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5.4: 乘以多项式

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    203898
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    学习目标

    在本节结束时,您将能够:

    • 乘以单项式
    • 将多项式乘以单项式
    • 将二项式乘以二项式
    • 将多项式乘以多项式
    • 乘以特殊产品
    • 乘以多项式函数

    在开始之前,请参加这个准备测验。

    1. 分发:\(2(x+3)\)
      如果你错过了这个问题,请查看 [链接]
    2. 简化:a.\(9^2\) b.\((−9)^2\) c\(−9^2\).
      如果你错过了这个问题,请查看 [链接]
    3. 评估:\(2x^2−5x+3\)对于\(x=−2\)
      如果你错过了这个问题,请查看 [链接]

    乘以单项式

    我们已经准备好对多项式进行运算。 由于单项式是代数表达式,因此我们可以使用指数的属性将单项式相乘。

    示例\(\PageIndex{1}\)

    乘以:

    1. \((3x^2)(−4x^3)\)
    2. \(\left(\frac{5}{6}x^3y\right)(12xy^2).\)
    回答 a

    \(\begin{array} {ll} {} &{(3x^2)(−4x^3)} \\ {\text{Use the Commutative Property to rearrange the terms.}} &{3·(−4)·x^2·x^3} \\ {\text{}} &{−12x^5} \\ \end{array} \)

    答案 b

    \(\begin{array} {ll} {} &{\left(\frac{5}{6}x^3y\right)(12xy^2)} \\ {\text{Use the Commutative Property to rearrange the terms.}} &{\frac{5}{6}·12·x^3·x·y·y^2} \\ {\text{Multiply.}} &{10x^4y^3} \\ \end{array} \)

    示例\(\PageIndex{2}\)

    乘以:

    1. \((5y^7)(−7y^4)\)
    2. \((25a^4b^3)(15ab^3)\)
    回答 a

    \(−35y^{11}\)

    答案 b

    \(375 a^5b^6\)

    示例\(\PageIndex{3}\)

    乘以:

    1. \((−6b^4)(−9b^5)\)
    2. \((23r^5s)(12r^6s^7).\)
    回答 a

    \(54b^9\)

    答案 b

    \(276 r^{11}s^8\)

    将多项式乘以单项式

    将多项式乘以单项式实际上只是应用分布属性。

    示例\(\PageIndex{4}\)

    乘以:

    1. \(−2y(4y^2+3y−5)\)
    2. \(3x^3y(x^2−8xy+y^2)\)
    回答 a
      。
    分发。 。
    乘以。 。
    答案 b

    \(\begin{array} {ll} {} &{3x^3y(x^2−8xy+y^2)} \\ {\text{Distribute.}} &{3x^3y⋅x^2+(3x^3y)⋅(−8xy)+(3x^3y)⋅y^2} \\ {\text{Multiply.}} &{3x^5y−24x^4y^2+3x^3y^3} \\ \end{array} \)

    示例\(\PageIndex{5}\)

    乘以:

    1. \(-3y(5y^2+8y^{7})\)
    2. \(4x^2y^2(3x^2−5xy+3y^2)\)
    回答 a

    \(−15y^3−24y^8\)

    答案 b

    \(12x^4y^2−20x^3y^3+12x^2y^4\)

    示例\(\PageIndex{6}\)

    乘以:

    1. \(4x^2(2x^2−3x+5)\)
    2. \(−6a^3b(3a^2−2ab+6b^2)\)
    回答 a

    \(8x^4−12x^3+20x^2\)

    答案 b

    \(−18a^5b+12a^4b^2−36a^3b^3\)

    将二项式乘以二项式

    就像有不同的方法来表示数字的乘法一样,有几种方法可以用来将二项式乘以二项式。 我们将首先使用分配财产。

    示例\(\PageIndex{7}\)

    乘以:

    1. \((y+5)(y+8)\)
    2. \((4y+3)(2y−5)\)
    回答

      。
    分发\((y+8)\) 。
    再次分发。 。
    将相似的术语组合在一起。 。

      。
    分发。 。
    再次分发。 。
    将相似的术语组合在一起。 。
    示例\(\PageIndex{8}\)

    乘以:

    1. \((x+8)(x+9)\)
    2. \((3c+4)(5c−2)\)
    回答 a

    \(x^2+17x+72\)

    答案 b

    \(15c^2+14c−8\)

    示例\(\PageIndex{9}\)

    乘以:

    1. \((5x+9)(4x+3)\)
    2. \((5y+2)(6y−3)\)
    回答 a

    \(20x^2+51x+27\)

    答案 b

    \(30y^2−3y−6\)

    如果你经常乘以二项式,你可能会注意到一种模式。 请注意,结果中的第一个项是每个二项式中第一个项的乘积。 第二个和第三项是两个外部项相乘的乘积,然后是两个内部项的乘积。 最后一个术语是将最后两个项相乘得出,

    我们将 “第一、外部、内部、最后” 缩写为 FOIL。 字母代表 “第一、外部、内部、最后”。 我们用它作为乘以二项式的另一种方法。 FOIL 这个词很容易记住,可以确保我们找到所有四种产品。

    让我们\((x+3)(x+7)\)使用这两种方法进行乘法。

    该图显示了如何根据助记词缩写 FOIL 记住两个二项式乘积中的四个术语。 示例是括号中的数量 x 加 3 乘以括号中的数量 x 加 7。 与前面的示例一样,通过两次使用分布式属性对表达式进行了扩展。 在括号中分配数量 x 加 7 后,结果为 x 乘以数量 x 加 7 加上括号中的数量 x 加 7,再加上圆括号中的数量 x 加 7。 然后 x 分布 x 加 7,3 分配给 x 加 7,得到 x 平方加 7,得到 x 平方加 7 x 加 3 x 加 21。 字母 F 是用术语 x 平方书写的,因为它是二项式中第一个项的乘积。 字母 O 是在 7 x 项下书写的,因为它是二项式中外部项的乘积。 字母 I 是在 3 x 项下写的,因为它是二项式中内部术语的乘积。 字母 L 是在 21 之下写的,因为它是二项式中最后一个术语的乘积。 再次显示了原始表达式,用四个箭头连接二项式中的第一项、外部项、内部项和最后一项项,显示了如何直接从因子形式确定这四个项。

    我们在下面总结了 FOIL 方法的步骤。 FOIL 方法仅适用于乘以二项式,不适用于其他多项式!

    定义:使用箔法将两个二项式相乘。

    图中显示了如何使用 FOIL 方法将两个二项式相乘。 示例是括号中的数量 a 加 b 乘以括号中的数量 c 加 d。 首先标记数字 a 和 c,最后标记数字 b 和 d。 数字 b 和 c 被标记为内部,数字 a 和 d 被标记为外部。 表情旁边的音符告诉你在乘法时说出来! FOIL First 外部内部最后一个。 然后以编号步骤给出指示。 第 1 步。 将第一个项相乘。 第 2 步。 将外部项相乘。 第 3 步。 将内部项相乘。 第 4 步。 将最后一个项相乘。 第 5 步。 尽可能合并相似的术语。

    当你乘以 FOIL 方法时,画出线条可以帮助你的大脑专注于图案,使其更容易使用。

    现在我们将举一个例子,我们使用 FOIL 模式将两个二项式相乘。

    示例\(\PageIndex{10}\)

    乘以:

    1. \((y−7)(y+4)\)
    2. \((4x+3)(2x−5)\)
    回答

    一个。

    图中显示了如何使用 FOIL 方法将两个二项式相乘。 示例是括号中的数量 y 减去 7 乘以括号中的数量 y 加 4。 第 1 步。 将第一个项相乘。 术语 y 和 y 被涂成红色,用箭头连接它们。 结果是 y 的平方,显示在单词 FOIL 中的字母 F 的上方。 第 2 步。 将外部项相乘。 术语 y 和 4 被涂成红色,并用箭头连接它们。 结果为 4 y,显示在单词 FOIL 中的字母 O 的上方。 第 3 步。 将内部项相乘。 项负 7 和 y 被涂成红色,并用箭头连接它们。 结果为负 7 y 的平方,显示在单词 FOIL 中字母 I 的上方。 第 4 步。 将最后一个项相乘。 术语 “负 7” 和 “4” 被涂成红色,并用箭头连接它们。 结果为负 28,显示在单词 FOIL 中的字母 L 的上方。 第 5 步。 将相似的术语组合在一起。 简化的结果是 y 平方减去 3 y 减去 28。

    b。

    图中显示了如何使用 FOIL 方法将两个二项式相乘。 示例是括号中的数量 4 x 加 3 乘以括号中的数量 2 x 减去 5。 该表达式以连接第一条的四个红色箭头显示。 外部、内部和最后一项。 第 1 步。 将第一个项 4 x 和 2 x 相乘。第一个项的乘积为 8 x 的平方,显示在单词 FOIL 中的字母 F 的上方。 第 2 步。 将外部项 4 x 和负项 5 相乘。 结果为负 20 x,显示在单词 FOIL 中的字母 O 的上方。 第 3 步。 将内部项 3 和 2 乘以。结果为 6 x,显示在单词 FOIL 中字母 I 的上方。 第 4 步。 将最后一个项 3 和负数 5 相乘。 结果为负 15,显示在单词 FOIL 中的字母 L 的上方。 第 5 步。 将相似的术语组合在一起。 简化的结果是 8 y 平方减去 14 x 减去 15。

    练习\(\PageIndex{11}\)

    乘以:

    1. \((x−7)(x+5)\)
    2. \((3x+7)(5x−2)\)
    回答

    a.\(x^2−2x−35\)
    b。\(15x^2+29x−14\)

    练习\(\PageIndex{12}\)

    乘以:

    1. \((b−3)(b+6)\)
    2. \((4y+5)(4y−10)\)
    回答

    a.\(b^2+3b−18\)
    b。\(16y^2−20y−50\)

    最后一个例子中的最终乘积是三项式,因为我们可以将两个中间项结合起来。 情况并非总是如此。

    示例\(\PageIndex{13}\)

    乘以:

    1. \((n^2+4)(n−1)\)
    2. \((3pq+5)(6pq−11)\)
    回答

    一个。

      。
      。
    第 1 步。 第一个项相乘。 。
    第 2 步。 外部项相乘。 。
    第 3 步。 内部项相乘。 。
    第 4 步。 最后一个项相乘。 。
    第 5 步。 用相似的术语组合起来——没有。 。

    b。

      。
      。
    第 1 步。 第一个项相乘。 。
    第 2 步。 外部项相乘。 。
    第 3 步。 内部项相乘。 。
    第 4 步。 最后一个项相乘。 。
    第 5 步。 将相似的术语组合在一起。 。
    示例\(\PageIndex{14}\)

    乘以:

    1. \((x^2+6)(x−8)\)
    2. \((2ab+5)(4ab−4)\)
    回答

    a.\(x^3−8x^2+6x−48\)
    b。\(8a^2b^2+12ab−20\)

    示例\(\PageIndex{15}\)

    乘以:

    1. \((y^2+7)(y−9)\)
    2. \((2xy+3)(4xy−5)\)
    回答

    a.\(y^3−9y^2+7y−63\)
    b。\(8x^2y^2+2xy−15\)

    FOIL 方法通常是将两个二项式相乘的最快方法,但它适用于二项式。 您可以使用分布属性来查找任意两个多项式的乘积。 另一种适用于所有多项式的方法是垂直法。 它非常像你用来乘以整数的方法。 仔细看这个将两位数相乘的例子。

    此图显示了 23 和 46 的垂直乘法。 数字 23 高于数字 46。 在此之下,部分乘积 138 高于部分乘积 92。 最终产品位于底部,为 1058。 图片右侧的文字显示 “你首先将 23 乘以 6 得到 138。 然后你将 23 乘以 4,在正确的列中对齐部分乘积。 最后,你要添加部分产品。”

    现在我们将应用同样的方法将两个二项式相乘。

    示例\(\PageIndex{16}\)

    使用垂直方法乘以:\((3y−1)(2y−6)\).

    回答

    哪个二项式排在顶部并不重要。

    \ (\ begin {align*} & &\ quad\;\; 3y-1\\ [4pt]
    & &\ 下划线 {\ quad\ times\; 2y-6}\\ [4pt]
    &\ text {乘以} 3y-1\ text {by} -6。 & &\ quad -18y + 6 &\ text {部分产品}\\ [4pt]
    &\ text {乘以} 3y-1\ text {by} 2y。 & &\ 下划线 {6y^2-2y} &\ text {部分产品}\\ [4pt]
    &\ text {添加点赞条款。} & & 6y^2-20y + 6\ end {align*}\)

    请注意,部分产品与 FOIL 方法中的条款相同。

    此图有两列。 左列是两个二项式的乘积,3y 减去 1 和 2y 减去 6。 下方是 6y 平方减去 2y 减去 18y 加 6。 下方是 6y 平方减去 20y 加上 6。 右列中是 3y 减去 1 和 2y 减 6 的垂直乘法。 下方是部分产品负值 18 年加上 6。 下方是部分乘积 6y 平方减去 2y。 下方是 6y 平方减去 20y 加上 6。

    示例\(\PageIndex{17}\)

    使用垂直方法乘以:\((5m−7)(3m−6)\).

    回答

    \(15m^2−51m+42\)

    示例\(\PageIndex{18}\)

    使用垂直方法乘以:\((6b−5)(7b−3)\).

    回答

    \(42b^2−53b+15\)

    我们现在使用了三种方法来乘以二项式。 一定要练习每种方法,然后尝试决定你更喜欢哪种方法。 这里列出了所有方法,以帮助您记住它们。

    定义:将两个二项式相乘

    要乘以二项式,请使用:

    • 分配财产
    • 铝箔法
    • 垂直法

    将多项式乘以多项式

    我们将单项式乘以单项式,将单项式乘以多项式,将二项式乘以二项式。 现在我们已经准备好将多项式乘以多项式了。 请记住,FOIL 在这种情况下不起作用,但我们可以使用分布属性或垂直方法。

    示例\(\PageIndex{19}\)

    \((b+3)(2b^2−5b+8)\)使用 ⓐ 分布属性和 ⓑ 垂直法相乘。

    回答

    一个。

      。
    分发。 。
    乘以。 。
    将相似的术语组合在一起。 。

    b. 将项数较少的多项式放在底部比较容易,因为这样我们得到的偏积就更少了。

    \((2b^2−5b+8)\)乘以 3。
    \((2b^2−5b+8)\)乘以\(b\)
    。
    添加点赞条款。 。
    。
    示例\(\PageIndex{20}\)

    \((y−3)(y^2−5y+2)\)使用 ⓐ 分布属性和 ⓑ 垂直法相乘。

    回答

    a.\(y^3−8y^2+17y−6\)
    b。\(y^3−8y^2+17y−6\)

    示例\(\PageIndex{21}\)

    \((x+4)(2x^2−3x+5)\)使用 a) 分布属性和 b) 垂直法相乘。

    回答

    a. 和 b。\(2x^3+5x^2−7x+20\)

    我们现在已经看到了两种方法可以用来将多项式乘以多项式。 在你练习了每种方法之后,你可能会发现自己更喜欢一种方法而不是另一种方法。 为了便于参考,我们在此列出了这两种方法。

    定义:将多项式乘以多项式

    要将三项式乘以二项式,请使用:

    • 分配财产
    • 垂直法

    乘以特殊产品

    数学家喜欢寻找能使他们的工作更轻松的模式。 这方面的一个很好的例子是二项式的平方。 虽然你总是可以通过将二项式写入两次并将其相乘来获得乘积,但如果你学会使用模式,工作要做的事情就少了。 让我们先看三个例子,然后寻找一种模式。

    看看这些结果。 你看到任何图案了吗?

    该图显示了将二项式求平方的三个示例。 在第一个示例中,x 加 9 的平方得到 x 加 9 倍 x 加 9,即 x 平方加上 9 x 加 9 x 加 81,简化为 x 平方加 18 x 加 81。 颜色显示 x 平方来自原始二项式中 x 的平方,81 来自原始二项式中 9 的平方。 在第二个示例中,y 减去 7 的平方得到 y 减 y 乘以 y 减去 7,即 y 平方减去 7 y 减去 7 y 加 49,简化为 y 平方减去 14 y 加 49。 颜色显示 y 平方来自原始二项式中 y 的平方,49 来自原始二项式中负 7 的平方。 在第三个示例中,2 x 加 3 的平方得到 2 x 加 3 倍 2 x 加 3,即 4 x 平方加上 6 x 加 9,简化为 4 x 平方加 12 x 加 9。 颜色显示 4 x 平方来自原始二项式中 2 x 的平方,9 来自原始二项式中 3 的平方。

    那么术语的数量呢? 在每个例子中,我们求一个二项式的平方,结果是三项式。

    \[(a+b)^2=\text{___}+\text{___}+\text{___} \nonumber\]

    现在看每个结果中的第一个术语。 它来自哪里?

    第一个项是每个二项式的第一个项的乘积。 由于二项式是相同的,它只是第一个项的平方!

    \[(a+b)^2=a^2+\text{___}+\text{___} \nonumber\]

    要获得乘积的第一个项,请对第一个项进行平方。

    最后一个学期来自哪里? 看看例子并找到模式。

    最后一个项是最后一个项的乘积,即最后一个项的平方。

    \[(a+b)^2=\text{___}+\text{___}+b^2 \nonumber\]

    要获得产品的最后一个项,请将最后一个项相乘。

    最后,看看中间学期。 请注意,它源于添加 “外部” 和 “内部” 术语——两者都是一样的! 因此,中间项是二项式两个项乘积的两倍。

    \[(a+b)^2=\text{___}+2ab+\text{___} \nonumber\]

    \[(a−b)^2=\text{___}−2ab+\text{___} \nonumber\]

    要得出产品的中间项,请将这些项相乘并将其乘积加倍。

    把它们放在一起:

    定义:二项式方块图案

    如果 ab 是实数,

    该图显示了两个二项式的平方结果。 第一个例子是 a 加 b 的平方等于 a 的平方加 2 a b 加 b 的平方。 再次写出方程式,每个部分都标有标签。 数量 a 加 b 的平方被标记为二项式平方。 项 a 的平方被标记为第一个项的平方。 术语 2 a b 被标记为术语乘积的 2 倍。 术语 b 的平方被标记为最后一个项的平方。 第二个例子是 a 减去 b 的平方等于 a 的平方减去 2 a b 加 b 的平方。 再次写出方程式,每个部分都标有标签。 量 a 减去 b 的平方被标记为二项式平方。 项 a 的平方被标记为第一个项的平方。 术语负数 2 a b 被标记为项乘积的 2 倍。 术语 b 的平方被标记为最后一个项的平方。

    要对二项式求平方,请将第一个项求平方,将最后一个项乘积加倍。

    示例\(\PageIndex{22}\)

    乘以:a.\((x+5)^2\) b\((2x−3y)^2\).

    回答

    一个。

      。
    用第一个术语求平方。 。
    用最后一个术语求平方。 。
    将他们的产品加倍。 。
    简化。 。

    b。

      。
    使用图案。 。
    简化。 。
    示例\(\PageIndex{23}\)

    乘以:a.\((x+9)^2\) b\((2c−d)^2\).

    回答

    a.\(x^2+18x+81\)
    b。\(4c^2−4cd+d^2\)

    示例\(\PageIndex{24}\)

    乘以:a.\((y+11)^2\) b\((4x−5y)^2\).

    回答

    a.\(y^2+22y+121\)
    b。\(16x^2−40xy+25y^2\)

    我们刚刚看到了一种二项式求平方的模式,我们可以用它来简化一些二项式的乘法。 同样,二项式的另一种乘积也有一种模式。 但是在我们开始之前,我们需要介绍一些词汇。

    一对二项式的第一个项和最后一个项相同,但一个是总和,一个是差值,被称为共轭对\((a−b)\),其形式为\((a+b)\)

    定义:共轭对

    轭对是两个形式的二项式

    \[(a−b), (a+b). \nonumber\]

    两对二项式的第一个项和最后一个项相同,但是一个二项式是总和,另一个是差异。

    找到共轭物的乘积有很好的模式。 当然,你可以简单地用 FOIL 来获得产品,但是使用这种模式可以让你的工作更轻松。 让我们使用 FOIL 乘以一些共轭对来寻找模式。

    该图显示了将二项式与其共轭相乘的三个示例。 在第一个示例中,将 x 加 9 乘以 x 减 9 得到 x 平方减去 9 x 加 9 x 减去 81,这简化为 x 平方减去 81。 颜色显示 x 平方来自原始二项式中 x 的平方,81 来自原始二项式中 9 的平方。 在第二个示例中,y 减去 8 乘以 y 加 8 得到 y 平方加 8 y 减去 8 y 减去 64,这简化为 y 平方减去 64。 颜色显示 y 平方来自原始二项式中 y 的平方,64 来自原始二项式中 8 的平方。 在第三个示例中,2 x 减 5 乘以 2 x 加 5 得到 4 x 平方加 10 x 减去 10 x 减去 25,简化为 4 x 平方减去 25。 颜色显示 4 x 平方来自原始二项式中 2 x 的平方,25 来自原始二项式中 5 的平方。

    您对这些产品有什么看法?

    两个二项式的乘积也是二项式! 由FOIL产生的大多数产品都是三项式的。

    每个第一个项都是二项式第一个项的乘积,由于它们是相同的,因此它是第一个项的平方。

    \[(a+b)(a−b)=a^2−\text{___} \nonumber\]

    要获得第一个项,请将第一个项求平方。

    最后一个术语来自于最后一个项的乘积,即最后一个学期的平方。

    \[(a+b)(a−b)=a^2−b^2 \nonumber\]

    要获得最后一个学期,请将最后一个学期相乘

    为什么没有中间学期? 请注意,在每种情况下,你从 FOIL 中得到的两个中间项组合为 0,这是一加一减的结果。

    共轭物的乘积总是这样的\(a^2−b^2\)。 这称为平方差

    这导致了以下模式:

    定义:共轭物图案乘积

    如果 ab 是实数,

    该图显示了将二项式与其共轭相乘的结果。 公式为 a 加 b 乘以 a 减 b 等于 a 平方减去 b 的平方。 方程再次用标签写出来。 乘积 a 加 b 乘以 a 减去 b 被标记为共轭物。 结果 a 平方减去 b 平方被标记为平方差。

    该乘积称为平方差。

    要乘以共轭,请将第一个项求平方,将最后一个项写成平方差。

    示例\(\PageIndex{25}\)

    使用共轭物图案乘以:a.\((2x+5)(2x−5)\) b\((5m−9n)(5m+9n)\).

    回答

    一个。

    二项式是共轭物吗? 。
    它是偶联物的产物。 。
    将第一个项平方,2x.2x。 。
    最后一个学期的平方,5.5。 。
    简化。 该乘积是平方差。 。

    b。

      。
    这符合图案。 。
    使用图案。 。
    简化。 。
    示例\(\PageIndex{26}\)

    乘以:a.\((6x+5)(6x−5)\) b\((4p−7q)(4p+7q)\).

    回答

    a.\(36x^2−25\)
    b。\(16p^2−49q^2\)

    示例\(\PageIndex{27}\)

    乘以:a.\((2x+7)(2x−7)\) b\((3x−y)(3x+y)\).

    回答

    a.\(4x^2−49\) b。\(9x^2−y^2\)

    我们刚刚为二项式方块和共轭物乘积开发了特殊的乘积模式。 这些产品看起来很相似,因此重要的是要识别何时适合使用每种模式,并注意它们的不同之处。 一起看这两种模式,注意它们的相似之处和不同之处。

    比较特殊的产品模式
    二项式方块 共轭物的乘积
    \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) \((a−b)(a+b)=a^2−b^2\)
    \((a−b)^2=a^2−2ab+b^2\)  
    • 求二项式的平方 • 乘以共轭物
    • 产品是三项式 • 产品是二项式。
    • FOIL 的内部和外部术语是相同的。 • FOIL 的内在术语和外部术语是相反的。
    • 中间术语是术语乘积的两倍 没有中间术语。
    示例\(\PageIndex{28}\)

    选择合适的图案并使用它来查找产品:

    a.\((2x−3)(2x+3)\) b.\((8x-5)^2\) c.\((6m+7)^2\) d\((5x−6)(6x+5)\).

    回答

    一个。\((2x−3)(2x+3)\)

    这些是共轭物。 它们具有相同的第一个数字和相同的最后一个数字,一个二项式是总和,另一个是差值。 它符合共轭物乘积模式。

      。
    使用图案。 。
    简化。 。

    b。\((8x−5)^2\)

    我们被要求对二项式求平方。 它符合二项式方块图案。

      。
    使用图案。 。
    简化。 。

    c。\((6m+7)^2\)

    同样,我们将对二项式进行平方,因此我们使用二项式方块图案。

      。
    使用图案。 。
    简化。 。

    d。\((5x−6)(6x+5)\)

    本产品不符合图案,因此我们将使用 FOIL。

    \(\begin{array} {ll} {} &{(5x−6)(6x+5)} \\ {\text{Use FOIL.}} & {30x^2+25x−36x−30} \\ {\text{Simplify.}} & {30x^2−11x−30} \\ \end{array}\)

    示例\(\PageIndex{29}\)

    选择合适的图案并使用它来查找产品:

    a.\((9b−2)(2b+9)\) b.\((9p−4)^2\) c.\((7y+1)^2\) d\((4r−3)(4r+3)\).

    回答

    a. FOIL;\(18b^2+77b−18\)
    b. 二项式方块;\(81p^2−72p+16\)
    c. 二项式方块;\(49y^2+14y+1\)
    d. 共轭物的乘积;\(16r^2−9\)

    示例\(\PageIndex{30}\)

    选择合适的图案并使用它来查找产品:

    a.\((6x+7)^2\) b.\((3x−4)(3x+4)\) c.\((2x−5)(5x−2)\) d\((6n−1)^2\).

    回答

    a. 二项式方块;\(36x^2+84x+49\)b. 共轭物的乘积;\(9x^2−16\)c. FOIL;\(10x^2−29x+10\)d. 二项式方块;\(36n^2−12n+1\)

    乘以多项式函数

    就像可以乘以多项式一样,多项式函数也可以相乘。

    多项式函数的乘法

    对于函数\(f(x)\)\(g(x)\)

    \[(f·g)(x)=f(x)·g(x)\]

    示例\(\PageIndex{31}\)

    对于函数\(f(x)=x+2\)\(g(x)=x^2−3x−4\),请查找:

    1. \((f·g)(x)\)
    2. \((f·g)(2)\)
    回答

    一个。

    \(\begin{array} {ll} {} &{(f·g)(x)=f(x)·g(x)} \\ {\text{Substitute for } f(x) \text{ and } g(x)} &{(f·g)(x)=(x+2)(x^2−3x−4)} \\ {\text{Multiply the polynomials.}} &{(f·g)(x)=x(x^2−3x−4)+2(x^2−3x−4)} \\ {\text{Distribute.}} &{(f·g)(x)=x3−3x^2−4x+2x^2−6x−8} \\ {\text{Combine like terms.}} &{(f·g)(x)=x3−x^2−10x−8} \\ \end{array}\)

    b. 在 a 部分中,我们找到了\((f·g)(x)\),现在被要求去找\((f·g)(2)\)

    \(\begin{array} {ll} {} &{(f·g)(x)=x^3−x^2−10x−8} \\ {\text{To find }(f·g)(2), \text{ substitute } x=2.} &{(f·g)(2)=2^3−2^2−10·2−8} \\ {} &{(f·g)(2)=8−4−20−8} \\ {} &{(f·g)(2)=−24} \\ \end{array}\)

    示例\(\PageIndex{32}\)

    对于函数\(f(x)=x−5\)\(g(x)=x^2−2x+3\),请查找

    1. \((f·g)(x)\)
    2. \((f·g)(2)\)
    回答 a

    \((f·g)(x)=x^3−7x^2+13x−15\)

    答案 b

    \((f·g)(2)=−9\)

    示例\(\PageIndex{33}\)

    对于函数\(f(x)=x−7\)\(g(x)=x^2+8x+4\),请查找

    1. \((f·g)(x)\)
    2. \((f·g)(2)\)
    回答 a

    \((f·g)(x)=x^3+x^2−52x−28\)

    回答 a

    \((f·g)(2)=−120\)

    访问此在线资源以获取更多指导和练习乘法多项式。

    • 二项式特殊产品简介

    关键概念

    • 如何使用 FOIL 方法乘以两个二项式。
      图中显示了如何使用 FOIL 方法将两个二项式相乘。 示例是括号中的数量 a 加 b 乘以括号中的数量 c 加 d。 首先标记数字 a 和 c,最后标记数字 b 和 d。 数字 b 和 c 被标记为内部,数字 a 和 d 被标记为外部。 表情旁边的音符告诉你在乘法时说出来! FOIL First 外部内部最后一个。 然后以编号步骤给出指示。 第 1 步。 将第一个项相乘。 第 2 步。 将外部项相乘。 第 3 步。 将内部项相乘。 第 4 步。 将最后一个项相乘。 第 5 步。 尽可能合并相似的术语。
    • 将两个二项式相乘:要乘以二项式,请使用:
      • 分配财产
      • 铝箔法
    • 将@@ 多项式乘以多项式:要将三项式乘以二项式,请使用:
      • 分配财产
      • 垂直法
    • 二项式正方形图案
      如果 ab 是实数,该图显示了两个二项式的平方结果。 第一个例子是 a 加 b 的平方等于 a 的平方加 2 a b 加 b 的平方。 再次写出方程式,每个部分都标有标签。 数量 a 加 b 的平方被标记为二项式平方。 项 a 的平方被标记为第一个项的平方。 术语 2 a b 被标记为术语乘积的 2 倍。 术语 b 的平方被标记为最后一个项的平方。 第二个例子是 a 减去 b 的平方等于 a 的平方减去 2 a b 加 b 的平方。 再次写出方程式,每个部分都标有标签。 量 a 减去 b 的平方被标记为二项式平方。 项 a 的平方被标记为第一个项的平方。 术语负数 2 a b 被标记为项乘积的 2 倍。 术语 b 的平方被标记为最后一个项的平方。
    • 共轭物模式的乘积
      如果 a, b 是实数
      该图显示了将二项式与其共轭相乘的结果。 公式为 a 加 b 乘以 a 减 b 等于 a 平方减去 b 的平方。 方程再次用标签写出来。 乘积 a 加 b 乘以 a 减去 b 被标记为共轭物。 结果 a 平方减去 b 平方被标记为平方差。
      乘积称为平方差。
      要乘以共轭,请将第一个项求平方,将最后一个项写成平方差。
    • 比较特殊的产品模式
      二项式方块 共轭物的乘积
      \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) \((a−b)^2=a^2−2ab+b^2\)
      \((a−b)(a+b)=a^2−b^2\)  
      • 求二项式的平方 • 乘以共轭物
      • 产品是三项式 • 产品是二项式。
      • FOIL 的内部和外部术语是相同的。 • FOIL 的内在术语和外部术语是相反的。
      • 中间术语是术语乘积的两倍 没有中间术语。
    • 多项式函数的乘法:
      • 对于函数\(f(x)\)\(g(x)\)

        \[(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x) \nonumber\]

    词汇表

    共轭对
    共轭对是两个形式为\((a−b)\)和的二项式\((a+b)\)。 两对二项式的第一个项和最后一个项相同,但是一个二项式是总和,另一个是差异。