6.3: 因子三项式

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 形式的因子三项式$x^2+bx+c$
• $ax^2+bx+c$使用反复试验对形式的三项式进行分数
• $ax^2+bx+c$使用 '$ac$' 方法对形式的三项式进行因子分数
• 使用替换的因子

在开始之前，请参加这个准备测验。

1. 找出 72 的所有因子。
   如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
2. 查找产品:$(3y+4)(2y+5)$.
   如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
3. 简化：$−9(6);\space −9(−6)$。
   如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。

形式的因子三项式$x^2+bx+c$

你已经学会了如何使用 FOIL 乘以二项式。 现在你需要 “撤消” 这个乘法。 分解三项式意味着从乘积开始，以因子结束。

为了弄清楚我们将如何分解形态的三项式$x^2+bx+c$，例如$x^2+5x+6$并将其分解为$(x+2)(x+3)$，让我们从两个形式$(x+m)$和的通用二项式开始$(x+n)$。

	$(x+m)(x+n)$
用铝箔找到产品。	$x^{2}+m x+n x+m n$
将GCF从中间值中考虑在内。	$x^{2}+(m+n) x+m n$
我们的三项式是这样的$x^2+bx+c$。	$\overbrace{x^{2}+(m+n) x+m n}^{\color{red}x^{2}+b x+c}$

这告诉我们，要对形式的三项式进行分解$x^2+bx+c$，我们需要两个因子$(x+m)$$(x+n)$，两个数字$m$$n$相乘再相加$b$。$c$

示例$\PageIndex{1}$: How to Factor a Trinomial of the form $x^2+bx+c$

因子：$x^2+11x+24$。

回答

示例$\PageIndex{2}$

因子：$q^2+10q+24$。

回答

$(q+4)(q+6)$

示例$\PageIndex{3}$

因子：$t^2+14t+24$。

回答

$(t+2)(t+12)$

让我们总结一下我们用来寻找因子的步骤。

 

1. 将因子写成两个二项式，第一个项为 x。 $\quad \begin{array} {l} x^2+bx+c \\ (x\quad)(x\quad) \end{array}$
2. 找两个数字$m$然后$n$那个
   • 乘以$c$，$m·n=c$
   • 添加到$b$，$m+n=b$
3. 使用$m$和$n$作为因子的最后一个术语。 $\quad (x+m)(x+n)$
4. 通过乘以因子进行检查。

在第一个例子中，三项式中的所有项均为正。 当有负数条件时会发生什么？ 好吧，这取决于哪个术语是负数。 让我们先来看看只有中间项为负的三项式。

你如何得到正乘积和负和？ 我们使用两个负数。

示例$\PageIndex{4}$

因子：$y^2−11y+28$。

回答

同样，鉴于上个学期为正值$28$，中间为负值$−11y$，我们需要两个负面因素。 找出两个相乘$28$和相加的数字$−11$。
$\begin{array} {ll} &y^2−11y+28 \\ \text{Write the factors as two binomials with first terms }y. &( y \quad )( y \quad ) \\ \text{Find two numbers that: multiply to }28\text{ and add to }−11.\end{array}$

的因素$28$	因子总和
\ (28\)” data-valign= “top” >$−1,\space −28$ $−2,\space −14$ $−4,\space −7$	$−1+(−28)=−29$ $−2+(−14)=−16$ $−4+(−7)=−11^∗$

$\begin{array} {ll} \text{Use }−4,\space −7\text{ as the last terms of the binomials.} &(y−4)(y−7) \\ \text{Check:} & \\ \hspace{30mm} (y−4)(y−7) & \\ \hspace{25mm} y^2−7y−4y+28 & \\ \hspace{30mm} y^2−11y+28\checkmark & \end{array}$

示例$\PageIndex{5}$

因子：$u^2−9u+18$。

回答

$(u−3)(u−6)$

示例$\PageIndex{6}$

因子：$y^2−16y+63$。

回答

$(y−7)(y−9)$

现在，如果三项式中的最后一个项是负数呢？ 想想 FO IL。 最后一个项是两个二项式中最后一个项的乘积。 将两个具有相反符号的数字相乘得出负乘积。 你必须非常谨慎地选择因素，以确保你也得到中间学期的正确符号。

你如何得到负乘积和正和？ 我们使用一个正数和一个负数。

当我们分解三项式时，必须将术语按降序编写，即从最高度到最低的顺序排列。

示例$\PageIndex{7}$

因子：$2x+x^2−48$。

回答

$\begin{array} {ll} &2x+x^2−48 \\ \text{First we put the terms in decreasing degree order.} &x^2+2x−48 \\ \text{Factors will be two binomials with first terms }x. &(x\quad)(x\quad) \end{array}$

−48−48 的因子	因子总和
$−1,\space 48$ $−2,\space 24$ $−3,\space 16$ $−4,\space 12$ $−6,\space 8$	$−1+48=47$ $−2+24=22$ $−3+16=13$ $−4+12=8$ $−6+8=2^∗$

$\begin{array} {ll} \text{Use }−6,\space 8\text{ as the last terms of the binomials.} &(x−6)(x+8) \\ \text{Check:} & \\ \hspace{30mm} (x−6)(x+8) & \\ \hspace{25mm} x^2−6q+8q−48 & \\ \hspace{30mm} x^2+2x−48\checkmark & \end{array}$

示例$\PageIndex{8}$

因子：$9m+m^2+18$。

回答

$(m+3)(m+6)$

示例$\PageIndex{9}$

因子：$−7n+12+n^2$。

回答

$(n−3)(n−4)$

有时候你需要$x^2+bxy+cy^2$用两个变量对形式的三项式进行分解，例如$x^2+12xy+36y^2$。 第一个项是二项式因子的第一个项的乘积$x·x$。$x^2$ 最后一个项$y^2$中的表示二项式因子的第二个项必须各包含$y$。 要获得系数$b$和$c$，请使用如何分解三项式中总结的相同过程。

示例$\PageIndex{10}$

因子：$r^2−8rs−9s^2$。

回答

我们在每个二$r$项式的第一个项和第二个项$s$中都需要。 三项式的最后一个项是负数，因此因子必须具有相反的符号。
$\begin{array} {ll} &r^2−8rs−9s^2 \\ \text{Note that the first terms are }r,\text{last terms contain }s. &(r\quad s)(r\quad s) \\ \text{Find the numbers that multiply to }−9\text{ and add to }−8. \end{array}$

的因素$−9$	因子总和
\ (−9\)” data-valign= “top” >$1,\space −9$	$−1+9=8$
\ (−9\)” data-valign= “top” >$−1,\space 9$	$1+(−9)=−8^∗$
\ (−9\)” data-valign= “top” >$3,\space −3$	$3+(−3)=0$

$\begin{array} {ll} \text{Use }1,\space -9\text{ as coefficients of the last terms.} &(r+s)(r−9s) \\ \text{Check:} & \\ \hspace{30mm} (r−9s)(r+s) & \\ \hspace{25mm} r^2+rs−9rs−9s^2 & \\ \hspace{30mm} r^2−8rs−9s^2\checkmark & \end{array}$

示例$\PageIndex{11}$

因子：$a^2−11ab+10b^2$。

回答

$(a−b)(a−10b)$

示例$\PageIndex{12}$

因子：$m^2−13mn+12n^2$。

回答

$(m−n)(m−12n)$

有些三项式是素数。 确定三项式是素数的唯一方法是列出所有可能性，并表明它们都不起作用。

示例$\PageIndex{13}$

因子：$u^2−9uv−12v^2$。

回答

我们在每个二$u$项式的第一个项和第二个项$v$中都需要。 三项式的最后一个项是负数，因此因子必须具有相反的符号。
$\begin{array} {ll} &u^2−9uv−12v^2 \\ \text{Note that the first terms are }u,\text{ last terms contain }v. &(u\quad v)(u\quad v) \\ \text{Find the numbers that multiply to }−12\text{ and add to }−9. & \end{array}$

的因素$−12$	因子总和
\ (−12\)” data-valign= “top” >$1,−12$ $−1,12$ $2,−6$ $−2,6$ $3,−4$ $−3,4$	$1+(−12)=−11$ $−1+12=11$ $2+(−6)=−4$ $−2+6=4$ $3+(−4)=−1$ $−3+4=1$

请注意，没有因子对可以给$−9$出总和。 三项式是素数。

示例$\PageIndex{14}$

因子：$x^2−7xy−10y^2$。

回答

主要

示例$\PageIndex{15}$

因子：$p^2+15pq+20q^2$。

回答

主要

让我们总结一下我们刚刚开发的用于分解这种形式的三项式的方法$x^2+bx+c$。

分解形式为三项式的策略$x^2+bx+c$

当我们分解三项式时，我们首先看其项的符号，以确定二项式因子的符号。

	$x^{2}+b x+c$
	$(x+m)(x+n)$
何时$c$为正数$n$，$m$且符号相同。
$b$阳性		$b$负面的
$m,n$阳性		$m,n$负面的
$x^{2}+5 x+6$		$x^{2}-6 x+8$
$(x+2)(x+3)$		$(x-4)(x-2)$
同样的迹象		同样的迹象
何时$c$为负数，$m$且$n$具有相反的符号。
$x^{2}+x-12$		$x^{2}-2 x-15$
$(x+4)(x-3)$		$(x-5)(x+3)$
相反的迹象		相反的迹象

请注意，在$m$和$n$具有相反符号的情况下，绝对值较大的符号与的符号匹配$b$。

使用反复试验的因子三项式 ax ² + bx + c

我们的下一步是分解前导系数不是 1 的三项式，即形式的三项式$ax^2+bx+c$。

记得一定要先查看 GCF！ 有时候，在你将 GCF 分解后，三项式的前导系数变成$1$，你可以用我们到目前为止使用的方法对其进行分解。 让我们举个例子来看看它是如何工作的。

示例$\PageIndex{16}$

完全考虑因素:$4x^3+16x^2−20x$.

回答

$\begin{array} {lll} \text{Is there a greatest common factor?} &\qquad &4x^3+16x^2−20x \\ \quad \text{Yes, }GCF=4x.\text{ Factor it.} & &4x(x^2+4x−5) \\ & & \\ & & \\ \text{Binomial, trinomial, or more than three terms?} & & \\ \quad \text{It is a trinomial. So “undo FOIL.”} & &4x(x\quad)(x\quad) \\ & & \\ & & \\ \text{Use a table like the one shown to find two numbers that} & &4x(x−1)(x+5) \\ \text{multiply to }−5\text{ and add to }4. & & \\ & & \\ & & \end{array}$

的因素$−5$	因子总和
\ (−5\)” data-valign= “top” >$−1,5$ $1,−5$	$−1+5=4^∗$ $1+(−5)=−4$

$\begin{array} {l} \text{Check:}\\ \hspace{27mm}4x(x−1)(x+5) \\ \hspace{25mm} 4x(x^2+5x−x−5) \\ \hspace{30mm} 4x(x^2+4x−5) \\ \hspace{25mm} 4x^3+16x2−20x\checkmark \end{array}$

示例$\PageIndex{17}$

完全考虑因素:$5x^3+15x^2−20x$.

回答

$5x(x−1)(x+4)$

示例$\PageIndex{18}$

完全考虑因素:$6y^3+18y^2−60y$.

回答

$6y(y−2)(y+5)$

当前导系数不是$1$且没有 GCF 时会发生什么？ 有几种方法可以用来分解这些三项式。 首先，我们将使用 “反复试验” 方法。

让我们考虑三项式$3x^2+5x+2$。

根据我们之前的工作，我们预计这将分为两个二项式。

$$3x^2+5x+2\nonumber$$ $$(\quad)(\quad)\nonumber$$

我们知道二项式因子的第一个项会乘以得出$3x^2$。 的唯一因素$3x^2$是$1x,\space 3x$. 我们可以将它们放在二项式中。

查看：是吗$1x·3x=3x^2$？

我们知道二项式的最后一项将乘以$2$。 由于这个三项式都有正项，我们只需要考虑正因素即可。 的唯一因素$2$是$1$和$2$。 但是我们现在有两个案例需要考虑，因为如果我们写$2$或$1$$2$，会有所作为$1$。

哪些因素是正确的？ 为了决定这一点，我们将内部和外部项相乘。

由于三项式的中间项是$5x$，因此第一种情况中的因子将起作用。 让我们使用 FOIL 来检查一下。

$$(x+1)(3x+2)\nonumber$$ $$3x^2+2x+3x+2\nonumber$$ $$3x^2+5x+2\checkmark\nonumber$$

我们的保理结果是：

$$3x^2+5x+2\nonumber$$ $$(x+1)(3x+2)\nonumber$$

示例$\PageIndex{19}$: How to Factor a Trinomial Using Trial and Error

使用反复试验完全考虑因素:$3y^2+22y+7$.

回答

示例$\PageIndex{20}$

使用反复试验完全考虑因素:$2a^2+5a+3$.

回答

$(a+1)(2a+3)$

示例$\PageIndex{21}$

使用反复试验完全考虑因素:$4b^2+5b+1$.

回答

$(b+1)(4b+1)$

形式的@@ 因子三项式$ax^2+bx+c$ USING TRIAL AND ERROR.

1. 根据需要按度数的降序写出三项式。
2. 将任何 GCF 考虑在内。
3. 找出第一个项的所有因子对。
4. 找出第三项的所有因子对。
5. 测试所有可能的因子组合，直到找到正确的乘积。
6. 乘法检查。

请记住，当中间项为负数而最后一个项为正时，二项式中的符号必须均为负数。

示例$\PageIndex{22}$

使用反复试验完全考虑因素:$6b^2−13b+5$.

回答

三项式已经按降序排列了。
找出第一个术语的因素。
找出最后一个学期的因素。 考虑一下这些迹象。 由于最后一个学期为正$5$，其因子必须均为 正数或两者均为负数。 中间项的系数为负，因此我们使用负因子。

考虑所有因子组合。

$6b^2−13b+5$
可能的因素	产品
\ (6b^2−13b+5\) 可能的因素” data-valign= “top” >$(b−1)(6b−5)$	\ (6b^2−13b+5\) 产品” data-valign= “top” >$6b^2−11b+5$
\ (6b^2−13b+5\) 可能的因素” data-valign= “top” >$(b−5)(6b−1)$	\ (6b^2−13b+5\) 产品” data-valign= “top” >$6b^2−31b+5$
\ (6b^2−13b+5\) 可能的因素” data-valign= “top” >$(2b−1)(3b−5)$	\ (6b^2−13b+5\) 产品” data-valign= “middle” >$6b^2−13b+5^∗$
\ (6b^2−13b+5\) 可能的因素” data-valign= “top” >$(2b−5)(3b−1)$	\ (6b^2−13b+5\) 产品” data-valign= “middle” >$6b^2−17b+5$

$\begin{array} {ll} \text{The correct factors are those whose product} & \\ \text{is the original trinomial.} &(2b−1)(3b−5) \\ \text{Check by multiplying:} & \\ \hspace{50mm} (2b−1)(3b−5) & \\ \hspace{47mm} 6b^2−10b−3b+5 & \\ \hspace{50mm} 6b^2−13b+5\checkmark & \end{array}$

示例$\PageIndex{23}$

使用反复试验完全考虑因素:$8x^2−14x+3$.

回答

$(2x−3)(4x−1)$

示例$\PageIndex{24}$

使用反复试验完全考虑因素:$10y^2−37y+7$.

回答

$(2y−7)(5y−1)$

当我们对一个表达式进行分解时，我们总是首先寻找一个最大的共同因子。 如果表达式没有最大公因子，则其因子中也不能有最大公因子。 这可能有助于我们消除一些可能的因子组合。

示例$\PageIndex{25}$

使用反复试验完全考虑因素:$18x^2−37xy+15y^2$.

回答

三项式已经按降序排列了。
找出第一个术语的因素。
找出最后一个学期的因素。 考虑一下这些迹象。 由于 15 为正而中间 项系数为负，因此我们使用负因子。

考虑所有因子组合。

$\begin{array} {ll} \text{The correct factors are those whose product is} & \\ \text{the original trinomial.} &(2x−3y)(9x−5y) \\ \text{Check by multiplying:} & \\ & \\ & \\ & \\ \hspace{50mm} (2x−3y)(9x−5y) & \\ \hspace{45mm}18x^2−10xy−27xy+15y^2 & \\ \hspace{47mm}18x^2−37xy+15y^2\checkmark & \end{array}$

示例$\PageIndex{26}$

使用反复试验完全考虑因素$18x^2−3xy−10y^2$。

回答

$(3x+2y)(6x−5y)$

示例$\PageIndex{27}$

使用反复试验完全考虑因素:$30x^2−53xy−21y^2$.

回答

$(3x+y)(10x−21y)$

别忘了先寻找 GCF，记住前导系数是否为负，GCF 也是负数。

示例$\PageIndex{28}$

使用反复试验完全考虑因素:$−10y^4−55y^3−60y^2$.

回答

注意最大的共同因素，所以请先将其考虑在内。
将三项式分解为因子。

考虑所有的组合。

$\begin{array} {ll} \text{The correct factors are those whose product} & \\ \text{is the original trinomial. Remember to include} & \\ \text{the factor }−5^y2. &−5y^2(y+4)(2y+3) \\ \text{Check by multiplying:} & \\ \hspace{50mm} −5y^2(y+4)(2y+3) & \\ \hspace{45mm} −5y^2(2y^2+8y+3y+12) & \\ \hspace{47mm}−10y^4−55y^3−60y^2\checkmark & \end{array}$

示例$\PageIndex{29}$

使用反复试验完全考虑因素:$15n^3−85n^2+100n$.

回答

$5n(n−4)(3n−5)$

示例$\PageIndex{30}$

使用反复试验完全考虑因素:$56q^3+320q^2−96q$.

回答

$8q(q+6)(7q−2)$

$ax^2+bx+c$使用 “$ac$” 方法的形式因子三项式

分解这种形式的三项式的另一种方法$ax^2+bx+c$是 “$ac$” 方法。 （“$ac$” 方法有时称为分组方法。） “$ac$” 方法实际上是您在上一节中使用的方法的扩展，用于分解系数为前导系数为一的三项式。 这种方法非常结构化（即分步进行），并且始终有效！

示例$\PageIndex{31}$: How to Factor Trinomials using the “ac” Method

使用 “$ac$” 方法的因子:$6x^2+7x+2$.

回答

示例$\PageIndex{32}$

使用 “$ac$” 方法的因子:$6x^2+13x+2$.

回答

$(x+2)(6x+1)$

示例$\PageIndex{33}$

使用 “$ac$” 方法的因子:$4y^2+8y+3$.

回答

$(2y+1)(2y+3)$

这里总结$ac$了 “” 方法。

形式的@@ 因子三项式$ax^2+bx+c$ USING THE “$ac$” METHOD.

1. 将任何 GCF 考虑在内。
2. 找到产品$ac$。
3. 找到两个数字$m$然后$n$那个：
   $\begin{array} {ll} \text{Multiply to }ac &m·n=a·c \\ \text{Add to }b &m+n=b \\ &ax^2+bx+c \end{array}$
4. 使用$m$和拆分中间术语$n$。 $ax^2+mx+nx+c$
5. 按分组进行因子排序。
6. 通过乘以因子进行检查。

别忘了寻找一个共同的因素！

示例$\PageIndex{34}$

使用 '“$ac$” 方法进行因子:$10y^2−55y+70$.

回答

有最大的共同因素吗？
是的。 全球气候基金是$5$。
将其考虑在内。
括号内的三项式的前 导系数不是$1$。
找到产品$ac$。	$ac=28$
找出两个相乘的数字$ac$	$(−4)(−7)=28$
并添加到$b$。	$−4(−7)=−11$
拆分中间学期。
通过分组对三项式进行分解。
将所有三个因子相乘进行检查。 $\hspace{50mm} 5(y−2)(2y−7)$ $\hspace{45mm} 5(2y^2−7y−4y+14)$ $\hspace{48mm} 5(2y^2−11y+14)$ $\hspace{49mm} 10y^2−55y+70\checkmark$

示例$\PageIndex{35}$

使用 “$ac$” 方法的因子:$16x^2−32x+12$.

回答

$4(2x−3)(2x−1)$

示例$\PageIndex{36}$

使用 “$ac$” 方法的因子:$18w^2−39w+18$.

回答

$3(3w−2)(2w−3)$

使用替代的因子

有时，三项式似乎不是这种$ax^2+bx+c$形式。 但是，我们通常可以进行深思熟虑的替换，使我们能够使其符合$ax^2+bx+c$形式。 这称为替换分解。 使用它作为替$u$换是标准配置。

在中$ax^2+bx+c$，中间项有一个变量$x$，其平方是第一个项的可变部分。$x^2$ 当你尝试寻找替代品时，请寻找这种关系。

示例$\PageIndex{37}$

替代因子:$x^4−4x^2−5$.

回答

中间项的可变部分是$x^2$$x^4$，其平方是第一个项的可变部分。 （我们知道$(x^2)^2=x^4)$。 如果我们允$u=x^2$许，我们可以将我们的三项式转换为需要分解的$ax^2+bx+c$形式。

	$x^4−4x^2−5$
重写三项式为替换做准备。	$(x^2)^2−4(x^2)-5$
让我们$u=x^2$替换。	$(u)^2−4(u)-5$
将三项式分解为因子。	$(u+1)(u-5)$
替换$u$为$x^2$。	$(x^2+1)(x^2-5)$
查看： $\begin{array} {l} \hspace{37mm} (x^2+1)(x^2−5) \\ \hspace{35mm}x^4−5x^2+x^2−5 \\ \hspace{40mm}x^4−4x^2−5\checkmark\end{array}$

示例$\PageIndex{38}$

替代因子:$h^4+4h^2−12$.

回答

$(h^2−2)(h^2+6)$

示例$\PageIndex{39}$

替代因子:$y^4−y^2−20$.

回答

$(y^2+4)(y^2−5)$

有时要替换的表达式不是单项式。

示例$\PageIndex{40}$

替代因子：$(x−2)^2+7(x−2)+12$

回答

中间项的二项式在第一个项中$(x−2)$是平方。 如果我们让$u=x−2$和替换，我们的三项式就会$ax^2+bx+c$形成形式。

重写三项式为替换做准备。
让我们$u=x−2$替换。
将三项式分解为因子。
替换$u$为$x−2$。
在圆括号内进行简化。

这也可以通过先乘以和然后合并相似项$(x−2)^2$$7(x−2)$然后再进行分解来计算。 大多数学生更喜欢替代方法。

示例$\PageIndex{41}$

替代因子:$(x−5)^2+6(x−5)+8$.

回答

$(x−3)(x−1)$

示例$\PageIndex{42}$

替代因子:$(y−4)^2+8(y−4)+15$.

回答

$(y−1)(y+1)$

观看此视频，了解有关保理的更多指导和实践。

关键概念

• 如何分解形式的三项式$x^2+bx+c$。
  1. 将因子写成两个二项式，第一个项为 x。 $\quad \begin{array} (l) x^2+bx+c \\ (x\quad)(x\quad)\end{array}$
  2. 找两个数字$m$然后$n$那个
     $\begin{array} {ll} \text{multiply to} &c,\space m·n=c \\ \text{add to} &b,\space m+n=b\end{array}$
  3. 使用$m$和$n$作为因子的最后一个术语。 $\qquad (x+m)(x+n)$
  4. 通过乘以因子进行检查。
• 分解形式三项式的策略$x^2+bx+c$：当我们分解三项式时，我们首先看其项的符号，以确定二项式因子的符号。
  
  对于以下形式的三项式：$x^2+bx+c = (x+m)(x+n)$
  
  W hen 为$c$正数，$m$并且$n$必须具有相同的符号（这将是$b$）。
  
  示例：$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$，W$x^2−6x+8 = (x−4)(x−2)$
  
  hen$c$ 为负数，$m$且$n$具有相反的符号。 $m$和$n$中较大的符号为$b$。
  
  示例：$x^2+x−12=(x+4)(x−3)$，$x^2−2x−15=(x−5)(x+3)$
  
  请注意，在$m$和$n$具有相反符号的情况下，绝对值较大的符号与的符号匹配$b$。
• 如何$ax^2+bx+c$使用反复试验来分解表格的三项式。
  1. 根据需要按度数的降序写出三项式。
  2. 将任何 GCF 考虑在内。
  3. 找出第一个项的所有因子对。
  4. 找出第三项的所有因子对。
  5. 测试所有可能的因子组合，直到找到正确的乘积。
  6. 乘法检查。
• 如何$ax^2+bx+c$使用 “$ac$” 方法分解形式的三项式。
  1. 将任何 GCF 考虑在内。
  2. 找到产品$ac$。
  3. 找到两个数字$m$然后$n$那个：
     $\begin{array} {ll} \text{Multiply to }ac. &m·n=a·c \\ \text{Add to }b. &m+n=b \\ &ax^2+bx+c\end{array}$
  4. 使用$m$和拆分中间术语$n$。 $\quad ax^2+mx+nx+c$
  5. 按分组进行因子排序。
  6. 通过乘以因子进行检查。