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7.6：使用有理方程求解应用程序

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    学习目标
    • 求解比例
    • 求解相似图形的应用程序
    • 解决均匀运动应用程序
    • 解决工作申请
    • 解决直接变异问题
    • 解决逆变问题
    注意

    在开始之前，请参加这个准备测验。

    1. 示例 2.2.13。 示例 2.5.13。 示例 2.2.9。

    求解比例

    当两个有理表达式相等时，将它们关联的方程称为比例。

    比例

    比例是形式的方程式\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)，其中\(b \neq 0, d \neq 0\)。

    该比例被读\(a\)\(b\)\(c\)为 “原样”\(d\)。

    该方程\(\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8}\)是一个比例，因为两个分数是相等的。 比例读\(\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8}\)作 “1 等于 2 就像 4 等于 8”。

    由于比例是带有有理表达式的方程，因此我们将以与求解有理方程相同的方式求解比例。 我们将方程的两边乘以 LCD 以清除分数，然后求解由此产生的方程。

    示例\(\PageIndex{1}\)

    解决：\(\dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7}\)。

    解决方案

    \[\dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7}, \quad n \neq-14 \nonumber \]

    将两边乘以 LCD。

    \[7(n+14)\left(\dfrac{n}{n+14}\right)=7(n+14)\left(\dfrac{5}{7}\right) \nonumber \]

    删除双方的共同因素。

    \[7 n=5(n+14) \nonumber \]

    简化。

    \[7 n=5 n+70 \nonumber \]

    求解\(n\)。

    \[\begin{aligned} 2n&=70\\ n&=35 \end{aligned} \nonumber \]

    查看。

    \[\dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7} \nonumber \]

    替代\(n=35\)

    \[\dfrac{35}{35+14} \overset{?}{=} \dfrac{5}{7} \nonumber \]

    简化。

    \[\dfrac{35}{49} \overset{?}{=} \dfrac{5}{7} \nonumber \]

    显示常见因素。

    \[\dfrac{5 \cdot 7}{7 \cdot 7} \overset{?}{=} \dfrac{5}{7} \nonumber \]

    简化。

    \[\dfrac{5}{7}=\dfrac{5}{7}\; \surd \nonumber \]

    练习\(\PageIndex{1}\)

    求解比例:\(\dfrac{y}{y+55}=\dfrac{3}{8}\).

    回答

    \(y=33\)

    练习\(\PageIndex{2}\)

    求解比例:\(\dfrac{z}{z-84}=-\dfrac{1}{5}\).

    回答

    \(z=14\)

    请注意，在最后一个示例中，当我们通过乘以 LCD 来清除分数时，结果与交叉乘法相同。

    \[\begin{aligned} \dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7} \quad \quad \quad \dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7} \\ 7(n+14)\left(\dfrac{n}{n+14}\right)=7(n+14)\left(\dfrac{5}{7}\right) \quad \quad \quad \dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7} \\ 7n=5(n+14) \quad \quad \quad 7n=5(n+14) \end{aligned} \nonumber \]

    对于任何比例\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)，当我们通过乘以液晶屏清除分数时，我们得到的结果与交叉乘法时得到的结果相同。

    \[\begin{aligned} \dfrac{a}{b} =\dfrac{c}{d} \quad \quad \quad \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \\ bd\left(\dfrac{a}{b}=\frac{c}{d}\right) bd \quad \quad \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \\ ad =bc \quad \quad \quad ad=bc \end{aligned} \nonumber \]

    要使用比例求解应用程序，我们将遵循通常的策略来求解应用程序。但是当我们设置比率时，我们必须确保单位正确——分子中的单位必须相互匹配，分母中的单位也必须相互匹配。

    当儿科医生给孩子开对乙酰氨基酚处方时，他们会为孩子每体重25磅开5毫升（ml）的对乙酰氨基酚处方。 如果佐伊体重 80 磅，她的医生会开多少毫升的对乙酰氨基酚处方？

    解决方案

    确定我们要查找的内容，然后选择一个变量来表示它。

    医生会开多少毫升的对乙酰氨基酚？

    放开\(a=ml\)对乙酰氨基酚。

    写一句话，给出找到它的信息。

    如果每 25 磅开出 5 毫升处方，那么 80 磅的处方是多少？

    换算成比例——小心单位。

    第 1 步。 将不等式写成左边的一商和右边的零。 我们的不平等就是这种形式。

    \[\dfrac{x-1}{x+3} \geq 0 \nonumber \]

    第 2 步。 确定临界点——有理表达式为零或未定义的点。

    当分子为零时，有理表达式将为零。 从那\(x-1=0\)时起\(x=1\)，1 就是临界点。 当分母为零时，有理表达式将未定义。 从那\(x+3=0\)时起\(x=-3\)，-3就是临界点。

    第 3 步。 使用临界点将数字线划分为间隔。

    clipboard_ee2fe708799269f0539168f8443a351d2.png

    第 4 步。 数字线上方显示每个区间内有理表达式的每个因子的符号。 数字线下方显示商的符号。

    使用每个区间中的值来确定区间中每个因子的值。 在间隔 (-3,1) 中，零是一个很好的检验值。 例如，wh\(x=0\) en\(x-1=-1\) 和 The 因\(x+3=3\)子标记\(x-1\)为负值并\(x+3\)标记为正数。 由于负数除以正数为负数，因此在该区间内，商被标记为负数。

    第 5 步。 确定不等式正确的时间间隔。 用间隔表示法写出解。

    clipboard_edae13eef9fc14a8139b8d2bcd44dd965.png

    我们希望商大于或等于零，因此区间\((-\infty,-3)\)和中的数字\((1, \infty)\)是解。 由于必须排除 3，因为它使有理表达式为 0，因此我们不能将其包含在解中。 我们可以在解决方案中包含 1。

    \[(-\infty,-3) \cup[1, \infty) \nonumber \]

    将两边乘以液晶屏 400。 删除双方的共同因素。 简化，但不要在左边乘以。 注意下一步将是什么。

    \[16 \cdot 5=5 a \nonumber \]

    求解\(a\)。

    \[\begin{aligned} \dfrac{16 \cdot 5}{5}&=\dfrac{5 a}{5}\\ 16&=a \end{aligned} \nonumber \]

    查看。 答案合理吗？ 写一个完整的句子。

    儿科医生会给佐伊开16毫升的对乙酰氨基酚处方。

    练习\(\PageIndex{3}\)

    儿科医生为孩子每体重 25 磅开出 5 毫升（ml）的对乙酰氨基酚处方。 医生会为体重60磅的艾米莉亚开多少毫升的对乙酰氨基酚处方？

    回答

    儿科医生会给艾米莉亚开12毫升对乙酰氨基酚的处方。

    练习\(\PageIndex{4}\)

    每增加一个孩子的体重 1 千克（kg），儿科医生就会开出 15 毫克（mg）的减烧剂。 如果伊莎贝拉体重12千克，儿科医生会开多少毫克的减烧药？

    回答

    儿科医生会给伊莎贝拉开180毫克的减烧药。

    求解相似图形的应用程序

    当你在手机或平板电脑上缩小或放大照片，在地图上计算出一段距离，或者使用图案制作书柜或缝制衣服时，你正在处理相似的人物。 如果两个数字的形状完全相同，但大小不同，则说它们是相似的。 一个是另一个的比例模型。 它们的所有对应角度都具有相同的测量值，并且它们对应的边具有相同的比例。

    相似数字

    如果两个图对应角度的测量值相等，并且它们对应的边的比率相同，则这两个数字是相似的。

    例如，下图中的两个三角形是相似的。 的每一边\(\Delta ABC\)是相应边长度的四倍\(\Delta XYZ\)。

    clipboard_e856a7de8b3a79dcd08723d9871ccd270.png

    相似三角形的属性对此进行了总结。

    相似三角形的属性

    如果\(\Delta ABC\)与相似\(\Delta XYZ\)，则它们对应的角度测量值相等，并且它们对应的边具有相同的比率。

    clipboard_e4fdc3b30588979c50d44a48aef0d74a0.png

    为了解决具有相似数字的应用程序，我们将遵循我们之前使用的几何应用程序问题解决策略。

    示例\(\PageIndex{3}\)

    在地图上，旧金山、拉斯维加斯和洛杉矶形成一个三角形。 城市之间的距离以英寸为单位测量。 下方左边的图表示地图上城市形成的三角形。 如果洛杉矶到拉斯维加斯的实际距离为 270 英里，请计算从洛杉矶到旧金山的距离。

    clipboard_efb0263e1d94381d6b9257775d879ded0.png

    解决方案

    由于三角形相似，因此相应的边是成比例的。

    阅读问题。 绘制图形并用给定的信息对其进行标记。 数字如上所示。

    确定我们在寻找什么：从洛杉矶到旧金山的实际距离

    命名变量：让\(x\) = 从洛杉矶到旧金山的距离。

    翻译成方程式。 由于三角形相似，因此相应的边是成比例的。 我们将分子设为 “英里”，将分母设为 “英寸”。

    \[$\dfrac{x \text { miles }}{1.3 \text { inches }}=\dfrac{270 \text { miles }}{1 \text { inch }}$ \nonumber \]

    求解方程。

    \[\begin{aligned} 1.3\left(\dfrac{x}{1.3}\right)&=1.3\left(\dfrac{270}{1}\right) \\ x&=351 \end{aligned} \nonumber \]

    查看。 在地图上，从洛杉矶到旧金山的距离大于洛杉矶到拉斯维加斯的距离。 由于 351 大于 270，所以答案是有道理的。

    检查\(x=351\)原始比例。 使用计算器。

    \[\begin {aligned} \dfrac{x \text { miles }}{1.3 \text { inches }}&=\dfrac{270 \text { miles }}{1 \text { inch }}\\ \dfrac{351 \text { miles }}{1.3 \text { inches }} &\overset{?}{=} \dfrac{270 \text { miles }}{1 \text { inch }}\\ \dfrac{270 \text { miles }}{1 \text { inch }}&=\dfrac{270 \text { miles }}{1 \text { inch }} \surd \end{aligned} \nonumber \]

    回答问题：从洛杉矶到旧金山的距离是351英里。

    在地图上，西雅图、波特兰和博伊西形成一个三角形。 城市之间的距离以英寸为单位测量。 下方左边的图表示地图上城市形成的三角形。 从西雅图到博伊西的实际距离为 400 英里。

    clipboard_e545a49106f741f6a3b36f53e39ed4458.png

    练习\(\PageIndex{5}\)

    找出从西雅图到波特兰的实际距离。

    回答

    距离为 150 英里。

    练习\(\PageIndex{6}\)

    找出从波特兰到博伊西的实际距离。

    回答

    距离为 350 英里。

    我们可以使用相似的数字来找到我们无法直接测量的高度。

    示例\(\PageIndex{4}\)

    泰勒身高 6 英尺。 一天下午晚些时候，他的影子长达 8 英尺。 同时，一棵树的阴影长达 24 英尺。 找出树的高度。

    解决方案

    阅读问题并画一个数字。 我们正在寻找\(h\)，树的高度。

    clipboard_ee900ec650dd61d33cbc8b7d340874f27.png

    我们将使用相似的三角形来编写方程。 小三角形类似于大三角形。

    \[\dfrac{h}{24}=\dfrac{6}{8} \nonumber \]

    求解比例。

    \[\begin {aligned} 24\left(\dfrac{6}{8}\right)&=24\left(\dfrac{h}{24}\right)\\ 18&=h \end{aligned} \nonumber \]

    简化。 查看。

    泰勒的高度小于他阴影的长度，所以树的高度小于其阴影的长度是有道理的。 检查\(h=18\)原始比例。

    \[\begin{aligned} &\dfrac{6}{8}=\dfrac{h}{24}\\ &\dfrac{6}{8} \overset{?}{=} \dfrac{18}{24}\\ &\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4} \surd \end{aligned} \nonumber \]

    练习\(\PageIndex{7}\)

    电线杆投射出 50 英尺长的阴影。 在附近，一个 8 英尺高的交通标志投射出 10 英尺长的阴影。 电线杆有多高？

    回答

    电线杆高 40 英尺。

    练习\(\PageIndex{8}\)

    一棵松树在一座30英尺高的建筑物旁边投射出80英尺的阴影，该建筑投射了40英尺的阴影。 那棵松树有多高？

    回答

    这棵松树高 60 英尺。

    求解均匀运动应用程序

    我们已经使用前面章节\(D=r t\)中的公式解决了均匀运动问题。 我们使用了如下所示的表格来整理信息并引导我们得出方程式。

    速率\(\cdot\)时间 = 距离
      \ (\ cdot\) 时间 = 距离” class= “lt-math-14671” >    
      \ (\ cdot\) 时间 = 距离” class= “lt-math-14671” >    

    该公式\(D=r t\)假设我们知道\(r\)\(t\)并使用它们来查找\(D\)。 如果我们知道\(D\)\(r\)并且需要找到\(t\)，我们将求解方程\(t\)并得到公式\(t=\dfrac{D}{r}\)。

    我们还解释了随风或逆风飞行如何影响飞机的速度。 我们将在下一个示例中重新审视这个想法。

    示例\(\PageIndex{5}\)

    一架飞机可以在 30 英里/小时的逆风中飞行 200 英里，其时间与在 30 英里/小时的顺风下飞行 300 英里所需的时间相同。 飞机的速度是多少？

    解决方案

    这是一种统一的运动情况。 图表将帮助我们直观地了解情况。

    clipboard_e675478d490b6955418a9d40f7346c6b5.png

    我们填写图表来整理信息。

    我们正在寻找飞机的速度。 让\(r\) = 飞机的速度。

    当飞机随风飞行时，风会提高其速度，速度也是如此\(r + 30\)。

    当飞机逆风飞行时，风速会降低，速度降低\(r − 30\)。

    写下费率。 在远处写字。 从那以后\(D=r \cdot t\)，我们求解\(t\)并得到\(t=\dfrac{D}{r}\)。 我们将距离除以每行的速率，然后将表达式放在时间列中。

    速率\(\cdot\)时间 = 距离
    逆风 \ (\ cdot\) 时间 = 距离 “>\(r-30\) \(\dfrac{200}{r-30}\) 200
    顺风 \ (\ cdot\) 时间 = 距离 “>\(r+30\) \(\dfrac{300}{r+30}\) 300

    我们知道时间是相等的，所以我们写出方程式。

    \[\dfrac{200}{r-30}=\dfrac{300}{r+30} \nonumber \]

    我们将两边乘以液晶屏。

    \[(r+30)(r-30)\left(\frac{200}{r-30}\right)=(r+30)(r-30)\left(\frac{300}{r+30}\right) \nonumber \]

    简化并解决。

    \[\begin{aligned} (r+30)(200)&=(r-30) 300 \\ 200 r+6000&=300 r-9000 \\ 15000&=100 r \end{aligned} \nonumber \]

    查看。

    飞\(150 \mathrm{mph}\)机的速度是合理的吗？ 是的。 如果飞机在行驶\(150 \mathrm{mph}\)而风在\(30 \mathrm{mph}\)行驶

    \[\text { Tailwind } \quad 150+30=180 \mathrm{mph} \quad \dfrac{300}{180}=\dfrac{5}{3} \text { hours } \nonumber \]

    \[\text { Headwind } 150-30=120 \mathrm{mph} \dfrac{200}{120}=\dfrac{5}{3} \text { hours } \nonumber \]

    时间是相等的，所以它会检查。 飞机正在飞行\(150 \mathrm{mph}\)。

    练习\(\PageIndex{9}\)

    Link 可以在 3 英里/小时的逆风中骑自行车 20 英里，这与他以 3 英里/小时的顺风行驶 30 英里的时间相同。 Link 的骑行速度是多少？

    回答

    林克的骑行速度为 15 英里/小时。

    练习\(\PageIndex{10}\)

    Danica 可以在 7 英里/小时的逆风中航行 5 英里，这与她在 7 英里/小时的顺风下航行 12 英里的时间相同。 没有风的 Danica 的船速度是多少？

    回答

    丹妮卡的船的速度是 17 英里每小时。

    在下一个示例中，我们将知道以不同速度行驶不同距离所产生的总时间。

    示例\(\PageIndex{6}\)

    周六，贾兹敏训练了 3 个小时。 她跑了 8 英里然后骑了 24 英里。 她的骑行速度比跑步速度快 4 英里/小时。 她的跑步速度是多少？

    解决方案

    这是一种统一的运动情况。 图表将帮助我们直观地了解情况。

    clipboard_ea415f63ad2acc69c7ea17326f1ee0337.png

    我们填写图表来整理信息。 我们正在寻找 Jazmine 的跑步速度。 让\(r\) = Jazmine 的跑步速度。

    她的骑行速度比跑步速度快 4 英里。 \(r + 4\)= 她的骑行速度

    给出了距离，将其输入到图表中。 从那以后\(D=r \cdot t\)，我们求解\(t\)并得到\(t=\dfrac{D}{r}\)。 我们将距离除以每行的速率，然后将表达式放在时间列中。

    速率\(\cdot\)时间 = 距离
    跑 \ (\ cdot\) 时间 = 距离 “>\(r\) \(\dfrac{8}{r}\) 8
    自行车 \ (\ cdot\) 时间 = 距离 “>\(r+4\) \(\dfrac{24}{r+4}\) 24
      \ (\ cdot\) 时间 = 距离 “> 3  

    写一句话：她的时间加上骑自行车的时间是 3 小时。

    翻译句子得出方程式。

    \[\dfrac{8}{r}+\dfrac{24}{r+4}=3 \nonumber \]

    解决。

    \ [\ begin {aligned}
    r (r+4)\ 左 (\ dfrac {8} {r} +\ dfrac {24} {r+4}\ 右) &=3\
    cdot r (r+4)\ 24 r &=3 r (r+4)\\
    8 r+32+24 r &=3 r^ {2} +12 r\
    32+32 r &=3 r^ {2} +12 r\\
    0 &=3 r^ {2} -20 r-32\\
    0 & =( 3 r+4) (r-8)
    \ end {aligned}\ nonumber\]

    \[\begin{array}{lc} {(3 r+4)=0} & {(r-8)=0} \\ \cancel{r=\dfrac{4}{3}} \quad & {r=8} \end{array} \nonumber \]

    查看。

    在这个问题中，负速度是没有意义的，解决方案\(r=8\)也是如此。

    8 英里/小时是合理的跑步速度吗？ 是的。

    如果 Jazmine 的跑步速率为 4\(r+4\)，那么她的骑行速率就是\(8+4=12\)。

    \[\text { Run } 8 \mathrm{mph} \quad \dfrac{8 \mathrm{miles}}{8 \mathrm{mph}}=1 \text { hour } \nonumber \]

    \[\text { Bike } 12 \text { mph } \quad \dfrac{24 \text { miles }}{12 \mathrm{mph}}=2 \text { hours } \nonumber \]

    \(y=\dfrac{k}{x}\)

    逆@@

    用