7.4: 简化复杂的有理表达式

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它
• 使用 LCD 简化复杂的有理表达式

在@@ 开始之前，请参加这个准备测验。

1. 简化：$\dfrac{\dfrac{3}{5}}{\dfrac{9}{10}}$。
   如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
2. 简化：$\dfrac{1−\dfrac{1}{3}}{4^2+4·5}$。
   如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
3. 解决：$\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}$。
   如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。

复杂分数

复数分数是其中分子和/或分母包含分数的分数。

我们之前对复杂分数进行了简化，如下所示：

$$\dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{5}{8}} \quad \quad \quad \dfrac{\dfrac{x}{2}}{\dfrac{x y}{6}} \nonumber$$

在本节中，我们将简化复杂的有理表达式，即分子或分母中有理表达式的有理表达式。

复杂的有理表达

复杂有理表达式是一种有理表达式，其中分子和/或分母包含有理表达式。

以下是一些复杂的有理表达式：

$$\dfrac{\dfrac{4}{y-3}}{\dfrac{8}{y^{2}-9}} \quad \quad \dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}} \quad \quad \dfrac{\dfrac{2}{x+6}}{\dfrac{4}{x-6}-\dfrac{4}{x^{2}-36}} \nonumber$$

请记住，我们总是排除会使任何分母为零的值。

我们将使用两种方法来简化复杂的有理表达式。

在本章前面我们已经看到了这个复杂的理性表达。

$$\dfrac{\dfrac{6 x^{2}-7 x+2}{4 x-8}}{\dfrac{2 x^{2}-8 x+3}{x^{2}-5 x+6}} \nonumber$$

我们注意到分数条告诉我们除法，因此将其改写为除法问题：

$$\left(\dfrac{6 x^{2}-7 x+2}{4 x-8}\right) \div\left(\dfrac{2 x^{2}-8 x+3}{x^{2}-5 x+6}\right) \nonumber$$

然后，我们将第一个有理表达式乘以第二个有理表达式的倒数，就像我们在除以两个分数时所做的那样。

这是一种简化复杂有理表达式的方法。 我们确保复杂的有理表达式采用一个分数大于一个分数的形式。 然后我们把它写得好像我们在除以两个分数一样。

示例$\PageIndex{1}$

通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它： $$\dfrac{\dfrac{6}{x-4}}{\dfrac{3}{x^{2}-16}} \nonumber$$

解决方案

将复数分数重写为除法。 $$\dfrac{6}{x-4} \div \dfrac{3}{x^{2}-16} \nonumber$$

重写为第一次乘以第二个倒数的乘积。重写为第一次乘以第二个倒数的乘积。重写为第一次乘以第二个倒数的乘积。

$$\dfrac{6}{x-4} \cdot \dfrac{x^{2}-16}{3} \nonumber$$

因子。

$$\dfrac{3 \cdot 2}{x-4} \cdot \dfrac{(x-4)(x+4)}{3} \nonumber$$

乘以。

$$\dfrac{3 \cdot 2(x-4)(x+4)}{3(x-4)}\nonumber$$

移除常见因素。

$$\dfrac{\cancel{3} \cdot 2 \cancel {(x-4)}(x+4)}{\cancel{3} \cancel {(x-4)}} \nonumber$$

简化。

$$2(x+4) \nonumber$$

有没有不应该允许$x$的值？ 最初的复杂理性表达式的分母为$x-4$和$x^2-16$$。$如果是$x=4$或，则此表达式将未定义$x=-4$。

试试看$\PageIndex{1}$

通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它： $$\dfrac{\dfrac{2}{x^{2}-1}}{\dfrac{3}{x+1}} \nonumber$$

回答

$\dfrac{2}{3(x-1)}$

试试看$\PageIndex{2}$

通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它： $$\dfrac{\dfrac{1}{x^{2}-7 x+12}}{\dfrac{2}{x-4}} \nonumber$$

回答

$\dfrac{1}{2(x-3)}$

分数条用作分组符号。 因此，为了遵循运算顺序，我们在进行除法之前尽可能简化分子和分母。

示例$\PageIndex{2}$

通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它： $$\dfrac{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}} \nonumber$$

解决方案

简化分子和分母。 找到 LCD 并在分子中添加分数。 找到 LCD 并减去分母中的分数。

$$\dfrac{\dfrac{1 \cdot {\color{red}2}}{3 \cdot {\color{red}2}}+\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1 \cdot {\color{red}3}}{2 \cdot {\color{red}3}}-\dfrac{1 \cdot {\color{red}2}}{3 \cdot {\color{red}2}}} \nonumber$$

简化分子和分母。

$$\dfrac{\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}}{\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{6}} \nonumber$$

将复杂的有理表达式重写为除法问题。

$$\dfrac{3}{6} \div \dfrac{1}{6} \nonumber$$

将第一个乘以第二个的倒数。

$$\dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{6}{1} \nonumber$$

简化。

$$3 \nonumber$$

试试看$\PageIndex{3}$

通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它： $$\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}}{\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{12}} \nonumber$$

回答

$\dfrac{14}{11}$

试试看$\PageIndex{4}$

通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它： $$\dfrac{\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{8}+\dfrac{5}{6}} \nonumber$$

回答

$\dfrac{10}{23}$

当复杂的有理表达式包含变量时，我们遵循相同的程序。

示例$\PageIndex{3}$: How to Simplify a Complex Rational Expression using Division

通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它： $$\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}} \nonumber$$

解决方案

第 1 步。 简化分子。

我们将简化总和和和与分母。分母中的分子和差值。

$$\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}} \nonumber$$

找到一个公分母，然后将分子中的分数相加。

$$\dfrac{\dfrac{1 \cdot {\color{red}y}}{x \cdot {\color{red}y}}+\dfrac{1 \cdot {\color{red}x}}{y \cdot {\color{red}x}}}{\dfrac{x \cdot {\color{red}x}}{y \cdot {\color{red}x}}-\dfrac{y \cdot {\color{red}y}}{x \cdot {\color{red}y}}} \nonumber$$

$$\dfrac{\dfrac{y}{x y}+\dfrac{x}{x y}}{\dfrac{x^{2}}{x y}-\dfrac{y^{2}}{x y}} \nonumber$$

找到一个公分母并减去分母中的分数。

$$\dfrac{\dfrac{y+x}{x y}}{\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x y}} \nonumber$$

现在，我们在分子中只有一个有理表达式，在分母中只有一个有理表达式。

第 2 步。 将复杂的有理表达式重写为除法问题。

我们写出分子除以分母。

$$\left(\dfrac{y+x}{x y}\right) \div\left(\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x y}\right) \nonumber$$

第 3 步。 将表达式分开。

将第一个乘以第二个的倒数。

$$\left(\dfrac{y+x}{x y}\right) \cdot\left(\dfrac{x y}{x^{2}-y^{2}}\right) \nonumber$$

尽可能分解任何表达式。

$$\dfrac{x y(y+x)}{x y(x-y)(x+y)} \nonumber$$

移除常见因素。

$$\dfrac{\cancel {x y}\cancel {(y+x)}}{\cancel {x y}(x-y)\cancel {(x+y)}} \nonumber$$

简化。

$$\dfrac{1}{x-y} \nonumber$$

试试看$\PageIndex{5}$

通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它： $$\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}} \nonumber$$

回答

$\dfrac{y+x}{y-x}$

试试看$\PageIndex{6}$

通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它： $$\dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{\dfrac{1}{a^{2}}-\dfrac{1}{b^{2}}} \nonumber$$

回答

$\dfrac{a b}{b-a}$

我们在这里总结一下步骤。

如何通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它。

1. 将复杂的有理表达式重写为除法问题。
2. 将表达式分开。

示例$\PageIndex{4}$

通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它： $$\dfrac{n-\dfrac{4 n}{n+5}}{\dfrac{1}{n+5}+\dfrac{1}{n-5}} \nonumber$$

解决方案

简化分子和分母。 找到分子和分母的公分母。

$$\dfrac{\dfrac{n{\color{red}(n+5)}}{1{\color{red}(n+5)}}-\dfrac{4 n}{n+5}}{\dfrac{1{\color{red}(n-5)}}{(n+5){\color{red}(n-5)}}+\dfrac{1{\color{red}(n+5)}}{(n-5){\color{red}(n+5)}}} \nonumber$$

简化分子。

$$\dfrac{\dfrac{n^{2}+5 n}{n+5}-\dfrac{4 n}{n+5}} {\dfrac{n-5}{(n+5)(n-5)}+\dfrac{n+5}{(n-5)(n+5)}} \nonumber$$

减去分子中的有理表达式，然后加上分母。

$$\dfrac{\dfrac{n^{2}+5 n-4 n}{n+5}}{\dfrac{n-5+n+5}{(n+5)(n-5)}} \nonumber$$

简化。 （我们现在有一个理性表达式胜过一个理性表达式。）

$$\dfrac{\dfrac{n^{2}+n}{n+5}}{\dfrac {2n}{(n+5)(n-5)}} \nonumber$$

重写为分数除法。

$$\dfrac{n^{2}+n}{n+5} \div \dfrac{2 n}{(n+5)(n-5)} \nonumber$$

将第一次乘以第二次的倒数。

$$\dfrac{n^{2}+n}{n+5} \cdot \dfrac{(n+5)(n-5)}{2 n} \nonumber$$

尽可能分解任何表达式。

$$\dfrac{n(n+1)(n+5)(n-5)}{(n+5) 2 n} \nonumber$$

移除常见因素。

$$\dfrac{\cancel{n}(n+1)\cancel {(n+5)}(n-5)}{\cancel {(n+5)} 2 \cancel {n}} \nonumber$$

简化。

$$\dfrac{(n+1)(n-5)}{2} \nonumber$$

试试看$\PageIndex{7}$

通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它： $$\dfrac{b-\dfrac{3 b}{b+5}}{\dfrac{2}{b+5}+\dfrac{1}{b-5}} \nonumber$$

回答

$\dfrac{b(b+2)(b-5)}{3 b-5}$

试试看$\PageIndex{8}$

通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它： $$\dfrac{1-\dfrac{3}{c+4}}{\dfrac{1}{c+4}+\dfrac{c}{3}} \nonumber$$

回答

$\dfrac{3}{c+3}$

使用 LCD 简化复杂的有理表达式

当我们用分数求解方程时，我们通过乘以液晶显示器 “清除” 分数。 我们可以在这里使用这个策略来简化复杂的有理表达式。 我们将把所有有理表达式的分子和分母乘以液晶显示器。

让我们来看看我们在示例 7.4.2 中以一种方式简化的复杂有理表达式。 我们将在这里通过将分子和分母乘以液晶屏来简化它。 当我们乘以时，$\dfrac{LCD}{LCD}$我们乘以 1，因此值保持不变。

示例$\PageIndex{5}$

使用 LCD 简化复杂的有理表达式： $$\dfrac{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}} \nonumber$$

解决方案

整个表达式中所有分数的 LCD 均为 6。

通过将分子和分母乘以该 LCD 来清除分数。

$$\dfrac{{\color{red}6} \cdot\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\right)}{{\color{red}6} \cdot\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)} \nonumber$$

分发。

$$\dfrac{6 \cdot \dfrac{1}{3}+6 \cdot \dfrac{1}{6}}{6 \cdot \dfrac{1}{2}-6 \cdot \dfrac{1}{3}} \nonumber$$

简化。

$$\dfrac{2+1}{3-2} \nonumber$$

$$\dfrac{3}{1}\nonumber$$

$$3\nonumber$$

试试看$\PageIndex{9}$

使用 LCD 简化复杂的有理表达式： $$\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}}{\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{5}} \nonumber$$

回答

$\dfrac{7}{3}$

试试看$\PageIndex{10}$

使用 LCD 简化复杂的有理表达式： $$\dfrac{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{16}} \nonumber$$

回答

$\dfrac{10}{3}$

我们将使用与示例 7.4.3 中相同的示例。 确定哪种方法更适合你。

示例$\PageIndex{6}$: How to Simplify a Complex Rational Expressing using the LCD

使用 LCD 简化复杂的有理表达式： $$\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}} \nonumber$$

解决方案

第 1 步。 在复数有理表达式中找到所有分数的 LCD。

所有分数的液晶屏$xy$。

$$\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}} \nonumber$$

第 2 步。 将分子和分母乘以 LCD。

将分子和分母都乘以$xy$。

$$\dfrac{{\color{red}x y} \cdot\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)}{{\color{red}x y} \cdot\left(\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}\right)} \nonumber$$

第 3 步。 简化表达式。

分发。

$$\dfrac{xy \cdot \dfrac{1}{x}+xy \cdot \dfrac{1}{y}}{xy \cdot \dfrac{x}{y}-xy \cdot \dfrac{y}{x}} \nonumber$$

$$\dfrac{y+x}{x^{2}-y^{2}} \nonumber$$

简化。

$$\dfrac{\cancel{(y+x)}}{(x-y)\cancel{(x+y)}} \nonumber$$

移除常见因素。

$$\dfrac{1}{x-y} \nonumber$$

试试看$\PageIndex{11}$

使用 LCD 简化复杂的有理表达式： $$\dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}} \nonumber$$

回答

$\dfrac{b+a}{a^{2}+b^{2}}$

试试看$\PageIndex{12}$

使用 LCD 简化复杂的有理表达式： $$\dfrac{\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{y^{2}}}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}} \nonumber$$

回答

$\dfrac{y-x}{x y}$

如何使用液晶显示器简化复杂的有理表达。

1. 将分子和分母乘以 LCD。
2. 简化表达式。

一定要先考虑所有分母，这样你才能找到液晶屏。

示例$\PageIndex{7}$

使用 LCD 简化复杂的有理表达式： $$\dfrac{\dfrac{2}{x+6}}{\dfrac{4}{x-6}-\dfrac{4}{x^{2}-36}} \nonumber$$

解决方案

找到复数有理表达式中所有分数的 LCD。 液晶屏是：

$$x^{2}-36=(x+6)(x-6) \nonumber$$

将分子和分母乘以 LCD。

$$\dfrac{(x+6)(x-6) \dfrac{2}{x+6}}{(x+6)(x-6)\left(\dfrac{4}{x-6}-\dfrac{4}{(x+6)(x-6)}\right)} \nonumber$$

简化表达式。

在分母中分布。

$$\dfrac{(x+6)(x-6) \dfrac{2}{x+6}}{{\color{red}(x+6)(x-6)}\left(\dfrac{4}{x-6}\right)-{\color{red}(x+6)(x-6)}\left(\dfrac{4}{(x+6)(x-6)}\right)} \nonumber$$

简化。

$$\dfrac{\cancel{(x+6)}(x-6) \dfrac{2}{\cancel{x+6}}}{{\color{red}(x+6)\cancel{(x-6)}}\left(\dfrac{4}{x-6}\right)-{\color{red}\cancel{(x+6)(x-6)}}\left(\dfrac{4}{\cancel{(x+6)(x-6)}}\right)} \nonumber$$

简化。

$$\dfrac{2(x-6)}{4(x+6)-4} \nonumber$$

为了简化分母，请分配和合并相似的术语。

$$\dfrac{2(x-6)}{4 x+20} \nonumber$$

将分母考虑在内。

$$\dfrac{2(x-6)}{4(x+5)} \nonumber$$

移除常见因素。

$$\dfrac{\cancel{2}(x-6)}{\cancel{2} \cdot 2(x+5)} \nonumber$$

简化。

$$\dfrac{x-6}{2(x+5)} \nonumber$$

请注意，分子和分母没有其他共同的因子了。

试试看$\PageIndex{13}$

使用 LCD 简化复杂的有理表达式： $$\dfrac{\dfrac{3}{x+2}}{\dfrac{5}{x-2}-\dfrac{3}{x^{2}-4}} \nonumber$$

回答

$\dfrac{3(x-2)}{5 x+7}$

试试看$\PageIndex{14}$

使用 LCD 简化复杂的有理表达式： $$\dfrac{\dfrac{2}{x-7}-\dfrac{1}{x+7}}{\dfrac{6}{x+7}-\dfrac{1}{x^{2}-49}} \nonumber$$

回答

$\dfrac{x+21}{6 x-43}$

一定要先考虑分母。 请谨慎行事，因为数学可能会变得混乱！

示例$\PageIndex{8}$

使用 LCD 简化复杂的有理表达式： $$\dfrac{\dfrac{4}{m^{2}-7 m+12}}{\dfrac{3}{m-3}-\dfrac{2}{m-4}} \nonumber$$

解决方案

找到复数有理表达式中所有分数的 LCD。

液晶屏是$(m−3)(m−4)$。

将分子和分母乘以 LCD。

$$\dfrac{(m-3)(m-4) \dfrac{4}{(m-3)(m-4)}}{(m-3)(m-4)\left(\dfrac{3}{m-3}-\dfrac{2}{m-4}\right)} \nonumber$$

简化。

$$\dfrac{\cancel {(m-3)(m-4)}\dfrac{4}{\cancel {(m-3)(m-4)}}}{\cancel {(m-3)}(m-4)\left(\dfrac{3}{\cancel {m-3}}\right)-(m-3)\cancel {(m-4)}\left(\dfrac{2}{\cancel {m-4}}\right)} \nonumber$$

简化。

$$\dfrac{4}{3(m-4)-2(m-3)} \nonumber$$

分发。

$$\dfrac{4}{3m-12-2m+6} \nonumber$$

将相似的术语组合在一起。

$$\dfrac{4}{m-6} \nonumber$$

试试看$\PageIndex{15}$

使用 LCD 简化复杂的有理表达式： $$\dfrac{\dfrac{3}{x^{2}+7 x+10}}{\dfrac{4}{x+2}+\dfrac{1}{x+5}} \nonumber$$

回答

$\dfrac{3}{5 x+22}$

试试看$\PageIndex{16}$

使用 LCD 简化复杂的有理表达式： $$\dfrac{\dfrac{4 y}{y+5}+\dfrac{2}{y+6}}{\dfrac{3 y}{y^{2}+11 y+30}} \nonumber$$

回答

$\dfrac{2\left(2 y^{2}+13 y+5\right)}{3 y}$

示例$\PageIndex{9}$

使用 LCD 简化复杂的有理表达式： $$\dfrac{\dfrac{y}{y+1}}{1+\dfrac{1}{y-1}} \nonumber$$

解决方案

找到复数有理表达式中所有分数的 LCD。

液晶屏是$(y+1)(y−1)$。

将分子和分母乘以 LCD。

$$\dfrac{(y+1)(y-1) \dfrac{y}{y+1}}{(y+1)(y-1)\left(1+\dfrac{1}{y-1}\right)} \nonumber$$

在分母中分配并简化。

$$\dfrac{\cancel{(y+1)}(y-1) \dfrac{y}{\cancel {y+1}}}{(y+1)(y-1)(1)+(y+1)\cancel{(y-1)}\left(\dfrac{1}{\cancel{(y-1)}}\right)} \nonumber$$

简化。

$$\dfrac{(y-1) y}{(y+1)(y-1)+(y+1)} \nonumber$$

简化分母并保留分子因子。

$$\dfrac{y(y-1)}{y^{2}-1+y+1} \nonumber$$

$$\dfrac{y(y-1)}{y^{2}+y} \nonumber$$

对分母进行分数并删除与分子共有的因子。

$$\dfrac{\cancel {y}(y-1)}{\cancel {y}(y+1)} \nonumber$$

简化。

$$\dfrac{y-1}{y+1} \nonumber$$

试试看$\PageIndex{17}$

使用 LCD 简化复杂的有理表达式： $$\dfrac{\dfrac{x}{x+3}}{1+\dfrac{1}{x+3}} \nonumber$$

回答

$\dfrac{x}{x+4}$

试试看$\PageIndex{18}$

使用 LCD 简化复杂的有理表达式： $$\dfrac{1+\dfrac{1}{x-1}}{\dfrac{3}{x+1}} \nonumber$$

回答

$\dfrac{x(x+1)}{3(x-1)}$

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• 复杂分数

关键概念

• 如何通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它。
  1. 简化分子和分母。
  2. 将复杂的有理表达式重写为除法问题。
  3. 将表达式分开。
• 如何使用液晶显示器简化复杂的有理表达。
  1. 找到复数有理表达式中所有分数的 LCD。
  2. 将分子和分母乘以 LCD。
  3. 简化表达式。

词汇表

复杂的有理表达

复杂有理表达式是一种有理表达式，其中分子和/或分母包含有理表达式。