9.5：求解二次形式的二次方程

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 以二次形式求解方程

在你开始之前

... 参加这个准备测验。

1. 替代因子:$y^{4}-y^{2}-20$.
2. 替代因子:$(y-4)^{2}+8(y-4)+15$.
3. 简化
   1. $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{4}}$
   2. $\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{2}$
   3. $\left(x^{-1}\right)^{2}$

以二次形式求解方程

有时候，当我们考虑三项式时，三项式似乎不是这种$ax^{2}+bx+c$形式。 因此，我们考虑了替代因素，使之符合$ax^{2}+bx+c$形式。 我们使用了标准$u$作为替代。

为了分解表达式$x^{4}-4 x^{2}-5$，我们注意到中间项的可变部分是$x^{2}$$x^{4}$，其平方是第一个项的可变部分。 （我们知道$\left(x^{2}\right)^{2}=x^{4}$。） 因此，我们放手$u=x^{2}$并考虑了因素。

	$x^{4}-4 x^{2}-5$
	$\left(\color{red}x^2 \color{black} \right)^{2}-4\left( \color{red}x^{2} \color{black}\right)-5$
让我们$u=x^{2}$替换。	$\color{red}u \color{black}^{2}-4 \color{red}u \color{black}-5$
将三项式分解为因子。	$(u+1)(u-5)$
替换$u$为$x^{2}$。	$\left( \color{red}x^{2} \color{black} + 1\right)\left( \color{red}x^2 \color{black}-5\right)$

同样，有时方程不是这种$ax^{2}+bx+c=0$形式，但看起来很像二次方程。 然后，我们通常可以进行深思熟虑的替换，使我们能够使其符合$ax^{2}+bx+c=0$形式。 如果我们能使它符合形式，那么我们就可以使用所有的方法来求解二次方程。

请注意，在二次方程中$ax^{2}+bx+c=0$，中间项有一个变量$x$$x^{2}$，其平方是第一个项的可变部分。 当你尝试寻找替代品时，请寻找这种关系。

同样，我们将使用标准$u$进行替换，将方程置于二次形式。 如果替换给我们一个形式的方程$ax^{2}+bx+c=0$，我们就说原始方程是二次形式。

下一个示例显示了求解二次形式方程的步骤。

示例$\PageIndex{1}$ How to Solve Equations in Quadratic Form

解决：$6 x^{4}-7 x^{2}+2=0$

解决方案：

步骤 1：确定一个替代方案，它将使方程呈二次形式。	从那以后$\left(x^{2}\right)^{2}=x^{4}$，我们放手$u=x^{2}$了。	$6 x^{4}-7 x^{2}+2=0$
第 2 步：使用替换重写方程，使其成为二次形式。	重写为替换做准备。 替代$u=x^{2}$。	$\begin{aligned}6\color{black}{\left(\color{red}{x^{2}}\right)}^{2}-7\color{red}{ x^{2}}\color{black}{+}2&=0 \\ \color{black}{6 \color{red}{u}^{2}}-7 \color{red}{u}\color{black}{+}2&=0\end{aligned}$
步骤 3：求解二次方程$u$。	我们可以通过保理来解决。 使用 “零积分” 属性。	$\begin{aligned}(2 u-1)(3 u-2) &=0 \\ 2 u-1=0, 3 u-2&=0 \\ 2 u =1,3 u&=2 \\ u =\frac{1}{2} u&=\frac{2}{3} \end{aligned}$
步骤 4：使用替换将原始变量替换回结果中。	替换$u$为$x^{2}$。	$x^{2}=\frac{1}{2} \quad x^{2}=\frac{2}{3}$
步骤 5：求解原始变量。	使用平方根属性求解。$x$	$\begin{array}{ll}{x=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}} & {x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}} \\ {x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}} & {x=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}}\end{array}$ 有四种解决方案。 $\begin{array}{ll}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}} & {x=\frac{\sqrt{6}}{3}} \\ {x=-\frac{\sqrt{2}}{2}} & {x=-\frac{\sqrt{6}}{3}}\end{array}$
第 6 步：检查解决方案。	检查所有四个解决方案。 我们将在此处显示一张支票。	$\begin{aligned}x&=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 6 x^{4}-7 x^{2}+2&=0 \\ 6\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{4}-7\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+2 &\stackrel{?}{=} 0\\ 6\left(\frac{4}{16} \right)-7\left(\frac{2}{4} \right)^{2}+2&\stackrel{?}{=}0 \\ \frac{3}{2}-\frac{7}{2}+\frac{4}{2}&\stackrel{?}{=}0 \\ 0&=0 \end{aligned}$ 我们把其他支票留给你！

练习$\PageIndex{1}$

解决：$x^{4}-6 x^{2}+8=0$。

回答

$x=\sqrt{2}, x=-\sqrt{2}, x=2, x=-2$

练习$\PageIndex{2}$

解决：$x^{4}-11 x^{2}+28=0$。

回答

$x=\sqrt{7}, x=-\sqrt{7}, x=2, x=-2$

我们总结了求解二次形式方程的步骤。

以二次形式求解方程

1. 找出一个将方程变为二次形式的替换。
2. 使用替换重写方程，使其成为二次形式。
3. 求解二次方程$u$。
4. 使用替换将原始变量替换回结果中。
5. 求解原始变量。
6. 检查解决方案。

在下一个示例中，中间项中的二项式$(x-2)$是第一个项的平方。 如果我们让$u=x-2$和替换，我们的三项式就会$a x^{2}+b x+c$形成形式。

示例$\PageIndex{2}$

解决：$(x-2)^{2}+7(x-2)+12=0$。

解决方案：

	$(x-2)^{2}+7(x-2)+12=0$
为替补做准备。	$\color{red}(x-2)\color{black}^{2}+7\color{red}(x-2) \color{black} +12=0$
让我们$u=x-2$替换。	$\color{red}u^{\color{black}2} \color{black}+ 7 \color{red}u \color{black}+12=0$
通过分解求解。	$(u+3)(u+4)=0$ \ (\ begin {聚集} u+3=0，\ quad u+4=0\\ u=3，\ quad u=-4 \ end {聚集}\)
替换$u$为$x-2$。	$x-2=-3, \quad x-2=-4$
求解$x$。	$x=-1, \quad x=-2$
查看： 图 9.4.14

练习$\PageIndex{3}$

解决：$(x-5)^{2}+6(x-5)+8=0$。

回答

$x=3, x=1$

练习$\PageIndex{4}$

解决：$(y-4)^{2}+8(y-4)+15=0$。

回答

$y=-1, y=1$

在下一个示例中，我们注意到了这一点$(\sqrt{x})^{2}=x$。 另外，请记住，当我们对方程的两边进行平方时，我们可能会引入无关的根。 一定要检查你的答案！

示例$\PageIndex{3}$

解决：$x-3 \sqrt{x}+2=0$。

解决方案：

中间学期的，是第一个学期的平方$(\sqrt{x})^{2}=x$。$\sqrt{x}$ 如果我们让$u=\sqrt{x}$和替换，我们的三项式就会$a x^{2}+b x+c=0$形成形式。

	$x-3 \sqrt{x}+2=0$
重写三项式为替换做准备。
让我们$u=\sqrt{x}$替换。
通过分解求解。	$(u-2)(u-1)=0$ $u-2=0, \quad u-1=0$ $u=2, \quad u=1$\)
替换$u$为$\sqrt{x}$。	$\sqrt{x}=2, \quad \sqrt{x}=1$
求解$x$，将两边平方。	$x=4, \quad x=1$
查看：

练习$\PageIndex{5}$

解决：$x-7 \sqrt{x}+12=0$。

回答

$x=9, x=16$

练习$\PageIndex{6}$

解决：$x-6 \sqrt{x}+8=0$。

回答

$x=4, x=16$

替换有理指数也可以帮助我们求解二次形式的方程。 在开始下一个示例时，请考虑指数的属性。

示例$\PageIndex{4}$

解决：$x^{\frac{2}{3}}-2 x^{\frac{1}{3}}-24=0$。

解决方案：

中间$x^{\frac{1}{3}}$项是第一个学期的平方$\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{2}=x^{\frac{2}{3}}$。 如果我们让$u=x^{\frac{1}{3}}$和替换，我们的三项式就会$a x^{2}+b x+c=0$形成形式。

	$x^{\frac{2}{3}}-2 x^{\frac{1}{3}}-24=0$
重写三项式为替换做准备。
让$u=x^{\frac{1}{3}}$
通过分解求解。	$(u-6)(u+4)=0$ $u-6=0, \quad u+4=0$ $u=6, \quad u=-4$
替换$u$为$x^{\frac{1}{3}}$。	$x^{\frac{1}{3}}=6, \quad x^{\frac{1}{3}}=-4$
$x$通过将两边都立方来求解。	$\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{3}=(6)^{3}, \quad\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{3}=(-4)^{3}$ $x=216, \quad x=-64$
查看： 图 9.4.33

练习$\PageIndex{7}$

解决：$x^{\frac{2}{3}}-5 x^{\frac{1}{3}}-14=0$。

回答

$x=-8, x=343$

练习$\PageIndex{8}$

解决：$x^{\frac{1}{2}}+8 x^{\frac{1}{4}}+15=0$。

回答

$x=81, x=625$

在下一个示例中，我们需要记住负指数的定义以及指数的属性。

示例$\PageIndex{5}$

解决：$3 x^{-2}-7 x^{-1}+2=0$。

解决方案：

中间$x^{−1}$项是第一个学期的平方$\left(x^{-1}\right)^{2}=x^{-2}$。 如果我们让$u=x^{−1}$和替换，我们的三项式就会$a x^{2}+b x+c=0$形成形式。

	$3 x^{-2}-7 x^{-1}+2=0$
重写三项式为替换做准备。
让我们$u=x^{-1}$替换。
通过分解求解。	$(3 u-1)(u-2)=0$
	$3 u-1=0, \quad u-2=0$
	$u=\frac{1}{3}, \quad u=2$
替换$u$为$x^{-1}$。	$x^{-1}=\frac{1}{3}, \quad x^{-1}=2$
$x$通过取自起的倒数求解$x^{-1}=\frac{1}{x}$。	$x=3, \quad x=\frac{1}{2}$
查看： 图 9.4.42

练习$\PageIndex{9}$

解决：$8 x^{-2}-10 x^{-1}+3=0$。

回答

$x=\frac{4}{3}, x=2$

练习$\PageIndex{10}$

解决：$6 x^{-2}-23 x^{-1}+20=0$。

回答

$x=\frac{2}{5}, x=\frac{3}{4}$

观看此在线视频，获取有关求解二次方程的更多指导和练习：https://www.youtube.com/watch?v=7X-CZMbpxuw

关键概念

• 如何以二次形式求解方程。
  1. 找出一个将方程变为二次形式的替换。
  2. 使用替换重写方程，使其成为二次形式。
  3. 求解二次方程$u$。
  4. 使用替换将原始变量替换回结果中。
  5. 求解原始变量。
  6. 检查解决方案。