6.3: 因子三项式

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Nov 1, 2022
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203913
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- 6.2E：练习
- 6.3E：练习

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学习目标

在本节结束时，您将能够：

形式的因子三项式 $x^2+bx+c$
$ax^2+bx+c$ 使用反复试验对形式的三项式进行分数
$ax^2+bx+c$ 使用 ' $ac$ ' 方法对形式的三项式进行因子分数
使用替换的因子

在开始之前，请参加这个准备测验。

找出 72 的所有因子。
如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
查找产品: $(3y+4)(2y+5)$ .
如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
简化： $−9(6);\space −9(−6)$ 。
如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。

形式的因子三项式 $x^2+bx+c$

你已经学会了如何使用 FOIL 乘以二项式。现在你需要 “撤消” 这个乘法。分解三项式意味着从乘积开始，以因子结束。

$图中显示了方程开括号 x 加 2 右圆括号开括号 x 加 3 个右括号等于 x 平方加 5 x 加 6。方程的左侧标记为因子，右侧标记为乘积。指向右边的箭头标记为乘法。指向左边的箭头被标记为因子。$

为了弄清楚我们将如何分解形态的三项式 $x^2+bx+c$ ，例如 $x^2+5x+6$ 并将其分解为 $(x+2)(x+3)$ ，让我们从两个形式 $(x+m)$ 和的通用二项式开始 $(x+n)$ 。

	$(x+m)(x+n)$
用铝箔找到产品。	$x^{2}+m x+n x+m n$
将GCF从中间值中考虑在内。	$x^{2}+(m+n) x+m n$
我们的三项式是这样的 $x^2+bx+c$ 。	$\overbrace{x^{2}+(m+n) x+m n}^{\color{red}x^{2}+b x+c}$

这告诉我们，要对形式的三项式进行分解 $x^2+bx+c$ ，我们需要两个因子 $(x+m)$ $(x+n)$ ，两个数字 $m$ $n$ 相乘再相加 $b$ 。 $c$

示例 $\PageIndex{1}$ : How to Factor a Trinomial of the form $x^2+bx+c$

因子： $x^2+11x+24$ 。

回答: $步骤 1 是将 x 平方加 11x 加 24 的因子写成两个二项式，第一个项为 x。写两组圆括号，将 x 作为第一个项。$ $步骤 2 是找到两个乘以 c 的数字 m 和 n，m 乘以 n 等于 c，再加上 b，m 加 n 是 b。因此，找出两个乘以 24 再加上 11 的数字。 24 的因子为 1 和 24、2 和 12、3 和 8、4 和 6。因子总和：1 加 24 等于 25，2 加 12 等于 14，3 加 8 是 11，4 加 6 等于 10。$ $步骤 3 是使用 m 和 n（在本例中为 3 和 8）作为二项式的最后一个项。所以我们得到左括号 x 加 3 个右括号开括号 x 加 8 个右括号$ $步骤 4 是通过乘以因子进行检查，得出原始多项式。$

示例 $\PageIndex{2}$

因子： $q^2+10q+24$ 。

回答: $(q+4)(q+6)$

示例 $\PageIndex{3}$

因子： $t^2+14t+24$ 。

回答: $(t+2)(t+12)$

让我们总结一下我们用来寻找因子的步骤。

将因子写成两个二项式，第一个项为 x。 $\quad \begin{array} {l} x^2+bx+c \\ (x\quad)(x\quad) \end{array}$
找两个数字 $m$ 然后 $n$ 那个
- 乘以 $c$ ， $m·n=c$
- 添加到 $b$ ， $m+n=b$
使用 $m$ 和 $n$ 作为因子的最后一个术语。 $\quad (x+m)(x+n)$
通过乘以因子进行检查。

在第一个例子中，三项式中的所有项均为正。当有负数条件时会发生什么？好吧，这取决于哪个术语是负数。让我们先来看看只有中间项为负的三项式。

你如何得到正乘积和负和？我们使用两个负数。

示例 $\PageIndex{4}$

因子： $y^2−11y+28$ 。

回答

同样，鉴于上个学期为正值 $28$ ，中间为负值 $−11y$ ，我们需要两个负面因素。找出两个相乘 $28$ 和相加的数字 $−11$ 。
$\begin{array} {ll} &y^2−11y+28 \\ \text{Write the factors as two binomials with first terms }y. &( y \quad )( y \quad ) \\ \text{Find two numbers that: multiply to }28\text{ and add to }−11.\end{array}$

的因素 $28$	因子总和
\ (28\)” data-valign= “top” > $−1,\space −28$ $−2,\space −14$ $−4,\space −7$	$−1+(−28)=−29$ $−2+(−14)=−16$ $−4+(−7)=−11^∗$

$\begin{array} {ll} \text{Use }−4,\space −7\text{ as the last terms of the binomials.} &(y−4)(y−7) \\ \text{Check:} & \\ \hspace{30mm} (y−4)(y−7) & \\ \hspace{25mm} y^2−7y−4y+28 & \\ \hspace{30mm} y^2−11y+28\checkmark & \end{array}$

示例 $\PageIndex{5}$

因子： $u^2−9u+18$ 。

回答: $(u−3)(u−6)$

示例 $\PageIndex{6}$

因子： $y^2−16y+63$ 。

回答: $(y−7)(y−9)$

现在，如果三项式中的最后一个项是负数呢？想想 FO IL。最后一个项是两个二项式中最后一个项的乘积。将两个具有相反符号的数字相乘得出负乘积。你必须非常谨慎地选择因素，以确保你也得到中间学期的正确符号。

你如何得到负乘积和正和？我们使用一个正数和一个负数。

当我们分解三项式时，必须将术语按降序编写，即从最高度到最低的顺序排列。

示例 $\PageIndex{7}$

因子： $2x+x^2−48$ 。

回答

$\begin{array} {ll} &2x+x^2−48 \\ \text{First we put the terms in decreasing degree order.} &x^2+2x−48 \\ \text{Factors will be two binomials with first terms }x. &(x\quad)(x\quad) \end{array}$

−48−48 的因子	因子总和
$−1,\space 48$ $−2,\space 24$ $−3,\space 16$ $−4,\space 12$ $−6,\space 8$	$−1+48=47$ $−2+24=22$ $−3+16=13$ $−4+12=8$ $−6+8=2^∗$

$\begin{array} {ll} \text{Use }−6,\space 8\text{ as the last terms of the binomials.} &(x−6)(x+8) \\ \text{Check:} & \\ \hspace{30mm} (x−6)(x+8) & \\ \hspace{25mm} x^2−6q+8q−48 & \\ \hspace{30mm} x^2+2x−48\checkmark & \end{array}$

示例 $\PageIndex{8}$

因子： $9m+m^2+18$ 。

回答: $(m+3)(m+6)$

示例 $\PageIndex{9}$

因子： $−7n+12+n^2$ 。

回答: $(n−3)(n−4)$

有时候你需要 $x^2+bxy+cy^2$ 用两个变量对形式的三项式进行分解，例如 $x^2+12xy+36y^2$ 。第一个项是二项式因子的第一个项的乘积 $x·x$ 。 $x^2$ 最后一个项 $y^2$ 中的表示二项式因子的第二个项必须各包含 $y$ 。要获得系数 $b$ 和 $c$ ，请使用如何分解三项式中总结的相同过程。

示例 $\PageIndex{10}$

因子： $r^2−8rs−9s^2$ 。

回答

我们在每个二 $r$ 项式的第一个项和第二个项 $s$ 中都需要。三项式的最后一个项是负数，因此因子必须具有相反的符号。
$\begin{array} {ll} &r^2−8rs−9s^2 \\ \text{Note that the first terms are }r,\text{last terms contain }s. &(r\quad s)(r\quad s) \\ \text{Find the numbers that multiply to }−9\text{ and add to }−8. \end{array}$

的因素 $−9$	因子总和
\ (−9\)” data-valign= “top” > $1,\space −9$	$−1+9=8$
\ (−9\)” data-valign= “top” > $−1,\space 9$	$1+(−9)=−8^∗$
\ (−9\)” data-valign= “top” > $3,\space −3$	$3+(−3)=0$

$\begin{array} {ll} \text{Use }1,\space -9\text{ as coefficients of the last terms.} &(r+s)(r−9s) \\ \text{Check:} & \\ \hspace{30mm} (r−9s)(r+s) & \\ \hspace{25mm} r^2+rs−9rs−9s^2 & \\ \hspace{30mm} r^2−8rs−9s^2\checkmark & \end{array}$

示例 $\PageIndex{11}$

因子： $a^2−11ab+10b^2$ 。

回答: $(a−b)(a−10b)$

示例 $\PageIndex{12}$

因子： $m^2−13mn+12n^2$ 。

回答: $(m−n)(m−12n)$

有些三项式是素数。确定三项式是素数的唯一方法是列出所有可能性，并表明它们都不起作用。

示例 $\PageIndex{13}$

因子： $u^2−9uv−12v^2$ 。

回答

我们在每个二 $u$ 项式的第一个项和第二个项 $v$ 中都需要。三项式的最后一个项是负数，因此因子必须具有相反的符号。
$\begin{array} {ll} &u^2−9uv−12v^2 \\ \text{Note that the first terms are }u,\text{ last terms contain }v. &(u\quad v)(u\quad v) \\ \text{Find the numbers that multiply to }−12\text{ and add to }−9. & \end{array}$

的因素 $−12$	因子总和
\ (−12\)” data-valign= “top” > $1,−12$ $−1,12$ $2,−6$ $−2,6$ $3,−4$ $−3,4$	$1+(−12)=−11$ $−1+12=11$ $2+(−6)=−4$ $−2+6=4$ $3+(−4)=−1$ $−3+4=1$

请注意，没有因子对可以给 $−9$ 出总和。三项式是素数。

示例 $\PageIndex{14}$

因子： $x^2−7xy−10y^2$ 。

回答: 主要

示例 $\PageIndex{15}$

因子： $p^2+15pq+20q^2$ 。

回答: 主要

让我们总结一下我们刚刚开发的用于分解这种形式的三项式的方法 $x^2+bx+c$ 。

分解形式为三项式的策略 $x^2+bx+c$

当我们分解三项式时，我们首先看其项的符号，以确定二项式因子的符号。

	$x^{2}+b x+c$
	$(x+m)(x+n)$
何时 $c$ 为正数 $n$ ， $m$ 且符号相同。
$b$ 阳性		$b$ 负面的
$m,n$ 阳性		$m,n$ 负面的
$x^{2}+5 x+6$		$x^{2}-6 x+8$
$(x+2)(x+3)$		$(x-4)(x-2)$
同样的迹象		同样的迹象
何时 $c$ 为负数， $m$ 且 $n$ 具有相反的符号。
$x^{2}+x-12$		$x^{2}-2 x-15$
$(x+4)(x-3)$		$(x-5)(x+3)$
相反的迹象		相反的迹象

请注意，在 $m$ 和 $n$ 具有相反符号的情况下，绝对值较大的符号与的符号匹配 $b$ 。

使用反复试验的因子三项式 ax ² + bx + c

我们的下一步是分解前导系数不是 1 的三项式，即形式的三项式 $ax^2+bx+c$ 。

记得一定要先查看 GCF！有时候，在你将 GCF 分解后，三项式的前导系数变成 $1$ ，你可以用我们到目前为止使用的方法对其进行分解。让我们举个例子来看看它是如何工作的。

示例 $\PageIndex{16}$

完全考虑因素: $4x^3+16x^2−20x$ .

回答

$\begin{array} {lll} \text{Is there a greatest common factor?} &\qquad &4x^3+16x^2−20x \\ \quad \text{Yes, }GCF=4x.\text{ Factor it.} & &4x(x^2+4x−5) \\ & & \\ & & \\ \text{Binomial, trinomial, or more than three terms?} & & \\ \quad \text{It is a trinomial. So “undo FOIL.”} & &4x(x\quad)(x\quad) \\ & & \\ & & \\ \text{Use a table like the one shown to find two numbers that} & &4x(x−1)(x+5) \\ \text{multiply to }−5\text{ and add to }4. & & \\ & & \\ & & \end{array}$

的因素 $−5$	因子总和
\ (−5\)” data-valign= “top” > $−1,5$ $1,−5$	$−1+5=4^∗$ $1+(−5)=−4$

$\begin{array} {l} \text{Check:}\\ \hspace{27mm}4x(x−1)(x+5) \\ \hspace{25mm} 4x(x^2+5x−x−5) \\ \hspace{30mm} 4x(x^2+4x−5) \\ \hspace{25mm} 4x^3+16x2−20x\checkmark \end{array}$

示例 $\PageIndex{17}$

完全考虑因素: $5x^3+15x^2−20x$ .

回答: $5x(x−1)(x+4)$

示例 $\PageIndex{18}$

完全考虑因素: $6y^3+18y^2−60y$ .

回答: $6y(y−2)(y+5)$

当前导系数不是 $1$ 且没有 GCF 时会发生什么？有几种方法可以用来分解这些三项式。首先，我们将使用 “反复试验” 方法。

让我们考虑三项式 $3x^2+5x+2$ 。

根据我们之前的工作，我们预计这将分为两个二项式。

$3x^2+5x+2\nonumber$ $(\quad)(\quad)\nonumber$

我们知道二项式因子的第一个项会乘以得出 $3x^2$ 。的唯一因素 $3x^2$ 是 $1x,\space 3x$ . 我们可以将它们放在二项式中。

$多项式为 3x 平方加 5x 加 2。有两对括号，其中的第一个项是 x 和 3x。$

查看：是吗 $1x·3x=3x^2$ ？

我们知道二项式的最后一项将乘以 $2$ 。由于这个三项式都有正项，我们只需要考虑正因素即可。的唯一因素 $2$ 是 $1$ 和 $2$ 。但是我们现在有两个案例需要考虑，因为如果我们写 $2$ 或 $1$ $2$ ，会有所作为 $1$ 。

$图中显示了多项式 3x 平方加 5x 加 2 和两对可能的因子。一个是左括号 x 加 1 右括号开括号 3x 加 2 个右括号。另一个是左括号 x 加 2 个右括号开括号 3x 加 1 个右括号。$

哪些因素是正确的？为了决定这一点，我们将内部和外部项相乘。

$图中显示了多项式 3x 平方加 5x 加 2 和两对可能的因子。一个是左括号 x 加 1 右括号开括号 3x 加 2 个右括号。另一个是左括号 x 加 2 个右括号开括号 3x 加 1 个右括号。在每种情况下，都会显示箭头，将第一个因子的第一个项与第二个因子的最后一项配对，并将第二个因子的第一个项与第一个因子的最后一项配对。$

由于三项式的中间项是 $5x$ ，因此第一种情况中的因子将起作用。让我们使用 FOIL 来检查一下。

$(x+1)(3x+2)\nonumber$ $3x^2+2x+3x+2\nonumber$ $3x^2+5x+2\checkmark\nonumber$

我们的保理结果是：

$3x^2+5x+2\nonumber$ $(x+1)(3x+2)\nonumber$

示例 $\PageIndex{19}$ : How to Factor a Trinomial Using Trial and Error

使用反复试验完全考虑因素: $3y^2+22y+7$ .

回答: $步骤 1 是按降序写出三项式。三项式 3 y 平方加上 22y 加 7 已经按降序排列了。$ $第二步是将全球气候基金考虑在内。这里，没有。$ $步骤 3 是查找第一个项的所有因子对。这里唯一的因素是 1y 和 3y。由于只有一对，我们可以将每对作为第一个项放在括号中。$ $步骤 4 是找出第三项的所有因子对。在这里，唯一的一对是 1 和 7。$ $第 5 步是测试所有可能的因子组合，直到找到正确的产品。对于可能的因子，开括号 y 加 1 右圆括号开括号 37 加上 7 个右括号，乘积为 3 y 平方加 10y 加 7。对于可能的因子，开括号 y 加 7 右括号左括号 3y 加 1 右括号，乘积为 3 y 平方加 22y 加 7，这是正确的乘积。因此，正确的因子是左括号 y 加 7 右括号左括号 3y 加 1 右括号。$ $第 6 步是通过乘法进行检查。$

示例 $\PageIndex{20}$

使用反复试验完全考虑因素: $2a^2+5a+3$ .

回答: $(a+1)(2a+3)$

示例 $\PageIndex{21}$

使用反复试验完全考虑因素: $4b^2+5b+1$ .

回答: $(b+1)(4b+1)$

形式的@@ 因子三项式 $ax^2+bx+c$ USING TRIAL AND ERROR.

根据需要按度数的降序写出三项式。
将任何 GCF 考虑在内。
找出第一个项的所有因子对。
找出第三项的所有因子对。
测试所有可能的因子组合，直到找到正确的乘积。
乘法检查。

请记住，当中间项为负数而最后一个项为正时，二项式中的符号必须均为负数。

示例 $\PageIndex{22}$

使用反复试验完全考虑因素: $6b^2−13b+5$ .

回答

三项式已经按降序排列了。	$。$
找出第一个术语的因素。	$。$
找出最后一个学期的因素。考虑一下这些迹象。由于最后一个学期为正 $5$ ，其因子必须均为正数或两者均为负数。中间项的系数为负，因此我们使用负因子。	$。$

考虑所有因子组合。

$6b^2−13b+5$
可能的因素	产品
\ (6b^2−13b+5\) 可能的因素” data-valign= “top” > $(b−1)(6b−5)$	\ (6b^2−13b+5\) 产品” data-valign= “top” > $6b^2−11b+5$
\ (6b^2−13b+5\) 可能的因素” data-valign= “top” > $(b−5)(6b−1)$	\ (6b^2−13b+5\) 产品” data-valign= “top” > $6b^2−31b+5$
\ (6b^2−13b+5\) 可能的因素” data-valign= “top” > $(2b−1)(3b−5)$	\ (6b^2−13b+5\) 产品” data-valign= “middle” > $6b^2−13b+5^∗$
\ (6b^2−13b+5\) 可能的因素” data-valign= “top” > $(2b−5)(3b−1)$	\ (6b^2−13b+5\) 产品” data-valign= “middle” > $6b^2−17b+5$

$\begin{array} {ll} \text{The correct factors are those whose product} & \\ \text{is the original trinomial.} &(2b−1)(3b−5) \\ \text{Check by multiplying:} & \\ \hspace{50mm} (2b−1)(3b−5) & \\ \hspace{47mm} 6b^2−10b−3b+5 & \\ \hspace{50mm} 6b^2−13b+5\checkmark & \end{array}$

示例 $\PageIndex{23}$

使用反复试验完全考虑因素: $8x^2−14x+3$ .

回答: $(2x−3)(4x−1)$

示例 $\PageIndex{24}$

使用反复试验完全考虑因素: $10y^2−37y+7$ .

回答: $(2y−7)(5y−1)$

当我们对一个表达式进行分解时，我们总是首先寻找一个最大的共同因子。如果表达式没有最大公因子，则其因子中也不能有最大公因子。这可能有助于我们消除一些可能的因子组合。

示例 $\PageIndex{25}$

使用反复试验完全考虑因素: $18x^2−37xy+15y^2$ .

回答

三项式已经按降序排列了。	$。$
找出第一个术语的因素。	$。$
找出最后一个学期的因素。考虑一下这些迹象。由于 15 为正而中间项系数为负，因此我们使用负因子。	$。$

考虑所有因子组合。

$下表显示了三项式 18 x 平方减去 37xy 加 15 y 平方的可能因子和相应乘积。在一些因子对中，当一个因子包含两个项和一个公共因子时，该因子会被突出显示。在这种情况下，乘积不是一种选择，因为如果三项式没有共同因子，则两个因子都不能包含共同因子。系数：开括号 x 减去 1y 右括号开括号 18x 减去 15y 右括号，突出显示。系数，开括号 x 减去 15y 右括号开括号 18x 减去 1y 右括号；乘积：18 x 平方减去 271xy 加 15 y 平方。系数开括号 x 减去 3y 右括号开括号 18x 减去 5 y 右括号；乘积：18 x 平方减去 59xy 加 15 y 平方。因子：开括号 x 减去 5y 右括号开括号 18x 减去 3y 右括号突出显示。因子：开括号 2x 减去 1y 右括号开括号 9x 减去 15y 右括号突出显示。系数：开括号 2x 减去 15y 右括号开括号 9x 减去 1y 右括号；乘积 18 x 平方减去 137 xy 加 15y 平方。系数：开括号 2x 减去 3y 右括号开括号 9x 减去 5y 右括号；乘积：18 x 平方减去 37xy 加 15 y 平方，这是原始的三项式。因子：开括号 2x 减去 57 右括号开括号 9x 减去 3y 右括号突出显示。因子：开括号 3x 减去 1y 右括号开括号 6x 减去 15y 右括号突出显示。因子：开括号 3x 减去 15y 右括号突出显示左括号 6x 减去 1y 右括号。因子：开括号 3x 减去 3y 右括号突出显示左括号 6x 减去 5y。$

$\begin{array} {ll} \text{The correct factors are those whose product is} & \\ \text{the original trinomial.} &(2x−3y)(9x−5y) \\ \text{Check by multiplying:} & \\ & \\ & \\ & \\ \hspace{50mm} (2x−3y)(9x−5y) & \\ \hspace{45mm}18x^2−10xy−27xy+15y^2 & \\ \hspace{47mm}18x^2−37xy+15y^2\checkmark & \end{array}$

示例 $\PageIndex{26}$

使用反复试验完全考虑因素 $18x^2−3xy−10y^2$ 。

回答: $(3x+2y)(6x−5y)$

示例 $\PageIndex{27}$

使用反复试验完全考虑因素: $30x^2−53xy−21y^2$ .

回答: $(3x+y)(10x−21y)$

别忘了先寻找 GCF，记住前导系数是否为负，GCF 也是负数。

示例 $\PageIndex{28}$

使用反复试验完全考虑因素: $−10y^4−55y^3−60y^2$ .

回答

	$。$
注意最大的共同因素，所以请先将其考虑在内。	$。$
将三项式分解为因子。	$。$

考虑所有的组合。

$下表显示了三项式 2 y 平方加 11y 加 12 的可能因子和乘积。在一些因子对中，当一个因子包含两个项和一个公共因子时，该因子会被突出显示。在这种情况下，乘积不是一种选择，因为如果三项式没有共同因子，则两个因子都不能包含共同因子。系数：y 加 1、2y 加 12 突出显示。系数：y 加 12，2y 加 1；产品：2 y 平方加上 25y 加 12。系数：y 加 2、2y 加 6 突出显示。系数：y 加 6、2y 加 2 突出显示。系数：y 加 3、2y 加 4 突出显示。系数：y 加 4，2y 加 3；产品：2 y 平方加上 11y 加 12。这是原始的三项式。$

$\begin{array} {ll} \text{The correct factors are those whose product} & \\ \text{is the original trinomial. Remember to include} & \\ \text{the factor }−5^y2. &−5y^2(y+4)(2y+3) \\ \text{Check by multiplying:} & \\ \hspace{50mm} −5y^2(y+4)(2y+3) & \\ \hspace{45mm} −5y^2(2y^2+8y+3y+12) & \\ \hspace{47mm}−10y^4−55y^3−60y^2\checkmark & \end{array}$

示例 $\PageIndex{29}$

使用反复试验完全考虑因素: $15n^3−85n^2+100n$ .

回答: $5n(n−4)(3n−5)$

示例 $\PageIndex{30}$

使用反复试验完全考虑因素: $56q^3+320q^2−96q$ .

回答: $8q(q+6)(7q−2)$

$ax^2+bx+c$ 使用 “ $ac$ ” 方法的形式因子三项式

分解这种形式的三项式的另一种方法 $ax^2+bx+c$ 是 “ $ac$ ” 方法。（“ $ac$ ” 方法有时称为分组方法。） “ $ac$ ” 方法实际上是您在上一节中使用的方法的扩展，用于分解系数为前导系数为一的三项式。这种方法非常结构化（即分步进行），并且始终有效！

示例 $\PageIndex{31}$ : How to Factor Trinomials using the “ac” Method

使用 “ $ac$ ” 方法的因子: $6x^2+7x+2$ .

回答: $第一步是将全球气候基金考虑在内。在 6 x 平方加上 7x 加 2 中没有一个。$ $步骤 2 是找出 a 和 c 的乘积。6 和 2 的乘积为 12。$ $步骤 3 是找出 2 个数字 m 和 n，这样 mn 是 ac，m 加 n 是 b。所以我们需要乘以 12 再加上 7 的数字。两个因子都必须为正。3 乘以 4 为 12，3 加 4 为 7。$ $步骤 4 是使用 m 和 n 拆分中间项。因此，我们将 7 x 重写为 3x 加 4x。如果我们使用 4x 加 3x，则会得到相同的结果。重写，我们得到 6 x 平方加上 3x 加 4x 加 2。请注意，这与原始多项式相同。我们只是将中间术语拆分以获得更有用的表格$ $第 5 步是按分组进行分解。所以，我们得到，3x 左括号 2x 加 1 个右括号加上 2 个左括号 2x 加 1 个右括号。这等于 2x 加 1，3x 加 2。$ $第 6 步是通过乘以因子进行检查。$

示例 $\PageIndex{32}$

使用 “ $ac$ ” 方法的因子: $6x^2+13x+2$ .

回答: $(x+2)(6x+1)$

示例 $\PageIndex{33}$

使用 “ $ac$ ” 方法的因子: $4y^2+8y+3$ .

回答: $(2y+1)(2y+3)$

这里总结 $ac$ 了 “” 方法。

形式的@@ 因子三项式 $ax^2+bx+c$ USING THE “ $ac$ ” METHOD.

将任何 GCF 考虑在内。
找到产品 $ac$ 。
找到两个数字 $m$ 然后 $n$ 那个：
$\begin{array} {ll} \text{Multiply to }ac &m·n=a·c \\ \text{Add to }b &m+n=b \\ &ax^2+bx+c \end{array}$
使用 $m$ 和拆分中间术语 $n$ 。 $ax^2+mx+nx+c$
按分组进行因子排序。
通过乘以因子进行检查。

别忘了寻找一个共同的因素！

示例 $\PageIndex{34}$

使用 '“ $ac$ ” 方法进行因子: $10y^2−55y+70$ .

回答

有最大的共同因素吗？
是的。全球气候基金是 $5$ 。		$。$
将其考虑在内。		$。$
括号内的三项式的前导系数不是 $1$ 。		$。$
找到产品 $ac$ 。	$ac=28$
找出两个相乘的数字 $ac$	$(−4)(−7)=28$
并添加到 $b$ 。	$−4(−7)=−11$
拆分中间学期。		$。$
		$。$
通过分组对三项式进行分解。		$。$
		$。$
将所有三个因子相乘进行检查。 $\hspace{50mm} 5(y−2)(2y−7)$ $\hspace{45mm} 5(2y^2−7y−4y+14)$ $\hspace{48mm} 5(2y^2−11y+14)$ $\hspace{49mm} 10y^2−55y+70\checkmark$

示例 $\PageIndex{35}$

使用 “ $ac$ ” 方法的因子: $16x^2−32x+12$ .

回答: $4(2x−3)(2x−1)$

示例 $\PageIndex{36}$

使用 “ $ac$ ” 方法的因子: $18w^2−39w+18$ .

回答: $3(3w−2)(2w−3)$

使用替代的因子

有时，三项式似乎不是这种 $ax^2+bx+c$ 形式。但是，我们通常可以进行深思熟虑的替换，使我们能够使其符合 $ax^2+bx+c$ 形式。这称为替换分解。使用它作为替 $u$ 换是标准配置。

在中 $ax^2+bx+c$ ，中间项有一个变量 $x$ ，其平方是第一个项的可变部分。 $x^2$ 当你尝试寻找替代品时，请寻找这种关系。

示例 $\PageIndex{37}$

替代因子: $x^4−4x^2−5$ .

回答

中间项的可变部分是 $x^2$ $x^4$ ，其平方是第一个项的可变部分。（我们知道 $(x^2)^2=x^4)$ 。如果我们允 $u=x^2$ 许，我们可以将我们的三项式转换为需要分解的 $ax^2+bx+c$ 形式。

	$x^4−4x^2−5$
重写三项式为替换做准备。	$(x^2)^2−4(x^2)-5$
让我们 $u=x^2$ 替换。	$(u)^2−4(u)-5$
将三项式分解为因子。	$(u+1)(u-5)$
替换 $u$ 为 $x^2$ 。	$(x^2+1)(x^2-5)$
查看： $\begin{array} {l} \hspace{37mm} (x^2+1)(x^2−5) \\ \hspace{35mm}x^4−5x^2+x^2−5 \\ \hspace{40mm}x^4−4x^2−5\checkmark\end{array}$

示例 $\PageIndex{38}$

替代因子: $h^4+4h^2−12$ .

回答: $(h^2−2)(h^2+6)$

示例 $\PageIndex{39}$

替代因子: $y^4−y^2−20$ .

回答: $(y^2+4)(y^2−5)$

有时要替换的表达式不是单项式。

示例 $\PageIndex{40}$

替代因子： $(x−2)^2+7(x−2)+12$

回答

中间项的二项式在第一个项中 $(x−2)$ 是平方。如果我们让 $u=x−2$ 和替换，我们的三项式就会 $ax^2+bx+c$ 形成形式。

	$。$
重写三项式为替换做准备。	$。$
让我们 $u=x−2$ 替换。	$。$
将三项式分解为因子。	$。$
替换 $u$ 为 $x−2$ 。	$。$
在圆括号内进行简化。	$。$

这也可以通过先乘以和然后合并相似项 $(x−2)^2$ $7(x−2)$ 然后再进行分解来计算。大多数学生更喜欢替代方法。

示例 $\PageIndex{41}$

替代因子: $(x−5)^2+6(x−5)+8$ .

回答: $(x−3)(x−1)$

示例 $\PageIndex{42}$

替代因子: $(y−4)^2+8(y−4)+15$ .

回答: $(y−1)(y+1)$

观看此视频，了解有关保理的更多指导和实践。

关键概念

如何分解形式的三项式 $x^2+bx+c$ 。
1. 将因子写成两个二项式，第一个项为 x。 $\quad \begin{array} (l) x^2+bx+c \\ (x\quad)(x\quad)\end{array}$
2. 找两个数字 $m$ 然后 $n$ 那个
  $\begin{array} {ll} \text{multiply to} &c,\space m·n=c \\ \text{add to} &b,\space m+n=b\end{array}$
3. 使用 $m$ 和 $n$ 作为因子的最后一个术语。 $\qquad (x+m)(x+n)$
4. 通过乘以因子进行检查。
分解形式三项式的策略 $x^2+bx+c$ ：当我们分解三项式时，我们首先看其项的符号，以确定二项式因子的符号。

对于以下形式的三项式： $x^2+bx+c = (x+m)(x+n)$

W hen 为 $c$ 正数， $m$ 并且 $n$ 必须具有相同的符号（这将是 $b$ ）。

示例： $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$ ，W $x^2−6x+8 = (x−4)(x−2)$

hen $c$ 为负数， $m$ 且 $n$ 具有相反的符号。 $m$ 和 $n$ 中较大的符号为 $b$ 。

示例： $x^2+x−12=(x+4)(x−3)$ ， $x^2−2x−15=(x−5)(x+3)$

请注意，在 $m$ 和 $n$ 具有相反符号的情况下，绝对值较大的符号与的符号匹配 $b$ 。
如何 $ax^2+bx+c$ 使用反复试验来分解表格的三项式。
1. 根据需要按度数的降序写出三项式。
2. 将任何 GCF 考虑在内。
3. 找出第一个项的所有因子对。
4. 找出第三项的所有因子对。
5. 测试所有可能的因子组合，直到找到正确的乘积。
6. 乘法检查。
如何 $ax^2+bx+c$ 使用 “ $ac$ ” 方法分解形式的三项式。
1. 将任何 GCF 考虑在内。
2. 找到产品 $ac$ 。
3. 找到两个数字 $m$ 然后 $n$ 那个：
  $\begin{array} {ll} \text{Multiply to }ac. &m·n=a·c \\ \text{Add to }b. &m+n=b \\ &ax^2+bx+c\end{array}$
4. 使用 $m$ 和拆分中间术语 $n$ 。 $\quad ax^2+mx+nx+c$
5. 按分组进行因子排序。
6. 通过乘以因子进行检查。

学习目标

形式的因子三项式x2+bx+cx^2+bx+c

示例6.3.1\PageIndex{1}: How to Factor a Trinomial of the form x2+bx+cx^2+bx+c

示例6.3.2\PageIndex{2}

示例6.3.3\PageIndex{3}

示例6.3.4\PageIndex{4}

示例6.3.5\PageIndex{5}

示例6.3.6\PageIndex{6}

示例6.3.7\PageIndex{7}

示例6.3.8\PageIndex{8}

示例6.3.9\PageIndex{9}

示例6.3.10\PageIndex{10}

示例6.3.11\PageIndex{11}

示例6.3.12\PageIndex{12}

示例6.3.13\PageIndex{13}

示例6.3.14\PageIndex{14}

示例6.3.15\PageIndex{15}

分解形式为三项式的策略x2+bx+cx^2+bx+c

使用反复试验的因子三项式 ax 2 + bx + c

示例6.3.16\PageIndex{16}

示例6.3.17\PageIndex{17}

示例6.3.18\PageIndex{18}

示例6.3.19\PageIndex{19}: How to Factor a Trinomial Using Trial and Error

示例6.3.20\PageIndex{20}

示例6.3.21\PageIndex{21}

形式的@@ 因子三项式ax2+bx+cax^2+bx+c USING TRIAL AND ERROR.

示例6.3.22\PageIndex{22}

示例6.3.23\PageIndex{23}

示例6.3.24\PageIndex{24}

示例6.3.25\PageIndex{25}

示例6.3.26\PageIndex{26}

示例\PageIndex{27}\PageIndex{27}

示例\PageIndex{28}\PageIndex{28}

示例\PageIndex{29}\PageIndex{29}

示例\PageIndex{30}\PageIndex{30}

ax^2+bx+cax^2+bx+c使用 “acac” 方法的形式因子三项式

示例\PageIndex{31}\PageIndex{31}: How to Factor Trinomials using the “ac” Method

示例\PageIndex{32}\PageIndex{32}

示例\PageIndex{33}\PageIndex{33}

形式的@@ 因子三项式ax^2+bx+cax^2+bx+c USING THE “acac” METHOD.

示例\PageIndex{34}\PageIndex{34}

示例\PageIndex{35}\PageIndex{35}

示例\PageIndex{36}\PageIndex{36}

使用替代的因子

示例\PageIndex{37}\PageIndex{37}

示例\PageIndex{38}\PageIndex{38}

示例\PageIndex{39}\PageIndex{39}

示例\PageIndex{40}\PageIndex{40}

示例\PageIndex{41}\PageIndex{41}

示例\PageIndex{42}\PageIndex{42}

关键概念

形式的因子三项式 $x^2+bx+c$

示例 $\PageIndex{1}$ : How to Factor a Trinomial of the form $x^2+bx+c$

示例 $\PageIndex{2}$

示例 $\PageIndex{3}$

示例 $\PageIndex{4}$

示例 $\PageIndex{5}$

示例 $\PageIndex{6}$

示例 $\PageIndex{7}$

示例 $\PageIndex{8}$

示例 $\PageIndex{9}$

示例 $\PageIndex{10}$

示例 $\PageIndex{11}$

示例 $\PageIndex{12}$

示例 $\PageIndex{13}$

示例 $\PageIndex{14}$

示例 $\PageIndex{15}$

分解形式为三项式的策略 $x^2+bx+c$

使用反复试验的因子三项式 ax ² + bx + c

示例 $\PageIndex{16}$

示例 $\PageIndex{17}$

示例 $\PageIndex{18}$

示例 $\PageIndex{19}$ : How to Factor a Trinomial Using Trial and Error

示例 $\PageIndex{20}$

示例 $\PageIndex{21}$

形式的@@ 因子三项式 $ax^2+bx+c$ USING TRIAL AND ERROR.

示例 $\PageIndex{22}$

示例 $\PageIndex{23}$

示例 $\PageIndex{24}$

示例 $\PageIndex{25}$

示例 $\PageIndex{26}$

示例 $\PageIndex{27}$

示例 $\PageIndex{28}$

示例 $\PageIndex{29}$

示例 $\PageIndex{30}$

$ax^2+bx+c$ 使用 “ $ac$ ” 方法的形式因子三项式

示例 $\PageIndex{31}$ : How to Factor Trinomials using the “ac” Method

示例 $\PageIndex{32}$

示例 $\PageIndex{33}$

形式的@@ 因子三项式 $ax^2+bx+c$ USING THE “ $ac$ ” METHOD.

示例 $\PageIndex{34}$

示例 $\PageIndex{35}$

示例 $\PageIndex{36}$

示例 $\PageIndex{37}$

示例 $\PageIndex{38}$

示例 $\PageIndex{39}$

示例 $\PageIndex{40}$

示例 $\PageIndex{41}$

示例 $\PageIndex{42}$