7.5: 求解有理方程

学习目标

• 求解有理方程
• 使用有理函数
• 求解特定变量的有理方程

在开始之前，请参加这个准备测验。

1. 解决：$\dfrac{1}{6} x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}$
   如果你错过了这个问题，请查看示例 2.2.9。
2. 解决：$n^2-5n-36=0$
   如果您错过了此问题，请查看示例 6.6.4。
3. 求解公$5x+2y=10$式$y$$。$
   如果您错过了此问题，请查看示例 2.4.10。

在先前定义了 “表达式” 和 “方程” 这两个术语之后，我们在本书中都使用了它们。 我们简化了多种表达式并求解了许多种方程。 到目前为止，我们已经在本章中简化了许多有理表达式。 现在我们将求解一个有理方程。

有理方程

有理方程是包含有理表达式的方程。

你必须确保知道有理表达式和有理方程式之间的区别。 方程包含等号。

$$\text {Rational Expression }\quad \quad \text{ Rational Equation} \nonumber$$

$$\dfrac{1}{8} x+\dfrac{1}{2} \quad \quad \dfrac{1}{8} x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4} \nonumber$$

$$\dfrac{y+6}{y^{2}-36} \quad \quad \quad \dfrac{y+6}{y^{2}-36}=y+1 \nonumber$$

$$\dfrac{1}{n-3}+\dfrac{1}{n+4} \quad \quad \quad \quad \dfrac{1}{n-3}+\dfrac{1}{n+4}=\dfrac{15}{n^{2}+n-12} \nonumber$$

求解有理方程

我们已经求解了包含分数的线性方程。 我们找到了方程中所有分数的 LCD，然后将方程的两边乘以 LCD 以 “清除” 分数。

我们将使用相同的策略来求解有理方程。 我们将等式的两边乘以液晶屏。 然后，我们将得到一个不包含有理表达式的方程，因此我们更容易求解。 但是，由于原始方程可能在分母中有一个变量，因此我们必须小心，不要最终得到会使分母等于零的解。

因此，在我们开始求解有理方程之前，我们首先对其进行检查，以找到可以使任何分母为零的值。 这样，当我们求解有理方程时，我们就会知道是否有任何代数解必须丢弃。

会导致任何有理表达式未定义的有理方程的代数解被称为有理方程的外来解。

有理方程的外来解

有理方程的外来解是代数解，它会导致原始方程中的任何表达式未定义。

我们通过在方程$x\neq c$旁边写字来记录任何可能的无关解。$c$

示例$\PageIndex{1}$: How to Solve a Rational Equation

解决： $$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6} \nonumber$$

解决方案

第 1 步。 注意变量中任何会使任何分母变为零的值。

如果$x=0$，$\dfrac{1}{x}$则未定义。 因此，我们将在方程式$x \neq 0$旁边写。

$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}, x \neq 0 \nonumber$$

第 2 步。 找出方程中所有分母的最小公分母。

找到$\dfrac{1}{x}$$\dfrac{1}{3}$、和的液晶屏$\dfrac{5}{6}$

液晶屏是$6x$。

第 3 步。 通过将方程的两边乘以 LCD 来清除分数。

将方程的两边乘以液晶屏，$6x$。

$${\color{red}6 x} \cdot\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}\right)={\color{red}6 x} \cdot\left(\dfrac{5}{6}\right) \nonumber$$

使用分配属性。

$${\color{red}6 x} \cdot \dfrac{1}{x}+{\color{red}6 x} \cdot \dfrac{1}{3}={\color{red}6 x} \cdot\left(\dfrac{5}{6}\right) \nonumber$$

简化——请注意，不要再有分数了！

$$6+2 x=5 x \nonumber$$

第 4 步。 求解由此产生的方程。

简化。

$$\begin{aligned} &6=3 x\\ &2=x \end{aligned} \nonumber$$

第 5 步。 查看。

如果在步骤 1 中找到的任何值是代数解，则将其丢弃。 检查原始方程中所有剩余的解。

我们没有得到 0 作为代数解。

$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6} \nonumber$$

我们用原始$x=2$方程代替。

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}+\frac{1}{3}&\overset{?}{=}\frac{5}{6} \\ \frac{3}{6}+\frac{2}{6}&\overset{?}{=}\frac{5}{6} \\ \frac{5}{6}&=\frac{5}{6} \surd \end{aligned} \nonumber$$

解决方案是$x=2$

练习$\PageIndex{1}$

解决： $$\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{5} \nonumber$$

回答

$y=-\dfrac{15}{7}$

练习$\PageIndex{2}$

解决： $$\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{x} \nonumber$$

回答

$x=\dfrac{15}{3}$

显示了此方法的步骤。

如何用有理表达式求解方程。

• 第 1 步。 注意变量中任何会使任何分母变为零的值。
• 第 2 步。 找出方程中所有分母的最小公分母。
• 第 3 步。 通过将方程的两边乘以 LCD 来清除分数。
• 第 4 步。 求解由此产生的方程。
• 第 5 步。 查看：
  • 如果在步骤 1 中找到的任何值是代数解，则将其丢弃。
  • 检查原始方程中所有剩余的解。

首先，我们总是要注意会导致任何分母变为零的值。

示例$\PageIndex{2}$: How to Solve a Rational Equation using the Zero Product Property

解决： $$1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}} \nonumber$$

解决方案

注意变量中任何会使任何分母变为零的值。

$$1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}}, y \neq 0 \nonumber$$

找出方程中所有分母的最小公分母。 液晶屏是$y^2$。

通过将方程的两边乘以 LCD 来清除分数。

$$y^{2}\left(1-\dfrac{5}{y}\right)=y^{2}\left(-\dfrac{6}{y^{2}}\right) \nonumber$$

分发。

$$y^{2} \cdot 1-y^{2}\left(\dfrac{5}{y}\right)=y^{2}\left(-\dfrac{6}{y^{2}}\right) \nonumber$$

乘。

$$y^{2}-5 y=-6 \nonumber$$

求解由此产生的方程。 首先用标准形式写出二次方程。

$$y^{2}-5 y+6=0 \nonumber$$

因子。

$$(y-2)(y-3)=0 \nonumber$$

使用 “零积分” 属性。

$$y-2=0 \text { or } y-3=0 \nonumber$$

解决。

$$y=2 \text { or } y=3 \nonumber$$

查看。 我们没有$0$得到代数解。

检查$y=2$并$y=3$输入原始方程式。

$$1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}} \quad \quad \quad 1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}} \nonumber$$

$$1-\dfrac{5}{2} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{2^{2}} \quad \quad \quad 1-\dfrac{5}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{3^{2}} \nonumber$$

$$1-\dfrac{5}{2} \overset{?}{=}-\dfrac{6}{4} \quad \quad \quad 1-\dfrac{5}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{9} \nonumber$$

$$\dfrac{2}{2}-\dfrac{5}{2} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{4} \quad \quad \quad \dfrac{3}{3}-\dfrac{5}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{9} \nonumber$$

$$-\dfrac{3}{2} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{4} \quad \quad \quad -\dfrac{2}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{9} \nonumber$$

$$-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{3}{2} \surd \quad \quad \quad -\dfrac{2}{3}=-\dfrac{2}{3} \surd \nonumber$$

解决方案是$y=2,y=3$

练习$\PageIndex{3}$

解决： $$1-\dfrac{2}{x}=\dfrac{15}{x^{2}} \nonumber$$

回答

$x=-3, x=5$

练习$\PageIndex{4}$

解决： $$1-\dfrac{4}{y}=\dfrac{12}{y^{2}} \nonumber$$

回答

$y=-2, y=6$

在下一个示例中，最后一个分母是平方差。 记得先考虑一下才能找到液晶屏。

示例$\PageIndex{3}$

解决： $$\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2}=\dfrac{x-1}{x^{2}-4} \nonumber$$

解决方案

注意变量中任何会使任何分母变为零的值。

$$\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2}=\dfrac{x-1}{(x+2)(x-2)}, x \neq-2, x \neq 2 \nonumber$$

找出方程中所有分母的最小公分母。 液晶屏是$(x+2)(x-2)$。

通过将方程的两边乘以 LCD 来清除分数。

$$(x+2)(x-2)\left(\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2}\right)=(x+2)(x-2)\left(\dfrac{x-1}{x^{2}-4}\right) \nonumber$$

分发。

$$(x+2)(x-2) \dfrac{2}{x+2}+(x+2)(x-2) \dfrac{4}{x-2}=(x+2)(x-2)\left(\dfrac{x-1}{x^{2}-4}\right) \nonumber$$

移除常见因素。

$$\cancel {(x+2)}(x-2) \dfrac{2}{\cancel {x+2}}+(x+2){\cancel {(x-2)}} \dfrac{4}{\cancel {x-2}}=\cancel {(x+2)(x-2)}\left(\dfrac{x-1}{\cancel {x^{2}-4}}\right) \nonumber$$

简化。

$$2(x-2)+4(x+2)=x-1 \nonumber$$

分发。

$$2 x-4+4 x+8=x-1 \nonumber$$

解决。

$$\begin{aligned} 6 x+4&=x-1\\ 5 x&=-5 \\ x&=-1 \end{aligned}$$

检查：我们没有得到 2 或 −2 作为代数解。

检查原始$x=-1$方程式。

$$\begin{aligned} \dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2} &=\dfrac{x-1}{x^{2}-4} \\ \dfrac{2}{(-1)+2}+\dfrac{4}{(-1)-2} &\overset{?}{=} \dfrac{(-1)-1}{(-1)^{2}-4} \\ \dfrac{2}{1}+\dfrac{4}{-3} &\overset{?}{=} \dfrac{-2}{-3} \\ \dfrac{6}{3}-\dfrac{4}{3} &\overset{?}{=} \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{2}{3} &=\dfrac{2}{3} \surd \end{aligned} \nonumber$$

解决方案是$x=-1$。

练习$\PageIndex{5}$

解决： $$\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1}{x^{2}-1} \nonumber$$

回答

$x=\dfrac{2}{3}$

练习$\PageIndex{6}$

解决： $$\dfrac{5}{y+3}+\dfrac{2}{y-3}=\dfrac{5}{y^{2}-9} \nonumber$$

回答

$y=2$

在下一个示例中，第一个分母是三项式。 记得先考虑一下才能找到液晶屏。

示例$\PageIndex{4}$

解决： $$\dfrac{m+11}{m^{2}-5 m+4}=\dfrac{5}{m-4}-\dfrac{3}{m-1} \nonumber$$

解决方案

注意变量中任何会使任何分母变为零的值。 使用二次分母的因子形式。

$$\dfrac{m+11}{(m-4)(m-1)}=\dfrac{5}{m-4}-\dfrac{3}{m-1}, m \neq 4, m \neq 1 \nonumber$$

找出方程中所有分母的最小公分母。 液晶屏是$(m-4)(m-1)$

通过将方程的两边乘以 LCD 来清除分数。

$$(m-4)(m-1)\left(\dfrac{m+11}{(m-4)(m-1)}\right)=(m-4)(m-1)\left(\dfrac{5}{m-4}-\dfrac{3}{m-1}\right) \nonumber$$

分发。

$$(m-4)(m-1)\left(\dfrac{m+11}{(m-4)(m-1)}\right)=(m-4)(m-1) \dfrac{5}{m-4}-(m-4)(m-1) \dfrac{3}{m-1} \nonumber$$

移除常见因素。

$$\cancel {(m-4)(m-1)}\left(\dfrac{m+11}{\cancel {(m-4)(m-1)}}\right)=\cancel {(m-4)}(m-1) \dfrac{5}{\cancel{m-4}}-(m-4)\cancel {(m-1)} \dfrac{3}{\cancel {m-1}} \nonumber$$

简化。

$$m+11=5(m-1)-3(m-4) \nonumber$$

求解由此产生的方程。

$$\begin{aligned} m+11&=5 m-5-3 m+12 \\ 4&=m \end{aligned} \nonumber$$

查看。 唯一的代数解是 4，但我们说过 4 会使分母等于零。 代数解是外来解。

这个方程没有解。

练习$\PageIndex{7}$

解决： $$\dfrac{x+13}{x^{2}-7 x+10}=\dfrac{6}{x-5}-\dfrac{4}{x-2} \nonumber$$

回答

没有解决办法。

练习$\PageIndex{8}$

解决： $$\dfrac{y-6}{y^{2}+3 y-4}=\dfrac{2}{y+4}+\dfrac{7}{y-1} \nonumber$$

回答

没有解决办法。

我们在前面的例子中求解的方程只有一个代数解，但它是一个无关的解。 这使我们无法解决这个方程式。 在下一个例子中，我们得到两个代数解。 在这里，一个或两个可能是无关的解决方案。

示例$\PageIndex{5}$

解决： $$\dfrac{y}{y+6}=\dfrac{72}{y^{2}-36}+4 \nonumber$$

解决方案

将所有分母分数分数分解，这样我们就可以记下变量中任何会使任何分母为零的值。

$$\dfrac{y}{y+6}=\dfrac{72}{(y-6)(y+6)}+4, y \neq 6, y \neq-6 \nonumber$$

找出最小公分母。 液晶屏是$(y-6)(y+6)$

清除分数。

$$(y-6)(y+6)\left(\dfrac{y}{y+6}\right)=(y-6)(y+6)\left(\dfrac{72}{(y-6)(y+6)}+4\right) \nonumber$$

简化。

$$(y-6) \cdot y=72+(y-6)(y+6) \cdot 4 \nonumber$$

简化。

$$y(y-6)=72+4\left(y^{2}-36\right) \nonumber$$

求解由此产生的方程。

$$\begin{aligned} y^{2}-6 y&=72+4 y^{2}-144\\ 0&=3 y^{2}+6 y-72 \\ 0&=3\left(y^{2}+2 y-24\right) \\ 0&=3(y+6)(y-4) \\ y&=-6, y=4 \end{aligned} \nonumber$$

查看。

$y=-6$是一个无关的解决方案。 检查原始$y=4$方程式。

$$\begin{aligned} \dfrac{y}{y+6} &=\dfrac{72}{y^{2}-36}+4 \\ \dfrac{4}{4+6} &\overset{?}{=}\dfrac{72}{4^{2}-36}+4 \\ \dfrac{4}{10} &\overset{?}{=} \dfrac{72}{-20}+4 \\ \dfrac{4}{10} &\overset{?}{=} -\dfrac{36}{10}+\dfrac{40}{10} \\ \dfrac{4}{10} &=\dfrac{4}{10} \surd \end{aligned} \nonumber$$

解决方案是$y=4$。

练习$\PageIndex{9}$

解决： $$\dfrac{x}{x+4}=\dfrac{32}{x^{2}-16}+5 \nonumber$$

回答

$x=3$

练习$\PageIndex{10}$

解决： $$\dfrac{y}{y+8}=\dfrac{128}{y^{2}-64}+9 \nonumber$$

回答

$y=7$

在某些情况下，所有的代数解都是无关的。

示例$\PageIndex{6}$

解决： $$\dfrac{x}{2 x-2}-\dfrac{2}{3 x+3}=\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12 x^{2}-12} \nonumber$$

解决方案

首先，我们将考虑所有分母，以便更容易识别无关的解决方案和液晶显示屏。

$$\dfrac{x}{2(x-1)}-\dfrac{2}{3(x+1)}=\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12(x-1)(x+1)} \nonumber$$

注意变量中任何会使任何分母变为零的值。

$$\dfrac{x}{2(x-1)}-\dfrac{2}{3(x+1)}=\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12(x-1)(x+1)}, x \neq 1, x \neq-1 \nonumber$$

找出最小公分母。 液晶屏是$12(x-1)(x+1)$。

清除分数。

$$12(x-1)(x+1)\left(\dfrac{x}{2(x-1)}-\dfrac{2}{3(x+1)}\right)=12(x-1)(x+1)\left(\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12(x-1)(x+1)}\right) \nonumber$$

简化。

$$6(x+1) \cdot x-4(x-1) \cdot 2=5 x^{2}-2 x+9 \nonumber$$

简化。

$$6 x(x+1)-4 \cdot 2(x-1)=5 x^{2}-2 x+9 \nonumber$$

求解由此产生的方程。

$$\begin{aligned} 6 x^{2}+6 x-8 x+8&=5 x^{2}-2 x+9\\ x^{2}-1&=0 \\ (x-1)(x+1)&=0 \\ x&=1 \text { or } x=-1 \end{aligned} \nonumber$$

查看。

$x=1$并且$x=-1$是无关的解决方案。

该方程没有解。

练习$\PageIndex{11}$

解决： $$\dfrac{y}{5 y-10}-\dfrac{5}{3 y+6}=\dfrac{2 y^{2}-19 y+54}{15 y^{2}-60} \nonumber$$

回答

没有解决办法。

练习$\PageIndex{12}$

解决： $$\dfrac{z}{2 z+8}-\dfrac{3}{4 z-8}=\dfrac{3 z^{2}-16 z-16}{8 z^{2}+2 z-64} \nonumber$$

回答

没有解决办法。

示例$\PageIndex{7}$

解决： $$\dfrac{4}{3 x^{2}-10 x+3}+\dfrac{3}{3 x^{2}+2 x-1}=\dfrac{2}{x^{2}-2 x-3} \nonumber$$

解决方案

将所有分母分数分数分解，这样我们就可以记下变量中任何会使任何分母为零的值。

$$\dfrac{4}{(3 x-1)(x-3)}+\dfrac{3}{(3 x-1)(x+1)}=\dfrac{2}{(x-3)(x+1)}, x \neq-1, x \neq \dfrac{1}{3}, x \neq 3\nonumber$$

找出最小公分母。 液晶屏是$(3 x-1)(x+1)(x-3)$。

清除分数。

$$(3 x-1)(x+1)(x-3)\left(\dfrac{4}{(3 x-1)(x-3)}+\dfrac{3}{(3 x-1)(x+1)}\right)=(3 x-1)(x+1)(x-3)\left(\dfrac{2}{(x-3)(x+1)}\right) \nonumber$$

简化。

$$4(x+1)+3(x-3)=2(3 x-1) \nonumber$$

分发。

$$4 x+4+3 x-9=6 x-2 \nonumber$$

简化。

$$7 x-5=6 x-2 \nonumber$$

$$x=3 \nonumber$$

唯一的代数解是$x=3$$，$但是我们说过$x=3$这将使分母等于零。 代数解是外来解。

这个方程没有解。

练习$\PageIndex{13}$

解决： $$\dfrac{15}{x^{2}+x-6}-\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{2}{x+3} \nonumber$$

回答

没有解决办法。

练习$\PageIndex{14}$

解决： $$\dfrac{5}{x^{2}+2 x-3}-\dfrac{3}{x^{2}+x-2}=\dfrac{1}{x^{2}+5 x+6} \nonumber$$

回答

没有解决办法。

使用有理函数

使用由有理表达式定义的函数通常会产生有理方程。 同样，我们使用相同的技术来解决这些问题。

示例$\PageIndex{8}$

对于有理函数，$f(x)=\dfrac{2 x-6}{x^{2}-8 x+15}$:

1. 找到函数的域
2. 解决$f(x)=1$
3. 在图形上找到此函数值处的点。

解决方案

1. 有理函数的域是除那些使有理表达式未定义的实数以外的所有实数。 因此，要找到它们，我们将分母设置为等于零并求解。

$$\begin{aligned} x^{2}-8 x+15&=0 \\ (x-3)(x-5)&=0 \quad \text{Factor the trinomial.}\\ x-3&=0 \quad \text {Use the Zero Product Property.}\\ x-5&=0 \quad \text {Use the Zero Product Property.}\\ x=3 &\; x=5 \text{ Solve.} \end{aligned} \nonumber$$

域名均为实数，除了$x \neq 3, x \neq 5$

2. $$f(x)=1 \nonumber$$

在有理表达式中替换。

$$\dfrac{2 x-6}{x^{2}-8 x+15}=1 \nonumber$$

将分母考虑在内。

$$\dfrac{2 x-6}{(x-3)(x-5)}=1 \nonumber$$

将两边乘以液晶屏，$(x-3)(x-5)$

$$(x-3)(x-5)\left(\dfrac{2 x-6}{(x-3)(x-5)}\right)=(x-3)(x-5)(1) \nonumber$$

简化。

$$2 x-6=x^{2}-8 x+15 \nonumber$$

解决。

$$0=x^{2}-10 x+21 \nonumber$$

因子。

$$0=(x-7)(x-3) \nonumber$$

使用 “零积分” 属性。

$$x-7=0 \quad x-3=0 \nonumber$$

解决。

$$x=7 \quad x=3 \nonumber$$

3. 该函数的值为 1 时$x=7, x=3$$。$所以这个函数的图表上的点是什么时候$f(x)=1$$，$将是$(7,1),(3,1)$。 （7，1)，（3，1)。（7，1)，（3，1)。“role=” presentation” style= “border-bottom-color: currentColor; border-bottom-style: 无；边框底部宽度：0px；边框图像出口：0；边框图像切片：100%；边框图像来源：无；边框-左边框样式：无；左边框样式：无；边框-左边框样式：无；边框-左边框样式：无；边框-左边框样式：无；边框-左边框样式：无；边框-左边框样式：无；边框-左边框样式：无；边框-左边框样式：宽度:0px; 边框-右色：currentColor；右边框样式：无；边框右宽度：0px；边框顶部颜色：currentColor；border-top-style：无；border-topwidh：0px；盒子尺寸：border-box；方向：ltr；显示：inline；浮动：无；字体系列：Helvetica Neue、Helvetica、Arial、sans-serif；字体大小：100%；字体大小调整:无；字体样式：正常；字体变体：正常；字体重量：正常；字母间距：正常；行高：正常；底边距：0px；右边距：0px；右边距：0px；max-height: none；max-width: none；最小高度：0px；孤立物：2；overflow-wrap: 正常；padding-bottom: 0px；padding-left: 0px；padding-right: 0px；padding-top: 0px；位置:相对; text-align: left; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none;-webkit-text-stroke-widt-widt-widt-width: 0px; 空格:nowrap;” tabindex= “0"> (7 、 1) 、 (3 、 1)

练习$\PageIndex{15}$

对于有理函数，$f(x)=\dfrac{8-x}{x^{2}-7 x+12}$

1. 找到函数的域。
2. 解决$f(x)=3$。
3. 在图形上找到此函数值处的点。

回答

1. 域名均为实数，除了 an$x \neq 3$ d$x \neq 4$
2. $x=2, x=\dfrac{14}{3}$
3. $(2,3),\left(\dfrac{14}{3}, 3\right)$

练习$\PageIndex{16}$

对于有理函数，$f(x)=\dfrac{x-1}{x^{2}-6 x+5}$

1. 解决$f(x)=4$。
2. 在图形上找到此函数值处的点。

回答

1. 域名均为实数，除了 an$x \neq 1$ d$x \neq 5$
2. $x=\dfrac{21}{4}$
3. $\left(\dfrac{21}{4}, 4\right)$

求解特定变量的有理方程

当我们求解线性方程时，我们学会了如何求解特定变量的公式。 商业、科学、经济学和其他领域中使用的许多公式都使用有理方程来模拟两个或多个变量之间的关系。 现在，我们将看到如何求解特定变量的有理方程。

当我们根据斜率公式开发出点斜率公式时，我们通过乘以 LCD 来清除分数。

$$\begin{aligned} m &=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}} \\ m\left(x-x_{1}\right) &=\left(\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\right)\left(x-x_{1}\right) \quad \text{Multiply both sides of the equation by } x-x_1.\\ m\left(x-x_{1}\right) &=y-y_{1} \quad \text {Simplify.}\\ y-y_{1} &=m\left(x-x_{1}\right) \quad \text {Rewrite the equation with the y terms on the left.} \end{aligned} \nonumber$$

在下一个示例中，我们将使用相同的方法和斜率公式来获得穿过点的直线方程的点斜率形式$(2,3)$。 我们将再添加一个步骤来解决$y$。

示例$\PageIndex{9}$

解决：$m=\dfrac{y-2}{x-3}$对于$y$。

解决方案

$$m=\dfrac{y-2}{x-3} \nonumber$$

注意变量中任何会使任何分母变为零的值。

$$m=\dfrac{y-2}{x-3}, x \neq 3 \nonumber$$

通过将方程的两边乘以 LCD 来清除分数$x-3$。

$$(x-3) m=(x-3)\left(\dfrac{y-2}{x-3}\right) \nonumber$$

简化。

$$x m-3 m=y-2 \nonumber$$

将术语分隔为$y$。

$$x m-3 m+2=y \nonumber$$

练习$\PageIndex{17}$

解决：$m=\dfrac{y-5}{x-4}$对于$y$。

回答

$y=m x-4 m+5$

练习$\PageIndex{18}$

解决：$m=\dfrac{y-1}{x+5}$对于$y$。

回答

$y=m x+5 m+1$

记得在下一个示例中将两边乘以液晶屏。

示例$\PageIndex{10}$

解决：$\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}=1$对于$c$

解决方案

$$\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}=1 \text { for } c \nonumber$$

注意变量中任何会使任何分母变为零的值。

$$\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}=1, c \neq 0, m \neq 0 \nonumber$$

通过将方程的两边乘以 LCD 来清除分数$cm$。

$$cm\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}\right)=cm(1) \nonumber$$

分发。

$$cm\left(\frac{1}{c}\right)+cm \frac{1}{m}=cm(1) \nonumber$$

简化。

$$m+c=cm \nonumber$$

收集右边$c$的条款。

$$m=cm-c \nonumber$$

将右边的表达式分解出来。

$$m=c(m-1) \nonumber$$

要隔离$c$，请将两边除以$m-1$。

$$\dfrac{m}{m-1}=\dfrac{c(m-1)}{m-1} \nonumber$$

通过删除常见因素进行简化。

$$\dfrac{m}{m-1}=c \nonumber$$

请注意，尽管我们$m=0$从原始方程中排除了$c=0$和，但我们现在也必须说明这一点$m \neq 1$。

练习$\PageIndex{19}$

解决：$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=c$对于$a$。

回答

$a=\dfrac{b}{c b-1}$

练习$\PageIndex{20}$

解决：$\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{y}$对于$y$

回答

$y=\dfrac{3 x}{x+6}$

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