4.5: 求解具有三个变量的方程组
在本节结束时,您将能够:
- 确定有序三元组是否是具有三个变量的三个线性方程组的解
- 求解具有三个变量的线性方程组
- 使用具有三个变量的线性方程组求解应用程序
在开始之前,请参加这个准备测验。
确定有序三元组是否是具有三个变量的三个线性方程组的解
在本节中,我们将扩展求解线性方程组的工作。 到目前为止,我们已经使用了包含两个方程和两个变量的方程组。 现在我们将使用三个方程组和三个变量。 但是首先让我们回顾一下关于求解最多涉及两个变量的方程和方程组的知识。
我们之前了解到线性方程的图形是一条线。ax+by=c 直线上的每个点都是有序对(x,y),是方程的解。 对于由两个变量组成的两个方程组,我们绘制两条线。 然后我们可以看到,作为每个方程解的所有点都形成了一条直线。 而且,通过找到这些线路的共同点,我们将找到系统的解决方案。
一个变量中的大多数线性方程都有一个解,但是我们看到有些方程称为矛盾,没有解,而对于其他称为恒等式的方程,所有数字都是解
我们知道,当我们求解一个由两个线性方程组成的系统时,由同一平面上的两条线形表示的线性方程组时,有三种可能的情况,如图所示。
同样,对于具有三个变量 ax+by+cz=d、ax+by+cz=d 的线性方程,该方程的每个解都是一个有序三元组 (x, y, z) (x, y, z),使方程成真。
具有三个变量的线性方程的形式为:其中 a、b、 c 和 d 是实数,a、b 和 c 不全是 0
ax+by+cz=d
方程的每个解都是一个有序三元组,(x,y,z)这使得方程成真。
作为一个方程解的所有点在三维空间中形成一个平面。 而且,通过找到飞机的共同点,我们将找到系统的解决方案。
当我们求解由空间中三个平面的图表示的三个线性方程组时,有三种可能的情况。
为了求解一个由三个线性方程组成的系统,我们要找出作为所有三个方程解的变量的值。 换句话说,我们正在寻找使所有三个方程(x,y,z)都成真的有序三元组。 这些被称为具有三个变量的三个线性方程组的解。
方程组的解是使所有方程成真的变量的值。 解由有序三元组表示(x,y,z)。
为了确定有序三元组是否是三个方程组的解,我们将变量的值代入每个方程中。 如果有序三元组使所有三个方程都成立,则它是方程的解。
确定订购的三合一是否是系统的解决方案:{x−y+z=22x−y−z=−62x+2y+z=−3
ⓐ(−2,−1,3) ⓑ(−4,−3,4)
- 回答
-
ⓐ
ⓑ
确定订购的三合一是否是系统的解决方案:{3x+y+z=2x+2y+z=−33x+y+2z=4
ⓐ(1,−3,2) ⓑ(4,−1,−5)
- 回答
-
ⓐ 是的 ⓑ 不
确定订购的三合一是否是系统的解决方案:{x−3y+z=−5−3x−y−z=12x−2y+3z=1
ⓐ(2,−2,3) ⓑ(−2,2,3)
- 回答
-
ⓐ 不 ⓑ 是的
求解具有三个变量的线性方程组
为了求解具有三个变量的线性方程组,我们基本上使用与具有两个变量的系统相同的技术。 我们从两对方程开始,在每对方程中我们消除同一个变量。 这将为我们提供一个只有两个变量的方程组,然后我们就知道如何求解这个方程组了!
接下来,我们使用刚才找到的两个变量的值返回原始方程并找到第三个变量。 我们将答案写成有序三元组,然后检查结果。
通过消除来解决系统:{x−2y+z=32x+y+z=43x+4y+3z=−1
- 回答
通过消除来解决系统:{3x+y−z=22x−3y−2z=14x−y−3z=0
- 回答
-
(2,−1,3)
通过消除来解决系统:{4x+y+z=−1−2x−2y+z=22x+3y−z=1
- 回答
-
(−2,3,4)
此处总结了这些步骤。
- 用标准形式写出方程式
- 如果有任何系数是分数,请将其清除。
- 从两个方程中删除同一个变量。
- 决定要消除哪个变量。
- 使用一对方程来消除所选变量。
- 将一个或两个方程相乘,使该变量的系数相对。
- 将步骤 2 得出的方程相加,以消除一个变量
- 使用另外两个方程重复步骤 2,并消除与步骤 2 中相同的变量。
- 这两个新方程形成了一个由两个方程和两个变量组成的系统。 解决这个系统。
- 使用步骤 4 中找到的两个变量的值来查找第三个变量。
- 将解写为有序三元组。
- 检查有序三元组是否是所有三个原始方程的解。
解决:{3x−4z=03y+2z=−32x+3y=−5
- 回答
-
{3x−4z=0(1)3y+2z=−3(2)2x+3y=−5(3)
我们可以z从方程 (1) 和 (2) 中消除,方法是将方程 (2) 乘以 2,然后将所得方程相加。
请注意,方程 (3) 和 (4) 都有变量x和y。 我们将为x和解决这个新系统y。
为了求解 y,我们用x=−4方程 (3) 代替。
我们现在有x=−4和y=1。 我们需要求解 z。 我们可以代x=−4入方程 (1) 来找出 z。
我们将解写为有序三元组。 (−4,1,−3)
我们检查解是否使所有三个方程都成立。
3x−4z=0 (1)3y+2z=−3 (2)2x+3y=−5 (3)3(−4)−4(−3)?=03(1)+2(−3)?=−32(−4)+3(1)?=−50=0✓−3=−3✓−5=−5✓The solution is (−4,1,−3)
解决:{3x−4z=−12y+3z=22x+3y=6
- 回答
-
(−3,4,−2)
解决:{4x−3z=−53y+2z=73x+4y=6
- 回答
-
(−2,3,−1)
当我们求解一个系统但最终没有变量和错误陈述时,我们知道没有解决方案,而且系统不一致。 下一个示例显示了一个不一致的方程组。
求解方程组:{x+2y−3z=−1x−3y+z=12x−y−2z=2
- 回答
-
{x+2y−3z=−1(1)x−3y+z=1(2)2x−y−2z=2(3)
使用方程 (1) 和 (2) 消除 z。
使用 (2) 和 (3)z 再次消除。
使用 (4) 和 (5) 消除变量。
没有解决办法。
我们只剩下一个错误的陈述,这告诉我们系统不一致,没有解决方案。
求解方程组:{x+2y+6z=5−x+y−2z=3x−4y−2z=1
- 回答
-
没有解决办法
求解方程组:{2x−2y+3z=64x−3y+2z=0−2x+3y−7z=1
- 回答
-
没有解决办法
当我们求解一个系统时,除了真实的陈述之外没有变量,我们就知道有无限多的解。 该系统与因方程一致。 我们的解决方案将显示其中两个变量如何依赖于第三个变量。
求解方程组:{x+2y−z=12x+7y+4z=11x+3y+z=4
- 回答
-
{x+2y−z=1(1)2x+7y+4z=11(2)x+3y+z=4(3)
使用方程 (1) 和 (3) 消除 x。
使用方程 (1) 和 (2) 再次消除 x。
使用方程 (4) 和 (5) 消除y。
有无限多的解决方案。 求解 y 的方程 (4)。 表示显示 x 和 y 如何依赖 z 的解。
y+2z=3y=−2z+3使用方程 (1) 求解 x。 x+2y−z=1 替代y=−2z+3。 x+2(−2z+3)−z=1x−4z+6−z=1x−5z+6=1x=5z−5 真实的陈0=0述告诉我们,这是一个依赖系统,有无限多的解决方案。 解的形式为 (x, y, z) (x, y, z)x=5z−5; y=−2z+3,其中 z 是任意实数。
用方程求解方程组:{x+y−z=02x+4y−2z=63x+6y−3z=9
- 回答
-
无限多的解(x,3,z)哪里x=z−3; y=3; z是任何实数
用方程求解方程组:{x−y−z=1−x+2y−3z=−43x−2y−7z=0
- 回答
-
无限多的解(x,y,z)哪里x=5z−2; y=4z−3; z是任何实数
使用具有三个变量的线性方程组求解应用程序
由方程组建模的应用程序可以使用我们用于求解方程组的相同技术来求解。 许多应用程序只是我们之前解决的三个类型的变量的扩展。
社区学院戏剧系出售了三种最新剧本制作的门票。 成人票的售价为15美元,学生票的售价为10美元,儿童票的售价为8美元。 剧院部门很高兴能在一晚售出250张门票并带来2,825美元的收入。 售出的学生票数量是售出成人票数量的两倍。 该部门每种类型销售了多少种?
- 回答
-
我们将使用图表来组织信息。 学生人数是成人人数的两倍。 以标准形式重写方程。 y=2x2x−y=0 使用方程 (1) 和 (2) 消除 z。 使用 (3) 和 (4) 消除y。 求解 x。 x=75成人票 使用方程 (3) 求出 y。 −2x+y=0 替代x=75。 −2(75)+y=0−150+y=0y=150 student tickets 使用方程 (1) 求出 z。 x+y+z=250 在值中替换
x=75, y=150.
75+150+z=250225+z=250z=25 child tickets写出解决方案。 剧院部门售出了 75 张成人票、
150 张学生门票和 25 张儿童票。
社区学院美术系出售了三种最新舞蹈表演的门票。 成人票售价为20美元,学生票售价为12美元,儿童票售价为10美元。美术系很高兴能在一晚售出350张门票并带来4,650美元。 售出的儿童票数量与售出的成人票数量相同。 该部门每种类型销售了多少种?
- 回答
-
美术系售出了 75 张成人票、200 张学生门票和 75 张儿童票。
社区大学足球队出售了三种最新比赛的门票。 成人票的售价为10美元,学生票的售价为8美元,儿童票的售价为5美元。 足球队很高兴售出600张门票,为一场比赛带来了4,900美元的收入。 成人票的数量是儿童票数量的两倍。 这支足球队每种类型卖了多少?
- 回答
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足球队售出了 200 张成人票、300 张学生门票和 100 张儿童票。
访问此在线资源,获取更多指导和练习,用三个变量求解一个没有解或无限解的线性系统。
- 用无解或无穷解的三个变量求解线性方程组
- 3 可变应用程序
关键概念
- 三个变量中的线性方程:具有三个变量的线性方程,其中 a、b、c 和 d 是实数,a、b 和 c 不全是 0,其形式为
ax+by+cz=d
方程的每个解都是一个有序三元组,(x,y,z)这使得方程成真。 - 如何求解具有三个变量的线性方程组。
- 以标准形式写出方程
如果有任何系数是分数,请将其清除。 - 从两个方程中删除同一个变量。
决定要消除哪个变量。
使用一对方程来消除所选变量。
将一个或两个方程相乘,使该变量的系数相反。
将步骤 2 得出的方程相加,以消除一个变量 - 使用另外两个方程重复步骤 2,并消除与步骤 2 中相同的变量。
- 这两个新方程形成了一个由两个方程和两个变量组成的系统。 解决这个系统。
- 使用步骤 4 中找到的两个变量的值来查找第三个变量。
- 将解写为有序三元组。
- 检查有序三元组是否是所有三个原始方程的解。
- 以标准形式写出方程
词汇表
- 具有三个变量的线性方程组的解
- 方程组的解是使所有方程成真的变量的值;解由有序三元组(x、y、z)表示。