4.4：使用方程组求解混合应用程序

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 求解混合应用
• 解决利息申请
• 解决成本和收入函数的应用

在开始之前，请参加这个准备测验。

1. 乘以：\(4.025(1,562)\)。
   如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
2. 将 8.2% 写成十进制。
   如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
3. 伯爵的晚餐账单为32.50美元，他想留下18％的小费。 小费应该是多少？
   如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。

求解混料应用程序

混合物的应用涉及将两个或更多量混合在一起。 当我们之前用硬币和彩票解决混合应用程序时，我们首先创建了一个表格，这样我们就可以整理信息。 举一个带有镍和硬币的硬币示例，表格如下所示：

使用一个变量意味着我们必须将镍的数量和一角钱的数量联系起来。 我们必须决定是让 n 成为镍的数量，然后用 n 写出硬币的数量，还是让 d 成为一角钱并用 d 写出镍的数量。

现在我们知道如何用两个变量求解方程组，我们只让 n 是镍数，d 是角钱数。 我们将像以前一样根据总值列写一个方程，另一个方程将来自数字列。

在第一个例子中，我们将解决门票问题，门票价格以整美元为单位，因此我们暂时不需要使用小数。

示例\(\PageIndex{1}\)

转换为方程组并求解：

一个科学中心在一个繁忙的周末售出了1,363张门票。 收据总额为12,146美元。 售出了多少张 12 美元的成人票和多少 7 美元的儿童票？

回答

第 1 步。 阅读问题。	我们将创建一个表来组织信息。
第 2 步。 确定我们在寻找什么。	我们正在寻找成人票的数量 和售出的儿童票数量。
第 3 步。 说出我们要找的东西。	让\(a= \text{the number of adult tickets.}\) \(c= \text{the number of child tickets}\)
表格将帮助我们整理数据。 我们有两种类型的门票，成人和儿童。	在 a 和 c 中写入门票数量。
在 “号码” 列的底部 写下售出的门票总数。	总共售出了 1,363 个。
在 “值” 列中写下每种类型票证的 值。	每张成人票的价值为12美元。 每张儿童票的价值为7美元。
乘以该值得出总价值， 因此成人票的总价值为\(a·12=12a\) ，儿童票的总价值为\(c·7=7c\)。	填写总值列。
门票的总价值为12,146美元。
第 4 步。 转化为方程组。
数字列和总值列 为我们提供了方程组。
我们将使用消除方法来解决 这个系统。 将第一个方程乘以\(−7\)。
简化并添加，然后求解 a。
代\(a=521\)入第一个方程，然后 求解 c。
第 6 步。 检查 问题中的答案。 521 名成人，每张票 12 美元，每张票 7 美元，儿童 6 ,252 美元 842 美元，总收入为 12,146 美元\(\checkmark\)
第 7 步。 回答问题。	科学中心售出了 521 张成人门票和 842 张儿童票。

示例\(\PageIndex{2}\)

转换为方程组并求解：

动物园的售票处有一天售出了553张门票。 收据总额为3,936美元。 售出了多少张9美元的成人票和多少6美元的儿童票？

回答

206 名成人，347 名儿童

示例\(\PageIndex{3}\)

转换为方程组并求解：

一家电影院的票房售出了147张晚间节目的门票，总收入为1,302美元。 售出了多少张11美元的成人票和多少8美元的儿童票？

回答

42 位成人，105 位儿童

在下一个例子中，我们将解决一个硬币问题。 既然我们已经知道如何使用由两个变量组成的系统，那么在 “数字” 列中命名变量就很容易了。

示例\(\PageIndex{4}\)

转换为方程组并求解：

胡安有一袋镍和一角钱。 这些硬币的总价值为8.10美元。 硬币的数量为9，少于镍数的两倍。 胡安有多少镍和多少硬币？

回答

第 1 步。 阅读问题。 我们将创建一个表来组织信息。
第 2 步。 确定我们在寻找什么。	我们正在寻找 镍的数量和硬币的数量。
第 3 步。 说出我们要找的东西。	让\(n= \text{the number of nickels.}\) \(d= \text{the number of dimes}\)
表格将帮助我们整理数据。 我们有两种类型的硬币，镍和硬币。	写上 n 和 d 作为 每种硬币的编号。
在 “价值” 列中填写每 种硬币的价值。	每种镍的价值为0.05美元。 每角钱的价值为0.10美元。
该值的次数给出了总 价值，因此，镍的总价值为 \(n(0.05)=0.05n\)，毛钱的总价值为 \(d(0.10)=0.10d\)。 这些硬币的总价值为8.10美元。
第 4 步。 转化为方程组。
总值列给出一个等式。
我们还知道硬币的数量是9分比镍的 两倍少。
翻译得到第二个方程。
现在我们有系统要解决了。
第 5 步。 求解方程组 我们将使用替换方法。
代\(d=2n−9\)入第一个方程式。
简化并求解 n。
要找到毛钱的数目，请用第二个 \(n=36\)方程代替。
第 6 步。 在 Total 查看问题中的答案 63 毛钱\($0.10=$6.30\) 36\($0.05=$1.80\) 个镍\(=$8.10\checkmark\)
第 7 步。 回答问题。	胡安有 36 个镍和 63 角钱。

示例\(\PageIndex{5}\)

转换为方程组并求解：

玛蒂尔达有几个季度和一毛钱，总价值为8.55美元。 季度数为 3，是硬币数的两倍多。 她有多少毛钱，有多少季度？

回答

13 毛钱和 29 个季度

示例\(\PageIndex{6}\)

转换为方程组并求解：

Priam拥有一系列镍和四分之一，总价值为7.30美元。 镍的数量是六个，少于季度数的三倍。 他有多少镍和多少个季度？

回答

19 个四分之一和 51 个镍

一些混合物的应用涉及混合食物或饮料。 示例情况可能包括将葡萄干和坚果混合制成混合物，或者使用两种类型的咖啡豆制作混合物。

示例\(\PageIndex{7}\)

转换为方程组并求解：

卡森想用坚果和巧克力片制作 20 磅的混合物。 他的预算要求混合越野车每磅花费7.60美元。 坚果的价格为每磅9.00美元，巧克力片的价格为每磅2.00美元。 他应该用多少磅的坚果和多少磅的巧克力片？

回答

第 1 步。 阅读问题。 我们将创建一个表来组织信息。
第 2 步。 确定我们在寻找什么。	我们正在寻找 坚果的磅数和巧克力 片的磅数。
第 3 步。 说出我们要找的东西。	让\(n= \text{the number of pound of nuts.}\) \(c= \text{the number of pounds of chips}\)
Carson 会混合坚果和巧克力片来 混合。 用 n 和 c 写下 坚果和巧克力片的磅数。
会有 20 磅的越野混合物。 在 “价值” 列中输入每件商品 的每磅价格。 使用填写最后一列 \(\text{Number}•\text{Value}=\text{Total Value}\)
第 4 步。 转化为方程组。 我们从 “数字” 和 “总值” 列中获得方程。
第 5 步。 求解方程组 我们将使用消除来求解方程组。 将第一个方程乘\(−2\)以消除 c。
简化并添加。 求解 n。
要找到巧克力 片的磅数，请代\(n=16\)入第一个方程， 然后求解 c。
第 6 步。 检查问题中的答案。 \(\begin{array} {lll} 16+4 &= &20\checkmark \\ 9·16+2·4 &= &152\checkmark \end{array}\)
第 7 步。 回答问题。	Carson 应该将 16 磅的坚果和 4 磅的巧克力片混合，制成 混合物。

示例\(\PageIndex{8}\)

转换为方程组并求解：

Greta 想用花生和腰果制成 5 磅的坚果混合物。 她的预算要求混合物每磅花费6美元。 花生为每磅4美元，腰果为每磅9美元。 她应该用多少磅花生和多少磅腰果？

回答

3 磅花生和 2 磅腰果

示例\(\PageIndex{9}\)

转换为方程组并求解：

萨米拥有制作大批辣椒所需的大部分食材。 他唯一缺少的物品是豆子和碎牛肉。 他总共需要20磅的豆类和碎牛肉，每磅的预算为3美元。 豆类的价格为每磅1美元，碎牛肉的价格为每磅5美元。 他应该买多少磅的豆子和多少磅的碎牛肉？

回答

10 磅豆子，10 磅碎牛肉

混合物问题的另一个应用涉及浓缩清洁用品、其他化学品和混合饮料。 浓度以百分比给出。 例如，浓度为20％的家用清洁剂意味着总量的20％是清洁剂，其余是水。 要制成 35 盎司的 20% 浓度，请将 7 盎司（35 盎司的 20%）的洁面乳与 28 盎司的水混合。

对于这类混合问题，我们将对表中的其中一列使用 “百分比” 而不是 “值”。

示例\(\PageIndex{10}\)

转换为方程组并求解：

萨希娜是她所在社区学院的实验室助理。 她需要用 40% 的硫酸溶液制成 200 毫升用于实验室实验。 实验室的储藏室里只有 25% 和 50% 的溶液。 她应该将 25% 和 50% 的解决方案混合多少才能制成 40% 的解决方案？

回答

第 1 步。 阅读问题。 一个数字可以帮助我们可视化 情况，然后我们将创建一个表格来 组织信息。	Sasheena 必须将 一些\(25%\)解决方案和一些\(50%\)解决方案混合在一起才能得到\(200\space ml\)\(40%\)解决方案。
第 2 步。 确定我们在寻找什么。	我们正在寻找她 需要多少解决方案。
第 3 步。 说出我们要找的东西。	让\(x= \text{number of }ml\text{ of }25% \text{ solution.}\) \(y= \text{number of }ml\text{ of }50%\text{ solution\)
表格将帮助我们整理数据。 她会将 x o\(ml\) f 和 y o\(ml\) f 混在\(25%\)一起\(50%\)\(200 \space ml\) 以获得\(40%\)解决方案。 我们在图表中将百分比写 成小数。 我们将单位数乘以 浓度得出每种溶液中的 硫酸总量。
第 4 步。 转换为 方程组。 我们从 “数字 ” 列和 “金额” 列中获得方程。 现在我们有了系统。
第 5 步。 求解方程组 我们将通过消除来求解方程组。 将第一个方程乘\(−0.5\)以 消除 y。
简化并添加以求解 x。
要求解 y，请\(x=80\)将其替换为第一个 方程。
第 6 步。 检查问题中的答案。 \(\begin{array} {lll} 80+120 &= &200\checkmark \\ 0.25(80)+0.50(120) &= &200\checkmark \\ {} &{} &\text{Yes!} \end{array} \)
第 7 步。 回答问题。	Sasheena 应该将\(25%\)解决方案与 \(120 \space ml\)\(50%\)溶液混合在一起\(80 \space ml\)，\(200\space ml\)以获得 \(40%\)解决方案。

示例\(\PageIndex{11}\)

转换为方程组并求解：

勒布朗需要150毫升的30％硫酸溶液进行实验室实验，但只能获得25％和50％的溶液。 他应该混合多少 25% 和 50% 溶液中的多少才能制成 30% 的溶液？

回答

120 毫升 25% 溶液和 30 毫升 50% 溶液

示例\(\PageIndex{12}\)

转换为方程组并求解：

为了进行实验室实验，Anatole 需要用 25% 的盐酸溶液制成 250 毫升。 实验室在储藏室中只有 10% 的溶液和 40% 的溶液。 他应该混合多少 10% 和 40% 的溶液中的多少才能制成 25% 的解决方案？

回答

125 毫升 10% 溶液和 125 毫升 40% 溶液

解决利息申请

对简单兴趣应用程序进行建模的公式是\(I=Prt\)。 利息 I 是本金 P、利率 r 和时间 t 的乘积。 在我们的工作中，我们将计算一年内获得的利息，因此 t 将为 1。

我们修改混合表中的列标题以显示利息公式，如下例所示。

转换为方程组并求解：

阿德南有40,000美元可供投资，并希望每年赚取\(7.1%\)利息。 他将把一部分资金存入年利率为8％的股票基金，其余资金投入年利3％的债券。 他应该向每只基金投入多少钱？

回答

第 1 步。 阅读问题。	图表将帮助我们整理信息。
第 2 步。 确定我们在寻找什么。	我们正在寻找每只基金的投资金额。
第 3 步。 说出我们要找的东西。	让\(s= \text{the amount invested in stocks.}\) \(b= \text{the amount invested in stocks}\)
将 每只基金的利率写成小数。 乘以：本金·费率·时间
第 4 步。 转换为 方程组。 我们从 “本金” 列和 “ 利息” 列中获得方程组。
第 5 步。 通过消法求解方程组。 将顶部方程乘以\(−0.03\)。
简化并添加以求解 s。
要找出 b，请将 s = 32,800 代 入第一个方程。
第 6 步。 检查 问题中的答案。	我们把支票留给你。
第 7 步。 回答问题。	阿德南应该投资32,800 美元的股票和7,200美元的债券。

您是否注意到 “本金” 栏代表投资的总金额，而 “利息” 列仅代表所得利息？ 同样，我们系统中的第一个方程\(s+b=40,000\), represents the total amount of money invested and the second equation, \(0.08s+0.03b=0.071(40,000)\), represents the interest earned.

示例\(\PageIndex{14}\)

转换为方程组并求解：

莱昂有5万美元可以投资，并希望每年赚取\(6.2%\)利息。 他将把一部分资金存入每年收入7％的股票基金，其余的存入年收入2％的储蓄账户。 他应该向每只基金投入多少钱？

回答

股票基金中有42,000美元，储蓄账户中有8000美元

示例\(\PageIndex{15}\)

转换为方程组并求解：

朱利叶斯向两项股票投资投资了7000美元。 一只股票支付了11％的利息，另一只股票支付了13％的利息。 他赚取了总投资的\(12.5%\)利息。 他在每只股票里投入了多少钱？

回答

1750 美元，11％，5250 美元，13％

下一个例子要求我们在给定利息金额的情况下找到本金。

示例\(\PageIndex{16}\)

转换为方程组并求解：

罗茜的两笔学生贷款欠了21,540美元。 她的银行贷款的利率是\(10.5%\)，联邦贷款的利率是\(5.9%\)。 她去年支付的利息总额为\($1,669.68\). 每笔贷款的本金是多少？

回答

第 1 步。 阅读问题。	图表将帮助我们整理信息。
第 2 步。 确定我们在寻找什么。	我们正在寻找每笔贷款的本金。
第 3 步。 说出我们要找的东西。	让\(b= \text{the principal for the bank loan.}\) \(f= \text{the principal on the federal loan}\)
贷款总额为21,540美元。
在图表 中将利率记录为小数。 使用公式 I = P r t 进行乘以 得利息。
第 4 步。 转换为 方程组。 方程组来自 “ 本金” 列和 “利息 ” 列。
第 5 步。 求解方程组 我们将使用替换来求解。 求解 b 的第一个方程。
将 b = − f + 21.540 代入 第二个方程。
简化并求解 f。
要找出 b，请将 f = 12,870 替换到第一个方程中。
第 6 步。 检查 问题中的答案。	我们把支票留给你。
第 7 步。 回答问题。	联邦贷款的本金为12,870美元， 银行贷款的本金为8,670美元。

示例\(\PageIndex{17}\)

转换为方程组并求解：

劳拉的学生贷款欠了18,000美元。 银行贷款的利率为2.5％，联邦贷款的利率为6.9％。 她去年支付的利息总额为1,066美元。 每笔贷款的本金是多少？

回答

银行 4,000 美元；联邦 14,000 美元

示例\(\PageIndex{18}\)

转换为方程组并求解：

Jill's Sandwich Shoppe欠两笔商业贷款65,200美元，一笔利息为4.5％，另一笔利息为7.2％。 去年所欠利息总额为3582美元。 每笔贷款的本金是多少？

回答

41,200 美元，4.5％，24,000 美元，7.2％

解决成本和收入函数的应用

假设一家公司生产和销售 x 个单位的产品。 公司的成本是生产 x 个单位的总成本。 这是每个单位的制造成本乘以 x，制造的单位数量加上固定成本。

收入是公司通过出售 x 个单位获得的收入。 这是每件商品的售价乘以售出的商品数量。

当成本等于收入时，我们说企业已经达到了盈亏平衡点。

成本和收入函数

成本函数是每个单位的制造成本乘以 x、制造的单位数加上固定成本。

\[C(x)=(\text{cost per unit})·x+\text{fixed costs}\nonumber \]

收入函数是每个单位的销售价格乘以 x，即售出的单位数。

\[R(x)=(\text{selling price per unit})·x\nonumber \]

盈亏平衡点是收入等于成本的时候。

\[C(x)=R(x)\nonumber\]

示例\(\PageIndex{19}\)

举重训练长凳的制造商花费105美元建造每个长凳，并以245美元的价格出售。 制造商每月的固定成本也为7,000美元。

ⓐ 在制造 x 长凳时找到成本函数 C。

ⓑ 当售出 x 个长凳时，找到收益函数 R。

ⓒ 通过在同一个网格上绘制收入和成本函数的图表来显示盈亏平衡点。

ⓓ 找到盈亏平衡点。 解释盈亏平衡点的含义。

回答

ⓐ 无论生产多少举重训练台，制造商都有7,000美元的固定成本。 除了固定成本外，制造商还花费105美元生产每个工作台。 假设已售出 x 个长凳。

\(\begin{array} {ll} {\text{Write the general Cost function formula.}} &{C(x)=(\text{cost per unit})·x+\text{fixed costs}} \\ {\text{Substitute in the cost values.}} &{C(x)=105x+7000} \\ \end{array}\)

ⓑ 制造商以245美元的价格出售每个举重训练台。 我们通过将每单位收入乘以售出单位数得出总收入。

\(\begin{array} {ll} {\text{Write the general Revenue function.}} &{C(x)=(\text{selling price per unit})·x} \\ {\text{Substitute in the revenue per unit.}} &{R(x)=245x} \\ \end{array}\)

ⓒ 本质上我们有一个线性方程组。 我们将展示系统的图表，因为这有助于使盈亏平衡点的概念更加直观。

\[\left\{ \begin{array} {l} C(x)=105x+7000 \\ R(x)=245x \end{array} \right. \quad \text{or} \quad \left\{ \begin{array} {l} y=105x+7000 \\ y=245x \end{array} \right. \nonumber \]

ⓓ 为了找到实际价值，我们记得当成本等于收入时出现盈亏平衡点。

\(\begin{array} {ll} {\text{Write the break-even formula.}} &{\begin{array} {l} {C(x)=R(x)} \\ {105x+7000=245x} \end{array}} \\ {\text{Solve.}} &{\begin{array} {l} {7000=140x} \\ {50=x} \end{array}} \\ \end{array}\)

当售出 50 个长凳时，成本等于收入。

当售出50个长凳时，收入和成本均为12,250美元。 请注意，这对应于有序对\((50,12250)\)。

示例\(\PageIndex{20}\)

举重训练长凳的制造商花费15美元建造每个长凳，然后以32美元的价格出售。 制造商每月的固定成本也为25,500美元。

ⓐ 在制造 x 长凳时找到成本函数 C。

ⓑ 当售出 x 个长凳时，找到收益函数 R。

ⓒ 通过在同一个网格上绘制收入和成本函数的图表来显示盈亏平衡点。

ⓓ 找到盈亏平衡点。 解释盈亏平衡点的含义。

回答

ⓐ\(C(x)=15x+25,500\)

ⓑ\(R(x)=32x\)

ⓒ

ⓓ 1,5001,500；当售出 1,500 个长凳时，成本和收入将均为 48,000

示例\(\PageIndex{21}\)

举重训练长凳的制造商花费120美元建造每个长凳，并以170美元的价格出售。 制造商每月的固定成本也为15万美元。

ⓐ 在制造 x 长凳时找到成本函数 C。

ⓑ 当售出 x 个长凳时，找到收益函数 R。

ⓒ 通过在同一个网格上绘制收入和成本函数的图表来显示盈亏平衡点。

ⓓ 找到盈亏平衡点。 解释盈亏平衡点的含义。

回答

ⓐ\(C(x)=120x+150,000\)

ⓑ\(R(x)=170x\)

ⓒ

ⓓ\(3,000\); 当售出 3,000 个长凳时，收入和成本均为 510,000 美元

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• 利息和混合物

关键概念

• 成本函数：成本函数是每个单位的制造成本乘以 x、制造的单位数加上固定成本。

  \(C(x)=(\text{cost per unit})·x+\text{fixed costs}\)

• 收入：收入函数是每个单位的销售价格乘以 x，即售出的单位数。

  \(R(x)=(\text{selling price per unit})·x\)

• 盈亏平衡点：盈亏平衡点是收入等于成本的时候。

  \(C(x)=R(x)\)

词汇表

成本函数

成本函数是每个单位的制造成本乘以 xx，制造的单位数加上固定成本；C (x) =（单位成本）x + 固定成本。

收入

收入是每单位的销售价格乘以 x，即售出的单位数；R (x) =（每单位销售价格）x。

盈亏平衡点

收入等于成本的点是盈亏平衡点；C (x) =R (x)。