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8.6: 划分激进表达式

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    学习目标

    在本节结束时，您将能够：

    • 划分激进表达式
    • 合理化单项分母
    • 合理化两项分母

    在开始之前，请参加这个准备测验。

    1. 简化：\(\dfrac{30}{48}\)。
      如果你错过了这个问题，请查看示例 1.24。
    2. 简化：\(x^{2}⋅x^{4}\)。
      如果您错过了此问题，请查看示例 5.12。
    3. 乘以：\((7+3x)(7−3x)\)。
      如果您错过了此问题，请查看示例 5.32。

    划分激进表达式

    我们使用激进表达式的商属性来简化分数根。 我们需要 “反向” 使用这个属性来简化带有激进分数的分数。 为了便于参考，我们再次给出了激进表达式的商属性。 请记住，我们假设所有变量都大于或等于零，因此不需要绝对值柱。

    定义\(\PageIndex{1}\): Quotient Property of Radical Expressions

    如果\(\sqrt[n]{a}\)和\(\sqrt[n]{b}\)是实数\(b≠0\)，对于任何整数，\(n≥2\)那么

    \(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \quad \text { and } \quad \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\)

    当我们开头的分数是两个激进的商，并且两个基数都不是指数的完美幂时，我们将使用激进表达式的商属性。 当我们在单个激进中写分数时，我们可能会在分子和分母中找到共同的因子。

    示例\(\PageIndex{1}\)

    简化：

    1. \(\dfrac{\sqrt{72 x^{3}}}{\sqrt{162 x}}\)
    2. \(\dfrac{\sqrt[3]{32 x^{2}}}{\sqrt[3]{4 x^{5}}}\)

    解决方案：

    一个。

    \(\dfrac{\sqrt{72 x^{3}}}{\sqrt{162 x}}\)

    使用商属性重写，

    \(\sqrt{\dfrac{72 x^{3}}{162 x}}\)

    移除常见因素。

    \(\sqrt{\dfrac{\cancel{18} \cdot 4 \cdot x^{2} \cdot \cancel{x}}{\cancel{18} \cdot 9 \cdot \cancel{x}}}\)

    简化。

    \(\sqrt{\dfrac{4 x^{2}}{9}}\)

    简化激进。

    \(\dfrac{2 x}{3}\)

    b。

    \(\dfrac{\sqrt[3]{32 x^{2}}}{\sqrt[3]{4 x^{5}}}\)

    使用商属性重写\(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\)。

    \(\sqrt[3]{\dfrac{32 x^{2}}{4 x^{5}}}\)

    简化激进下方的分数。

    \(\sqrt[3]{\dfrac{8}{x^{3}}}\)

    简化激进。

    \(\dfrac{2}{x}\)

    练习\(\PageIndex{1}\)

    简化：

    1. \(\dfrac{\sqrt{50 s^{3}}}{\sqrt{128 s}}\)
    2. \(\dfrac{\sqrt[3]{56 a}}{\sqrt[3]{7 a^{4}}}\)
    回答
    1. \(\dfrac{5s}{8}\)
    2. \(\dfrac{2}{a}\)
    练习\(\PageIndex{2}\)

    简化：

    1. \(\dfrac{\sqrt{75 q^{5}}}{\sqrt{108 q}}\)
    2. \(\dfrac{\sqrt[3]{72 b^{2}}}{\sqrt[3]{9 b^{5}}}\)
    回答
    1. \(\dfrac{5 q^{2}}{6}\)
    2. \(\dfrac{2}{b}\)
    示例\(\PageIndex{2}\)

    简化：

    1. \(\dfrac{\sqrt{147 a b^{8}}}{\sqrt{3 a^{3} b^{4}}}\)
    2. \(\dfrac{\sqrt[3]{-250 m n^{-2}}}{\sqrt[3]{2 m^{-2} n^{4}}}\)

    解决方案：

    一个。

    \(\dfrac{\sqrt{147 a b^{8}}}{\sqrt{3 a^{3} b^{4}}}\)

    使用商属性重写。

    \(\sqrt{\dfrac{147 a b^{8}}{3 a^{3} b^{4}}}\)

    删除分数中的常见因子。

    \(\sqrt{\dfrac{49 b^{4}}{a^{2}}}\)

    简化激进。

    \(\dfrac{7 b^{2}}{a}\)

    b。

    \(\dfrac{\sqrt[3]{-250 m n^{-2}}}{\sqrt[3]{2 m^{-2} n^{4}}}\)

    使用商属性重写。

    \(\sqrt[3]{\dfrac{-250 m n^{-2}}{2 m^{-2} n^{4}}}\)

    简化激进下方的分数。

    \(\sqrt[3]{\dfrac{-125 m^{3}}{n^{6}}}\)

    简化激进。

    \(-\dfrac{5 m}{n^{2}}\)

    练习\(\PageIndex{3}\)

    简化：

    1. \(\dfrac{\sqrt{162 x^{10} y^{2}}}{\sqrt{2 x^{6} y^{6}}}\)
    2. \(\dfrac{\sqrt[3]{-128 x^{2} y^{-1}}}{\sqrt[3]{2 x^{-1} y^{2}}}\)
    回答
    1. \(\dfrac{9 x^{2}}{y^{2}}\)
    2. \(\dfrac{-4 x}{y}\)
    练习\(\PageIndex{4}\)

    简化：

    1. \(\dfrac{\sqrt{300 m^{3} n^{7}}}{\sqrt{3 m^{5} n}}\)
    2. \(\dfrac{\sqrt[3]{-81 p q^{-1}}}{\sqrt[3]{3 p^{-2} q^{5}}}\)
    回答
    1. \(\dfrac{10 n^{3}}{m}\)
    2. \(\dfrac{-3 p}{q^{2}}\)
    示例\(\PageIndex{3}\)

    简化：\(\dfrac{\sqrt{54 x^{5} y^{3}}}{\sqrt{3 x^{2} y}}\)

    解决方案：

    \(\dfrac{\sqrt{54 x^{5} y^{3}}}{\sqrt{3 x^{2} y}}\)

    使用商属性重写。

    \(\sqrt{\dfrac{54 x^{5} y^{3}}{3 x^{2} y}}\)

    删除分数中的常见因子。

    \(\sqrt{18 x^{3} y^{2}}\)

    使用最大完美平方因子将 radicand 重写为乘积。

    \(\sqrt{9 x^{2} y^{2} \cdot 2 x}\)

    将激进改写为两个激进的乘积。

    \(\sqrt{9 x^{2} y^{2}} \cdot \sqrt{2 x}\)

    简化。

    \(3 x y \sqrt{2 x}\)

    练习\(\PageIndex{5}\)

    简化：\(\dfrac{\sqrt{64 x^{4} y^{5}}}{\sqrt{2 x y^{3}}}\)

    回答

    \(4 x y \sqrt{2 x}\)

    练习\(\PageIndex{6}\)

    简化：\(\dfrac{\sqrt{96 a^{5} b^{4}}}{\sqrt{2 a^{3} b}}\)

    回答

    \(4 a b \sqrt{3 b}\)

    合理化单项分母

    在计算器成为日常生活工具之前，用激进分母来近似分数的值是一个非常繁琐的过程！

    为此，制定了一个名为 “分母合理化” 的流程。 分母中有激进的分数被转换为分母为整数的等效分数。 不是完美正方形的数字的平方根是非理性数。 当我们对分母进行合理化时，我们会写一个等效的分数，分母中有一个有理数。 这个过程至今仍在使用，在其他数学领域也很有用。

    定义\(\PageIndex{2}\): Rationalizing the Denominator

    合理化分母是将分母中有激进的分数转换为分母为整数的等效分数的过程。

    尽管我们几乎到处都有计算器，但仍必须合理化分母中带有激进分母的分数。 如果分母包含激进，则不被认为是简化的。

    同样，如果 radicand 包含分数，则不认为该激进表达式是简化的。

    简化的激进表达式

    如果存在激进表达式，则视为简化表达式

    • 激进分子中没有任何因素具有该指数的完美力量
    • 基数中没有分数
    • 分数的分母中没有自由基

    为了合理化具有平方根的分母，我们使用该属性\((\sqrt{a})^{2}=a\)。 如果我们将非理性平方根求平方，则得到一个有理数。

    在下一个示例中，我们将使用此属性来合理化分母。

    示例\(\PageIndex{4}\)

    简化：

    1. \(\dfrac{4}{\sqrt{3}}\)
    2. \(\sqrt{\dfrac{3}{20}}\)
    3. \(\dfrac{3}{\sqrt{6 x}}\)

    解决方案：

    要用一个项合理化分母，我们可以将平方根本身相乘。 为了保持分数等效，我们将分子和分母乘以相同的因子。

    一个。

     

    。
    将分子和分母都乘以\(\sqrt{3}\)。

    。
    简化。

    。
    表 8.5.1

    b. 在合理化分母之前，我们总是先简化分母中的激进部分。 这样，数字就会变得更小，更易于处理。

     

    。
    分数不是完美的正方形，因此请使用商属性进行重写。

    。
    简化分母。

    。
    将分子和分母乘以\(\sqrt{5}\)。

    。
    简化。

    。
    简化。

    。
    表 8.5.2

    c。

     

    。
    将分子和分母乘以\(\sqrt{6x}\)。

    。
    简化。

    。
    简化。

    。
    表 8.5.3
    练习\(\PageIndex{7}\)

    简化：

    1. \(\dfrac{5}{\sqrt{3}}\)
    2. \(\sqrt{\dfrac{3}{32}}\)
    3. \(\dfrac{2}{\sqrt{2 x}}\)
    回答
    1. \(\dfrac{5 \sqrt{3}}{3}\)
    2. \(\dfrac{\sqrt{6}}{8}\)
    3. \(\dfrac{\sqrt{2 x}}{x}\)
    练习\(\PageIndex{8}\)

    简化：

    1. \(\dfrac{6}{\sqrt{5}}\)
    2. \(\sqrt{\dfrac{7}{18}}\)
    3. \(\dfrac{5}{\sqrt{5 x}}\)
    回答
    1. \(\dfrac{6 \sqrt{5}}{5}\)
    2. \(\dfrac{\sqrt{14}}{6}\)
    3. \(\dfrac{\sqrt{5 x}}{x}\)

    当我们对平方根进行合理化时，我们将分子和分母乘以平方根，这样我们就可以在分母的激进下得到一个完美的平方。 当我们取平方根时，分母不再有激进。

    我们将遵循类似的流程来合理化更高的根源。 为了合理化具有更高指数激进的分母，我们将分子和分母乘以一个激进值，这将给我们一个作为指数完美幂的激进。 当我们简化新的激进分子时，分母将不再有激进。

    例如，

    显示了两个合理化分母的示例。 第一个示例是 1 除以立方根 2。 需要注意的是，分母中的基数是 2 的 1 次方，我们还需要 2 次方才能得到一个完美的立方体。 我们将分子和分母乘以量 2 平方的立方根。 结果是立方根 4 除以数量 2 的立方根。 这简化为立方根 4 除以 2。 第二个例子是 1 除以第四个根 5。 需要注意的是，分母中的基数是 5 的 1 次方，我们还需要 3 次方才能获得完美的四分之一。 我们将分子和分母乘以量 5 立方体的第四个根。 结果是 125 的第四个根除以数量 5 的第四个根，再到第四个根。 这简化为第四个根 125 除以 5。
    图 8.5.14

    我们将在接下来的示例中使用这种技术。

    示例\(\PageIndex{5}\)

    简化：

    1. \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{6}}\)
    2. \(\sqrt[3]{\dfrac{7}{24}}\)
    3. \(\dfrac{3}{\sqrt[3]{4 x}}\)

    解决方案：

    要用立方根合理化分母，我们可以乘以立方根，这将使我们在分母的基数中得到一个完美的立方体。 为了保持分数等效，我们将分子和分母乘以相同的因子。

    一个。

     

    。
    分母中的激进方有一个系数\(6\)。 将分子和分母都乘以\(\sqrt[3]{6^{2}}\)，这样我们就有了\(2\)更多的因子\(6\)。

    。
    乘以。 注意分母中的基数的\(3\)幂次方为\(6\)。

    。
    简化分母中的立方根。

    。
    表 8.5.4

    b. 在合理化分母之前，我们总是先简化分母中的激进部分。 这样，数字就会变得更小，更易于处理。

     

    。
    分数不是一个完美的立方体，所以使用商属性重写。

    。
    简化分母。

    。
    将分子和分母乘以\(\sqrt[3]{3^{2}}\)。 这将为我们提供\(3\)一些因素\(3\)。

    。
    简化。

    。
    记住，\(\sqrt[3]{3^{3}}=3\)。

    。
    简化。

    。
    表 8.5.5

    c。

     

    。
    重写 radicand 以显示因子。

    。
    将分子和分母乘以\(\sqrt[3]{2 \cdot x^{2}}\)。 这将为我们\(2\)提供\(3\)因素和\(3\)因素\(x\)。

    。
    简化。

    。
    简化分母中的激进。

    。
    表 8.5.6
    练习\(\PageIndex{9}\)

    简化：

    1. \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{7}}\)
    2. \(\sqrt[3]{\dfrac{5}{12}}\)
    3. \(\dfrac{5}{\sqrt[3]{9 y}}\)
    回答
    1. \(\dfrac{\sqrt[3]{49}}{7}\)
    2. \(\dfrac{\sqrt[3]{90}}{6}\)
    3. \(\dfrac{5 \sqrt[3]{3 y^{2}}}{3 y}\)
    练习\(\PageIndex{10}\)

    简化：

    1. \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\)
    2. \(\sqrt[3]{\dfrac{3}{20}}\)
    3. \(\dfrac{2}{\sqrt[3]{25 n}}\)
    回答
    1. \(\dfrac{\sqrt[3]{4}}{2}\)
    2. \(\dfrac{\sqrt[3]{150}}{10}\)
    3. \(\dfrac{2 \sqrt[3]{5 n^{2}}}{5 n}\)
    示例\(\PageIndex{6}\)

    简化：

    1. \(\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\)
    2. \(\sqrt[4]{\dfrac{5}{64}}\)
    3. \(\dfrac{2}{\sqrt[4]{8 x}}\)

    解决方案：

    为了合理化具有第四个根的分母，我们可以乘以第四个根，这将使我们在分母中的激进中获得完美的第四次方。 为了保持分数等效，我们将分子和分母乘以相同的因子。

    一个。

     

    。
    分母中的激进方有一个系数\(2\)。
    将分子和分母都乘以\(\sqrt[4]{2^{3}}\)，这样我们就有了\(3\)更多的因子\(2\)。

    。
    乘以。 注意分母中的基数的\(4\)幂次方为\(2\)。

    。
    简化分母中的第四个根。

    。
    表 8.5.7

    b. 在合理化分母之前，我们总是先简化分母中的激进部分。 这样，数字就会变得更小，更易于处理。

     

    。
    分数不是完美的四次方，因此请使用 Quotient Property 重写。

    。
    重写分母中的基数以显示因子。

    。
    简化分母。

    。
    将分子和分母乘以\(\sqrt[4]{2^{2}}\)。 这将为我们提供\(4\)一些因素\(2\)。

    。
    简化。

    。
    记住，\(\sqrt[4]{2^{4}}=2\)。

    。
    简化。

    。
    表 8.5.8

    c。

     

    。
    重写 radicand 以显示因子。

    。
    将分子和分母乘以\(\sqrt[4]{2 \cdot x^{3}}\)。 这将为我们\(2\)提供\(4\)因素和\(4\)因素\(x\)。

    。
    简化。

    。
    简化分母中的激进。

    。
    简化分数。

    。
    表 8.5.9
    练习\(\PageIndex{11}\)

    简化：

    1. \(\dfrac{1}{\sqrt[4]{3}}\)
    2. \(\sqrt[4]{\dfrac{3}{64}}\)
    3. \(\dfrac{3}{\sqrt[4]{125 x}}\)
    回答
    1. \(\dfrac{\sqrt[4]{27}}{3}\)
    2. \(\dfrac{\sqrt[4]{12}}{4}\)
    3. \(\dfrac{3 \sqrt[4]{5 x^{3}}}{5 x}\)
    练习\(\PageIndex{12}\)

    简化：

    1. \(\dfrac{1}{\sqrt[4]{5}}\)
    2. \(\sqrt[4]{\dfrac{7}{128}}\)
    3. \(\dfrac{4}{\sqrt[4]{4 x}}\)
    回答
    1. \(\dfrac{\sqrt[4]{125}}{5}\)
    2. \(\dfrac{\sqrt[4]{224}}{8}\)
    3. \(\dfrac{\sqrt[4]{64 x^{3}}}{x}\)

    合理化两个术语分母

    当分数的分母是平方根的总和或差时，我们使用共轭乘积模式来合理化分母。

    \(\begin{array}{c c}{(a-b)(a+b)} & {(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})} \\ {a^{2}-b^{2}} &{ 2^{2}-(\sqrt{5})^{2}} \\ {}&{4-5} \\ {}&{-1}\end{array}\)

    当我们将包含平方根的二项式乘以其共轭物时，该乘积没有平方根。

    示例\(\PageIndex{7}\)

    简化：\(\dfrac{5}{2-\sqrt{3}}\)

    解决方案：

      。
    将分子和分母乘以分母的共轭。 。
    将分母中的共轭物相乘。 。
    简化分母。 。
    简化分母。 。
    简化。 。
    表 8.5.10
    练习\(\PageIndex{13}\)

    简化：\(\dfrac{3}{1-\sqrt{5}}\)。

    回答

    \(-\dfrac{3(1+\sqrt{5})}{4}\)

    练习\(\PageIndex{14}\)

    简化：\(\dfrac{2}{4-\sqrt{6}}\)。

    回答

    \(\dfrac{4+\sqrt{6}}{5}\)

    请注意，我们没有\(5\)在最后一个示例的答案中分发。 通过不考虑结果，我们可以看出分子和分母是否有任何共同的因子。

    示例\(\PageIndex{8}\)

    简化：\(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{u}-\sqrt{6}}\)。

    解决方案：

      。
    将分子和分母乘以分母的共轭。 。
    将分母中的共轭物相乘。 。
    简化分母。 。
    表 8.5.11
    练习\(\PageIndex{15}\)

    简化：\(\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}\)。

    回答

    \(\dfrac{\sqrt{5}(\sqrt{x}-\sqrt{2})}{x-2}\)

    练习\(\PageIndex{16}\)

    简化：\(\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{y}-\sqrt{3}}\)

    回答

    \(\dfrac{\sqrt{10}(\sqrt{y}+\sqrt{3})}{y-3}\)

    乘法时要注意符号。 当你乘以共轭时，分子和分母看起来非常相似。

    示例\(\PageIndex{9}\)

    简化：\(\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{7}}{\sqrt{x}-\sqrt{7}}\)。

    解决方案：

      。
    将分子和分母乘以分母的共轭。 。
    将分母中的共轭物相乘。 。
    简化分母。 。
    表 8.5.12

    我们不对分子求平方。 将其保留为因子形式，我们可以看到没有常见的因子可以从分子和分母中移除。

    练习\(\PageIndex{17}\)

    简化：\(\dfrac{\sqrt{p}+\sqrt{2}}{\sqrt{p}-\sqrt{2}}\)。

    回答

    \(\dfrac{(\sqrt{p}+\sqrt{2})^{2}}{p-2}\)

    练习\(\PageIndex{18}\)

    简化：\(\dfrac{\sqrt{q}-\sqrt{10}}{\sqrt{q}+\sqrt{10}}\)

    回答

    \(\dfrac{(\sqrt{q}-\sqrt{10})^{2}}{q-10}\)

    关键概念

    • 激进表达式的商特性
      • 如果\(\sqrt[n]{a}\)和\(\sqrt[n]{b}\)是实数\(b≠0\)，对于任何整数，\(n≥2\)那么，\(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)和\(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\)
    • 简化的激进表达式
      • 如果存在以下情况，则认为激进表达式被简化了：
        • 激进分子中没有任何因素具有指数的完美力量
        • 基数中没有分数
        • 分数的分母中没有自由基

    词汇表

    合理化分母
    合理化分母是将分母中有激进的分数转换为分母为整数的等效分数的过程。