8.8: 在函数中使用自由基

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 评估激进函数
• 找到激进函数的域
• 图表激进函数

在开始之前，请参加这个准备测验。

1. 解决：$1−2x≥0$。
   如果你错过了这个问题，请查看示例 2.50。
2. 对于$f(x)=3x−4$，评估$f(2),f(−1),f(0)$。
   如果您错过了此问题，请查看示例 3.48。
3. 图表$f(x)=\sqrt{x}$。 用区间表示法陈述函数的域和范围。
   如果你错过了这个问题，请查看示例 3.56。

评估激进函数

在本节中，我们将扩展我们之前的函数研究范围，将激进分子包括在内。 如果一个函数是由激进表达式定义的，我们称之为激进函数。

• 平方根函数是$f(x)=\sqrt{x}$。
• 立方根函数是$f(x)=\sqrt[3]{x}$。

定义$\PageIndex{1}$: radical function

激进函数是由激进表达式定义的函数。

为了评估激进函数，我们发现给定值的值为，$x$就像我们在之前使用函数时所做的那样。$f(x)$

示例$\PageIndex{1}$

对于该函数$f(x)=\sqrt{2 x-1}$，请找到

1. $f(5)$
2. $f(-2)$

解决方案：

一个。

$f(x)=\sqrt{2 x-1}$

要进行评估$f(5)$，请$5$替换$x$。

$f(5)=\sqrt{2 \cdot 5-1}$

简化。

$f(5)=\sqrt{9}$

取平方根。

$f(5)=3$

b。

$f(x)=\sqrt{2 x-1}$

要进行评估$f(-2)$，请$-2$替换$x$。

$f(-2)=\sqrt{2(-2)-1}$

简化。

$f(-2)=\sqrt{-5}$

由于负数的平方根不是实数，因此该函数的值不在$x=-2$。

练习$\PageIndex{1}$

对于该函数$f(x)=\sqrt{3 x-2}$，请找到

1. $f(6)$
2. $f(0)$

回答

1. $f(6)=4$
2. 此处没有价值$x=0$

练习$\PageIndex{2}$

对于该函数$g(x)=\sqrt{5x+5}$，请找到

1. $g(4)$
2. $g(-3)$

回答

1. $g(4)=5$
2. 此处没有价值$f(-3)$

我们按照相同的程序来评估立方根值。

示例$\PageIndex{2}$

对于该函数$g(x)=\sqrt[3]{x-6}$，请找到

1. $g(14)$
2. $g(-2)$

解决方案：

一个。

$g(x)=\sqrt[3]{x-6}$

要进行评估$g(14)$，请$14$替换$x$。

$g(14)=\sqrt[3]{14-6}$

简化。

$g(14)=\sqrt[3]{8}$

取立方体根。

$g(14)=2$

b。

$g(x)=\sqrt[3]{x-6}$

要进行评估$g(-2)$，请$-2$替换$x$。

$g(-2)=\sqrt[3]{-2-6}$

简化。

$g(-2)=\sqrt[3]{-8}$

取立方体根。

$g(-2)=-2$

练习$\PageIndex{3}$

对于该函数$g(x)=\sqrt[3]{3 x-4}$，请找到

1. $g(4)$
2. $g(1)$

回答

1. $g(4)=2$
2. $g(1)=-1$

练习$\PageIndex{4}$

对于该函数$h(x)=\sqrt[3]{5 x-2}$，请找到

1. $h(2)$
2. $h(-5)$

回答

1. $h(2)=2$
2. $h(-5)=-3$

下一个例子有第四个根源。

示例$\PageIndex{3}$

对于该函数$f(x)=\sqrt[4]{5 x-4}$，请找到

1. $f(4)$
2. $f(-12)$

解决方案：

一个。

$f(x)=\sqrt[4]{5 x-4}$

要进行评估$f(4)$，请$4$替换$x$。

$f(4)=\sqrt[4]{5 \cdot 4-4}$

简化。

$f(4)=\sqrt[4]{16}$

取第四根根。

$f(4)=2$

b。

$f(x)=\sqrt[4]{5 x-4}$

要进行评估$f(-12)$，请$-12$替换$x$。

$f(-12)=\sqrt[4]{5(-12)-4}$

简化。

$f(-12)=\sqrt[4]{-64}$

由于负数的第四个根不是实数，因此该函数的值不在$x=-12$。

练习$\PageIndex{5}$

对于该函数$f(x)=\sqrt[4]{3 x+4}$，请找到

1. $f(4)$
2. $f(-1)$

回答

1. $f(4)=2$
2. $f(-1)=1$

练习$\PageIndex{6}$

对于该函数$g(x)=\sqrt[4]{5 x+1}$，请找到

1. $g(16)$
2. $g(3)$

回答

1. $g(16)=3$
2. $g(3)=2$

找到激进函数的域

为了找到自由基函数的域和范围，我们使用自由基的特性。 对于指数为偶数的激进，我们说激进数必须大于或等于零，因为即使是负数的根也不是实数。 对于奇数索引，基数可以是任何实数。 我们在这里重述这些属性以供参考。

的属性$\sqrt[n]{a}$

什么时候$n$是偶数，并且：

• $a \geq 0$，则$\sqrt[n]{a}$是一个实数。
• $a<0$，$\sqrt[n]{a}$则不是实数。

如果$n$是奇数，$\sqrt[n]{a}$则是所有值的实数$a$。

因此，为了找到具有偶数索引的激进函数的域，我们将基数设置为大于或等于零。 对于奇数索引部首，基数可以是任何实数。

自由基函数的域

当激进的索引为偶数时，基数必须大于或等于零。

当激进的索引为奇数时，radicand 可以是任何实数。

示例$\PageIndex{4}$

找到函数的域，$f(x)=\sqrt{3 x-4}$。 用间隔表示法写下域。

解决方案：

由于函数$f(x)=\sqrt{3 x-4}$有一个索引为偶数的基数$2$，因此我们知道基数必须大于或等于$0$。 我们将 radicand 设置为大于或等于，$0$然后求解以找到该域。

解决。

$\begin{aligned} 3 x-4 & \geq 0 \\ 3 x & \geq 4 \\ x & \geq \frac{4}{3} \end{aligned}$

的域$f(x)=\sqrt{3 x-4}$是所有值$x \geq \frac{4}{3}$，我们用间隔表示法将其写成$\left[\frac{4}{3}, \infty\right)$。

练习$\PageIndex{7}$

找到函数的域，$f(x)=\sqrt{6 x-5}$。 用间隔表示法写下域。

回答

$\left[\frac{5}{6}, \infty\right)$

练习$\PageIndex{8}$

找到函数的域，$f(x)=\sqrt{4-5 x}$。 用间隔表示法写下域。

回答

$\left(-\infty, \frac{4}{5}\right]$

示例$\PageIndex{5}$

找到函数的域，$g(x)=\sqrt{\frac{6}{x-1}}$。 用间隔表示法写下域。

解决方案：

求解函数，$g(x)=\sqrt{\frac{6}{x-1}}$有一个索引为偶数的$2$基数，我们知道 radicand 必须大于或等于$0$。

由于分子不为零，因此基数不能为零。

$\frac{6}{x-1}$要大于零，则分母必须为正，因为分子为正。 我们知道正数除以正数是正数。

我们设置$x-1>0$并解决。

$x-1>0$

解决。

$x>1$

另外，由于基数是一个分数，我们必须意识到分母不能为零。

我们下$x-1=0$定决心找到必须从域中消除的值。

$x-1=0$

解决。

$x=1$所以$x/neq 1$在域中。

把这个放在一起，我们就得到域名是$x>1$，我们把它写成$(1, \infty)$。

练习$\PageIndex{9}$

找到函数的域，$f(x)=\sqrt{\frac{4}{x+3}}$。 用间隔表示法写下域。

回答

$(-3, \infty)$

练习$\PageIndex{10}$

找到函数的域，$h(x)=\sqrt{\frac{9}{x-5}}$。 用间隔表示法写下域。

回答

$(5, \infty)$

下一个例子涉及立方根，因此需要不同的思考。

示例$\PageIndex{6}$

找到函数的域，$f(x)=\sqrt[3]{2 x^{2}+3}$。 用间隔表示法写下域。

解决方案：

由于函数$f(x)=\sqrt[3]{2 x^{2}+3}$有一个索引为奇数的基数$3$，因此我们知道 radicand 可以是任何实数。 这告诉我们域名是任何实数。 用间隔表示法，我们写$(-\infty, \infty)$。

的域$f(x)=\sqrt[3]{2 x^{2}+3}$都是实数，我们用间隔表示法将其写成$(-\infty, \infty)$。

练习$\PageIndex{11}$

找到函数的域，$f(x)=\sqrt[3]{3 x^{2}-1}$。 用间隔表示法写下域。

回答

$(-\infty, \infty)$

练习$\PageIndex{12}$

找到函数的域，$g(x)=\sqrt[3]{5 x-4}$。 用间隔表示法写下域。

回答

$(-\infty, \infty)$

图表激进函数

在我们绘制任何激进函数的图形之前，我们首先要找到该函数的域。 对于函数$f(x)=\sqrt{x}$，索引为偶数，因此基数必须大于或等于$0$。

这告诉我们域是$x≥0$，我们用间隔表示法将其写成$[0,∞)$。

之前我们使用点图来绘制函数的图形$f(x)=\sqrt{x}$。 我们选择了$x$-values，将它们替换成了，然后创建了一个图表。 请注意，我们选择完美正方形的点是为了更轻松地计算平方根。

图 8.7.1

看到图表后，我们就能找到函数的范围。 函数的$y$-values 大于或等于零。 那么范围是$[0,∞)$。

示例$\PageIndex{7}$

对于这个函数$f(x)=\sqrt{x+3}$，

1. 找到域名
2. 绘制函数图
3. 使用图表确定范围

解决方案：

1. 由于激进有索引$2$，我们知道基数必须大于或等于零。 如果$x+3 \geq 0$，那么$x \geq-3$。 这告诉我们域是所有值$x \geq-3$，用间隔表示法写成$[-3, \infty)$。
2. 为了绘制函数的图形，我们在区间中选择点$[-3, \infty)$，这些点也会给出一个很容易取平方根的基数。

图 8.7.2

c. 从图表中可以看出，函数的$y$-values 大于或等于零。 那么范围是$[0, \infty)$。

练习$\PageIndex{13}$

对于这个函数$f(x)=\sqrt{x+2}$，

1. 找到域名
2. 绘制函数图
3. 使用图表确定范围

回答

1. 域:$[-2, \infty)$
2. 
   
   图 8.7.3
3. 范围：$[0, \infty)$

练习$\PageIndex{14}$

对于这个函数$f(x)=\sqrt{x-2}$，

1. 找到域名
2. 绘制函数图
3. 使用图表确定范围

回答

1. 域:$[2, \infty)$
2. 
   
   图 8.7.4
3. 范围：$[0, \infty)$

在我们之前的绘制函数的工作中，我们绘制了图形，$f(x)=x^{3}$但没有绘制函数图$f(x)=\sqrt[3]{x}$。 我们现在将在下一个示例中执行此操作。

示例$\PageIndex{8}$

对于该函数$f(x)=\sqrt[3]{x}$，

1. 找到域名
2. 绘制函数图
3. 使用图表确定范围

解决方案：

a. 既然激进有索引$3$，我们知道激进分子可以是任何实数。 这告诉我们域都是实数，用间隔表示法写成$(-\infty, \infty)$

b. 为了绘制函数的图形，我们在区间中选择点$(-\infty, \infty)$，这也会给我们一个基数，它很容易取立方根。

图 8.7.5

c. 从图表中可以看出，$y$函数的-values 都是实数。 那么范围是$(-\infty, \infty)$。

练习$\PageIndex{15}$

对于这个函数$f(x)=-\sqrt[3]{x}$，

1. 找到域名
2. 绘制函数图
3. 使用图表确定范围

回答

1. 域:$(-\infty, \infty)$
2. 
   
   图 8.7.6
3. 范围：$(-\infty, \infty)$

练习$\PageIndex{16}$

对于这个函数$f(x)=\sqrt[3]{x-2}$，

1. 找到域名
2. 绘制函数图
3. 使用图表确定范围

回答

1. 域:$(-\infty, \infty)$
2. 
   
   图 8.7.7
3. 范围：$(-\infty, \infty)$

访问这些在线资源，获取更多指导和使用激进功能进行练习。

• 自由基函数的域
• 自由基函数域 2
• 寻找激进函数的域

关键概念

• 的属性$\sqrt[n]{a}$
  • W$n$ hen 是偶数
    $a≥0$，而:则$\sqrt[n]{a}$是实数。
    $a<0$，$\sqrt[n]{a}$则不是实数。
  • 如果$n$是奇数，$\sqrt[n]{a}$则是所有值的实数$a$。
• 自由基函数的域
  • 当激进的索引为偶数时，基数必须大于或等于零。
  • 当激进的索引为奇数时，radicand 可以是任何实数。

词汇表

激进函数

激进函数是由激进表达式定义的函数。