5.4: 乘以多项式

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Nov 1, 2022
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203898
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- 5.3E：练习
- 5.4E：练习

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学习目标

在本节结束时，您将能够：

乘以单项式
将多项式乘以单项式
将二项式乘以二项式
将多项式乘以多项式
乘以特殊产品
乘以多项式函数

在开始之前，请参加这个准备测验。

分发： $2(x+3)$ 。
如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
简化：a. $9^2$ b. $(−9)^2$ c $−9^2$ .
如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
评估： $2x^2−5x+3$ 对于 $x=−2$ 。
如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。

乘以单项式

我们已经准备好对多项式进行运算。由于单项式是代数表达式，因此我们可以使用指数的属性将单项式相乘。

示例 $\PageIndex{1}$

乘以：

$(3x^2)(−4x^3)$
$\left(\frac{5}{6}x^3y\right)(12xy^2).$

回答 a: $\begin{array} {ll} {} &{(3x^2)(−4x^3)} \\ {\text{Use the Commutative Property to rearrange the terms.}} &{3·(−4)·x^2·x^3} \\ {\text{}} &{−12x^5} \\ \end{array}$
答案 b: $\begin{array} {ll} {} &{\left(\frac{5}{6}x^3y\right)(12xy^2)} \\ {\text{Use the Commutative Property to rearrange the terms.}} &{\frac{5}{6}·12·x^3·x·y·y^2} \\ {\text{Multiply.}} &{10x^4y^3} \\ \end{array}$

示例 $\PageIndex{2}$

乘以：

$(5y^7)(−7y^4)$
$(25a^4b^3)(15ab^3)$

回答 a: $−35y^{11}$
答案 b: $375 a^5b^6$

示例 $\PageIndex{3}$

乘以：

$(−6b^4)(−9b^5)$
$(23r^5s)(12r^6s^7).$

回答 a: $54b^9$
答案 b: $276 r^{11}s^8$

将多项式乘以单项式

将多项式乘以单项式实际上只是应用分布属性。

示例 $\PageIndex{4}$

乘以：

$−2y(4y^2+3y−5)$
$3x^3y(x^2−8xy+y^2)$ 。

回答 a

	$。$
分发。	$。$
乘以。	$。$

答案 b

$\begin{array} {ll} {} &{3x^3y(x^2−8xy+y^2)} \\ {\text{Distribute.}} &{3x^3y⋅x^2+(3x^3y)⋅(−8xy)+(3x^3y)⋅y^2} \\ {\text{Multiply.}} &{3x^5y−24x^4y^2+3x^3y^3} \\ \end{array}$

示例 $\PageIndex{5}$

乘以：

$-3y(5y^2+8y^{7})$
$4x^2y^2(3x^2−5xy+3y^2)$

回答 a: $−15y^3−24y^8$
答案 b: $12x^4y^2−20x^3y^3+12x^2y^4$

示例 $\PageIndex{6}$

乘以：

$4x^2(2x^2−3x+5)$
$−6a^3b(3a^2−2ab+6b^2)$

回答 a: $8x^4−12x^3+20x^2$
答案 b: $−18a^5b+12a^4b^2−36a^3b^3$

将二项式乘以二项式

就像有不同的方法来表示数字的乘法一样，有几种方法可以用来将二项式乘以二项式。我们将首先使用分配财产。

示例 $\PageIndex{7}$

乘以：

$(y+5)(y+8)$
$(4y+3)(2y−5)$ 。

回答

ⓐ

	$。$
分发 $(y+8)$ 。	$。$
再次分发。	$。$
将相似的术语组合在一起。	$。$

ⓑ

	$。$
分发。	$。$
再次分发。	$。$
将相似的术语组合在一起。	$。$

示例 $\PageIndex{8}$

乘以：

$(x+8)(x+9)$
$(3c+4)(5c−2)$ 。

回答 a: $x^2+17x+72$
答案 b: $15c^2+14c−8$

示例 $\PageIndex{9}$

乘以：

$(5x+9)(4x+3)$
$(5y+2)(6y−3)$ 。

回答 a: $20x^2+51x+27$
答案 b: $30y^2−3y−6$

如果你经常乘以二项式，你可能会注意到一种模式。请注意，结果中的第一个项是每个二项式中第一个项的乘积。第二个和第三项是两个外部项相乘的乘积，然后是两个内部项的乘积。最后一个术语是将最后两个项相乘得出，

我们将 “第一、外部、内部、最后” 缩写为 FOIL。字母代表 “第一、外部、内部、最后”。我们用它作为乘以二项式的另一种方法。 FOIL 这个词很容易记住，可以确保我们找到所有四种产品。

让我们 $(x+3)(x+7)$ 使用这两种方法进行乘法。

$该图显示了如何根据助记词缩写 FOIL 记住两个二项式乘积中的四个术语。示例是括号中的数量 x 加 3 乘以括号中的数量 x 加 7。与前面的示例一样，通过两次使用分布式属性对表达式进行了扩展。在括号中分配数量 x 加 7 后，结果为 x 乘以数量 x 加 7 加上括号中的数量 x 加 7，再加上圆括号中的数量 x 加 7。然后 x 分布 x 加 7，3 分配给 x 加 7，得到 x 平方加 7，得到 x 平方加 7 x 加 3 x 加 21。字母 F 是用术语 x 平方书写的，因为它是二项式中第一个项的乘积。字母 O 是在 7 x 项下书写的，因为它是二项式中外部项的乘积。字母 I 是在 3 x 项下写的，因为它是二项式中内部术语的乘积。字母 L 是在 21 之下写的，因为它是二项式中最后一个术语的乘积。再次显示了原始表达式，用四个箭头连接二项式中的第一项、外部项、内部项和最后一项项，显示了如何直接从因子形式确定这四个项。$

我们在下面总结了 FOIL 方法的步骤。 FOIL 方法仅适用于乘以二项式，不适用于其他多项式！

定义：使用箔法将两个二项式相乘。

$图中显示了如何使用 FOIL 方法将两个二项式相乘。示例是括号中的数量 a 加 b 乘以括号中的数量 c 加 d。首先标记数字 a 和 c，最后标记数字 b 和 d。数字 b 和 c 被标记为内部，数字 a 和 d 被标记为外部。表情旁边的音符告诉你在乘法时说出来！ FOIL First 外部内部最后一个。然后以编号步骤给出指示。第 1 步。将第一个项相乘。第 2 步。将外部项相乘。第 3 步。将内部项相乘。第 4 步。将最后一个项相乘。第 5 步。尽可能合并相似的术语。$

当你乘以 FOIL 方法时，画出线条可以帮助你的大脑专注于图案，使其更容易使用。

现在我们将举一个例子，我们使用 FOIL 模式将两个二项式相乘。

示例 $\PageIndex{10}$

乘以：

$(y−7)(y+4)$
$(4x+3)(2x−5)$ 。

回答

一个。

$图中显示了如何使用 FOIL 方法将两个二项式相乘。示例是括号中的数量 y 减去 7 乘以括号中的数量 y 加 4。第 1 步。将第一个项相乘。术语 y 和 y 被涂成红色，用箭头连接它们。结果是 y 的平方，显示在单词 FOIL 中的字母 F 的上方。第 2 步。将外部项相乘。术语 y 和 4 被涂成红色，并用箭头连接它们。结果为 4 y，显示在单词 FOIL 中的字母 O 的上方。第 3 步。将内部项相乘。项负 7 和 y 被涂成红色，并用箭头连接它们。结果为负 7 y 的平方，显示在单词 FOIL 中字母 I 的上方。第 4 步。将最后一个项相乘。术语 “负 7” 和 “4” 被涂成红色，并用箭头连接它们。结果为负 28，显示在单词 FOIL 中的字母 L 的上方。第 5 步。将相似的术语组合在一起。简化的结果是 y 平方减去 3 y 减去 28。$

b。

$图中显示了如何使用 FOIL 方法将两个二项式相乘。示例是括号中的数量 4 x 加 3 乘以括号中的数量 2 x 减去 5。该表达式以连接第一条的四个红色箭头显示。外部、内部和最后一项。第 1 步。将第一个项 4 x 和 2 x 相乘。第一个项的乘积为 8 x 的平方，显示在单词 FOIL 中的字母 F 的上方。第 2 步。将外部项 4 x 和负项 5 相乘。结果为负 20 x，显示在单词 FOIL 中的字母 O 的上方。第 3 步。将内部项 3 和 2 乘以。结果为 6 x，显示在单词 FOIL 中字母 I 的上方。第 4 步。将最后一个项 3 和负数 5 相乘。结果为负 15，显示在单词 FOIL 中的字母 L 的上方。第 5 步。将相似的术语组合在一起。简化的结果是 8 y 平方减去 14 x 减去 15。$

练习 $\PageIndex{11}$

乘以：

$(x−7)(x+5)$
$(3x+7)(5x−2)$ 。

回答: a. $x^2−2x−35$
b。 $15x^2+29x−14$

练习 $\PageIndex{12}$

乘以：

$(b−3)(b+6)$
$(4y+5)(4y−10)$ 。

回答: a. $b^2+3b−18$
b。 $16y^2−20y−50$

最后一个例子中的最终乘积是三项式，因为我们可以将两个中间项结合起来。情况并非总是如此。

示例 $\PageIndex{13}$

乘以：

$(n^2+4)(n−1)$
$(3pq+5)(6pq−11)$ 。

回答

一个。

	$。$
	$。$
第 1 步。将第一个项相乘。	$。$
第 2 步。将外部项相乘。	$。$
第 3 步。将内部项相乘。	$。$
第 4 步。将最后一个项相乘。	$。$
第 5 步。用相似的术语组合起来——没有。	$。$

b。

	$。$
	$。$
第 1 步。将第一个项相乘。	$。$
第 2 步。将外部项相乘。	$。$
第 3 步。将内部项相乘。	$。$
第 4 步。将最后一个项相乘。	$。$
第 5 步。将相似的术语组合在一起。	$。$

示例 $\PageIndex{14}$

乘以：

$(x^2+6)(x−8)$
$(2ab+5)(4ab−4)$ 。

回答: a. $x^3−8x^2+6x−48$
b。 $8a^2b^2+12ab−20$

示例 $\PageIndex{15}$

乘以：

$(y^2+7)(y−9)$
$(2xy+3)(4xy−5)$ 。

回答: a. $y^3−9y^2+7y−63$
b。 $8x^2y^2+2xy−15$

FOIL 方法通常是将两个二项式相乘的最快方法，但它仅适用于二项式。您可以使用分布属性来查找任意两个多项式的乘积。另一种适用于所有多项式的方法是垂直法。它非常像你用来乘以整数的方法。仔细看这个将两位数相乘的例子。

$此图显示了 23 和 46 的垂直乘法。数字 23 高于数字 46。在此之下，部分乘积 138 高于部分乘积 92。最终产品位于底部，为 1058。图片右侧的文字显示 “你首先将 23 乘以 6 得到 138。然后你将 23 乘以 4，在正确的列中对齐部分乘积。最后，你要添加部分产品。”$

现在我们将应用同样的方法将两个二项式相乘。

示例 $\PageIndex{16}$

使用垂直方法乘以: $(3y−1)(2y−6)$ .

回答

哪个二项式排在顶部并不重要。

\ (\ begin {align*} & &\ quad\;\; 3y-1\\ [4pt]
& &\ 下划线 {\ quad\ times\; 2y-6}\\ [4pt]
&\ text {乘以} 3y-1\ text {by} -6。 & &\ quad -18y + 6 &\ text {部分产品}\\ [4pt]
&\ text {乘以} 3y-1\ text {by} 2y。 & &\ 下划线 {6y^2-2y} &\ text {部分产品}\\ [4pt]
&\ text {添加点赞条款。} & & 6y^2-20y + 6\ end {align*}\)

请注意，部分产品与 FOIL 方法中的条款相同。

$此图有两列。左列是两个二项式的乘积，3y 减去 1 和 2y 减去 6。下方是 6y 平方减去 2y 减去 18y 加 6。下方是 6y 平方减去 20y 加上 6。右列中是 3y 减去 1 和 2y 减 6 的垂直乘法。下方是部分产品负值 18 年加上 6。下方是部分乘积 6y 平方减去 2y。下方是 6y 平方减去 20y 加上 6。$

示例 $\PageIndex{17}$

使用垂直方法乘以: $(5m−7)(3m−6)$ .

回答: $15m^2−51m+42$

示例 $\PageIndex{18}$

使用垂直方法乘以: $(6b−5)(7b−3)$ .

回答: $42b^2−53b+15$

我们现在使用了三种方法来乘以二项式。一定要练习每种方法，然后尝试决定你更喜欢哪种方法。这里列出了所有方法，以帮助您记住它们。

定义：将两个二项式相乘

要乘以二项式，请使用：

分配财产
铝箔法
垂直法

将多项式乘以多项式

我们将单项式乘以单项式，将单项式乘以多项式，将二项式乘以二项式。现在我们已经准备好将多项式乘以多项式了。请记住，FOIL 在这种情况下不起作用，但我们可以使用分布属性或垂直方法。

示例 $\PageIndex{19}$

$(b+3)(2b^2−5b+8)$ 使用 ⓐ 分布属性和 ⓑ 垂直法相乘。

回答

一个。

	$。$
分发。	$。$
乘以。	$。$
将相似的术语组合在一起。	$。$

b. 将项数较少的多项式放在底部比较容易，因为这样我们得到的偏积就更少了。

$(2b^2−5b+8)$ 乘以 3。 $(2b^2−5b+8)$ 乘以 $b$ 。		$。$
添加点赞条款。		$。$ $。$

示例 $\PageIndex{20}$

$(y−3)(y^2−5y+2)$ 使用 ⓐ 分布属性和 ⓑ 垂直法相乘。

回答: a. $y^3−8y^2+17y−6$
b。 $y^3−8y^2+17y−6$

示例 $\PageIndex{21}$

$(x+4)(2x^2−3x+5)$ 使用 a) 分布属性和 b) 垂直法相乘。

回答: a. 和 b。 $2x^3+5x^2−7x+20$

我们现在已经看到了两种方法可以用来将多项式乘以多项式。在你练习了每种方法之后，你可能会发现自己更喜欢一种方法而不是另一种方法。为了便于参考，我们在此列出了这两种方法。

定义：将多项式乘以多项式

要将三项式乘以二项式，请使用：

分配财产
垂直法

乘以特殊产品

数学家喜欢寻找能使他们的工作更轻松的模式。这方面的一个很好的例子是二项式的平方。虽然你总是可以通过将二项式写入两次并将其相乘来获得乘积，但如果你学会使用模式，工作要做的事情就少了。让我们先看三个例子，然后寻找一种模式。

看看这些结果。你看到任何图案了吗？

$该图显示了将二项式求平方的三个示例。在第一个示例中，x 加 9 的平方得到 x 加 9 倍 x 加 9，即 x 平方加上 9 x 加 9 x 加 81，简化为 x 平方加 18 x 加 81。颜色显示 x 平方来自原始二项式中 x 的平方，81 来自原始二项式中 9 的平方。在第二个示例中，y 减去 7 的平方得到 y 减 y 乘以 y 减去 7，即 y 平方减去 7 y 减去 7 y 加 49，简化为 y 平方减去 14 y 加 49。颜色显示 y 平方来自原始二项式中 y 的平方，49 来自原始二项式中负 7 的平方。在第三个示例中，2 x 加 3 的平方得到 2 x 加 3 倍 2 x 加 3，即 4 x 平方加上 6 x 加 9，简化为 4 x 平方加 12 x 加 9。颜色显示 4 x 平方来自原始二项式中 2 x 的平方，9 来自原始二项式中 3 的平方。$

那么术语的数量呢？在每个例子中，我们求一个二项式的平方，结果是三项式。

$(a+b)^2=\text{___}+\text{___}+\text{___} \nonumber$

现在看每个结果中的第一个术语。它来自哪里？

第一个项是每个二项式的第一个项的乘积。由于二项式是相同的，它只是第一个项的平方！

$(a+b)^2=a^2+\text{___}+\text{___} \nonumber$

要获得乘积的第一个项，请对第一个项进行平方。

最后一个学期来自哪里？看看例子并找到模式。

最后一个项是最后一个项的乘积，即最后一个项的平方。

$(a+b)^2=\text{___}+\text{___}+b^2 \nonumber$

要获得产品的最后一个项，请将最后一个项相乘。

最后，看看中间学期。请注意，它源于添加 “外部” 和 “内部” 术语——两者都是一样的！因此，中间项是二项式两个项乘积的两倍。

$(a+b)^2=\text{___}+2ab+\text{___} \nonumber$

$(a−b)^2=\text{___}−2ab+\text{___} \nonumber$

要得出产品的中间项，请将这些项相乘并将其乘积加倍。

把它们放在一起：

定义：二项式方块图案

如果 a 和 b 是实数，

$该图显示了两个二项式的平方结果。第一个例子是 a 加 b 的平方等于 a 的平方加 2 a b 加 b 的平方。再次写出方程式，每个部分都标有标签。数量 a 加 b 的平方被标记为二项式平方。项 a 的平方被标记为第一个项的平方。术语 2 a b 被标记为术语乘积的 2 倍。术语 b 的平方被标记为最后一个项的平方。第二个例子是 a 减去 b 的平方等于 a 的平方减去 2 a b 加 b 的平方。再次写出方程式，每个部分都标有标签。量 a 减去 b 的平方被标记为二项式平方。项 a 的平方被标记为第一个项的平方。术语负数 2 a b 被标记为项乘积的 2 倍。术语 b 的平方被标记为最后一个项的平方。$

要对二项式求平方，请将第一个项求平方，将最后一个项乘积加倍。

示例 $\PageIndex{22}$

乘以：a. $(x+5)^2$ b $(2x−3y)^2$ .

回答

一个。

	$。$
用第一个术语求平方。	$。$
用最后一个术语求平方。	$。$
将他们的产品加倍。	$。$
简化。	$。$

b。

	$。$
使用图案。	$。$
简化。	$。$

示例 $\PageIndex{23}$

乘以：a. $(x+9)^2$ b $(2c−d)^2$ .

回答: a. $x^2+18x+81$
b。 $4c^2−4cd+d^2$

示例 $\PageIndex{24}$

乘以：a. $(y+11)^2$ b $(4x−5y)^2$ .

回答: a. $y^2+22y+121$
b。 $16x^2−40xy+25y^2$

我们刚刚看到了一种二项式求平方的模式，我们可以用它来简化一些二项式的乘法。同样，二项式的另一种乘积也有一种模式。但是在我们开始之前，我们需要介绍一些词汇。

一对二项式的第一个项和最后一个项相同，但一个是总和，一个是差值，被称为共轭对 $(a−b)$ ，其形式为 $(a+b)$ 。

定义：共轭对

共轭对是两个形式的二项式

$(a−b), (a+b). \nonumber$

两对二项式的第一个项和最后一个项相同，但是一个二项式是总和，另一个是差异。

找到共轭物的乘积有很好的模式。当然，你可以简单地用 FOIL 来获得产品，但是使用这种模式可以让你的工作更轻松。让我们使用 FOIL 乘以一些共轭对来寻找模式。

$该图显示了将二项式与其共轭相乘的三个示例。在第一个示例中，将 x 加 9 乘以 x 减 9 得到 x 平方减去 9 x 加 9 x 减去 81，这简化为 x 平方减去 81。颜色显示 x 平方来自原始二项式中 x 的平方，81 来自原始二项式中 9 的平方。在第二个示例中，y 减去 8 乘以 y 加 8 得到 y 平方加 8 y 减去 8 y 减去 64，这简化为 y 平方减去 64。颜色显示 y 平方来自原始二项式中 y 的平方，64 来自原始二项式中 8 的平方。在第三个示例中，2 x 减 5 乘以 2 x 加 5 得到 4 x 平方加 10 x 减去 10 x 减去 25，简化为 4 x 平方减去 25。颜色显示 4 x 平方来自原始二项式中 2 x 的平方，25 来自原始二项式中 5 的平方。$

您对这些产品有什么看法？

两个二项式的乘积也是二项式！由FOIL产生的大多数产品都是三项式的。

每个第一个项都是二项式第一个项的乘积，由于它们是相同的，因此它是第一个项的平方。

$(a+b)(a−b)=a^2−\text{___} \nonumber$

要获得第一个项，请将第一个项求平方。

最后一个术语来自于最后一个项的乘积，即最后一个学期的平方。

$(a+b)(a−b)=a^2−b^2 \nonumber$

要获得最后一个学期，请将最后一个学期相乘。

为什么没有中间学期？请注意，在每种情况下，你从 FOIL 中得到的两个中间项组合为 0，这是一加一减的结果。

共轭物的乘积总是这样的 $a^2−b^2$ 。这称为平方差。

这导致了以下模式：

定义：共轭物图案乘积

如果 a 和 b 是实数，

$该图显示了将二项式与其共轭相乘的结果。公式为 a 加 b 乘以 a 减 b 等于 a 平方减去 b 的平方。方程再次用标签写出来。乘积 a 加 b 乘以 a 减去 b 被标记为共轭物。结果 a 平方减去 b 平方被标记为平方差。$

该乘积称为平方差。

要乘以共轭，请将第一个项求平方，将最后一个项写成平方差。

示例 $\PageIndex{25}$

使用共轭物图案乘以：a. $(2x+5)(2x−5)$ b $(5m−9n)(5m+9n)$ .

回答

一个。

二项式是共轭物吗？	$。$
它是偶联物的产物。	$。$
将第一个项平方，2x.2x。	$。$
最后一个学期的平方，5.5。	$。$
简化。该乘积是平方差。	$。$

b。

	$。$
这符合图案。	$。$
使用图案。	$。$
简化。	$。$

示例 $\PageIndex{26}$

乘以：a. $(6x+5)(6x−5)$ b $(4p−7q)(4p+7q)$ .

回答: a. $36x^2−25$
b。 $16p^2−49q^2$

示例 $\PageIndex{27}$

乘以：a. $(2x+7)(2x−7)$ b $(3x−y)(3x+y)$ .

回答: a. $4x^2−49$ b。 $9x^2−y^2$

我们刚刚为二项式方块和共轭物乘积开发了特殊的乘积模式。这些产品看起来很相似，因此重要的是要识别何时适合使用每种模式，并注意它们的不同之处。一起看这两种模式，注意它们的相似之处和不同之处。

比较特殊的产品模式

二项式方块	共轭物的乘积
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$	$(a−b)(a+b)=a^2−b^2$
$(a−b)^2=a^2−2ab+b^2$
• 求二项式的平方	• 乘以共轭物
• 产品是三项式	• 产品是二项式。
• FOIL 的内部和外部术语是相同的。	• FOIL 的内在术语和外部术语是相反的。
• 中间术语是术语乘积的两倍	• 没有中间术语。

示例 $\PageIndex{28}$

选择合适的图案并使用它来查找产品：

a. $(2x−3)(2x+3)$ b. $(8x-5)^2$ c. $(6m+7)^2$ d $(5x−6)(6x+5)$ .

回答

一个。 $(2x−3)(2x+3)$

这些是共轭物。它们具有相同的第一个数字和相同的最后一个数字，一个二项式是总和，另一个是差值。它符合共轭物乘积模式。

	$。$
使用图案。	$。$
简化。	$。$

b。 $(8x−5)^2$

我们被要求对二项式求平方。它符合二项式方块图案。

	$。$
使用图案。	$。$
简化。	$。$

c。 $(6m+7)^2$

同样，我们将对二项式进行平方，因此我们使用二项式方块图案。

	$。$
使用图案。	$。$
简化。	$。$

d。 $(5x−6)(6x+5)$

本产品不符合图案，因此我们将使用 FOIL。

$\begin{array} {ll} {} &{(5x−6)(6x+5)} \\ {\text{Use FOIL.}} & {30x^2+25x−36x−30} \\ {\text{Simplify.}} & {30x^2−11x−30} \\ \end{array}$

示例 $\PageIndex{29}$

选择合适的图案并使用它来查找产品：

a. $(9b−2)(2b+9)$ b. $(9p−4)^2$ c. $(7y+1)^2$ d $(4r−3)(4r+3)$ .

回答: a. FOIL； $18b^2+77b−18$
b. 二项式方块； $81p^2−72p+16$
c. 二项式方块； $49y^2+14y+1$
d. 共轭物的乘积； $16r^2−9$

示例 $\PageIndex{30}$

选择合适的图案并使用它来查找产品：

a. $(6x+7)^2$ b. $(3x−4)(3x+4)$ c. $(2x−5)(5x−2)$ d $(6n−1)^2$ .

回答: a. 二项式方块； $36x^2+84x+49$ b. 共轭物的乘积； $9x^2−16$ c. FOIL； $10x^2−29x+10$ d. 二项式方块； $36n^2−12n+1$

乘以多项式函数

就像可以乘以多项式一样，多项式函数也可以相乘。

多项式函数的乘法

对于函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ ，

$(f·g)(x)=f(x)·g(x)$

示例 $\PageIndex{31}$

对于函数 $f(x)=x+2$ 和 $g(x)=x^2−3x−4$ ，请查找：

$(f·g)(x)$
$(f·g)(2)$ 。

回答

一个。

$\begin{array} {ll} {} &{(f·g)(x)=f(x)·g(x)} \\ {\text{Substitute for } f(x) \text{ and } g(x)} &{(f·g)(x)=(x+2)(x^2−3x−4)} \\ {\text{Multiply the polynomials.}} &{(f·g)(x)=x(x^2−3x−4)+2(x^2−3x−4)} \\ {\text{Distribute.}} &{(f·g)(x)=x3−3x^2−4x+2x^2−6x−8} \\ {\text{Combine like terms.}} &{(f·g)(x)=x3−x^2−10x−8} \\ \end{array}$

b. 在 a 部分中，我们找到了 $(f·g)(x)$ ，现在被要求去找 $(f·g)(2)$ 。

$\begin{array} {ll} {} &{(f·g)(x)=x^3−x^2−10x−8} \\ {\text{To find }(f·g)(2), \text{ substitute } x=2.} &{(f·g)(2)=2^3−2^2−10·2−8} \\ {} &{(f·g)(2)=8−4−20−8} \\ {} &{(f·g)(2)=−24} \\ \end{array}$

示例 $\PageIndex{32}$

对于函数 $f(x)=x−5$ 和 $g(x)=x^2−2x+3$ ，请查找

$(f·g)(x)$
$(f·g)(2)$ 。

回答 a: $(f·g)(x)=x^3−7x^2+13x−15$
答案 b: $(f·g)(2)=−9$

示例 $\PageIndex{33}$

对于函数 $f(x)=x−7$ 和 $g(x)=x^2+8x+4$ ，请查找

$(f·g)(x)$
$(f·g)(2)$ 。

回答 a: $(f·g)(x)=x^3+x^2−52x−28$
回答 a: $(f·g)(2)=−120$

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二项式特殊产品简介

关键概念

如何使用 FOIL 方法乘以两个二项式。
$图中显示了如何使用 FOIL 方法将两个二项式相乘。示例是括号中的数量 a 加 b 乘以括号中的数量 c 加 d。首先标记数字 a 和 c，最后标记数字 b 和 d。数字 b 和 c 被标记为内部，数字 a 和 d 被标记为外部。表情旁边的音符告诉你在乘法时说出来！ FOIL First 外部内部最后一个。然后以编号步骤给出指示。第 1 步。将第一个项相乘。第 2 步。将外部项相乘。第 3 步。将内部项相乘。第 4 步。将最后一个项相乘。第 5 步。尽可能合并相似的术语。$
将两个二项式相乘：要乘以二项式，请使用：
- 分配财产
- 铝箔法
将@@ 多项式乘以多项式：要将三项式乘以二项式，请使用：
- 分配财产
- 垂直法
二项式正方形图案
如果 a 和 b 是实数， $该图显示了两个二项式的平方结果。第一个例子是 a 加 b 的平方等于 a 的平方加 2 a b 加 b 的平方。再次写出方程式，每个部分都标有标签。数量 a 加 b 的平方被标记为二项式平方。项 a 的平方被标记为第一个项的平方。术语 2 a b 被标记为术语乘积的 2 倍。术语 b 的平方被标记为最后一个项的平方。第二个例子是 a 减去 b 的平方等于 a 的平方减去 2 a b 加 b 的平方。再次写出方程式，每个部分都标有标签。量 a 减去 b 的平方被标记为二项式平方。项 a 的平方被标记为第一个项的平方。术语负数 2 a b 被标记为项乘积的 2 倍。术语 b 的平方被标记为最后一个项的平方。$
共轭物模式的乘积
如果 a, b 是实数
$该图显示了将二项式与其共轭相乘的结果。公式为 a 加 b 乘以 a 减 b 等于 a 平方减去 b 的平方。方程再次用标签写出来。乘积 a 加 b 乘以 a 减去 b 被标记为共轭物。结果 a 平方减去 b 平方被标记为平方差。$
乘积称为平方差。
要乘以共轭，请将第一个项求平方，将最后一个项写成平方差。

比较特殊的产品模式

二项式方块	共轭物的乘积
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$	$(a−b)^2=a^2−2ab+b^2$
$(a−b)(a+b)=a^2−b^2$
• 求二项式的平方	• 乘以共轭物
• 产品是三项式	• 产品是二项式。
• FOIL 的内部和外部术语是相同的。	• FOIL 的内在术语和外部术语是相反的。
• 中间术语是术语乘积的两倍	• 没有中间术语。

多项式函数的乘法：
- 对于函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ ，
  $(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x) \nonumber$

词汇表

共轭对: 共轭对是两个形式为 $(a−b)$ 和的二项式 $(a+b)$ 。两对二项式的第一个项和最后一个项相同，但是一个二项式是总和，另一个是差异。

学习目标

乘以单项式

示例5.4.1\PageIndex{1}

示例5.4.2\PageIndex{2}

示例5.4.3\PageIndex{3}

将多项式乘以单项式

示例5.4.4\PageIndex{4}

示例5.4.5\PageIndex{5}

示例5.4.6\PageIndex{6}

将二项式乘以二项式

示例5.4.7\PageIndex{7}

示例5.4.8\PageIndex{8}

示例5.4.9\PageIndex{9}

定义：使用箔法将两个二项式相乘。

示例5.4.10\PageIndex{10}

练习5.4.11\PageIndex{11}

练习5.4.12\PageIndex{12}

示例5.4.13\PageIndex{13}

示例5.4.14\PageIndex{14}

示例5.4.15\PageIndex{15}

示例5.4.16\PageIndex{16}

示例5.4.17\PageIndex{17}

示例5.4.18\PageIndex{18}

定义：将两个二项式相乘

将多项式乘以多项式

示例5.4.19\PageIndex{19}

示例5.4.20\PageIndex{20}

示例5.4.21\PageIndex{21}

定义：将多项式乘以多项式

乘以特殊产品

定义：二项式方块图案

示例5.4.22\PageIndex{22}

示例5.4.23\PageIndex{23}

示例5.4.24\PageIndex{24}

定义：共轭对

定义：共轭物图案乘积

示例5.4.25\PageIndex{25}

示例5.4.26\PageIndex{26}

示例5.4.27\PageIndex{27}

比较特殊的产品模式

示例5.4.28\PageIndex{28}

示例5.4.29\PageIndex{29}

示例5.4.30\PageIndex{30}

乘以多项式函数

多项式函数的乘法

示例5.4.31\PageIndex{31}

示例5.4.32\PageIndex{32}

示例5.4.33\PageIndex{33}

关键概念

词汇表

示例 $\PageIndex{1}$

示例 $\PageIndex{2}$

示例 $\PageIndex{3}$

示例 $\PageIndex{4}$

示例 $\PageIndex{5}$

示例 $\PageIndex{6}$

示例 $\PageIndex{7}$

示例 $\PageIndex{8}$

示例 $\PageIndex{9}$

示例 $\PageIndex{10}$

练习 $\PageIndex{11}$

练习 $\PageIndex{12}$

示例 $\PageIndex{13}$

示例 $\PageIndex{14}$

示例 $\PageIndex{15}$

示例 $\PageIndex{16}$

示例 $\PageIndex{17}$

示例 $\PageIndex{18}$

示例 $\PageIndex{19}$

示例 $\PageIndex{20}$

示例 $\PageIndex{21}$

示例 $\PageIndex{22}$

示例 $\PageIndex{23}$

示例 $\PageIndex{24}$

示例 $\PageIndex{25}$

示例 $\PageIndex{26}$

示例 $\PageIndex{27}$

示例 $\PageIndex{28}$

示例 $\PageIndex{29}$

示例 $\PageIndex{30}$

示例 $\PageIndex{31}$

示例 $\PageIndex{32}$

示例 $\PageIndex{33}$