6.6: 多项式方程

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

学习目标

在本节结束时，您将能够：

使用 “零积分” 属性
通过分解求解二次方程
使用多项式函数求解方程
求解由多项式方程建模的应用程序

在开始之前，请参加这个准备测验。

解决：$5y−3=0$。
如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
完全考虑因素:$n^3−9n^2−22n$.
如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
如果$f(x)=8x−16$，找到$f(3)$并求解$f(x)=0$。
如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。

我们花了大量时间学习如何分解多项式。现在，我们将研究多项式方程，如果可能的话，使用因子分解来求解它们。

多项式方程是包含多项式表达式的方程。 多项式方程的次数是多项式的次数。

多项式方程

多项式方程是包含多项式表达式的方程。

多项式方程的次数是多项式的次数。

我们已经求解了一度的多项式方程。一度的多项式方程是线性方程的形式$ax+b=c$。

我们现在要求解二度的多项式方程。二度的多项式方程称为二次方程。下面列出了一些二次方程的示例：

\[x^2+5x+6=0 \qquad 3y^2+4y=10 \qquad 64u^2−81=0 \qquad n(n+1)=42 \nonumber\]

最后一个方程似乎没有将变量求平方，但是当我们简化左边的表达式时，就会得到$n^2+n$。

二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$，with$a\neq 0$。（If$a=0$$0·x^2=0$、then and we 就没有二次项了。）

二次方程

这种形式的方程$ax^2+bx+c=0$称为二次方程。

\[a,b,\text{ and }c\text{ are real numbers and }a\neq 0\nonumber\]

为了求解二次方程，我们需要的方法不同于我们在求解线性方程时使用的方法。我们将在此处介绍一种方法，然后在后面的章节中介绍其他几种方法。

使用 “零积分” 属性

我们将首先使用零积属性求解一些二次方程。零产品属性表示，如果两个数量的乘积为零，则至少有一个数量为零。获得等于零的乘积的唯一方法是乘以零本身。

产品属性为零

如果$a·b=0$，则任一$a=0$$b=0$或两者兼而有之。

现在，我们将使用零积属性来求解二次方程。

示例$\PageIndex{1}$: How to Solve a Quadratic Equation Using the Zero Product Property

解决：$(5n−2)(6n−1)=0$。

回答: $方程是左括号 5n 减去 2 右括号左括号 6n 减去 1 右括号等于 0。乘积等于零，因此至少有一个因子必须等于零。步骤 1 将每个因子设置为零。因此，5n 减去 2 等于 0，6n 减去 1 等于 0。$ $步骤 2 是求解线性方程。所以，我们得到 n 等于 2 乘以 5，n 等于 1 乘 6。$ $第 3 步是通过将每个解分别代入原始方程来进行检查。$

示例$\PageIndex{2}$

解决：$(3m−2)(2m+1)=0$。

回答: $m=\frac{2}{3},\space m=−\frac{1}{2}$

示例$\PageIndex{3}$

解决：$(4p+3)(4p−3)=0$。

回答: $p=−\frac{3}{4},\space p=\frac{3}{4}$

使用零乘积属性。

将每个因子设置为零。
求解线性方程。
查看。

通过分解求解二次方程

零积属性非常适合求解二次方程。必须考虑二次方程，一侧为零隔离。因此，我们一定要从标准形式的二次方程开始$ax^2+bx+c=0$。然后我们将左边的表达式分解。

解决：$2y^2=13y+45$。

回答: $方程为 2 y 平方等于 13y 加 45。步骤 1 是将其写成标准格式 a x 平方加 bx 加 c。因此，我们有 2 y 平方减去 13y 减去 45 等于 0。$ $步骤 2 是分解二次表达式。所以我们有 2y 加 5，y 减去 9 等于 0。$ $第 3 步是使用零乘积属性。将每个因子设置为零，我们有两个线性方程：2y 加 5 等于 0，y 减去 9 等于 0。$ $步骤 4 是求解线性方程。我们得到，y 等于减去 5 乘以 2，y 等于 9。$ $第 5 步是通过将每个解分别代入原始方程来进行检查$

示例$\PageIndex{5}$

解决：$3c^2=10c−8$。

回答: $c=2,\space c=\frac{4}{3}$

示例$\PageIndex{6}$

解决：$2d^2−5d=3$。

回答: $d=3,\space d=−12$

通过@@ 分解求解二次方程。

以标准形式写下二次方程$ax^2+bx+c=0$。
将二次表达式分解为因子。
使用 “零积分” 属性。
求解线性方程。
查看。将每个解分别替换为原始方程。

在分解之前，我们必须确保二次方程为标准形式。

通过分解求解二次方程将利用你在本章中学到的所有分解技术！你认出下一个例子中的特殊产品图案吗？

示例$\PageIndex{7}$

解决：$169q^2=49$。

回答

$\begin{array} {ll} &169x^2=49 \\ \text{Write the quadratic equation in standard form.} &169x^2−49=0 \\ \text{Factor. It is a difference of squares.} &(13x−7)(13x+7)=0 \\ \text{Use the Zero Product Property to set each factor to }0. & \\ \text{Solve each equation.} &\begin{array} {ll} 13x−7=0 &13x+7=0 \\ 13x=7 &13x=−7 \\ x=\frac{7}{13} &x=−\frac{7}{13} \end{array} \end{array}$

查看：

我们把支票留给你。

示例$\PageIndex{8}$

解决：$25p^2=49$。

回答: $p=\frac{7}{5},p=−\frac{7}{5}$

示例$\PageIndex{9}$

解决：$36x^2=121$。

回答: $x=\frac{11}{6},x=−\frac{11}{6}$

在下一个示例中，方程的左侧是因子计算的，但右侧不为零。要使用零积属性，方程的一侧必须为零。我们将乘以因子，然后以标准形式写出方程。

示例$\PageIndex{10}$

解决：$(3x−8)(x−1)=3x$。

回答: $\begin{array} {ll} &(3x−8)(x−1)=3x \\ \text{Multiply the binomials.} &3x^2−11x+8=3x \\ \text{Write the quadratic equation in standard form.} &3x^2−14x+8=0 \\ \text{Factor the trinomial.} &(3x−2)(x−4)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the Zero Product Property to set each factor to 0.} \\ \text{Solve each equation.} \end{array} &\begin{array} {ll} 3x−2=0 &x−4=0 \\ 3x=2 &x=4 \\ x=\frac{2}{3} & \end{array} \\ \text{Check your answers.} &\text{The check is left to you.} \end{array}$

示例$\PageIndex{11}$

解决：$(2m+1)(m+3)=12m$。

回答: $m=1,\space m=\frac{3}{2}$

示例$\PageIndex{12}$

解决：$(k+1)(k−1)=8$。

回答: $k=3,\space k=−3$

在下一个示例中，当我们将二次方程分解时，我们将得到三个因子。但是，第一个因子是一个常数。我们知道该因子不能等于 0。

示例$\PageIndex{13}$

解决：$3x^2=12x+63$。

回答: $\begin{array} {ll} &3x^2=12x+63 \\ \text{Write the quadratic equation in standard form.} &3x^2−12x−63=0 \\ \text{Factor the greatest common factor first.} &3(x^2−4x−21)=0 \\ \text{Factor the trinomial.} &3(x−7)(x+3)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the Zero Product Property to set each factor to 0.} \\ \text{Solve each equation.} \end{array} &\begin{array} {lll} 3\neq 0 &x−7=0 &x+3=0 \\ 3\neq 0 &x=7 &x=−3 \end{array} \\ \text{Check your answers.} &\text{The check is left to you.} \end{array}$

示例$\PageIndex{14}$

解决：$18a^2−30=−33a$。

回答: $a=−\frac{5}{2},a=\frac{2}{3}$

示例$\PageIndex{15}$

解决：$123b=−6−60b^2$

回答: $b=−2,\space b=−\frac{1}{20}$

零积特性也适用于三个或更多因子的乘积。如果乘积为零，则至少有一个因子必须为零。我们可以使用零积属性求解一些大于二度的方程，就像我们求解二次方程一样。

示例$\PageIndex{16}$

解决：$9m^3+100m=60m^2$

回答: $\begin{array} {ll} & 9m^3+100m=60m^2 \\ \text{Bring all the terms to one side so that the other side is zero.} &9m^3−60m^2+100m=0 \\ \text{Factor the greatest common factor first.} &m(9m^2−60m+100)=0 \\ \text{Factor the trinomial.} &m(3m−10)^2=0 \end{array}\\ \begin{array} {l} \text{Use the Zero Product Property to set each factor to 0.} \\ \text{Solve each equation.} &\begin{array} {lll} m=0 &3m−10=0 &{}\\ m=0 &m=\frac{10}{3} & {} \end{array}\\ \text{Check your answers.} &\text{The check is left to you.} \end{array}$

示例$\PageIndex{17}$

解决：$8x^3=24x^2−18x$。

回答: $x=0,\space x=\frac{3}{2}$

示例$\PageIndex{18}$

解决：$16y^2=32y^3+2y$。

回答: $y=0,\space y=14$

使用多项式函数求解方程

随着我们对多项式函数的研究仍在继续，通常重要的是要知道函数何时会有特定的值或者函数图上有哪些点。我们与 Zero Product Prop roperty 的合作将帮助我们找到这些答案。

示例$\PageIndex{19}$

对于这个函数$f(x)=x^2+2x−2$，

ⓐ 找到$f(x)=6$
ⓑ$x$ 何时找到位于函数图表上的两个点。

回答: ⓐ
$\begin{array} {ll} &f(x)=x^2+2x−2 \\ \text{Substitute }6\text{ for }f(x). &6=x^2+2x−2 \\ \text{Put the quadratic in standard form.} &x^2+2x−8=0 \\ \text{Factor the trinomial.} &(x+4)(x−2)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the zero product property.} \\ \text{Solve.} \end{array} &\begin{array} {lll} x+4=0 &\text{or} &x−2=0 \\ x=−4 &\text{or} &x=2 \end{array} \\ \text{Check:} & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ \begin{array} {lll} \quad &\hspace{3mm} f(x)=x^2+2x−2 &f(x)=x^2+2x−2 \\ \quad &f(−4)=(−4)^2+2(−4)−2 &f(2)=2^2+2·2−2 \\ \quad &f(−4)=16−8−2 &f(2)=4+4−2 \\ \quad &f(−4)=6\checkmark &f(2)=6\checkmark \end{array} & \end{array} $

ⓑ 从$f(−4)=6$和开始$f(2)=6$，点$(−4,6)$和$(2,6)$位于函数的图形上。

示例$\PageIndex{20}$

对于这个函数$f(x)=x^2−2x−8$，

ⓐ$x$ fin$f(x)=7$
d when ⓑ 找到位于函数图表上的两个点。

回答: ⓐ$x=−3$ 或$x=5$
ⓑ$(−3,7)\space (5,7)$

示例$\PageIndex{21}$

对于这个函数$f(x)=x^2−8x+3$，

ⓐ$x$ fin$f(x)=−4$
d when ⓑ 找到位于函数图表上的两个点。

回答: ⓐ$x=1$ 或$x=7$
ⓑ$(1,−4)\space (7,−4)$

零积物属性还可以帮助我们确定函数在哪里为零。函数$x$所在位置的值被称为函数的零。$0$

函数的零

对于任何函数$f$，if$f(x)=0$，$x$then 是该函数的零。

当时$f(x)=0$，该点$(x,0)$是图表上的一个点。这个点是$x$图形的截距。知道函数的图形与轴交叉的位置通常很重要。我们稍后会看到一些例子。

示例$\PageIndex{22}$

对于该函数$f(x)=3x^2+10x−8$，请找到

ⓐ 函数的零，
ⓑ 函数图形的任意$x$-intercepts
ⓒ 函数图形的任意$y$-intercepts

回答: ⓐ 要找到函数的零，我们需要找出函数值何时为 0。
$\begin{array} {ll} &f(x)=3x^2+10x−8 \\ \text{Substitute }0\text{ for}f(x). &0=3x^2+10x−8 \\ \text{Factor the trinomial.} &(x+4)(3x−2)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the zero product property.} \\ \text{Solve.} \end{array} &\begin{array} {lll} x+4=0 &\text{or} &3x−2=0 \\ x=−4 &\text{or} &x=\frac{2}{3} \end{array} \end{array}$

ⓑ 在以下情况下会发生$x$-截距$y=0$。从$f(−4)=0$和开始$f(\frac{2}{3})=0$，点$(−4,0)$和$(\frac{2}{3},0)$位于图表上。这些点是函数$x$的截图。

ⓒ 在以下情况下发生$y$截距$x=0$。要找到$y$-intercepts，我们需要找到$f(0)$。
$\begin{array} {ll} &f(x)=3x^2+10x−8 \\ \text{Find }f(0)\text{ by substituting }0\text{ for }x. &f(0)=3·0^2+10·0−8 \\ \text{Simplify.} &f(0)=−8 \end{array} $
因为$f(0)=−8$，$(0,−8)$这个点就在图表上。此点是函数$y$的截距。

示例$\PageIndex{23}$

对于该函数$f(x)=2x^2−7x+5$，请找到

ⓐ 函数的零
ⓑ 函数图形的任意$x$-intercepts
ⓒ 函数图形的任意$y$-intercepts。

回答: ⓐ$x=1$ 或$x=\frac{5}{2}$
ⓑ$(1,0),\space (\frac{5}{2},0)$ ⓒ$(0,5)$

示例$\PageIndex{24}$

对于该函数$f(x)=6x^2+13x−15$，请找到

ⓐ 函数的零
ⓑ 函数图形的任意$x$-intercepts
ⓒ 函数图形的任意$y$-intercepts。

回答: ⓐ$x=−3$ 或$x=\frac{5}{6}$
ⓑ$(−3,0),\space (\frac{5}{6},0)$ ⓒ$(0,−15)$

求解由多项式方程建模的应用程序

我们之前在转换为线性方程的应用程序中使用的问题解决策略对于转换为多项式方程的应用程序同样有效。我们将在这里复制问题解决策略，以便我们可以将其用作参考。

使用问题解决策略来解决单词问题。

阅读问题。确保所有文字和想法都被理解。
确定我们在寻找什么。
说出我们要找的东西。选择一个变量来表示该数量。
翻译成方程式。用一句话用所有重要信息重述问题可能会有所帮助。然后，将英语句子翻译成代数方程。
使用适当的代数技术求@@ 解方程。
检查问题中的答案并确保答案合理。
用完整的句子@@ 回答问题。

我们将从数字问题开始，练习将单词转换为多项式方程。

示例$\PageIndex{25}$

两个连续奇数整数的乘积为 323。找到整数。

回答

$\begin{array} {ll} \textbf{Step 1. Read }\text{the problem.} & \\ \textbf{Step 2. Identify }\text{what we are looking for.} &\text{We are looking for two consecutive integers.} \\ \textbf{Step 3. Name}\text{ what we are looking for.} &\text{Let } n=\text{ the first integer.} \\ &n+2= \text{ next consecutive odd integer} \\ \begin{array} {l} \textbf{Step 4. Translate }\text{into an equation. Restate the}\hspace{20mm} \\ \text{problem in a sentence.} \end{array} &\begin{array} {l} \text{The product of the two consecutive odd} \\ \text{integers is }323. \end{array} \\ &\quad n(n+2)=323 \\ \textbf{Step 5. Solve }\text{the equation.} n^2+2n=323 \\ \text{Bring all the terms to one side.} &n^2+2n−323=0 \\ \text{Factor the trinomial.} &(n−17)(n+19)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the Zero Product Property.} \\ \text{Solve the equations.} \end{array} &\begin{array} {ll} n−17=0 \hspace{10mm}&n+19=0 \\ n=17 &n=−19 \end{array} \end{array} $
有两个值$n$可以解决这个问题。因此，有两组连续的奇数整数可以起作用。

$\begin{array} {ll} \text{If the first integer is } n=17 \hspace{60mm} &\text{If the first integer is } n=-19 \\ \text{then the next odd integer is} &\text{then the next odd integer is} \\ \hspace{53mm} n+2 &\hspace{53mm} n+2 \\ \hspace{51mm} 17+2 &\hspace{51mm} -19+2 \\ \hspace{55mm} 19 &\hspace{55mm} -17 \\ \hspace{51mm} 17,19 &\hspace{51mm} -17,-19 \\ \textbf{Step 6. Check }\text{the answer.} & \\ \text{The results are consecutive odd integers} & \\ \begin{array} {ll} 17,\space 19\text{ and }−19,\space −17. & \\ 17·19=323\checkmark &−19(−17)=323\checkmark \end{array} & \\ \text{Both pairs of consecutive integers are solutions.} & \\ \textbf{Step 7. Answer }\text{the question} &\text{The consecutive integers are }17, 19\text{ and }−19,−17. \end{array} $

示例$\PageIndex{26}$

两个连续奇数整数的乘积为 255。找到整数。

回答: $−15,−17$和$15, 17$

示例$\PageIndex{27}$

两个连续奇数整数的乘积为 483 找到整数。

回答: $−23,−21$和$21, 23$

你对前面示例的解决方案之一那对负整数感到惊讶吗？两个正整数的乘积和两个负整数的乘积都得出正结果。

在某些应用中，负解将由代数产生，但对于这种情况来说并不现实。

示例$\PageIndex{28}$

矩形卧室的面积为 117 平方英尺。卧室的长度比宽度多四英尺。找出卧室的长度和宽度。

回答

第 1 步。阅读问题。在涉及几何图形的问题中，草图可以帮助你直观地看到情况。	$。$
第 2 步。确定你在找什么。	我们正在寻找长度和宽度。
第 3 步。说出你要找的东西。	让$w=\text{ the width of the bedroom}$。
长度比宽度多四英尺。	$w+4=\text{ the length of the garden}$
第 4 步。翻译成方程式。
在句子中重述重要信息。	卧室的面积为 117 平方英尺。
使用矩形面积的公式。	$A=l·w$
在变量中替换。	$117=(w+4)w$
第 5 步。求解方程先分布。	$117=w^2+4w$
一边为零。	$117=w^2+4w$
将三项式分解为因子。	$0=w^2+4w−117$
使用 “零积分” 属性。	$0=(w^2+13)(w−9)$
求解每个方程。	$0=w+13\quad 0=w−9$
$w$既然卧室的宽度是负数是没有意义的。我们取消了这个价值$w$。	$\cancel{w=−13}$$\quad w=9$
	$w=9$宽度为 9 英尺。
找出长度的值。	$w+4$ $9+4$ 13 长度为 13 英尺。
第 6 步。检查答案。答案有意义吗？ $。$ 是的，这是有道理的。
第 7 步。回答问题。	卧室的宽度为 9 英尺，长度为 13 英尺。

示例$\PageIndex{29}$

矩形标志的面积为 30 平方英尺。标志的长度比宽度多一英尺。找出标志的长度和宽度。

回答: 宽度为 5 英尺，长度为 6 英尺。

示例$\PageIndex{30}$

矩形露台的面积为 180 平方英尺。露台的宽度比长度小三英尺。找出露台的长度和宽度。

回答: 露台的长度为 12 英尺，宽度为 15 英尺。

在下一个例子中，我们将使用毕达哥拉斯定理$(a^2+b^2=c^2)$。这个公式给出了直角三角形的腿和斜边之间的关系。

$图中显示了一个直角三角形，最短边是 a，第二边是 b，斜边是 c。$

我们将在下一个示例中使用这个公式。

示例$\PageIndex{31}$

如图所示，船帆呈直角三角形。斜边将长达 17 英尺。一边的长度将比另一边的长度小 7 英尺。找出帆两侧的长度。

$图中显示了一个直角三角形，最短边为 x，第二边为 x 减去 7，斜边为 17。$

回答

第 1 步。阅读问题
第 2 步。确定你在找什么。	我们正在寻找帆两侧的长度。
第 3 步。说出你要找的东西。一侧比另一侧少 7。	让$x=\text{ length of a side of the sail}$。 $x−7=\text{ length of other side}$
第 4 步。翻译成方程式。由于这是一个直角三角形，我们可以使用毕达哥拉斯定理。	$a^2+b^2=c^2$
在变量中替换。	$x^2+(x−7)^2=17^2$
第 5 步。求解方程简化。	$x^2+x^2−14x+49=289$
	$2x^2−14x+49=289$
它是一个二次方程，所以在一边求零。	$2x^2−14x−240=0$
因子是最大的共同因素。	$2(x^2−7x−120)=0$
将三项式分解为因子。	$2(x−15)(x+8)=0$
使用 “零积分” 属性。	$2\neq 0\quad x−15=0\quad x+8=0$
解决。	$2\neq 0\quad x=15\quad x=−8$
因为$x$是三角形的一边，所以$x=−8$没有意义。	$2\neq 0\quad x=15\quad \cancel{x=−8}$
找出另一边的长度。
如果一边的长度为，则另一边的长度为	$。$ $。$ $。$ 8 是另一边的长度。
第 6 步。查看问题中的答案这些数字有意义吗？ $。$
第 7 步。回答这个问题	帆的两侧分别为 8 英尺、15 英尺和 17 英尺。

示例$\PageIndex{32}$

贾斯汀想在她后院的角落放一个直角三角形的甲板。甲板一侧的长度比另一侧长 7 英尺。斜边为 13。找出牌组两侧的长度。

回答: 5 英尺和 12 英尺

示例$\PageIndex{33}$

冥想花园呈直角三角形，一条腿 7 英尺。斜边的长度比另一条腿的长度多一个。找出斜边和另一条腿的长度。

回答: 24 英尺和 25 英尺

下一个示例使用函数，该函数将物体从离地面 80 英尺处投掷时的高度作为时间函数。

示例$\PageIndex{34}$

丹尼斯将把他的橡皮筋球从校园建筑的顶部向上扔去。当他将橡皮筋球从离地面 80 英尺高处投掷时$h$，该函数将球在地面上的高度随时间变化进行建$h(t)=−16t^2+64t+80$模$t$。查找：

回答

ⓐ 此函数的零是通过求解得出的$h(t)=0$。这将告诉我们球何时会击中地面。
$\begin{array} {ll} &h(t)=0 \\ \text{Substitute in the polynomial for }h(t). &−16t^2+64t+80=0 \\ \text{Factor the GCF, }−16. &−16(t^2−4t−5)=0 \\ \text{Factor the trinomial.} &−16(t−5)(t+1)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the Zero Product Property.} \\ \text{Solve.} \end{array} &\begin{array} {ll} t−5=0 &t+1=0 \\ t=5 &t=−1 \end{array} \end{array} $

结果$t=5$告诉我们，球将在投出 5 秒后击中地面。由于时间不能为负数，因此结果将被$t=−1$丢弃。

ⓑ 那时球将离地面 80 英尺$h(t)=80$。
$\begin{array} {ll} &h(t)=80 \\ \text{Substitute in the polynomial for }h(t). &−16t^2+64t+80=80 \\ \text{Subtract 80 from both sides.} &−16t^2+64t=0 \\ \text{Factor the GCF, }−16t. &−16t(t−4)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the Zero Product Property.} \\ \text{Solve.}\end{array} &\begin{array} {ll} −16t=0 &t−4=0 \\ t=0 &t=4 \end{array} \\ &\text{The ball will be at 80 feet the moment Dennis} \\ &\text{tosses the ball and then 4 seconds later, when} \\ &\text{the ball is falling.} \end{array} $

ⓒ 要在$t=2$几秒钟内找到我们找到的高度球$h(2)$。
$\begin{array} {ll} &h(t)=−16t^2+64t+80 \\ \text{To find }h(2)\text{ substitute }2\text{ for }t. &h(2)=−16(2)^2+64·2+80 \\ \text{Simplify.} &h(2)=144 \\ &\text{After 2 seconds, the ball will be at 144 feet.} \end{array}$

示例$\PageIndex{35}$

吉纳维芙要从山顶扔一块石头，一条俯瞰大海的小径。当她将岩石从海拔 160 英尺处向上投掷时$h$，该函数将海上岩石的高度随时间变化进行建$h(t)=−16t^2+48t+160$模$t$。查找：

示例$\PageIndex{36}$

Calib 要把他的幸运钱从阳台上扔到游轮上。当他将一分钱从离地面 128 英尺处向上投掷时$h$，该函数将海面上方一分钱的高度作为时间的函数进行建$h(t)=−16t^2+32t+128$模$t$。查找：

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开始代数并求解具有零属性的二次曲线

关键概念

多项式方程：多项式方程是包含多项式表达式的方程。多项式方程的次数是多项式的次数。
二次方程：$ax^2+bx+c=0$这种形式的方程称为二次方程。
\[a,b,c\text{ are real numbers and } a\neq 0\nonumber\]
零产品属性：如果$a·b=0$，则其中一个$a=0$$b=0$或两者兼而有之。
如何使用零积属性
1. 将每个因子设置为零。
2. 求解线性方程。
3. 查看。
如何通过分解求解二次方程。
1. 以标准形式写下二次方程$ax^2+bx+c=0$。
2. 将二次表达式分解为因子。
3. 使用 “零积分” 属性。
4. 求解线性方程。
5. 查看。将每个解分别替换为原始方程。
函数的零：对于任何函数$f$，if$f(x)=0$，th$x$ en 是该函数的零。
如何使用问题解决策略来解决单词问题。
1. 阅读问题。确保所有文字和想法都被理解。
2. 确定我们在寻找什么。
3. 说出我们要找的东西。选择一个变量来表示该数量。
4. 翻译成方程式。用一句话用所有重要信息重述问题可能会有所帮助。然后，将英语句子翻译成代数方程。
5. 使用适当的代数技术求@@ 解方程。
6. 检查问题中的答案并确保答案合理。
7. 用完整的句子@@ 回答问题。

第 1 步。阅读问题
第 2 步。确定你在找什么。	我们正在寻找帆两侧的长度。
第 3 步。说出你要找的东西。一侧比另一侧少 7。	让\(x=\text{ length of a side of the sail}\)。 \(x−7=\text{ length of other side}\)
第 4 步。翻译成方程式。由于这是一个直角三角形，我们可以使用毕达哥拉斯定理。	\(a^2+b^2=c^2\)
在变量中替换。	\(x^2+(x−7)^2=17^2\)
第 5 步。求解方程简化。	\(x^2+x^2−14x+49=289\)
	\(2x^2−14x+49=289\)
它是一个二次方程，所以在一边求零。	\(2x^2−14x−240=0\)
因子是最大的共同因素。	\(2(x^2−7x−120)=0\)
将三项式分解为因子。	\(2(x−15)(x+8)=0\)
使用 “零积分” 属性。	\(2\neq 0\quad x−15=0\quad x+8=0\)
解决。	\(2\neq 0\quad x=15\quad x=−8\)
因为\(x\)是三角形的一边，所以\(x=−8\)没有意义。	\(2\neq 0\quad x=15\quad \cancel{x=−8}\)
找出另一边的长度。
如果一边的长度为，则另一边的长度为	$。$ $。$ $。$ 8 是另一边的长度。
第 6 步。查看问题中的答案这些数字有意义吗？ $。$
第 7 步。回答这个问题	帆的两侧分别为 8 英尺、15 英尺和 17 英尺。

产品属性为零

示例\(\PageIndex{1}\): How to Solve a Quadratic Equation Using the Zero Product Property

示例\(\PageIndex{2}\)

示例\(\PageIndex{3}\)

使用零乘积属性。

示例\(\PageIndex{5}\)

示例\(\PageIndex{6}\)

通过@@ 分解求解二次方程。

示例\(\PageIndex{7}\)

示例\(\PageIndex{8}\)

示例\(\PageIndex{9}\)

示例\(\PageIndex{10}\)

示例\(\PageIndex{11}\)

示例\(\PageIndex{12}\)

示例\(\PageIndex{13}\)

示例\(\PageIndex{14}\)

示例\(\PageIndex{15}\)

示例\(\PageIndex{16}\)

示例\(\PageIndex{17}\)

示例\(\PageIndex{18}\)

示例\(\PageIndex{19}\)

示例\(\PageIndex{20}\)

示例\(\PageIndex{21}\)

函数的零

示例\(\PageIndex{22}\)

示例\(\PageIndex{23}\)

示例\(\PageIndex{24}\)

使用问题解决策略来解决单词问题。

示例\(\PageIndex{25}\)

示例\(\PageIndex{26}\)

示例\(\PageIndex{27}\)

示例\(\PageIndex{28}\)

示例\(\PageIndex{29}\)

示例\(\PageIndex{30}\)

示例\(\PageIndex{31}\)

示例\(\PageIndex{32}\)

示例\(\PageIndex{33}\)

示例\(\PageIndex{34}\)

示例\(\PageIndex{35}\)

示例\(\PageIndex{36}\)