4.8: 绘制线性不等式组的图表

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学习目标

在本节结束时，您将能够：

确定有序对是否为线性不等式组的解
通过绘图求解线性不等式系统
解决不等式系统的应用

在开始之前，请参加这个准备测验。

解决不平等问题$2a<5a+12$。
如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
确定订购的配对是否$(3,12)$是系统的解决方案$y>2x+3$。
如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。

确定有序对是否为线性不等式组的解

线性不等式组的定义与线性方程组的定义非常相似。

定义：线性不等式系统

组合在一起的两个或多个线性不等式构成线性不等式系统。

线性不等式系统看起来像线性方程组，但它有不等式而不是方程。这里显示了一个由两个线性不等式组成的系统。

\[\left\{\begin{array} {l} x+4y\geq 10\\3x−2y<12\end{array}\right.\nonumber\]

为了求解线性不等式系统，我们将找到两个不等式的解的变量的值。我们使用每个不等式的图来求解系统，并将解显示为图表。我们将在平面上找到包含所有使两个不等式都成真的$(x,y)$有序对的区域。

线性不等式组的解

线性不等式系统的解是使所有不等式都成真的变量的值。

线性不等式组的解显示为$xy$-坐标系中的阴影区域，该区域包括所有点的有序对使不等式成真。

为了确定有序对是否是两个不等式组的解，我们将变量的值替换为每个不等式。如果有序对使两个不等式都成立，则这是系统的解。

示例$\PageIndex{1}$

确定订购的配对是否是系统的解决方案$\left\{\begin{array} {l} x+4y\geq 10\\3x−2y<12\end{array}\right.$

a.$(−2,4)$ b。$(3,1)$

解决方案：

a. 订购的配对$(−2,4)$是解决方案吗？

$我们将x等于负2和y等于4替换为两个不等式。第一个不等式为 x 加 4 倍 y 大于或等于 10。因此，负 2 加 4 个左括号 4 右括号大于或等于 10。14 大于或等于 10 是正确的。第二个不等式，3 倍 x 减去 2 倍 y 小于 12。三个左括号负 2 个右括号减去两个左括号 4 个右括号小于 12 或不是。负 14 小于 12 是真的。$

有序对$(−2,4)$使两个不等式都成真。因此，$(−2,4)$是这个系统的解决方案。

b. 订购的配对$(3,1)$是解决方案吗？

$我们将x等于三和y等于一代成两个不等式。第一个不等式是 x 加上四倍 y 大于或等于十。因此，三加四个左括号一个右括号大于或等于十或不等于十。大于或等于十的七是错误的。第二个不等式，三倍 x 减去两倍 y 小于十二。三个左括号三个右括号减去两个左圆括号一个右括号小于十二或不是。少于 12 的七个是正确的。$

有序对$(3,1)$使一个不等式成立，但另一个不等式是错误的。因此$(3,1)$，不是这个系统的解决方案。

试试吧！ $\PageIndex{1}$

确定订购的配对是否是系统的解决方案：$\left\{ \begin{array} {l} x−5y>10\\2x+3y>−2 \end{array} \right.$

a.$(3,−1)$ b。$(6,−3)$

回答: a. 不
b. 是的

试试吧！ $\PageIndex{2}$

确定订购的配对是否是系统的解决方案：$\left\{ \begin{array} {l} y>4x−2\\4x−y<20 \end{array} \right.$

a.$(−2,1)$ b。$(4,−1)$

回答: a. 是的
b. 不

通过绘图求解线性不等式系统

单个线性不等式的解是边界线一侧的区域，该区域包含使不等式成真的所有点。由两个线性不等式组成的系统的解是一个包含两个不等式解的区域。为了找到这个区域，我们将分别绘制每个不等式的图表，然后找到两者均为真的区域。解总是以图表形式显示。

示例$\PageIndex{2}$: How to Solve a System of Linear Inequalities by Graphing

通过绘制图表求解系统：$\left\{\begin{array} {l} y\geq 2x−1 \\ y<x+1\end{array}\right.$

解决方案：

$第 1 步。绘制第一个不等式的图表。我们绘制小于 2 倍减去 1 的 y 图。绘制边界线 y 等于 2x 减 1 的图形。这是一条实线，因为不等号小于。存在不等式的边界线一侧的阴影。我们选择 0, 0 作为测试点。这是方程的解，所以我们在边界线上方加阴影。$ $第 2 步。在同一个网格上，绘制第二个不等式 y 小于 x 加 1 的图。绘制边界线 y 等于 x 加 1 的图。这是一条虚线，因为不等式符号小于。在不等式为真的那条边界线一侧的阴影。同样，我们使用 0, 0 作为测试点。这是一个解决方案，所以我们在 y 等于 x 加 1 的直线下方加上阴影。$ $第 3 步。解决方案是阴影重叠的区域。边界线相交的点不是解，因为它不是 y 小于 x 加 1 的解。解决方案是该区域中的所有点以左下角的线为界。$ $第 4 步。通过选择测试点进行检查。我们使用减去 1，减去 1。用不等式 y 代入小于 2x 减去 1，我们得到的减去 1 小于负 3，这是事实。因此，这是一个解决方案。同样，其他不平等也是如此。包含负 1 减去 1 的区域是该系统的解。$

试试吧！ $\PageIndex{3}$

通过绘制图表求解系统：$\left\{\begin{array} {l} y<3x+2\\y>−x−1\end{array}\right.$

回答

$该图显示了针对不等式 y 小于三倍 x 加二，y 大于负 x 减一绘制的图形。两条线在图表上彼此相交。两条线右边的区域都用灰色着色。这是解决方案。$

解决方案是灰色区域。

试试吧！ $\PageIndex{4}$

通过绘制图表求解系统：$\left\{\begin{array} {l} y<−12x+3 \\ y<3x−4\end{array}\right.$

回答

$该图显示了为不等式 y 小于 x 的负一半加三以及 y 小于三倍 x 减去四而绘制的图形。图表上显示了两条相交线。右下角两条线所界定的区域以灰色显示。这是解决方案。$

解决方案是灰色区域。

通过绘图求解线性不等式系统

绘制第一个不等式的图表。
- 绘制边界线图。
- 存在不等式的边界线一侧的阴影。
在同一个网格上，绘制第二个不等式。
- 绘制边界线图。
- 在不等式为真的那条边界线一侧的阴影。
解决方案是阴影重叠的区域。
通过选择测试点进行检查。

示例$\PageIndex{3}$

通过绘制图表求解系统：$\left\{\begin{array} {l} x−y>3\\y<−15x+4\end{array}\right.$

解决方案：

	$\left\{\begin{array} {l} x−y>3\\y<−15x+4\end{array}\right.$
$x - y > 3,$通过绘制$x - y = 3$ 和测试点来绘制图形。截距为 and$x = 3$$y = −3$，边界线将用虚线表示。测试$(0, 0)$这会使不等式变为错误所以阴影（红色）是不包含的一面$(0, 0).$	$。$

$y=−15x+4$
使用 slope$m=−15$ 和$y$-intercept$y<−15x+4$$b = 4.$
逐图绘制边界线将用虚线

测试$(0, 0)$这使不等式成真，所以
阴影（蓝色）包含在解$(0, 0).$

中选择一个测试点并验证它是否是两个不等值的解。

$。$

两条线的交点不包括在内，因为两条边界线都是虚线。解决方案是两次阴影区域，即显示为最暗的阴影区域。

试试吧！ $\PageIndex{5}$

通过绘制图表求解系统：$\left\{\begin{array} {l} x+y\leq 2 \\ y\geq \frac{2}{3}x−1\end{array}\right.$

回答

$该图显示了不等式 x 加 y 小于或等于 2 以及 y 大于或等于 x 减一 2 乘三的图形。显示了两条相交线，两条线所边界的区域用灰色标记。这是解决方案。$

解决方案是灰色区域。

试试吧！ $\PageIndex{6}$

通过绘制图表求解系统：$\left\{\begin{array} {l} 3x−2y\leq 6\\y>−\frac{1}{4}x+5\end{array} \right.$

回答

$该图显示了不等式三倍 x 减去两倍 y 小于或等于 6，y 大于或等于 x 加五的减一乘四。显示了两条相交线，两条线所边界的区域用灰色标记。这是解决方案。$

解决方案是灰色区域。

示例$\PageIndex{4}$

通过绘制图表求解系统：$\left\{\begin{array} {l} x−2y<5\\y>−4\end{array}\right.$

解决方案：

	$\left\{\begin{array} {l} x−2y<5\\y>−4\end{array}\right.$
绘制图形$x−2y<5$，通过绘制$x−2y=5$ 和测试一个点来绘制图表。截距为 and$x = 5$$y = −2.5$，边界线将用虚线表示。测试$(0, 0)$哪个使不等式成真，所以阴影（红色）是包含的一面$(0, 0).$	$。$

Graph$y>−4$，通过绘制$y=−4$并
识别它是一条水平线
来绘制图形$y=−4$。边界线
将用虚线表示。

测试$(0, 0)$哪个使不等式
成真所以阴影（蓝色）是包含的一面$(0, 0).$

$。$

重点$(0,0)$在于解，我们已经发现它是每个不等式的解决方案。两条线的交点不包括在内，因为两条边界线都是虚线。

解决方案是两次阴影区域，即显示为最暗的阴影区域。

试试吧！ $\PageIndex{7}$

通过绘制图表求解系统：$\left\{\begin{array} {l} y\geq 3x−2 \\ y<−1\end{array}\right.$

回答

$该图显示了不等于 y 大于或等于三倍 x 减二和 y 小于负一的图形。显示了两条相交线，两条线所边界的区域用灰色标记。这是解决方案$

解决方案是灰色区域。

试试吧！ $\PageIndex{8}$

通过绘制图表求解系统：$\left\{\begin{array} {l} x>−4x−2 \\ y\geq −4 \end{array}\right.$

回答

$该图显示了不等式 x 大于或等于负四和 x 减去两倍 y 大于负四的图表。显示了两条相交线，两条线所边界的区域用灰色标记。这是解决方案。$

解决方案是灰色区域。

边界线平行的线性不等式系统可能没有解。我们将在下一个示例中看到这一点。

示例$\PageIndex{5}$

通过绘制图表求解系统：$\left\{\begin{array} {l} 4x+3y\geq 12 \\ y<−\frac{4}{3}x+1\end{array}\right.$

解决方案：

	$\left\{\begin{array} {l} 4x+3y\geq 12 \\ y<−\frac{4}{3}x+1\end{array}\right.$
绘制图形$4x+3y\geq 12$，通过绘制$4x+3y=12$ 和测试一个点来绘制图表。截距为 and$x = 3$ $y = 4$，边界线将为实线。测试$(0, 0)$这会使不等式变为错误，所以阴影（红色）是不包含的一面$(0, 0).$	$。$
$y=−\frac{4}{3}x+1$ 使用斜率$m=−\frac{4}{3}$和$y$截距绘制图$y<−\frac{4}{3}x+1$形$b = 1.$边界线将用虚线绘制。测试$(0, 0)$哪个使不等式成真，所以阴影（蓝色）是包含的一面$(0, 0).$	$。$

两个阴影区域都没有点，因此系统没有解。

试试吧！ $\PageIndex{9}$

通过绘制图表求解系统：$\left\{\begin{array} {l} 3x−2y\geq 12 \\ y\geq \frac{3}{2}x+1\end{array}\right.$

回答

$显示了三倍 x 减去两倍 y 大于或等于十二，y 大于或等于 x 加一的三乘二的图形。显示了两条相交线。不平等问题没有解决办法。$

没有解决办法。

试试吧！ $\PageIndex{10}$

通过绘制图表求解系统：$\left\{\begin{array} {l} x+3y>8\\y<−\frac{1}{3}x−2\end{array}\right.$

回答

$显示了 x 加三倍 y 大于八和 y 小于负一乘三 x 减二的图形。显示了两条相交线。不平等问题没有解决办法。$

没有解决办法。

一些边界线平行的线性不等式系统将有解。我们将在下一个示例中看到这一点。

示例$\PageIndex{6}$

通过绘制图表求解系统：$\left\{\begin{array} {l} y>\frac{1}{2}x−4\\x−2y<−4\end{array}\right.$

解决方案：

	$\left\{\begin{array} {l} y>\frac{1}{2}x−4\\x−2y<−4\end{array}\right.$
$y=\frac{1}{2}x−4$ 使用斜率$m=\frac{1}{2}$和截距$b = −4.$绘制图$y>\frac{1}{2}x−4$形边界线将用虚线绘制。测试$(0, 0)$哪个使不等式成真，所以阴影（红色）是包含的一面$(0, 0).$	$。$
$x−2y<−4$通过绘制$x−2y=−4$ 和测试点来绘制图形。截距为 and$x = -4$ $y=2$，边界线将用虚线表示。在解中选择一个测试点并验证它是否是两种不等式的解。测试$(0, 0)$这会使不等式变为错误，所以阴影（蓝色）是不包含的一面$(0, 0).$	$。$

解中不包括边界线上的任何点，因为两条线都是虚线。

解决方案是被两次阴影覆盖的区域，这也是解法$x−2y<−4$。

试试吧！ $\PageIndex{11}$

通过绘制图表求解系统：$\left\{\begin{array} {l} y\geq 3x+1 \\ −3x+y\geq −4\end{array}\right.$

回答

$该图显示了不等于 y 大于或等于三倍 x 加一和减去三倍 x 加 y 大于或等于负四的图形。显示了两条平行线，两条平行线左侧的区域用灰色着色。这是解决方案。$

解决方案是灰色区域。

试试吧！ $\PageIndex{12}$

通过绘制图表求解系统：$\left\{\begin{array} {l} y\leq −\frac{1}{4}x+2\\x+4y\leq 4\end{array}\right.$

回答

$该图显示了不等于 y 小于或等于 x 的负四分之一加 2 和 x 加四倍 y 小于或等于 4 的图形。显示了两条平行线，两条平行线底部的区域用灰色着色。这是解决方案。$

解决方案是灰色区域。

求解不等式系统的应用

要解决不等式系统的应用，我们需要做的第一件事就是将每个条件转化为不等式。然后我们绘制系统图，如上所示，以查看包含解的区域。只有当两个变量都为正时，许多情况才是现实的，因此我们在系统中添加了不等式作为附加要求。

示例$\PageIndex{7}$

克里斯蒂在街头集市的摊位上出售她的照片。一开始，她希望在自己的展位上展示至少 25 张照片。她展示的每张小照片要花4美元，每张大照片要花10美元。她不想花超过200美元购买要展示的照片。

a. 编写一个不等式系统来模拟这种情况。
b. 绘制系统图表。
c. 她能展示10张小照片和20张大照片吗？
d. 她能展示20张大照片和10张小照片吗？

解决方案：

一个。
$\begin{array} {ll} \text{Let} &{x=\text{the number of small photos.}} \\ {} &{y=\text{the number of large photos}}\end{array}$

要找到方程组，请翻译信息。

$ \qquad \begin{array} {l} \\ \\ \text{She wants to have at least 25 photos.} \\ \text{The number of small plus the number of large should be at least }25. \\ \hspace{45mm} x+y\geq 25 \\ \\ \\ $4 \text{ for each small and }$10\text{ for each large must be no more than }$200 \\ \hspace{40mm} 4x+10y\leq 200 \\ \\ \\ \text{The number of small photos must be greater than or equal to }0. \\ \hspace{50mm} x\geq 0 \\ \\ \\ \text{The number of large photos must be greater than or equal to }0. \\ \hspace{50mm} y\geq 0 \end{array} $

我们有方程组。

$\hspace{65mm} \left\{\begin{array} {l} x+y\geq 25 \\4x+10y\leq 200\\x\geq 0\\y\geq 0\end{array}\right.$

b.
由于$x\geq 0$和$y\geq 0$（两者都大于或等于），所有解都将位于第一象限中。因此，我们的图表仅显示象限一。

要绘制图形$x+y\geq 25$，请$x+y=25$将图形绘制为实线。
选择$(0, 0)$作为测试点。由于它不能使不等式成真，因此对不包括点对图的一面进行阴影（红色）$4x+10y\leq 200$，$(0, 0).$

将图形绘制$4x+10y=200$为实线。
选择$(0, 0)$作为测试点。既然它确实使不等式成真，所以阴影（蓝色）是包含该点的一面$(0, 0).$

$。$

系统的解决方案是图形中阴影最暗的区域。与深色阴影部分接壤的边界线截面包含在解中，$x$-axis 上从$(25, 0)$到的点也包括在内$(55, 0).$

c. 为了确定 10 张小照片和 20 张大照片是否有效，我们查看图表以查看该点$(10, 20)$是否在解区内。我们也可以测试这个点，看看它是否是两个方程的解。

不是，克里斯蒂不会显示 10 张小照片和 20 张大照片。

d. 为了确定 20 张小照片和 10 张大照片是否有效，我们查看图表以查看该点$(20, 10)$是否在解区内。我们也可以测试这个点，看看它是否是两个方程的解。

是的，所以 Christy 可以选择显示 20 张小照片和 10 张大照片。

请注意，我们还可以通过将值替换为每个不等式来测试可能的解决方案。

试试吧！ $\PageIndex{13}$

拖车的最大重量为 160 磅，最大体积为 15 立方英尺。微波炉重 30 磅，体积为 2 立方英尺，而打印机重 20 磅，有 3 立方英尺的空间。

a. 编写一个不等式系统来模拟这种情况。
b. 绘制系统图表。
c. 这辆拖车能否携带 4 台微波炉和 2 台打印机？
d. 这辆拖车能否携带 7 台微波炉和 3 台打印机？

回答

a.$\left\{\begin{array} {l} 30m+20p\leq 160\\2m+3p\leq 15\end{array}\right.$
b。

$显示了两条相交线（一条红色，一条蓝色）的图形。两条线所边界的区域以灰色显示。$

c. 是的
d.不是

试试吧！ $\PageIndex{14}$

玛丽需要购买答卷和铅笔用品，以便为高中的大三学生提供标准化考试。所需的答卷数量至少比铅笔数量多 5 张。铅笔的价格为2美元，答卷的价格为1美元。玛丽购买这些用品的预算允许最高花费 400 美元。

a. 编写一个不等式系统来模拟这种情况。
b. 绘制系统图表。
c. 玛丽可以买 100 支铅笔和 100 张答卷吗？
d. 玛丽可以买 150 支铅笔和 150 张答卷吗？

回答

a.$\left\{\begin{array} {l} a\geq p+5 \\ a+2p\leq 400\end{array}\right.$
b。

$显示了两条相交线（一条红色，一条蓝色）的图形。两条线所边界的区域以灰色显示。$

c. 不
d. 不

当我们使用$x$和$y$以外的变量来定义未知量时，我们还必须更改图表轴的名称。

示例$\PageIndex{8}$

奥马尔在进行团队练习之前需要消耗至少 800 卡路里的热量。他想要的只是汉堡包和饼干，而且他不想花超过5美元。在他学院附近的汉堡店，每个汉堡包含有240卡路里的热量，价格为1.40美元。每个饼干含有160卡路里的热量，价格为0.50美元。

a. 编写一个不等式系统来模拟这种情况。
b. 绘制系统图表。
c. 他能吃 3 个汉堡包和 1 个饼干吗？
d. 他能吃 2 个汉堡包和 4 个饼干吗？

解决方案：

一个。
$\begin{array} {ll} \text{Let} & h=\text{the number of hamburgers.} \\ & c=\text{the number of cookies}\end{array}$

要找到方程组，请翻译信息。

每个汉堡包的卡路里为240卡路里，再加上饼干中每个160卡路里的热量必须超过800卡路里。

$\qquad \begin{array} {l} \hspace{40mm} 240h+160c\geq 800 \\ \\ \\ \text{The amount spent on hamburgers at }$1.40\text{ each, plus the amount spent on cookies}\\\text{at }$0.50\text{ each must be no more than }$5.00.\\ \hspace{40mm} 1.40h+0.50c\leq 5 \\ \\ \\ \text{The number of hamburgers must be greater than or equal to 0.} \\ \hspace{50mm} h\geq 0 \\ \text{The number of cookies must be greater than or equal to 0.}\\ \hspace{50mm} c\geq 0 \end{array} $

$\text{We have our system of equations.} \qquad \left\{ \begin{array} {l} 240h+160c\geq 800 \\ 1.40h+0.50c\leq 5 \\ h\geq 0 \\ c\geq 0\end{array} \right.$

b.
由于$h\geq 0$和$c\geq 0$（两者都大于或等于），所有解都将位于第一象限中。因此，我们的图表仅显示象限一。

要绘制图形$240h+160c\geq 800$，请$240h+160c=800$将图形绘制为实线。

选择$(0, 0)$作为测试点。由于它不能使不等式成为现实，因此在不包括该点的一面加上阴影（红色）$(0, 0).$

$。$

图表$1.40h+0.50c\leq 5$。边界线是$1.40h+0.50c=5$。我们进行测试$(0, 0)$，它使不平等成为现实。我们给线条的一侧加上阴影，其中包括$(0, 0).$

系统的解决方案是图形中阴影最暗的区域。与深色阴影部分接壤的边界线截面包含在解中，$x$-axis 上从$(5, 0)$到的点也包括在内$(10, 0).$

c. 为了确定 3 个汉堡包和 2 个饼干是否符合奥马尔的标准，我们看看重点$(3, 2)$是否在解决方案区域。是的，所以奥马尔可能会选择吃 3 个汉堡包和 2 个饼干。

d. 为了确定 2 个汉堡包和 4 个饼干是否符合奥马尔的标准，我们看看重点$(2, 4)$是否在解决方案区域。是的，奥马尔可能会选择吃2个汉堡包和4个饼干。

我们还可以通过将值替换为每个不等式来测试可能的解决方案。

试试吧！ $\PageIndex{15}$

紧张情绪每天至少需要额外消耗 1,000 卡路里的热量，为跑马拉松做准备。他只有25美元可以花在他需要的额外食物上，并且会花在0.75美元的甜甜圈上，每个甜甜圈含有360卡路里的热量和含有110卡路里的2美元的能量饮料。

a. 写一个模拟这种情况的不等式系统。
b. 绘制系统图表。
c. 他能买 8 个甜甜圈和 4 种能量饮料来满足他的卡路里需求吗？
d. 他能买 1 个甜甜圈和 3 杯能量饮料来满足他的卡路里需求吗？

回答

a.$\left\{\begin{array} {l} 0.75d+2e\leq 25\\360d+110e\geq 1000\end{array}\right.$
b。

$显示了两条相交线（一条红色，一条蓝色）的图形。两条线所边界的区域以灰色显示。$

c. 是的
d.不是

试试吧！ $\PageIndex{16}$

菲利普的医生告诉他，他每天应该在日常饮食中增加至少 1000 卡路里的热量。菲利普想购买每块价格为1.80美元、含有140卡路里的蛋白质棒，以及每瓶价格为1.25美元、含有125卡路里的果汁。他不想花超过12美元。

a. 写一个模拟这种情况的不等式系统。
b. 绘制系统图表。
c. 他能买 3 块蛋白棒和 5 瓶果汁吗？
d. 他能买 5 块蛋白棒和 3 瓶果汁吗？

回答

a.$\left\{\begin{array} {l} 140p+125j\geq 1000\\1.80p+1.25j\leq 12\end{array}\right.$
b。

$显示了两条相交线（一条红色，一条蓝色）的图形。两条线所边界的区域以灰色显示。$

c. 是的
d.不是

访问这些在线资源，获取更多指导和练习，通过绘图求解线性不等式系统。

通过绘图求解线性不等式组
线性不等式系统

关键概念

线@@ 性不等式系统的解：线性不等式系统的解是使所有不等式都成真的变量的值。线性不等式组的解显示为$xy$-坐标系中的阴影区域，该区域包括所有点的有序对使不等式成真。
如何通过绘图求解线性不等式系统。
1. 绘制第一个不等式的图表。
  绘制边界线图。
  存在不等式的边界线一侧的阴影。
2. 在同一个网格上，绘制第二个不等式。
  绘制边界线图。
  在不等式为真的那条边界线一侧的阴影。
3. 解决方案是阴影重叠的区域。
4. 通过选择测试点进行检查。

词汇表

线性不等式系统: 组合在一起的两个或多个线性不等式构成线性不等式系统。

	\(\left\{\begin{array} {l} 4x+3y\geq 12 \\ y<−\frac{4}{3}x+1\end{array}\right.\)
绘制图形\(4x+3y\geq 12\)，通过绘制\(4x+3y=12\) 和测试一个点来绘制图表。截距为 and\(x = 3\) \(y = 4\)，边界线将为实线。测试\((0, 0)\)这会使不等式变为错误，所以阴影（红色）是不包含的一面\((0, 0).\)	$。$
\(y=−\frac{4}{3}x+1\) 使用斜率\(m=−\frac{4}{3}\)和\(y\)截距绘制图\(y<−\frac{4}{3}x+1\)形\(b = 1.\)边界线将用虚线绘制。测试\((0, 0)\)哪个使不等式成真，所以阴影（蓝色）是包含的一面\((0, 0).\)	$。$

	\(\left\{\begin{array} {l} y>\frac{1}{2}x−4\\x−2y<−4\end{array}\right.\)
\(y=\frac{1}{2}x−4\) 使用斜率\(m=\frac{1}{2}\)和截距\(b = −4.\)绘制图\(y>\frac{1}{2}x−4\)形边界线将用虚线绘制。测试\((0, 0)\)哪个使不等式成真，所以阴影（红色）是包含的一面\((0, 0).\)	$。$
\(x−2y<−4\)通过绘制\(x−2y=−4\) 和测试点来绘制图形。截距为 and\(x = -4\) \(y=2\)，边界线将用虚线表示。在解中选择一个测试点并验证它是否是两种不等式的解。测试\((0, 0)\)这会使不等式变为错误，所以阴影（蓝色）是不包含的一面\((0, 0).\)	$。$

定义：线性不等式系统

线性不等式组的解

示例\(\PageIndex{1}\)

试试吧！ \(\PageIndex{1}\)

试试吧！ \(\PageIndex{2}\)

示例\(\PageIndex{2}\): How to Solve a System of Linear Inequalities by Graphing

试试吧！ \(\PageIndex{3}\)

试试吧！ \(\PageIndex{4}\)

通过绘图求解线性不等式系统

示例\(\PageIndex{3}\)

试试吧！ \(\PageIndex{5}\)

试试吧！ \(\PageIndex{6}\)

示例\(\PageIndex{4}\)

试试吧！ \(\PageIndex{7}\)

试试吧！ \(\PageIndex{8}\)

示例\(\PageIndex{5}\)

试试吧！ \(\PageIndex{9}\)

试试吧！ \(\PageIndex{10}\)

示例\(\PageIndex{6}\)

试试吧！ \(\PageIndex{11}\)

试试吧！ \(\PageIndex{12}\)

示例\(\PageIndex{7}\)

试试吧！ \(\PageIndex{13}\)

试试吧！ \(\PageIndex{14}\)

示例\(\PageIndex{8}\)

试试吧！ \(\PageIndex{15}\)

试试吧！ \(\PageIndex{16}\)

	\(\left\{\begin{array} {l} x−y>3\\y<−15x+4\end{array}\right.\)
\(x - y > 3,\)通过绘制\(x - y = 3\) 和测试点来绘制图形。截距为 and\(x = 3\)\(y = −3\)，边界线将用虚线表示。测试\((0, 0)\)这会使不等式变为错误所以阴影（红色）是不包含的一面\((0, 0).\)	$。$

	\(\left\{\begin{array} {l} x−2y<5\\y>−4\end{array}\right.\)
绘制图形\(x−2y<5\)，通过绘制\(x−2y=5\) 和测试一个点来绘制图表。截距为 and\(x = 5\)\(y = −2.5\)，边界线将用虚线表示。测试\((0, 0)\)哪个使不等式成真，所以阴影（红色）是包含的一面\((0, 0).\)	$。$