7.4: 简化复杂的有理表达式
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- 204218
在本节结束时，您将能够：
- 通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它
- 使用 LCD 简化复杂的有理表达式
在@@
复数分数是其中分子和/或分母包含分数的分数。
我们之前对复杂分数进行了简化，如下所示：
\[\dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{5}{8}} \quad \quad \quad \dfrac{\dfrac{x}{2}}{\dfrac{x y}{6}} \nonumber \]
在本节中，我们将简化复杂的有理表达式，即分子或分母中有理表达式的有理表达式。
复杂有理表达式是一种有理表达式，其中分子和/或分母包含有理表达式。
以下是一些复杂的有理表达式：
\[\dfrac{\dfrac{4}{y-3}}{\dfrac{8}{y^{2}-9}} \quad \quad \dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}} \quad \quad \dfrac{\dfrac{2}{x+6}}{\dfrac{4}{x-6}-\dfrac{4}{x^{2}-36}} \nonumber \]
请记住，我们总是排除会使任何分母为零的值。
我们将使用两种方法来简化复杂的有理表达式。
在本章前面我们已经看到了这个复杂的理性表达。
\[\dfrac{\dfrac{6 x^{2}-7 x+2}{4 x-8}}{\dfrac{2 x^{2}-8 x+3}{x^{2}-5 x+6}} \nonumber \]
我们注意到分数条告诉我们除法，因此将其改写为除法问题：
\[\left(\dfrac{6 x^{2}-7 x+2}{4 x-8}\right) \div\left(\dfrac{2 x^{2}-8 x+3}{x^{2}-5 x+6}\right) \nonumber \]
然后，我们将第一个有理表达式乘以第二个有理表达式的倒数，就像我们在除以两个分数时所做的那样。
这是一种简化复杂有理表达式的方法。 我们确保复杂的有理表达式采用一个分数大于一个分数的形式。 然后我们把它写得好像我们在除以两个分数一样。
通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它：\[\dfrac{\dfrac{6}{x-4}}{\dfrac{3}{x^{2}-16}} \nonumber \]
解决方案
将复数分数重写为除法。 \[\dfrac{6}{x-4} \div \dfrac{3}{x^{2}-16} \nonumber \]
重写为第一次乘以第二个倒数的乘积。重写为第一次乘以第二个倒数的乘积。重写为第一次乘以第二个倒数的乘积。
\[\dfrac{6}{x-4} \cdot \dfrac{x^{2}-16}{3} \nonumber \]
因子。
\[\dfrac{3 \cdot 2}{x-4} \cdot \dfrac{(x-4)(x+4)}{3} \nonumber \]
乘以。
\[\dfrac{3 \cdot 2(x-4)(x+4)}{3(x-4)}\nonumber \]
移除常见因素。
\[\dfrac{\cancel{3} \cdot 2 \cancel {(x-4)}(x+4)}{\cancel{3} \cancel {(x-4)}} \nonumber \]
简化。
\[2(x+4) \nonumber \]
有没有不应该允许\(x\)的值？ 最初的复杂理性表达式的分母为\(x-4\)和\(x^2-16\)如果是\(x=4\)或，则此表达式将未定义\(x=-4\)。
通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它：\[\dfrac{\dfrac{2}{x^{2}-1}}{\dfrac{3}{x+1}} \nonumber \]
- 回答
-
\(\dfrac{2}{3(x-1)}\)
通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它：\[\dfrac{\dfrac{1}{x^{2}-7 x+12}}{\dfrac{2}{x-4}} \nonumber \]
- 回答
-
\(\dfrac{1}{2(x-3)}\)
分数条用作分组符号。 因此，为了遵循运算顺序，我们在进行除法之前尽可能简化分子和分母。
通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它：\[\dfrac{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}} \nonumber \]
解决方案
简化分子和分母。 找到 LCD 并在分子中添加分数。 找到 LCD 并减去分母中的分数。
\[\dfrac{\dfrac{1 \cdot {\color{red}2}}{3 \cdot {\color{red}2}}+\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1 \cdot {\color{red}3}}{2 \cdot {\color{red}3}}-\dfrac{1 \cdot {\color{red}2}}{3 \cdot {\color{red}2}}} \nonumber \]
简化分子和分母。
\[\dfrac{\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}}{\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{6}} \nonumber \]
将复杂的有理表达式重写为除法问题。
\[\dfrac{3}{6} \div \dfrac{1}{6} \nonumber \]
将第一个乘以第二个的倒数。
\[\dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{6}{1} \nonumber \]
简化。
\[3 \nonumber \]
通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它：\[\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}}{\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{12}} \nonumber \]
- 回答
-
\(\dfrac{14}{11}\)
通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它：\[\dfrac{\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{8}+\dfrac{5}{6}} \nonumber \]
- 回答
-
\(\dfrac{10}{23}\)
当复杂的有理表达式包含变量时，我们遵循相同的程序。
通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它：\[\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}} \nonumber \]
解决方案
第 1 步。 简化分子。
我们将简化总和和和与分母。分母中的分子和差值。
\[\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}} \nonumber \]
找到一个公分母，然后将分子中的分数相加。
\[\dfrac{\dfrac{1 \cdot {\color{red}y}}{x \cdot {\color{red}y}}+\dfrac{1 \cdot {\color{red}x}}{y \cdot {\color{red}x}}}{\dfrac{x \cdot {\color{red}x}}{y \cdot {\color{red}x}}-\dfrac{y \cdot {\color{red}y}}{x \cdot {\color{red}y}}} \nonumber \]
\[\dfrac{\dfrac{y}{x y}+\dfrac{x}{x y}}{\dfrac{x^{2}}{x y}-\dfrac{y^{2}}{x y}} \nonumber \]
找到一个公分母并减去分母中的分数。
\[\dfrac{\dfrac{y+x}{x y}}{\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x y}} \nonumber \]
现在，我们在分子中只有一个有理表达式，在分母中只有一个有理表达式。
第 2 步。 将复杂的有理表达式重写为除法问题。
我们写出分子除以分母。
\[\left(\dfrac{y+x}{x y}\right) \div\left(\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x y}\right) \nonumber \]
第 3 步。 将表达式分开。
将第一个乘以第二个的倒数。
\[\left(\dfrac{y+x}{x y}\right) \cdot\left(\dfrac{x y}{x^{2}-y^{2}}\right) \nonumber \]
尽可能分解任何表达式。
\[\dfrac{x y(y+x)}{x y(x-y)(x+y)} \nonumber \]
移除常见因素。
\[\dfrac{\cancel {x y}\cancel {(y+x)}}{\cancel {x y}(x-y)\cancel {(x+y)}} \nonumber \]
简化。
\[\dfrac{1}{x-y} \nonumber \]
通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它：\[\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}} \nonumber \]
- 回答
-
\(\dfrac{y+x}{y-x}\)
通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它：\[\dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{\dfrac{1}{a^{2}}-\dfrac{1}{b^{2}}} \nonumber \]
- 回答
-
\(\dfrac{a b}{b-a}\)
我们在这里总结一下步骤。
- 将复杂的有理表达式重写为除法问题。
- 将表达式分开。
通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它：\[\dfrac{n-\dfrac{4 n}{n+5}}{\dfrac{1}{n+5}+\dfrac{1}{n-5}} \nonumber \]
解决方案
简化分子和分母。 找到分子和分母的公分母。
\[\dfrac{\dfrac{n{\color{red}(n+5)}}{1{\color{red}(n+5)}}-\dfrac{4 n}{n+5}}{\dfrac{1{\color{red}(n-5)}}{(n+5){\color{red}(n-5)}}+\dfrac{1{\color{red}(n+5)}}{(n-5){\color{red}(n+5)}}} \nonumber \]
简化分子。
\[\dfrac{\dfrac{n^{2}+5 n}{n+5}-\dfrac{4 n}{n+5}} {\dfrac{n-5}{(n+5)(n-5)}+\dfrac{n+5}{(n-5)(n+5)}} \nonumber \]
减去分子中的有理表达式，然后加上分母。
\[\dfrac{\dfrac{n^{2}+5 n-4 n}{n+5}}{\dfrac{n-5+n+5}{(n+5)(n-5)}} \nonumber \]
简化。 （我们现在有一个理性表达式胜过一个理性表达式。）
\[\dfrac{\dfrac{n^{2}+n}{n+5}}{\dfrac {2n}{(n+5)(n-5)}} \nonumber \]
重写为分数除法。
\[\dfrac{n^{2}+n}{n+5} \div \dfrac{2 n}{(n+5)(n-5)} \nonumber \]
将第一次乘以第二次的倒数。
\[\dfrac{n^{2}+n}{n+5} \cdot \dfrac{(n+5)(n-5)}{2 n} \nonumber \]
尽可能分解任何表达式。
\[\dfrac{n(n+1)(n+5)(n-5)}{(n+5) 2 n} \nonumber \]
移除常见因素。
\[\dfrac{\cancel{n}(n+1)\cancel {(n+5)}(n-5)}{\cancel {(n+5)} 2 \cancel {n}} \nonumber \]
简化。
\[\dfrac{(n+1)(n-5)}{2} \nonumber \]
通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它：\[\dfrac{b-\dfrac{3 b}{b+5}}{\dfrac{2}{b+5}+\dfrac{1}{b-5}} \nonumber \]
- 回答
-
\(\dfrac{b(b+2)(b-5)}{3 b-5}\)
通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它：\[\dfrac{1-\dfrac{3}{c+4}}{\dfrac{1}{c+4}+\dfrac{c}{3}} \nonumber \]
- 回答
-
\(\dfrac{3}{c+3}\)
使用 LCD 简化复杂的有理表达式
当我们用分数求解方程时，我们通过乘以液晶显示器 “清除” 分数。 我们可以在这里使用这个策略来简化复杂的有理表达式。 我们将把所有有理表达式的分子和分母乘以液晶显示器。
让我们来看看我们在示例 7.4.2 中以一种方式简化的复杂有理表达式。 我们将在这里通过将分子和分母乘以液晶屏来简化它。 当我们乘以时，\(\dfrac{LCD}{LCD}\)我们乘以 1，因此值保持不变。
使用 LCD 简化复杂的有理表达式：\[\dfrac{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}} \nonumber \]
解决方案
整个表达式中所有分数的 LCD 均为 6。
通过将分子和分母乘以该 LCD 来清除分数。
\[\dfrac{{\color{red}6} \cdot\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\right)}{{\color{red}6} \cdot\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)} \nonumber \]
分发。
\[\dfrac{6 \cdot \dfrac{1}{3}+6 \cdot \dfrac{1}{6}}{6 \cdot \dfrac{1}{2}-6 \cdot \dfrac{1}{3}} \nonumber \]
简化。
\[\dfrac{2+1}{3-2} \nonumber \]
\[\dfrac{3}{1}\nonumber \]
\[3\nonumber \]
使用 LCD 简化复杂的有理表达式：\[\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}}{\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{5}} \nonumber \]
- 回答
-
\(\dfrac{7}{3}\)
使用 LCD 简化复杂的有理表达式：\[\dfrac{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{16}} \nonumber \]
- 回答
-
\(\dfrac{10}{3}\)
我们将使用与示例 7.4.3 中相同的示例。 确定哪种方法更适合你。
使用 LCD 简化复杂的有理表达式：\[\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}} \nonumber \]
解决方案
第 1 步。 在复数有理表达式中找到所有分数的 LCD。
所有分数的液晶屏\(xy\)。
\[\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}} \nonumber \]
第 2 步。 将分子和分母乘以 LCD。
将分子和分母都乘以\(xy\)。
\[\dfrac{{\color{red}x y} \cdot\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)}{{\color{red}x y} \cdot\left(\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}\right)} \nonumber \]
第 3 步。 简化表达式。
分发。
\[\dfrac{xy \cdot \dfrac{1}{x}+xy \cdot \dfrac{1}{y}}{xy \cdot \dfrac{x}{y}-xy \cdot \dfrac{y}{x}} \nonumber \]
\[\dfrac{y+x}{x^{2}-y^{2}} \nonumber \]
简化。
\[\dfrac{\cancel{(y+x)}}{(x-y)\cancel{(x+y)}} \nonumber \]
移除常见因素。
\[\dfrac{1}{x-y} \nonumber \]
使用 LCD 简化复杂的有理表达式：\[\dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}} \nonumber \]
- 回答
-
\(\dfrac{b+a}{a^{2}+b^{2}}\)
使用 LCD 简化复杂的有理表达式：\[\dfrac{\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{y^{2}}}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}} \nonumber \]
- 回答
-
\(\dfrac{y-x}{x y}\)
- 将分子和分母乘以 LCD。
- 简化表达式。
一定要先考虑所有分母，这样你才能找到液晶屏。
使用 LCD 简化复杂的有理表达式：\[\dfrac{\dfrac{2}{x+6}}{\dfrac{4}{x-6}-\dfrac{4}{x^{2}-36}} \nonumber \]
解决方案
找到复数有理表达式中所有分数的 LCD。 液晶屏是：
\[x^{2}-36=(x+6)(x-6) \nonumber \]
将分子和分母乘以 LCD。
\[\dfrac{(x+6)(x-6) \dfrac{2}{x+6}}{(x+6)(x-6)\left(\dfrac{4}{x-6}-\dfrac{4}{(x+6)(x-6)}\right)} \nonumber \]
简化表达式。
在分母中分布。
\[\dfrac{(x+6)(x-6) \dfrac{2}{x+6}}{{\color{red}(x+6)(x-6)}\left(\dfrac{4}{x-6}\right)-{\color{red}(x+6)(x-6)}\left(\dfrac{4}{(x+6)(x-6)}\right)} \nonumber \]
简化。
\[\dfrac{\cancel{(x+6)}(x-6) \dfrac{2}{\cancel{x+6}}}{{\color{red}(x+6)\cancel{(x-6)}}\left(\dfrac{4}{x-6}\right)-{\color{red}\cancel{(x+6)(x-6)}}\left(\dfrac{4}{\cancel{(x+6)(x-6)}}\right)} \nonumber \]
简化。
\[\dfrac{2(x-6)}{4(x+6)-4} \nonumber \]
为了简化分母，请分配和合并相似的术语。
\[\dfrac{2(x-6)}{4 x+20} \nonumber \]
将分母考虑在内。
\[\dfrac{2(x-6)}{4(x+5)} \nonumber \]
移除常见因素。
\[\dfrac{\cancel{2}(x-6)}{\cancel{2} \cdot 2(x+5)} \nonumber \]
简化。
\[\dfrac{x-6}{2(x+5)} \nonumber \]
请注意，分子和分母没有其他共同的因子了。
使用 LCD 简化复杂的有理表达式：\[\dfrac{\dfrac{3}{x+2}}{\dfrac{5}{x-2}-\dfrac{3}{x^{2}-4}} \nonumber \]
- 回答
-
\(\dfrac{3(x-2)}{5 x+7}\)
使用 LCD 简化复杂的有理表达式：\[\dfrac{\dfrac{2}{x-7}-\dfrac{1}{x+7}}{\dfrac{6}{x+7}-\dfrac{1}{x^{2}-49}} \nonumber \]
- 回答
-
\(\dfrac{x+21}{6 x-43}\)
一定要先考虑分母。 请谨慎行事，因为数学可能会变得混乱！
使用 LCD 简化复杂的有理表达式：\[\dfrac{\dfrac{4}{m^{2}-7 m+12}}{\dfrac{3}{m-3}-\dfrac{2}{m-4}} \nonumber \]
解决方案
找到复数有理表达式中所有分数的 LCD。
液晶屏是\((m−3)(m−4)\)。
将分子和分母乘以 LCD。
\[\dfrac{(m-3)(m-4) \dfrac{4}{(m-3)(m-4)}}{(m-3)(m-4)\left(\dfrac{3}{m-3}-\dfrac{2}{m-4}\right)} \nonumber \]
简化。
\[\dfrac{\cancel {(m-3)(m-4)}\dfrac{4}{\cancel {(m-3)(m-4)}}}{\cancel {(m-3)}(m-4)\left(\dfrac{3}{\cancel {m-3}}\right)-(m-3)\cancel {(m-4)}\left(\dfrac{2}{\cancel {m-4}}\right)} \nonumber\]
简化。
\[\dfrac{4}{3(m-4)-2(m-3)} \nonumber \]
分发。
\[\dfrac{4}{3m-12-2m+6} \nonumber \]
将相似的术语组合在一起。
\[\dfrac{4}{m-6} \nonumber \]
使用 LCD 简化复杂的有理表达式：\[\dfrac{\dfrac{3}{x^{2}+7 x+10}}{\dfrac{4}{x+2}+\dfrac{1}{x+5}} \nonumber \]
- 回答
-
\(\dfrac{3}{5 x+22}\)
使用 LCD 简化复杂的有理表达式：\[\dfrac{\dfrac{4 y}{y+5}+\dfrac{2}{y+6}}{\dfrac{3 y}{y^{2}+11 y+30}} \nonumber \]
- 回答
-
\(\dfrac{2\left(2 y^{2}+13 y+5\right)}{3 y}\)
使用 LCD 简化复杂的有理表达式：\[\dfrac{\dfrac{y}{y+1}}{1+\dfrac{1}{y-1}} \nonumber \]
解决方案
找到复数有理表达式中所有分数的 LCD。
液晶屏是\((y+1)(y−1)\)。
将分子和分母乘以 LCD。
\[\dfrac{(y+1)(y-1) \dfrac{y}{y+1}}{(y+1)(y-1)\left(1+\dfrac{1}{y-1}\right)} \nonumber \]
在分母中分配并简化。
\[\dfrac{\cancel{(y+1)}(y-1) \dfrac{y}{\cancel {y+1}}}{(y+1)(y-1)(1)+(y+1)\cancel{(y-1)}\left(\dfrac{1}{\cancel{(y-1)}}\right)} \nonumber \]
简化。
\[\dfrac{(y-1) y}{(y+1)(y-1)+(y+1)} \nonumber \]
简化分母并保留分子因子。
\[\dfrac{y(y-1)}{y^{2}-1+y+1} \nonumber \]
\[\dfrac{y(y-1)}{y^{2}+y} \nonumber \]
对分母进行分数并删除与分子共有的因子。
\[\dfrac{\cancel {y}(y-1)}{\cancel {y}(y+1)} \nonumber \]
简化。
\[\dfrac{y-1}{y+1} \nonumber \]
使用 LCD 简化复杂的有理表达式：\[\dfrac{\dfrac{x}{x+3}}{1+\dfrac{1}{x+3}} \nonumber \]
- 回答
-
\(\dfrac{x}{x+4}\)
使用 LCD 简化复杂的有理表达式：\[\dfrac{1+\dfrac{1}{x-1}}{\dfrac{3}{x+1}} \nonumber \]
- 回答
-
\(\dfrac{x(x+1)}{3(x-1)}\)
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- 复杂分数
关键概念
- 如何通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它。
- 简化分子和分母。
- 将复杂的有理表达式重写为除法问题。
- 将表达式分开。
- 如何使用液晶显示器简化复杂的有理表达。
- 找到复数有理表达式中所有分数的 LCD。
- 将分子和分母乘以 LCD。
- 简化表达式。
词汇表
- 复杂的有理表达
- 复杂有理表达式是一种有理表达式，其中分子和/或分母包含有理表达式。