10.3:计算指数函数并绘制其图形
在本节结束时,您将能够:
- 图形指数函数
- 求解指数方程
- 在应用程序中使用指数模型
在开始之前,请参加这个准备测验。
- 简化:(x3x2)。
如果您错过了此问题,请查看示例 5.13。 - 评估:a.20 b(13)0.
如果您错过了此问题,请查看示例 5.14。 - 评估:a.2−1 b(13)−1.
如果您错过了此问题,请查看示例 5.15。
图形指数函数
到目前为止,我们研究的函数并不能为许多自然发生的现象提供模型。 从人口的增长和病毒的传播到放射性衰变和复合兴趣,这些模型与我们迄今为止研究的模型截然不同。 这些模型涉及指数函数。
指数函数是 w here and 形式的f(x)=ax函数a≠1。a>0
指数函数,其中a>0 and 是以下形式的函数a≠1
f(x)=ax
请注意,在此函数中,变量是指数。 到目前为止,在我们的函数中,变量是基础。

我们的定义是a≠1。 如果我们放手a=1,那f(x)=ax就变成f(x)=1x。 因为1x=1对于所有实数,f(x)=1. 这是常量函数。
我们的定义也说a>0。 比如说,如果我们让一个基数为负数−4,那么什么时候就f(x)=(−4)x不是一个实数x=12。
f(x)=(−4)xf(12)=(−4)12f(12)=√−4 not a real number
实际上,f(x)=(−4)x任何时候都不是实数x是带有偶数分母的分数。 所以我们的定义要求a>0。
通过绘制几个指数函数,我们将能够看到它们的独特属性。
在同一个坐标系图上f(x)=2x和g(x)=3x.
解决方案:
我们将使用点图来绘制函数图。


图表:f(x)=4x。
- 回答
-
图 10.2.4
图表:g(x)=5x
- 回答
-
图 10.2.5
如果我们看一下前面示例 10.2.1 和练习 10.2.1 和 10.2.2 中的图表,我们可以识别出指数函数的一些属性。
f(x)=2x和的图g(x)=3x以及f(x)=4x和g(x)=5x的图形都具有相同的基本形状。 这是我们期望从指数函数得到的形状,其中a>1。
我们注意到,对于每个函数,图中都包含点(0,1)。 这是有道理的,因为a0=1对任何人来说a.
每个函数的图形f(x)=ax也包含点(1,a)。 f(x)=2x包含的图(1,2)和g(x)=3x包含的图表(1,3)。 这是有道理的,因为a1=a.
还要注意,每个函数的图表f(x)=ax也包含点(−1,1a)。 f(x)=2x包含的图(−1,12)和g(x)=3x包含的图表(−1,13)。这很有意义a−1=1a。
每个函数的域是什么? 从图中我们可以看出,域是所有实数的集合。 域名没有限制。 我们将区间表示法中的域写为(−∞,∞)。
看看每张图表。 该函数的范围是多少? 图表永远不会碰到x-axis。 范围均为正数。 我们将间隔表示法中的范围写为(0,∞)。
每当函数的图接近一条直线但从未碰到它时,我们就称该线为渐近线。 对于我们正在研究的指数函数,图形非常接近x-axis,但永远不会越过它,我们称这条线y=0,即x-axis,水平渐近线。
f(x)=ax何时图表的属性a>1
域名 | (−∞,∞) |
射程 | (0,∞) |
x-截距 | 无 |
y-截距 | (0,1) |
包含 | (1,a),(−1,1a) |
渐近线 | x-axis,直线y=0 |

我们对指数函数的定义是这样f(x)=ax说的a>0,但是到目前为止的例子和讨论都是关于函数在哪里a>1。 下一个示例将探讨这种可能性时0<a<1会发生什么。
在同一个坐标系上,绘制图表f(x)=(12)x和g(x)=(13)x。
解决方案:
我们将使用点图来绘制函数图。


图表:f(x)=(14)x。
- 回答
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图 10.2.9
图表:g(x)=(15)x。
- 回答
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图 10.2.10
现在让我们看一下前面示例 10.2.2 和练习 10.2.3 和 10.2.4 中的图表,这样我们现在就可以确定指数函数的一些属性了0<a<1。
f(x)=(12)x和的图表g(x)=(13)x以及f(x)=(14)x和的图形g(x)=(15)x都具有相同的基本形状。 虽然这是我们期望从指数函数中得到的形状,其中0<a<1,图形从左向右向下移动,而前面的图形从左向右向上移动。a>1
我们注意到,对于每个函数,图表仍然包含点(0,1)。 这是有道理的,因为a0=1对任何人来说a.
和以前一样,每个函数的图形也包含点(1,a)。f(x)=ax f(x)=(12)x包含的图(1,12)和g(x)=(13)x包含的图表(1,13)。 这是有道理的,因为a1=a.
还要注意,每个函数的图形也包含点(−1,1a)。f(x)=ax f(x)=(12)x包含的图(−1,2)和g(x)=(13)x包含的图表(−1,3)。 这是有道理的,因为a−1=1a.
每个函数的域和范围是多少? 从图中我们可以看出,域是所有实数的集合,我们将区间表示法中的域写成(−∞,∞)。 同样,图表永远不会碰到x-axis。 范围均为正数。 我们将间隔表示法中的范围写为(0,∞)。
我们将在下表中总结这些属性。 其中还包括何时a>1.
图表的属性f(x)=ax
什么时候a>1 | 什么时候0<a<1 | ||
---|---|---|---|
\ (a “>1\)” >域 | (−∞,∞) | \ (0<a<1\)” >Domain | (−∞,∞) |
\ (a “>1\)” >范围 | (0,∞) | \ (0<a<1\)” >Range | (0,∞) |
\ (a “>1\)” >x-intercept | 无 | \ (0<a<1\)” >x-intercept | 无 |
\ (a “>1\)” >y-intercept | (0,1) | \ (0<a<1\)” >y-intercept | (0,1) |
\ (a “>1\)” >包含 | (1,a),(−1,1a) | \ (0<a<1\) “>包含 | (1,a),(−1,1a) |
\ (a “>1\)” >渐近线 |
x-axis,直线y=0 |
\ (0<a<1\)” >渐近线 | x-axis,直线y=0 |
\ (a “>1\)” >基本形状 | 增加 | \ (0<a<1\)” >基本形状 | 减少 |

对我们来说,重要的是要注意,这两张图都是一对一的,因为它们都通过了水平线测试。 这意味着指数函数将具有逆函数。 我们稍后再来看这个。
当我们绘制二次函数时,我们能够使用平移来绘制图形,而不仅仅是绘制点。 这在绘制指数函数时行得通吗?
在同一个坐标系图上f(x)=2x和g(x)=2x+1.
解决方案:
我们将使用点图来绘制函数图。


在同一个坐标系上,绘制图表:f(x)=2x和g(x)=2x−1。
- 回答
-
图 10.2.14
在同一个坐标系上,绘制图表f(x)=3x和g(x)=3x+1。
- 回答
-
图 10.2.15
看看函数的图表f(x)=2x和最后一个例子,我们可以看到,g(x)=2x+1在指数中加一个单位会导致向左水平移动一个单位。 识别这种模式允许我们通过翻译绘制具有相同模式的其他函数。
现在让我们考虑另一种情况,一旦我们识别出这种模式,翻译可能会更容易地绘制出来。
在同一个坐标系图上f(x)=3x和g(x)=3x−2.
解决方案:
我们将使用点图来绘制函数图。


在同一个坐标系上,绘制图表f(x)=3x和g(x)=3x+2。
- 回答
-
图 10.2.18
在同一个坐标系上,绘制图表f(x)=4x和g(x)=4x−2。
- 回答
-
图 10.2.19
看看函数的图表f(x)=3x和g(x)=3x−2最后一个例子,我们发现减法2导致垂直向下移动两个单位。 请注意,水平渐近线也向下移动了2单位。 识别这种模式允许我们通过翻译绘制具有相同模式的其他函数。
我们所有的指数函数都以整数或有理数作为基数。 我们现在来看一个以非理数为基数的指数函数。
在我们查看这个指数函数之前,我们需要定义非理性数e。 这个数字被用作许多由指数函数建模的科学和商业应用程序的基础。 该数字被定义为 a(1+1n)n s 的值n越来越大。 我们说,随着n接近无穷大,或者无限增加。 该表显示了多个值的值n。(1+1n)n
n | (1+1n)n |
---|---|
\ (n\)” >1 | \ (\ 左 (1+\ frac {1} {n}\ 右) ^ {n}\)” >2 |
\ (n\)” >2 | \ (\ 左 (1+\ frac {1} {n}\ 右) ^ {n}\)” >2.25 |
\ (n\)” >5 | \ (\ 左 (1+\ frac {1} {n}\ 右) ^ {n}\)” >2.48832 |
\ (n\)” >10 | \ (\ 左 (1+\ frac {1} {n}\ 右) ^ {n}\)” >2.59374246 |
\ (n\)” >100 | \ (\ 左 (1+\ frac {1} {n}\ 右) ^ {n}\)” >2.704813829… |
\ (n\)” >1,000 | \ (\ 左 (1+\ frac {1} {n}\ 右) ^ {n}\)” >2.716923932… |
\ (n\)” >10,000 | \ (\ 左 (1+\ frac {1} {n}\ 右) ^ {n}\)” >2.718145927… |
\ (n\)” >100,000 | \ (\ 左 (1+\ frac {1} {n}\ 右) ^ {n}\)” >2.718268237… |
\ (n\)” >1,000,000 | \ (\ 左 (1+\ frac {1} {n}\ 右) ^ {n}\)” >2.718280469… |
\ (n\)” >1,000,000,000 | \ (\ 左 (1+\ frac {1} {n}\ 右) ^ {n}\)” >2.718281827… |
e≈2.718281827
e这个数字就像数字一样,我们使用符号来表示它,因为它的十进制表示永远不会停止或重复。π 非理性数e被称为自然基数。
天然基地e
该数字e被定义为的值(1+1n)n,无限n增加。 我们说,随着无限的n临近,
e≈2.718281827
基数为e的指数函数f(x)=ex称为自然指数函数。
自然指数函数
自然指数函数是一个指数函数,其基数为e
f(x)=ex
域为(−∞,∞),范围为(0,∞)。
让我们在与g(x)=2x和相同的坐标系f(x)=ex上绘制函数图h(x)=3x。

请注意,的图表介f(x)=ex于 “g(x)=2x和” 的图表之间h(x)=3x。这有意义2<e<3吗?
求解指数方程
包含指数表达式的方程ax称为指数方程。 为了解决这些问题,我们使用一个属性,表示长为a>0a≠1 andax=ay,如果是真的x=y。 换句话说,在指数方程中,如果基数相等,则指数相等。
指数方程的一对一性质
对于a>0 anda≠1,
如果ax=ay,那么x=y。
要使用这个属性,我们必须确保方程的两边都用相同的基数书写。
解决:32x−5=27。
解决方案:
第 1 步:用相同的基数写下方程的两面。 | 因为左边有底座3,所以我们用底写右边3。 27=33 | 32x−5=27 32x−5=33 |
第 2 步:通过将指数设置为相等来写一个新方程。 | 由于基数相同,因此指数必须相等。 | 2x−5=3 |
步骤 3:求解方程。 |
5添加到每一面。 除以2。 |
2x=8x=4 |
步骤 4:检查解决方案。 | 替换x=4成原始方程式。 | 32x−5=2732⋅4−5?=2733?=2727=27 |
解决:33x−2=81。
- 回答
-
x=2
解决:7x−3=7。
- 回答
-
x=4
这些步骤总结如下。
如何求解指数函数
- 如果可能的话,用相同的基数写下方程的两面。
- 通过将指数设置为相等来写一个新方程。
- 求解方程。
- 检查解决方案。
在下一个示例中,我们将使用指数的属性。
解决ex2e3=e2x。
解决方案:
ex2e3=e2x | |
使用指数的属性:aman=am−n. | ex2−3=e2x |
通过将指数设置为相等来写一个新方程。 | x2−3=2x |
求解方程。 | x2−2x−3=0 |
(x−3)(x+1)=0 | |
x=3,x=−1 | |
检查解决方案。 | |
![]() |
解决:ex2ex=e2。
- 回答
-
x=−1,x=2
解决:ex2ex=e6。
- 回答
-
x=−2,x=3
在应用程序中使用指数模型
指数函数可对许多情况进行建模。 如果您拥有银行账户,则说明您已经体验过指数函数的使用。 有两个公式用于确定赚取利息时账户中的余额。 如果本金是按利率投资的Pr,那么t多年来,新的余额将取决于利息复利的频率。A 如果每年的利息是复利n次数,我们使用公式A=P(1+rn)nt。 如果利息持续复利,我们使用公式A=Pert。 这些是复利的公式。
复利
对于按利率投资的本金r,t多年来,新的余额是:PA
A=P(1+rn)nt when compounded n times a year. A=Pert when compounded continuously.
在使用利息公式时,先确定变量的值,然后将其替换为公式通常很有帮助。
总计 $ 投资10,000于大学基金,用于新孙子. 如果利率为5 %,那么通过每种复利方法,按18年计算,账户中将有多少?
- 化合物季刊
- 化合物月报
- 持续化合物
解决方案:
确定公式中每个变量的值。 记得将百分比表示为十进制。
A=?P=$10,000r=0.05t=18 years
a. 对于季度复利,n=4。 一年中有4几个季度。
A=P(1+rn)nt
用公式中的值代替。
A=10,000(1+0.054)4⋅18
计算金额。 在计算器中输入表达式时,请谨慎考虑运算顺序。
A=$24,459.20
b. 对于月度复利,n=12.一年中有12几个月。
A=P(1+rn)nt
用公式中的值代替。
A=10,000(1+0.0512)12⋅18
计算金额。
A=$24,550.08
c. 为了连续复合,
A=Pert
用公式中的值代替。
A=10,000e0.05⋅18
计算金额。
A=$24,596.03
安吉拉在储蓄账户15,000中投资了美元。 如果利率为4 %,那么通过每种复利方法,按10年计算,账户中将有多少?
- 化合物季刊
- 化合物月报
- 持续化合物
- 回答
-
- $22,332.96
- $22,362.49
- $22,377.37
艾伦投资了美元10,000,投资了一个共同基金。 如果利率为5 %,那么通过每种复利方法,按15年计算,账户中将有多少?
- 化合物季刊
- 化合物月报
- 持续化合物
- 回答
-
- $21,071.81
- $21,137.04
- $21,170.00
由指数函数建模的其他主题涉及增长和衰退。 两者都使用A=Pert我们用于货币增长的公式。 对于增长和衰退,我们通常使用A0本金作为原始金额P,而不是称之为本金。 我们看到,指数增长的增长率为正,指数衰减的增长率为负。
指数增长和衰退
对于以一定速度增长或衰减的原始金额r,在一定时间内t,最终量为:A0A
A=A0ert
指数级增长通常体现在人类、动物或细菌种群的增长中。 我们的下一个例子是病毒的生长。
克里斯是疾病控制与预防中心的研究员,他正在努力了解一种新的危险病毒的行为。 他开始100对以每小时25百分比的速度生长的病毒进行实验。 他将在24几个小时内检查病毒。 他会发现多少病毒?
解决方案:
确定公式中每个变量的值。 务必以十进制形式输入百分比。 确保单位匹配-费率为每小时,时间以小时为单位。
A=?A0=100r=0.25/ hour t=24 hours
用公式中的值代替:A=A0ert。
A=100e0.25⋅24
计算金额。
A=40,342.88
四舍五入到最接近的完整病毒。
A=40,343
研究人员会发现40,343病毒。
疾病控制与预防中心的另一位研究人员丽莎正在研究细菌的生长。 她开始对以每小时15百分比50的速度生长的细菌进行实验。 他将每隔一8小时检查一次细菌。 他会在8几个小时内发现多少细菌?
- 回答
-
她会发现166细菌。
生物学家玛丽亚正在观察病毒的生长模式。 她首先讲100的是以每小时10 %增长的速度增长的病毒。 她会在24几个小时内检查病毒。 她会发现多少病毒?
- 回答
-
她会发现1,102病毒。
访问这些在线资源,获取有关评估和绘制指数函数的更多指导和练习。
关键概念
- 图表的属性f(x)=ax:
什么时候a>1 | 什么时候0<a<1 | ||
---|---|---|---|
\ (a “>1\)” >域 | (−∞,∞) | \ (0<a<1\)” >Domain | (−∞,∞) |
\ (a “>1\)” >范围 | (0,∞) | \ (0<a<1\)” >Range | (0,∞) |
\ (a “>1\)” >x-intercept | 无 | \ (0<a<1\)” >x-intercept | 无 |
\ (a “>1\)” >y-intercept | (0,1) | \ (0<a<1\)” >y-intercept | (0,1) |
\ (a “>1\)” >包含 | (1,a),(−1,1a) | \ (0<a<1\) “>包含 | (1,a),(−1,1a) |
\ (a “>1\)” >渐近线 |
x-axis,直线y=0 |
\ (0<a<1\)” >渐近线 | x-axis,直线y=0 |
\ (a “>1\)” >基本形状 | 增加 | \ (0<a<1\)” >基本形状 | 减少 |

- 指数方程的一对一属性:F
or ana>0 da≠1,A=A0ert
- 如何求解指数方程
- 如果可能的话,用相同的基数写下方程的两面。
- 通过将指数设置为相等来写一个新方程。
- 求解方程。
- 检查解决方案。
- 复利:对于按利率投资的本金r,t多年来,新余额为PA
A=P(1+rn)nt when compounded n times a year. A=Pert when compounded continuously. - 指数增长和衰减:对于以一定速率增长或衰减的原始量r,在一定时间t内A,最终量为A=A0ert。A0
词汇表
- 渐近线
- 函数图近距离接近但从不接触的直线。
- 指数函数
- 指数函数,其中a>0 and 是以下形式的函数f(x)=ax。a≠1
- 天然基础
- 数字e被定义为的值(1+1n)n,n越来越大。 我们说,随着无限n增长,e≈2.718281827...
- 自然指数函数
- 自然指数函数是一个指数函数,其基数为e:f(x)=ex。 域为(−∞,∞),范围为(0,∞)。