6.5: 分解多项式表达式的通用策略

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 识别并使用适当的方法将多项式完全分解

识别并使用适当的方法完全分解多项式

现在，您已经熟悉了本课程中需要的所有保理方法。 下表总结了我们介绍的所有分解方法，并概述了在分解多项式时应使用的策略。

分解多项式的通用策略

使用通用策略对多项式进行分解。

1. 有最大的共同因素吗？
   把它排除在外。
2. 多项式是二项式、三项式还是超过三个项？
   如果是二项式：
   • 这是总和吗？
     正方形？ 平方和不分解。
     多维数据集？ 使用立方体总和模式。
   • 有区别吗？
     正方形？ 因子是共轭物的乘积。
     多维数据集？ 使用立方体差异图案。
   如果是三项式：
   • 是这样的吗$x^2+bx+c$？ 撤消 FOIL。
   • 是这样的吗$ax^2+bx+c$？
     如果 a 和 c 是正方形，请检查它是否符合三项式方形图案。
     使用反复试验或 “$ac$” 方法。
   如果它有三个以上的术语：
   • 使用分组方法。
3. 查看。
   完全考虑了吗？
   这些因子会乘回原来的多项式吗？

请记住，如果除单项式以外，多项式的因子是素数，则该多项式是完全分解的！

示例$\PageIndex{1}$

完全考虑因素:$7x^3−21x^2−70x$.

解决方案

$\begin{array} {ll} {7x^3−21x^2−70x} & \\ \text{Is there a GCF? Yes, }7x. & \\ \text{Factor out the GCF.} &7x(x^2−3x−10) \\ \text{In the parentheses, is it a binomial, trinomial,} & \\ \text{or are there more terms?} & \\ \text{Trinomial with leading coefficient 1.} & \\ \text{“Undo” FOIL.} &7x(x\hspace{8mm})(x\hspace{8mm}) \\ &7x(x+2)(x−5) \\ \text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Neither binomial can be factored.} & \\ \text{Check your answer.} & \\ \text{Multiply.} & \\ & \\ & \\ \hspace{15mm}7x(x+2)(x−5) & \\ \hspace{10mm}7x(x^2−5x+2x−10) & \\ \hspace{15mm}7x(x^2−3x−10) & \\ \hspace{13mm}7x^3−21x^2−70x\checkmark & \end{array}$

试试看$\PageIndex{1}$

完全考虑因素:$8y^3+16y^2−24y$.

回答

$8y(y−1)(y+3)$

试试看$\PageIndex{2}$

完全考虑因素:$5y^3−15y^2−270y$.

回答

$5y(y−9)(y+6)$

当你被要求分解二项式时要小心，因为有几个选项！

示例$\PageIndex{2}$

完全考虑以下因素：$24y^2−150$

解决方案

$\begin{array} {ll} &24y^2−150 \\ \text{Is there a GCF? Yes, }6. & \\ \text{Factor out the GCF.} &6(4y^2−25) \\ \text{In the parentheses, is it a binomial, trinomial} & \\ \text{or are there more than three terms? Binomial.} & \\ \text{Is it a sum? No.} & \\ \text{Is it a difference? Of squares or cubes? Yes, squares.} &6((2y)^2−(5)^2) \\ \text{Write as a product of conjugates.} &6(2y−5)(2y+5) \\ & \\ & \\ \hspace{5mm}\text{Is the expression factored completely?} & \\ \hspace{5mm}\text{Neither binomial can be factored.} & \\ \text{Check:} & \\ & \\ & \\ \hspace{5mm}\text{Multiply.} & \\ & \\ \hspace{15mm}6(2y−5)(2y+5) & \\ & \\ \hspace{18mm}6(4y^2−25) & \\ \hspace{18mm}24y^2−150\checkmark \end{array}$

试试看$\PageIndex{3}$

完全考虑因素:$16x^3−36x$.

回答

$4x(2x−3)(2x+3)$

试试看$\PageIndex{4}$

完全考虑因素:$27y^2−48$.

回答

$3(3y−4)(3y+4)$

下一个示例可以使用多种方法进行分解。 识别三项式正方形模式将使您的工作更轻松。

示例$\PageIndex{3}$

完全考虑因素:$4a^2−12ab+9b^2$.

解决方案

$\begin{array} {ll} &4a^2−12ab+9b^2 \\ \text{Is there a GCF? No.} & \\ \text{Is it a binomial, trinomial, or are there more terms?} & \\ \text{Trinomial with }a\neq 1.\text{ But the first term is a perfect square.} \\ \text{Is the last term a perfect square? Yes.} &(2a)^2−12ab+(3b)^2 \\ \text{Does it fit the pattern, }a^2−2ab+b^2?\text{ Yes.} &(2a)^2 −12ab+ (3b)^2 \\ &\hspace{7mm} {\,}^{\searrow}{\,}_{−2(2a)(3b)}{\,}^{\swarrow}\\ \text{Write it as a square.} &(2a−3b)^2 \\ & \\ & \\ \quad\text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \quad\text{The binomial cannot be factored.} & \\ \text{Check your answer.} \\ & \\ & \\ \quad\text{Multiply.} & \\ \hspace{30mm}(2a−3b)^2 \\ \hspace{20mm} (2a)^2−2·2a·3b+(3b)^2 \\ \hspace{24mm}4a^2−12ab+9b^2\checkmark & \end{array}$

试试看$\PageIndex{5}$

完全考虑因素:$4x^2+20xy+25y^2$.

回答

$(2x+5y)^2$

试试看$\PageIndex{6}$

完全考虑因素:$9x^2−24xy+16y^2$.

回答

$(3x−4y)^2$

请记住，平方和不分解，但立方之和是分数！

示例$\PageIndex{4}$

完全考虑因素$12x^3y^2+75xy^2$。

解决方案

$\begin{array} {ll} &12x^3y^2+75xy^2 \\ \text{Is there a GCF? Yes, }3xy^2. & \\ \text{Factor out the GCF.} &3xy^2(4x^2+25) \\ \text{In the parentheses, is it a binomial, trinomial, or are} & \\ \text{there more than three terms? Binomial.} & \\ & \\ \text{Is it a sum? Of squares? Yes.} &\text{Sums of squares are prime.} \\ & \\ & \\ \quad\text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Check:} & \\ & \\ & \\ \quad\text{Multiply.} & \\ \hspace{15mm}3xy^2(4x^2+25) & \\ \hspace{14mm}12x^3y^2+75xy^2\checkmark \end{array}$

试试看$\PageIndex{7}$

完全考虑因素:$50x^3y+72xy$.

回答

$2xy(25x^2+36)$

试试看$\PageIndex{8}$

完全考虑因素:$27xy^3+48xy$.

回答

$3xy(9y^2+16)$

使用立方体之和或差值模式时，请注意符号。

示例$\PageIndex{5}$

完全考虑因素:$24x^3+81y^3$.

解决方案

有全球气候基金吗？ 是的，3。
把它排除在外。
在括号中，它是二项式、三项式还是有三个以上的项？ 二项式。
是总和还是差异？ 总和。
正方形还是立方体？ 立方体总和。
使用立方体总和模式进行编写。
这个表达式是完全考虑的吗？ 是的。
乘法检查。

试试看$\PageIndex{9}$

完全考虑因素:$250m^3+432n^3$.

回答

$2(5m+6n)(25m^2−30mn+36n^2)$

试试看$\PageIndex{10}$

完全考虑因素:$2p^3+54q^3$.

回答

$2(p+3q)(p^2−3pq+9q^2)$

示例$\PageIndex{6}$

完全考虑因素:$3x^5y−48xy$.

解决方案

$\begin{array} {ll} &3x^5y−48xy \\ \text{Is there a GCF? Factor out }3xy &3xy(x^4−16) \\ \begin{array} {l} \text{Is the binomial a sum or difference? Of squares or cubes?} \\ \text{Write it as a difference of squares.} \end{array} &3xy\left((x^2)^2−(4)2\right) \\ \text{Factor it as a product of conjugates} &3xy(x^2−4)(x^2+4) \\ \text{The first binomial is again a difference of squares.} &3xy\left((x)^2−(2)^2\right)(x^2+4) \\ \text{Factor it as a product of conjugates.} &3xy(x−2)(x+2)(x^2+4) \\ \text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Check your answer.} & \\ \text{Multiply.} & \\ 3xy(x−2)(x+2)(x^2+4) & \\ 3xy(x^2−4)(x^2+4) & \\ 3xy(x^4−16) & \\ 3x^5y−48xy\checkmark & \end{array}$

试试看$\PageIndex{11}$

完全考虑因素:$4a^5b−64ab$.

回答

$4ab(a^2+4)(a−2)(a+2)$

试试看$\PageIndex{12}$

完全考虑因素:$7xy^5−7xy$.

回答

$7xy(y^2+1)(y−1)(y+1)$

示例$\PageIndex{7}$

完全考虑因素:$4x^2+8bx−4ax−8ab$.

解决方案

$\begin{array} {ll} &4x^2+8bx−4ax−8ab \\ \text{Is there a GCF? Factor out the GCF, }4. &4(x^2+2bx−ax−2ab) \\ \text{There are four terms. Use grouping.} &4[x(x+2b)−a(x+2b)]4(x+2b)(x−a) \\ \text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Check your answer.} & \\ \text{Multiply.} & \\ \hspace{25mm}4(x+2b)(x−a) & \\ \hspace{20mm} 4(x^2−ax+2bx−2ab) & \\ \hspace{20mm}4x^2+8bx−4ax−8ab\checkmark \end{array}$

试试看$\PageIndex{13}$

完全考虑因素:$6x^2−12xc+6bx−12bc$.

回答

$6(x+b)(x−2c)$

试试看$\PageIndex{14}$

完全考虑因素:$16x^2+24xy−4x−6y$.

回答

$2(4x−1)(2x+3y)$

在第一步中取出完整的 GCF 总是会让你的工作更轻松。

示例$\PageIndex{8}$

完全考虑因素:$40x^2y+44xy−24y$.

解决方案

$\begin{array} {ll} &40x^2y+44xy−24y \\ \text{Is there a GCF? Factor out the GCF, }4y. &4y(10x^2+11x−6) \\ \text{Factor the trinomial with }a\neq 1. &4y(10x^2+11x−6) \\ &4y(5x−2)(2x+3) \\ \text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Check your answer.} & \\ \text{Multiply.} & \\ \hspace{25mm}4y(5x−2)(2x+3) & \\ \hspace{24mm}4y(10x^2+11x−6) & \\ \hspace{22mm}40x^2y+44xy−24y\checkmark \end{array}$

试试看$\PageIndex{15}$

完全考虑因素:$4p^2q−16pq+12q$.

回答

$4q(p−3)(p−1)$

试试看$\PageIndex{16}$

完全考虑因素:$6pq^2−9pq−6p$.

回答

$3p(2q+1)(q−2)$

当我们对具有四个项的多项式进行分解时，通常将其分成两组，每组两个项。 请记住，我们也可以将其分为三项式，然后再分为一个项。

示例$\PageIndex{9}$

完全考虑因素:$9x^2−12xy+4y^2−49$.

解决方案

$\begin{array} {ll} &9x^2−12xy+4y^2−49 \\ \text{Is there a GCF? No.} & \\ \begin{array} {l} \text{With more than 3 terms, use grouping. Last 2 terms} \\ \text{have no GCF. Try grouping first 3 terms.} \end{array} &9x^2−12xy+4y^2−49 \\ \begin{array} {l} \text{Factor the trinomial with }a\neq 1. \text{ But the first term is a} \\ \text{perfect square.} \end{array} & \\ \text{Is the last term of the trinomial a perfect square? Yes.} &(3x)^2−12xy+(2y)^2−49 \\ \text{Does the trinomial fit the pattern, }a^2−2ab+b^2? \text{ Yes.} &(3x)^2 −12xy+ (2y)^2−49 \\ &\hspace{7mm} {\,}^{\searrow}{\,}_{−2(3x)(2y))}{\,}^{\swarrow} \\ \text{Write the trinomial as a square.} &(3x−2y)^2−49 \\ \begin{array} {ll} \text{Is this binomial a sum or difference? Of squares or} \\ \text{cubes? Write it as a difference of squares.} \end{array} &(3x−2y)^2−72 \\ \text{Write it as a product of conjugates.} &((3x−2y)−7)((3x−2y)+7) \\ &(3x−2y−7)(3x−2y+7) \\ \text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Check your answer.} & \\ \text{Multiply.} & \\ \hspace{23mm}(3x−2y−7)(3x−2y+7) & \\ \hspace{10mm}9x^2−6xy−21x−6xy+4y^2+14y+21x−14y−49 \qquad & \\ \hspace{25mm}9x^2−12xy+4y^2−49\checkmark & \end{array}$

试试看$\PageIndex{17}$

完全考虑因素:$4x^2−12xy+9y^2−25$.

回答

$(2x−3y−5)(2x−3y+5)$

试试看$\PageIndex{18}$

完全考虑因素:$16x^2−24xy+9y^2−64$.

回答

$(4x−3y−8)(4x−3y+8)$

关键概念

• 如何使用通用策略对多项式进行分解。
  1. 有最大的共同因素吗？
     把它排除在外。
  2. 多项式是二项式、三项式还是超过三个项？
     如果是二项式：
     是总和吗？
     正方形？ 平方和不分解。
     多维数据集？ 使用立方体总和模式。
     有区别吗？
     正方形？ 因子是共轭物的乘积。
     多维数据集？ 使用立方体差异图案。
     如果是三项式：
     是这样的$x^2+bx+c$吗？ 撤消 FOIL。
     是这样的吗$ax^2+bx+c$？
     如果 a 和 c 是正方形，请检查它是否符合三项式方形图案。
     使用反复试验或 “$ac$” 方法。
     如果它有三个以上的术语：
     使用分组方法。
  3. 查看。
     完全考虑了吗？
     这些因子会乘回原来的多项式吗？