 对 2 的功率等于 4,(2, 4),2 到 2 加 1 的功率等于 2 的第三次幂等于 8,(2, 8)。 第七行读取 3,2 到 3 的功率等于 8,(3, 8),2 到 3 加 1 的功率等于 2 的第四次乘方,即 16,(3, 16)。
图 10.2.12
此图显示了两条曲线。 第一条曲线以蓝色标记并穿过点(负 1,1 高于 2)、(0、1)和(1、2)。 第二条曲线以红色标记并穿过点(负 1、1)、(0、2)和(1、4)。
图 10.2.13
练习5

在同一个坐标系上,绘制图表:f(x)=2xg(x)=2x1

回答
此图显示了两个函数的图表。 x 的第一个函数 f 等于 2,x 次方以蓝色标记,对应于一条穿过点(负 1,1 高于 2)、(0、1)和(1、2)的曲线。 x 的第二个函数 g 等于 2,x 减 1 的幂以红色标记并穿过点(0、1 over 2)、(1、1)和(2、2)。
图 10.2.14
练习6

在同一个坐标系上,绘制图表f(x)=3xg(x)=3x+1

回答
此图显示了两个函数的图表。 x 的第一个函数 f 等于 3,x 次方以蓝色标记,对应于一条穿过点(负 1,1 高于 3)、(0、1)和(1、3)的曲线。 x 的第二个函数 g 等于 3,x 加 1 的幂以红色标记并穿过点(负 2、1 高于 3)、(负 1、1)和(0、3)。
图 10.2.15

看看函数的图表f(x)=2x和最后一个例子,我们可以看到,g(x)=2x+1在指数中加一个单位会导致向左水平移动一个单位。 识别这种模式允许我们通过翻译绘制具有相同模式的其他函数。

现在让我们考虑另一种情况,一旦我们识别出这种模式,翻译可能会更容易地绘制出来。

示例4

在同一个坐标系图上f(x)=3xg(x)=3x2.

解决方案

我们将使用点图来绘制函数图。

此表有五行六列。 第一行是标题行,读取 x,x 的 f 等于 x 幂的 3,(x,f of x),g of x 等于 x 幂减 2,以及(x,g of x)。 第二行读取负 2,3 到负 2 的功率等于 1 比 9,(负 2,1 高于 9),3 到负 2 的功率减去 2 等于 1 比 9 减去 2 等于 9 的负 17,(负 2,负 17 高于 9)。 第三行读取负 1,3 到负 1 的功率等于 1 比 3,(负 1,1 高于 3),3 到负 1 的功率减去 2 等于 1 比 3 减去 2 等于负 5 比 3,(负 1,负 5 高于 3)。 第四行读取 0,3 到 0 的功率等于 1,(0, 1),3 到 0 的功率减去 2 等于 1 减去 2 等于负 1,(0,负 1)。 第五行读取 1,3 到 1 的功率等于 3,(1, 3),3 到 1 的功率减去 2 等于 3 减去 2 等于 1,(1, 1)。 第六行读取 2,3 平方等于 9,(2, 9),3 平方减去 2 等于 9 减去 2 等于 7,(2, 7)。
图 10.2.16
此图显示了两条曲线。 第一条曲线以蓝色标记并穿过点(负 1、1 比 3)、(0、1)和(1、3)。 第二条曲线以红色标记并穿过点(负 1、负 5 超过 3)、(0、负 1)和(1、1)。
图 10.2.17
练习7

在同一个坐标系上,绘制图表f(x)=3xg(x)=3x+2

回答
此图显示了两个函数的图表。 x 的第一个函数 f 等于 3,x 次方以蓝色标记,对应于一条穿过点(负 1,1 高于 3)、(0、1)和(1、3)的曲线。 x 的第二个函数 g 等于 3,x 幂加 2 以红色标记并穿过点(负 1、7 比 3)、(0、3)和(1、5)。
图 10.2.18
练习8

在同一个坐标系上,绘制图表f(x)=4xg(x)=4x2

回答
此图显示了两个函数的图表。 x 的第一个函数 f 等于 4,x 次方以蓝色标记,对应于一条穿过点(负 1,1 高于 4)、(0、1)和(1、4)的曲线。 x 的第二个函数 g 等于 4,x 幂减 2 以红色标记并穿过点(负 1、负 7 高于 4)、(0、负 1)和(1、2)。
图 10.2.19

看看函数的图表f(x)=3xg(x)=3x2最后一个例子,我们发现减法2导致垂直向下移动两个单位。 请注意,水平渐近线也向下移动了2单位。 识别这种模式允许我们通过翻译绘制具有相同模式的其他函数。
我们所有的指数函数都以整数或有理数作为基数。 我们现在来看一个以非理数为基数的指数函数。

在我们查看这个指数函数之前,我们需要定义非理性数e。 这个数字被用作许多由指数函数建模的科学和商业应用程序的基础。 该数字被定义为 a(1+1n)n s 的值n越来越大。 我们说,随着n接近无穷大,或者无限增加。 该表显示了多个值的值n(1+1n)n

n (1+1n)n
\ (n\)” >1 \ (\ 左 (1+\ frac {1} {n}\ 右) ^ {n}\)” >2
\ (n\)” >2 \ (\ 左 (1+\ frac {1} {n}\ 右) ^ {n}\)” >2.25
\ (n\)” >5 \ (\ 左 (1+\ frac {1} {n}\ 右) ^ {n}\)” >2.48832
\ (n\)” >10 \ (\ 左 (1+\ frac {1} {n}\ 右) ^ {n}\)” >2.59374246
\ (n\)” >100 \ (\ 左 (1+\ frac {1} {n}\ 右) ^ {n}\)” >2.704813829
\ (n\)” >1,000 \ (\ 左 (1+\ frac {1} {n}\ 右) ^ {n}\)” >2.716923932
\ (n\)” >10,000 \ (\ 左 (1+\ frac {1} {n}\ 右) ^ {n}\)” >2.718145927
\ (n\)” >100,000 \ (\ 左 (1+\ frac {1} {n}\ 右) ^ {n}\)” >2.718268237
\ (n\)” >1,000,000 \ (\ 左 (1+\ frac {1} {n}\ 右) ^ {n}\)” >2.718280469
\ (n\)” >1,000,000,000 \ (\ 左 (1+\ frac {1} {n}\ 右) ^ {n}\)” >2.718281827
表 10.2.3

e2.718281827

e这个数字就像数字一样,我们使用符号来表示它,因为它的十进制表示永远不会停止或重复。π 非理性数e被称为自然基数。

定义\PageIndex{2}

天然基地e

该数字e被定义为的值\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n},无限n增加。 我们说,随着无限的n临近,

e \approx 2.718281827

基数为e的指数函数f(x)=e^{x}称为自然指数函数

定义\PageIndex{3}

自然指数函数

自然指数函数是一个指数函数,其基数为e

f(x)=e^{x}

域为(−∞,∞),范围为(0,∞)

让我们在与g(x)=2^{x}和相同的坐标系f(x)=e^{x}上绘制函数图h(x)=3^{x}

此图显示了三个函数的图表。 第一个函数,x 的 f 等于 2 比 x,用红色标记并穿过点(负 1、负 1 高于 2)、(0、负 1)和(2、1)。 第二个函数,x 的 f 等于 x 次方的 3,以绿色标记,对应于一条穿过点(负 1,1 比 3)、(0、1)和(1、3)的曲线。 第三个函数,x 的 f 等于 e 对 x 次方,用蓝色标记,对应于一条穿过点(负 1,1 over e)、(0、1)和(0,e)的曲线。
图 10.2.20

请注意,的图表介f(x)=e^{x}于 “g(x)=2^{x}和” 的图表之间h(x)=3^{x}。这有意义2<e<3吗?

求解指数方程

包含指数表达式的方程a^{x}称为指数方程。 为了解决这些问题,我们使用一个属性,表示长为a>0a≠1 anda^{x}=a^{y},如果是真的x=y。 换句话说,在指数方程中,如果基数相等,则指数相等。

定义\PageIndex{4}

指数方程的一对一性质

对于a>0 anda≠1

如果a^{x}=a^{y},那么x=y

要使用这个属性,我们必须确保方程的两边都用相同的基数书写。

示例\PageIndex{5} How to Solve an Exponential Equation

解决:3^{2 x-5}=27

解决方案

第 1 步:用相同的基数写下方程的两面。 因为左边有底座3,所以我们用底写右边327=3^{3} 3^{2 x-5}=27
3^{2 x-5}=3^{3}
第 2 步:通过将指数设置为相等来写一个新方程。 由于基数相同,因此指数必须相等。 2x-5=3
步骤 3:求解方程。

5添加到每一面。

除以2

\begin{aligned} 2 x &=8 \\ x &=4 \end{aligned}
步骤 4:检查解决方案。 替换x=4成原始方程式。 \begin{aligned} 3^{2 x-5} &=27 \\ 3^{2 \cdot \color{red}{4}\color{black}{-}5} & \stackrel{?}{=} 27 \\ 3^{3} &\stackrel{?}{=}27 \\ 27 &=27 \end{aligned}
表 10.2.4
练习\PageIndex{9}

解决:3^{3 x-2}=81

回答

x=2

练习\PageIndex{10}

解决:7^{x-3}=7

回答

x=4

这些步骤总结如下。

如何求解指数函数

  1. 如果可能的话,用相同的基数写下方程的两面。
  2. 通过将指数设置为相等来写一个新方程。
  3. 求解方程。
  4. 检查解决方案。

在下一个示例中,我们将使用指数的属性。

示例\PageIndex{6}

解决\frac{e^{x^{2}}}{e^{3}}=e^{2 x}

解决方案

  \frac{e^{x^{2}}}{e^{3}}=e^{2 x}
使用指数的属性:\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}. e^{x^{2}-3}=e^{2 x}
通过将指数设置为相等来写一个新方程。 x^{2}-3=2 x
求解方程。 x^{2}-2 x-3=0
  (x-3)(x+1)=0
  x=3, x=-1
检查解决方案。  
。  
表 10.2.5
练习\PageIndex{11}

解决:\frac{e^{x^{2}}}{e^{x}}=e^{2}

回答

x=-1, x=2

练习\PageIndex{12}

解决:\frac{e^{x^{2}}}{e^{x}}=e^{6}

回答

x=-2, x=3

在应用程序中使用指数模型

指数函数可对许多情况进行建模。 如果您拥有银行账户,则说明您已经体验过指数函数的使用。 有两个公式用于确定赚取利息时账户中的余额。 如果本金是按利率投资的Pr,那么t多年来,新的余额将取决于利息复利的频率。A 如果每年的利息是复利n次数,我们使用公式A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}。 如果利息持续复利,我们使用公式A=Pe^{rt}。 这些是复利的公式。

定义\PageIndex{5}

复利

对于按利率投资的本金rt多年来,新的余额是:PA

\begin{array}{ll}{A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}} & {\text { when compounded } n \text { times a year. }} \\ {A=P e^{r t}} & {\text { when compounded continuously. }}\end{array}

在使用利息公式时,先确定变量的值,然后将其替换为公式通常很有帮助。

示例\PageIndex{7}

总计 $ 投资10,000于大学基金,用于新孙子. 如果利率为5 %,那么通过每种复利方法,按18年计算,账户中将有多少?

  1. 化合物季刊
  2. 化合物月报
  3. 持续化合物

解决方案

确定公式中每个变量的值。 记得将百分比表示为十进制。

\begin{aligned} A &=? \\ P &=\$ 10,000 \\ r &=0.05 \\ t &=18 \text { years } \end{aligned}

a. 对于季度复利,n=4。 一年中有4几个季度。

A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}

用公式中的值代替。

A=10,000\left(1+\frac{0.05}{4}\right)^{4 \cdot 18}

计算金额。 在计算器中输入表达式时,请谨慎考虑运算顺序。

A=\$ 24,459.20

b. 对于月度复利,n=12.一年中有12几个月。

A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}

用公式中的值代替。

A=10,000\left(1+\frac{0.05}{12}\right)^{12 \cdot 18}

计算金额。

A=\$ 24,550.08

c. 为了连续复合,

A=P e^{r t}

用公式中的值代替。

A=10,000 e^{0.05 \cdot 18}

计算金额。

A=\$ 24,596.03

练习\PageIndex{13}

安吉拉在储蓄账户15,000中投资了美元。 如果利率为4 %,那么通过每种复利方法,按10年计算,账户中将有多少?

  1. 化合物季刊
  2. 化合物月报
  3. 持续化合物
回答
  1. $22,332.96
  2. $22,362.49
  3. $22,377.37
练习\PageIndex{14}

艾伦投资了美元10,000,投资了一个共同基金。 如果利率为5 %,那么通过每种复利方法,按15年计算,账户中将有多少?

  1. 化合物季刊
  2. 化合物月报
  3. 持续化合物
回答
  1. $21,071.81
  2. $21,137.04
  3. $21,170.00

由指数函数建模的其他主题涉及增长和衰退。 两者都使用A=Pe^{rt}我们用于货币增长的公式。 对于增长和衰退,我们通常使用A_{0}本金作为原始金额P,而不是称之为本金。 我们看到,指数增长的增长率为正,指数衰减的增长率为负。

定义\PageIndex{6}

指数增长和衰退

对于以一定速度增长或衰减的原始金额r,在一定时间内t,最终量为:A_{0}A

A=A_{0} e^{r t}

指数级增长通常体现在人类、动物或细菌种群的增长中。 我们的下一个例子是病毒的生长。

示例\PageIndex{8}

克里斯是疾病控制与预防中心的研究员,他正在努力了解一种新的危险病毒的行为。 他开始100对以每小时25百分比的速度生长的病毒进行实验。 他将在24几个小时内检查病毒。 他会发现多少病毒?

解决方案

确定公式中每个变量的值。 务必以十进制形式输入百分比。 确保单位匹配-费率为每小时,时间以小时为单位。

\begin{aligned} A &=? \\ A_{0} &=100 \\ r &=0.25 / \text { hour } \\ t &=24 \text { hours } \end{aligned}

用公式中的值代替:A=A_{0} e^{r t}

A=100 e^{0.25 \cdot 24}

计算金额。

A=40,342.88

四舍五入到最接近的完整病毒。

A=40,343

研究人员会发现40,343病毒。

练习\PageIndex{15}

疾病控制与预防中心的另一位研究人员丽莎正在研究细菌的生长。 她开始对以每小时15百分比50的速度生长的细菌进行实验。 他将每隔一8小时检查一次细菌。 他会在8几个小时内发现多少细菌?

回答

她会发现166细菌。

练习\PageIndex{16}

生物学家玛丽亚正在观察病毒的生长模式。 她首先讲100的是以每小时10 %增长的速度增长的病毒。 她会在24几个小时内检查病毒。 她会发现多少病毒?

回答

她会发现1,102病毒。

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关键概念

  • 图表的属性f(x)=a^{x}
什么时候a>1 什么时候0<a<1
\ (a “>1\)” >域 (-\infty, \infty) \ (0<a<1\)” >Domain (-\infty, \infty)
\ (a “>1\)” >范围 (0, \infty) \ (0<a<1\)” >Range (0, \infty)
\ (a “>1\)” >x-intercept \ (0<a<1\)” >x-intercept
\ (a “>1\)” >y-intercept (0,1) \ (0<a<1\)” >y-intercept (0,1)
\ (a “>1\)” >包含 (1, a),\left(-1, \frac{1}{a}\right) \ (0<a<1\) “>包含 (1, a),\left(-1, \frac{1}{a}\right)
\ (a “>1\)” >渐近线

x-axis,直线y=0

\ (0<a<1\)” >渐近线 x-axis,直线y=0
\ (a “>1\)” >基本形状 增加 \ (0<a<1\)” >基本形状 减少
表 10.2.2
此图分为两部分。 在左边,我们有一条曲线穿过(负 1,1 在 a 上)穿过(0,1)到(1,a)。 在右边,其中 a 小于 1,我们有一条曲线穿过(负 1,1 高于 a)通过 (0, 1) 到 (1, a)。
图 10.2.11
  • 指数方程的一对一属性:F
    or ana>0 da≠1

    A=A_{0} e^{r t}

  • 如何求解指数方程
    1. 如果可能的话,用相同的基数写下方程的两面。
    2. 通过将指数设置为相等来写一个新方程。
    3. 求解方程。
    4. 检查解决方案。
  • 复利:对于按利率投资的本金rt多年来,新余额为PA
    \begin{array}{ll}{A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}} & {\text { when compounded } n \text { times a year. }} \\ {A=P e^{r t}} & {\text { when compounded continuously. }}\end{array}
  • 指数增长和衰减:对于以一定速率增长或衰减的原始量r,在一定时间tA,最终量为A=A_{0}e^{rt}A_{0}

词汇表

渐近线
函数图近距离接近但从不接触的直线。
指数函数
指数函数,其中a>0 and 是以下形式的函数f(x)=a^{x}a≠1
天然基础
数字e被定义为的值(1+\frac{1}{n})^{n}n越来越大。 我们说,随着无限n增长,e≈2.718281827...
自然指数函数
自然指数函数是一个指数函数,其基数为e:f(x)=e^{x}。 域为(−∞,∞),范围为(0,∞)